INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES COLLISIONS Pierre Duysinx Ingénierie des Véhicules Terrestres Université de Liège Année Académique 15-16 1
Références bibliographiques G. Genta. «Motor Vehicle Dynamics Modeling and Simulation. World Scientific. 1997. M. Huang. Vehicle Crash Mechanics. CRC Press,. J.-F. Debongnie. Cours de Véhicules Automobiles.
INTRODUCTION Problème de la sécurité: déterminer dans quelle mesure une collision sur un obstacle est susceptible de provoquer des lésions des occupants Les chocs provoquent : des accélérations très violentes des déformations des véhicules Les accélérations Existence d accélérations très importantes Les accélérations sont dangereuses car elles provoquent des efforts violents au contact des passagers et des organes fixes du véhicules Conduisent à des chocs sur les occupants 3
INTRODUCTION Les déformations du véhicules sont également dangereuses, car elles risquent d écraser les occupants Conséquence: configuration avec une structure rigide entourée de zones à l avant et à l arrière déformables pour absorber l énergie et diminuer les accélérations zones déformables Zone indéformable 4
INTRODUCTION Objectif de la conception de la voiture sur la sécurité passive: limiter à la fois les déformations et les accélérations. Objectifs contradictoires, ce qui amène à faire des compromis. 5
THEORIE ELEMENTAIRE DU CHOC Soient deux masses m 1 et m ayant des vitesses v 1 et v dans la même direction. Collision si v 1 > v Ici modèle impulsionnel m 1 v 1 m v 6
Impulsion AVANT LE CHOC m 1 v 1 m v Impulsion (quantité de mouvement) p = m 1 v 1 + m v Vitesse moyenne p u = = m 1 + m Vitesses relatives m 1 v 1 + m v m 1 + m w 1 = v 1 u w = v u 7
Impulsion AVANT LE CHOC m 1 v 1 m v Impulsion relative p r = m 1 w 1 + m w nécessairement nulle p r = m 1 ( v 1 u ) + m ( m u ) = m 1 v 1 + m v ( m 1 + m ) u = p p = 8
Impulsion APRES LE CHOC m 1 v 1 m v Conservation de l impulsion (quantité de mouvement) puisqu il n y a pas de force extérieure au système p = m 1 v 1 + m v Impulsion relative reste nulle p r = m 1 w 1 + m w = 9
Energie cinétique AVANT LE CHOC m 1 v 1 m v Energie cinétique T = m 1 v 1 + m v = m 1 ( u + w 1 ) + m ( u + w ) = ( m 1 + m ) u + u ( m 1 w 1 + m w ) + m 1 w 1 + m w = p m 1 + m + m 1 w 1 + m w = T + T r T énergie cinétique du mouvement d ensemble T r énergie cinétique relative 1
Energie cinétique APRES LE CHOC Conservation de T énergie cinétique du mouvement d ensemble Pas conservation (nécessairement) de T r énergie cinétique relative chocs élastiques: T r = T r chocs parfaitement mous T r = chocs mous: une partie de l énergie cinétiques est perdue: e coefficient de restitution T r = ² T r ² 1 11
Solution w 1 = ² w 1 w = ² w B w m w ²+m w ²=T 1 1 r e e=1 e= B w 1 T = ( 1 ² ) T r A m w +m w = 1 1 1
Solution Cas particulier D du a n choc s l e c contre a s p a r t un i c u mur: l i e r a v = e t m À m 1. Solution T r = p 1 T = ¼ u = m 1 + m ¼ m 1 + m 1 1 m 1 w 1 ¼ m 1 v 1 m 1 w 1 m 1 + m ¼ ( 1 ² ) 1 T r = ( 1 ² ) m 1 v 1 13
MODELISATION DU CHOC FRONTAL D UN VEHICULE CONTRE UN MUR m F effort d avancement aller raideur k x déformation maximale Energie absorbée x déformation permanente p Energie restituée retour raideur k x raccourcissement Le véhicule sera modélisé par une masse m représentant la partie indéformable précédée d une zone d absorption d énergie. Celle-ci admet deux caractéristiques linéaires: à l aller l effort d avancement grandit linéairement avec la quantité de matière à déformer au retour, détente élastique 14
Bilan énergétique Le bilan des énergies est le suivant: t comme suit : énergie avant le choc = : T m = v 1= m v énergie emmagasinée jusqu à l arrêt : W = 1 = k x énergie restituée V = 1 = k ( x x p ) A l arrêt l énergie cinétique est emmagasinée: W=T x = avec la pulsation m v k x =! = v! p k = m 15
p Bilan énergétique L énergie restituée se transforme en énergie cinétique V = T = ² T 1 m v o = ² m v o = 1 k ( x x p ) Il vient ² m! x o = 1 k ( x x p ) ² k x o = 1 k ( x x p ) Soit ² p k x o = k ( x x p ) x p = ( 1 ² p k = k ) x = ( 1 ² p k = k ) v =! 16
Equation du mouvement du véhicule PREMIERE PARTIE DU CHOC Equation du mouvement Solution déplacement m x Ä + k x = x = x s i n! t vitesse x _ = x! c o s! t accélération x Ä = x! =! v =! x s i n! t =! x =! v x 17
Equation du mouvement du véhicule PREMIERE PARTIE DU CHOC Fin de la première partie: SECONDE PARTIE Equation du mouvement La solution t c = ¼ =! m x Ä + k ( x x p ) = m ( x Ä x Ä p ) + k ( x x p ) = ( x x p ) c o s! ( t t c ) p p! = k = m =! k = k ( x x p ) = 18
Equation du mouvement du véhicule SECONDE PARTIE p p Solution tenant compte de la valeur de x p : ( x x p ) = ² r k k x c o s! r ( t t c ) = ² r k v k! c o s! ( t t c ) le déplacement, la vitesse, l accélération ( x x p ) = ² v c o s! ( t t! c ) v = ² v s i n! ( t t c ) = ²! v c o s! ( t t c ) 19
Identification des paramètres Accélérations en fonction du temps
Identification des paramètres Vitesse en fonction du temps (après intégration) 1
Identification des paramètres Position en fonction du temps (après intégration)
Identification des paramètres Accélération en fonction de la position 3
Discussion Il découle du modèle que le déplacement maximal et l accélération maximale sont données par: x = v =! m a x =! v Dès lors en diminuant w, on diminue g max, mais on augmente la déformation, ce qui n est admissible de manière limitée sur des longues voitures. A l inverse, une augmentation de w a un effet contraire. Il faut donc trouver un compromis 4
Discussion On cite souvent la règle: 1km/h = 1 cm = 1 g Malheureusement elle est incompatible comme le prouve le modèle: = ; 778 m = S v = ; 1 m = 9 ; 81 m = s x Le modèle montre que:! = = v = 3 5 ; 5 1! = v = x = 7 ; 7 8 max = v x 5
Discussion La loi signifie que l accélération maximale varie comme: le carré de la vitesse max = v x l inverse de la déformation maximale Ce qui montre l utilité de zones déformables suffisamment grandes. La règle correcte qui est suggérée est: 1 km/h = 1 cm =.8 g 6
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES k 1 m 1 m k x x 1 x x F m 1 F 1 1 m Situation idéalisée 7
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES Soient x la coordonnée du point de contact entre les deux véhicules x 1 et x celles des centres de masse des deux véhicules La force d interaction a pour valeur: Donc Ce qui donne s a pour valeur : F 1 = k 1 (x 1 x ) = k (x x ) ½ x1 x = F 1 ½ k 1 x x = F 1 k x 1 x = F 1 µ 1 k 1 + 1 k = F 1 k 1 + k k 1 :k = F 1 k e µ k k k e = k 1:k k 1 + k 8
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES mouvement s' ecrivent : ½½ m1 Äx 1 + k e (x 1 x ) = m Äx + k e (x x 1 ) = Les équations du mouvement de la forme Cherchons une solution de la forme x 1 = X 1 e st x = X e st tions : ½ (m1 s + k e )X 1 + k e X = k e X 1 + (m s + k e )X = On obtient les conditions 9
CHOC DIRECT ½ ENTRE VEHICULES Le système homogène (m 1 s + k e )X 1 k e X = N a de solution que si le déterminant est nul Les solutions sont k e X 1 + (m s + k e )X = xige la nullit e du d eterminant : = (m 1 s + k e ):(m s + k e ) ke µ = m 1 m s 4 + k e (m 1 + m )s µ = m 1 m s s + k e(m 1 + m m 1 :m s = (deux fois) s = i! avec! = k e m e m e = m 1:m m 1 + m 3
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES A ces racines correspondent les modes suivants: { s = : { s = i! X 1 = X Mode rigide (k e m 1! )X 1 = k e X k e X 1 = (k e m! )X e on trouve m 1! X 1 = m! X X = m 1 m X 1 31
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES On t obtient en d e nitive en définitive : la solution: x 1 = A 1 sin!t + A cos!t + A 3 t + A 4 x = m 1 A 1 sin!t m 1 A cos!t + A 3 t + A 4 m m s que les expressions (11.57) et (11.58) entra^³ Remarquons qu elle satisfait: m 1 x 1 (t) + m x (t) = (m 1 + m )(A 3 t + A 4 ) Ce qui signifie que A 3 et A 4 gouvernent le mouvement du centre de gravité. Si on se place dans le repère qui suit le centre de gravité du système on A 3 = et A 4 = 3
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES On a dans e : le repère suivant le centre de masse du système: En t=, on connaît les vitesses initiales des véhicules _x 1 (t = ) = w 1 et _x (t = ) = w Avec w 1 aet conditions w les vitesses : relatives au centre de gravité qui satisfont la condition Il vient _x 1 = A 1! cos!t A! sin!t _x = m 1 m A 1! cos!t + m 1 m A! sin!t m 1 w 1 + m w = _x 1 (t = ) = A 1! = w 1 et _x (t = ) = m 1 m A 1! = m 1 m w 1 33
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES En choisissant µere par sur ailleurs le v ehicule repère de sur chaque véhicule de sorte que x i () = i = 1; On a A = Le mouvement est décrit par les équations x 1 = w 1! sin!t x = m 1 w 1 m! sin!t _x 1 = w 1 cos!t _x = m 1 m w 1 cos!t Äx 1 =!w 1 sin!t Äx = +! m 1 m w 1 sin!t 34
CHOC DIRECT ENTRE VEHICULES Conclusion x 1 = w 1! sin!t x = m 1 w 1 m! sin!t _x 1 = w 1 cos!t _x = m 1 m w 1 cos!t Äx 1 =!w 1 sin!t Äx = +! m 1 m w 1 sin!t L étude se ramène à l étude du choc contre un mur qui suivrait le centre de masse du système des deux corps. 35