Université Joseph Fourier Master Physique TD de mécanique quantique TD n 7 Solutions Couplage de moments cinétiques et applications Couplage de deux spins / : D J/ D J/ D J0 D J C'est un exercice de cours Voir aussi la réf : [], chap X, p006 On considère une particule respect de spin /, décrit par un vecteur dans l'espace de Hilbert H, de base +, respect H, de base +, Une base orthonormée de l'espace total H tot H H est donc donnée par les vecteurs +, +, +,,, +,, Remarque : on note +, + + +, etc On note S S,x, S,y, S,z les opérateurs de spin de la particule, et de même S pour la particule L'opérateur de rotation d'un angle α autour de l'axe u du système total s'écrit : avec ˆR u α ˆR, u α ˆR, u α ˆR, u α exp i α S u, ˆR, u α exp i α S u On déduit que ˆR u α exp i α S + S u exp i α S u est générée par S S + S On vérie que ces opérateurs forment l'algèbre du moment cinétique en écrivant [S x, S y ] [S,x + S,x, S,y + S,y ] S,z + S,z S z, etc 3 On veut décomposer l'espace total H tot D / D / en représentation irréductibles des rotations du système total, générées par S Autrement dit, on cherche une base de vecteurs J, M à exprimer dans la base de départ, vériant : Ŝ z J, M M J, M, S J, M J J + J, M On écrit : S S + S S + S + S S Et avec S ± S x ± is y Donc ˆ S ˆ S Ŝ,x Ŝ,x + Ŝ,yŜ,y + Ŝ,zŜ,z Ŝ,+Ŝ, + Ŝ, Ŝ,+ + Ŝ,zŜ,z ˆ S ˆ S + ˆ S + ˆ ˆ S S ˆ S + ˆ S + Ŝ,+ Ŝ, + Ŝ, Ŝ,+ + Ŝ,zŜ,z On va aussi utiliser : Ŝ > 3 > Ŝ,+ > + > Ŝ, > 0 Ŝ,z ± > ± ± >
On calcule : Ŝ z > > ˆ S > 3 + 3 + > > donc : > J, M > Ensuite, on crée J, M 0 > par action de Ŝ+ : J, M 0 > Ŝ + J ; M > Ŝ,+ + Ŝ,+ > + > + + > et on crée J, M > par action à nouveau de Ŝ+ : J, M > Ŝ + J ; M 0 > Ŝ,+ + Ŝ,+ + > + + > + + > + + + > + + > On a donc obtenu trois vecteurs J, M, 0, + > de l'espace H tot qui lui est de dimension Le complémentaire orthogonal est de dimension, et engendré par le vecteur : ψ > + > + > on calcule de même : Ŝ ψ > 0, Ŝ z ψ > 0 donc ψ > J 0, M 0 > En résumé, voici la décomposition de l'espace H tot en vecteurs J, M > orthonormés : J ; M + > + + > Triplet : J ; M 0 > + > + + > J ; M > > Singlet : J 0; M 0 > + > + > Montrant que l'espace H tot D / D / se décompose en somme deux représentations irréductibles du groupe de rotation : D / D / D J D J0 Les dimensions de ces espaces sont : 3 + Remarquer que les valeurs de J possibles de la particule composée sont la somme J + et la diérence J 0 des deux spins individuels Les coecients devant les états ±, ± dans les expressions des états triplets et singlet ci-dessus, s'appellent coecients de Clebsch-Gordan Structure hyperne des atomes Suite de l'exercice Réf : [], chap XII-D, p7 Comme en algèbre vectorielle, il semble assez clair que le produit scalaire S S est invariant par rotation de l'ensemble En physique, on dit que c'est un opérateur scalaire Pour être
] plus précis, pour montrer l'invariance par rotation, il faut montrer [Ĥ, S 0 On a vu que S S + S + S S On déduit que Ĥ AÎ + B S S AÎ + B ˆ S ˆ S ˆ S AÎ + B ˆ S 3 I On a utilisé le fait que sur H tot, ˆ S 3 I, ˆ S 3 I car pour j / alors j j + [ 3/ Or ˆ S, S] ] 0 donc [Ĥ, S 0 Ensuite, on a S J, M J J +, on déduit que Ĥ J 0, M E 0 J 0, M, M 0 Ĥ J, M E J, M, M, 0, + avec E J A + B JJ + 3 soit : E 0 A 3 B, E A + B cad que Ĥ a deux niveaux d'énergie, E J0, E J de multiplicité respectives, 3 Par conséquent, dans son état d'énergie fondamentale, la particule composée est une particule de moment angulaire intrinsèque J 0 Dans son état excité elle a un moment angulaire intrinsèque J 3 On écrit E hν et λ c ν 7 B, donc cm Donc E π c λ 60 6 ev Or E E E 0 B E 7 ν 63770, donnant E hν 38 0 5 ev ] 5 On a vu que D / D / D 0 D Si Ĥ est un opérateur vériant [Ĥ, S 0 invariance par rotation alors d'après le Lemme de Shur, Ĥ exprimé dans la décomposition D 0 D est de la forme bloc: λî 0 Ĥ }{{} 0 µî, λ, µ R }{{} D 0 D Or on a vu que l'opérateur AÎ + B S S A + B JJ + 3 s'exprime dans cette même décomposition par E0 A 3 B 0 0 E A + B Il sut donc de prendre A, B tels que A 3 B λ et µ A + B Plus généralement, pour le couplage D j D j j+j j j j D j, un opérateur invariant s'exprime comme λ j Î sur chaque espace D j de la décomposition Il y a donc N j + j j j paramètres indépendant λ j Comme l'opérateur de Casimir S est j j + Î sur 3
un espace D j et distingue donc les espaces D j on déduit que un opérateur invariant peut s'exprimer sous la forme Ĥ µ 0Î + µ N S + µ S + + µn S Il est possible de relier les µ j j et les λ j j De façon équivalente on pourrait utiliser S S k à la place k, de S les coecients seraient diérents 3 Couplage D J D J/ Symétrie d'isospin et diusion pionnucléon On a D j D j/ D j/ D j3/, de dimensions 3 + 6 d'après dimd j j + En utilisant la table, et les correspondances p j, m, π+ j, m etc, on obtient : pπ + 3 ; 3, pπ0 /3 3 ; /3 ; pπ /3 3 ; /3 ; nπ+ /3 3 ; + /3 ; nπ 0 /3 3 ; + /3 ;, nπ 3 ; 3 3 D'après le Lemme de Shur, dans un espace de représentation irréductible, un opérateur invariant Û doit agir comme l'identité à une constante complexe près De plus il est nul entre des espaces iréductibles diérents Donc dans la décomposition D j/ D j3/ : A3/ Î Û 0 D3/ D / 0 A / Î avec A 3/, A / C on obtient : σ pπ + pπ + p, π + Û p, π+ A 3/ σ pπ nπ 0 n, π 0 Û p, π 3 A 3/ 3 A / σ pπ pπ p, π Û p, π 3 3/ + 3 A / a si A 3/ A /, alors σ pπ + pπ + A 3/, σ pπ nπ 0 σ pπ pπ A3/ b si A3/ A/, alors σ pπ + pπ + 0, σ pπ nπ 0 A/ A 3/, A/, σ pπ pπ c si A 3/ A /, alors σ pπ + pπ + A3/, σ pπ nπ 0 0, σ pπ pπ A3/ 5 L'expérience donne : σ pπ + pπ + σ pπ nπ 0 σ pπ + pπ + σ pπ pπ 33 5 87
On est donc proche de la situation A3/ A/ 6 Durée de vie τ E 650 s L'espace de degré interne d'isospin de cette particule est D j3/, de dimension j + D'après l'écriture j 3/, m 3/ p +, π +, etc on déduit que ++ j 3/; m 3/, + j 3/; m /, 0 j 3/; m /, j 3/; m 3/ Références [] C Cohen-Tannoudji, B Diu, and F Laloe Mécanique quantique 5