Maths en jeans 2007-2008 ALIGNEMENT DE DOMINOS Problématique : Peut-on réaliser une boucle avec un jeu de dominos numérotés de 0 jusqu à n?
Hélène YAGER et Marie FABING Lycée Louis LAPICQUE ÉPINAL 2007-2008 2
Sommaire Introduction...4 1 Approche du thème...6 1.1 Dominos...6 1.2 Suite...6 1.3 Introduction aux graphes...7 1.3.1 Origine...7 1.3.2 Préambule...8 2 Graphes...9 2.1 Définitions diverses...10 2.2 Graphes hamiltoniens...12 2.3 Le théorème d Euler...13 2.3.1 Énonciation...13 2.3.2 Démonstration...13 2.4 Conclusion du théorème...15 Conclusion...16 3
Introduction Le thème que nous avons choisi d étudier étant les dominos, la question à laquelle nous nous sommes proposé de répondre est : «Est-il possible de créer une boucle avec un jeu de dominos numérotés de 0 jusqu à n? (En utilisant évidemment toutes les pièces du jeu)». Nous avons, dans un premier temps, fabriqué des dominos en papier - afin d avoir un nombre de dominos variable - pour se représenter le problème en les manipulant, en tentant de réaliser des boucles. Nous avons donc cherché à définir des propriétés sur les dominos pour pouvoir savoir si une boucle de dominos était possible pour n importe quel jeu de dominos numéroté de «0 à n». Nous avons, par exemple, trouvé qu elles étaient impossibles à réaliser pour des nombres impairs. 4
La première piste sur laquelle nous nous sommes lancés était liée au nombre de pièces de dominos. Nous avons d ailleurs trouvé une suite permettant de calculer le nombre de pièce du jeu en ne sachant que le numéro maximal inscrit sur le domino. Cette piste fut cependant infructueuse. La seconde piste nous a été apportée par notre professeur. Il s agit de la théorie des graphes, enseignée en option mathématique obligatoire de Terminale ES. C est sur ce sujet que nous avons donc principalement axé nos recherches. 5
1 Approche du thème 1.1 Dominos Dans un premier temps, nous avons aligné des dominos numérotés de 0 à 2 : 0-1 ; 0-2 ; 1-2 (en enlevant ou non les doubles : cela revient au même). Puis, nous avons essayé avec des dominos de 0 à 3, de 0 à 4, de 0 à 5, et enfin, de 0 à 6. Nous nous sommes vite aperçus que les boucles étaient impossibles à réaliser pour des nombres impairs. Nous nous sommes alors demandées s il existe un lien entre le nombre de dominos et la possibilité de réaliser des boucles. Après réflexion, nous avons essayé de traduire ce problème sous forme de suite. 1.2 Suite Définition : Une suite est une liste infinie et ordonnée de nombres réels. On note U n la suite, n étant un nombre naturel (nombre entier supérieur ou égal à 0). U n est égal au nombre de dominos présents dans le jeu et n est le plus grand chiffre qui est inscrit sur un domino de ce jeu. On trouve la relation suivante : U n = n n 1. 2 Exemple (application numérique) : U 6 = 6 6 1 2 = 6 7 2 donc U 6 = 42 2 =21. Pour un jeu de dominos numérotés de 0 à 6 soit 6, un chiffre pair on trouve un nombre impair de dominos : 21. Il faudra donc 21 dominos pour «boucler la boucle» de dominos. Problème : Pourquoi les dominos sont-ils vendus avec un chiffre maximal allant jusqu à 6? Nous nous sommes aperçues 6
que l on ne peut pas fermer la boucle avec les nombres impairs n =1, 3 ou 5 de dominos. De plus, il serait plus difficile pour les enfants de jouer avec des dominos dont la numérotation serait plus élevée ; et enfin la place manquerait tout simplement sur la pièce pour l inscription du numéro. 1.3 Introduction aux graphes 1.3.1 Origine Ce sont les sept ponts de Königsberg qui sont à l origine de la théorie des graphes. Dans la ville de Königsberg, aujourd hui Kaliningrad, en Russie, sept ponts traversent la rivière Pregelya, formant une île. Au XVIIIe siècle, s est posée la question : comment un voyageur peut-il trouver un chemin empruntant une fois et une fois seulement chacun de ces sept ponts? C est en 1735 que le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) a résolu ce problème en représentant la ville par le graphe ci contre. Il a ainsi fondé la théorie des graphes, appelée à jouer un rôle majeur au XXe siècle, mais aussi au XXIe siècle, avec l émergence de l informatique. Euler a procédé de la manière suivante : il a représenté chaque rive par un sommet et chaque pont par une arête (schéma ci-dessous). Il a ainsi pu démontrer qu on ne pouvait pas utiliser toutes les arêtes une seule fois en passant par tous les sommets ; donc que les habitants de la ville ne pouvaient pas passer une fois et une seule par chaque pont et traverser les 7 ponts. 7
Autre exemple. 1.3.2 Préambule Les graphes sont étudiés en classe de terminale ES option mathématiques. Nous voulons trouver une méthode pour représenter la boucle sans toucher à des dominos. Nous utilisons les graphes depuis tout petits sans même le savoir. Par exemple, dans le dessin de l enveloppe : 8
Un graphe peut se définir par un nombre n de sommets reliés entre eux par des arêtes. Le nombre d arêtes partant d un sommet est appelé degré de ce sommet. Les sommets peuvent être de degré pair ou de degré impair. Si nous gardons l enveloppe pour exemple, on s aperçoit qu elle a quatre sommets de degré pair et deux sommets de degré impair. Pour le même exemple : 2 Graphes L idée, pour résoudre notre problématique, est de considérer notre graphe comme un jeu entier de dominos. Nous prenons les sommets comme les nombres inscrits sur les dominos, et les arêtes comme les pièces du jeu ; voir le schéma ci-dessous. Le but de notre étude est de trouver un chemin ne passant qu une seule fois par chaque arête et réalisant ainsi notre boucle de dominos (chemin sur le graphe = boucle de dominos). 9
2.1 Définitions diverses Graphe : Représentation symbolique d un réseau. Il s agit d une abstraction de la réalité de sorte à permettre sa modélisation. Un graphe G consiste en un ensemble de sommets S et d arêtes A. Par suite : G= S, A. Sommet (ou Nœud) : Un sommet v est un élément de l'ensemble S. Arête (ou Arc) : On appelle arête un élément de l'ensemble A. Une arête est un lien entre deux sommets. Deux sommets sont dits «adjacents» lorsqu ils sont reliés entre eux par une arête. Degré (d un sommet) : Nombre d arêtes dont ce sommet est une extrémité. 10
Sous graphe : Sous-ensemble du graphe G. Chaîne : Suite d arêtes telle que chaque arête de la suite a une extrémité en commun avec l arête précédente. C'est aussi une liste ordonnée de sommets telle que chaque sommet de la liste soit adjacent au suivant. (Chemin permettant de passer d un sommet à un autre). Cycle : Une chaîne dont le sommet initial et le sommet terminal coïncident. Un graphe est dit connexe si pour toute paire de sommets distincts il existe une chaîne les reliant : Graphe complet : Graphe dont tous les sommets sont reliés entre eux par une arête : Chaîne Eulérienne : Chaîne qui contient une fois et une seule chaque arête du graphe : PQSTRSPR : 11
Si cette chaîne est un cycle, on parle de cycle eulérien : Par exemple ici, pour reprendre le problème de Königsberg, Euler, en rajoutant deux arêtes au graphes représentants les 7 ponts, a obtenu un cycle eulérien résolvant le problème qui lui était posé. 2.2 Graphes hamiltoniens Graphe hamiltonien : On dit qu'un graphe est hamiltonien s'il est possible de trouver un cycle passant une et une seule fois par tous les sommets du graphe. On dit qu'un graphe est semi-hamiltonien s'il est possible de trouver une chaîne passant une et une seule fois par tous les sommets. 12
Graphe hamiltonien. 2.3 Le théorème d Euler D après les définitions précédentes, notre problème se résume à trouver un cycle eulérien. Un théorème a attiré notre attention : le théorème d Euler. 2.3.1 Énonciation Théorème : Un graphe connexe G admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pairs (on parle de graphe eulérien). Corollaire : Un graphe connexe G admet une chaîne eulérienne si et seulement si au plus 2 de ses sommets sont impairs : ils sont alors les extrémités de la chaîne (on parle de graphe semi eulérien). 2.3.2 Démonstration Soit G un graphe connexe qui admet un cycle eulérien. Lorsqu'on arrive à un sommet par une arête, on repart par une autre. Or on sait que dans un cycle eulérien, on passe une fois et une seule par chaque arête. Donc si on a n arêtes qui arrivent sur un sommet, n arêtes en repartent. Donc on a des sommets de degré 2n (des sommets de degré pair). 13
Soit G ' un graphe connexe qui admet une chaîne eulérienne. Lorsqu'on arrive à un sommet par une arête, on repart par une autre (on néglige les extrémités). Or on sait que dans un cycle eulérien, on passe une fois et une seule par chaque arête. Donc si on a n arêtes qui arrivent sur un sommet, n arêtes en repartent. Donc là aussi des sommets de degré pair SAUF les deux extrémités qui sont, elles, de degré impair. Réciproquement, s'il n'y a pas de sommet de degré impair, alors on est dans le cas du théorème. S'il y a un seul sommet s de degré impair, on fixe une arête a qui part de ce sommet et on applique le théorème au graphe G'= S, A {a } qui n'a plus que des sommets de degré pair. On obtient donc un cycle eulérien qui part de s et qui arrive à s, on y rajoute l'arête a, ce qui donne bien une chaîne eulérienne. Si exactement deux sommets s et s' sont de degré impair, on fabrique un nouveau graphe en gardant les mêmes sommets et en rajoutant une arête entre s et s'. Ce nouveau graphe n'a donc que des sommets de degré impair, il possède donc un cycles eulérien qui part, par exemple, de s. En enlevant l'arête, cela donne une chaîne eulérienne dans le graphe de départ. Propriété de récurrence : P n = «un graphe connexe avec n arêtes et tous les sommets de degré pair admet un cycle eulérien». Initialisation : Pour n =2 et pour n =3, la propriété est vraie. 14
Dans les 4 exemples suivants, on remarque que la propriété est vraie, car, lorsqu un graphe a tous ses sommets de degré pairs, il admet un cycle eulérien, tandis que s'il existe un sommet de degré impair, alors il n admet pas de cycle eulérien. Soit C un cycle dans G. On considère le graphe G '= S, A C donné par les sommets de G et les arêtes de G qui ne sont pas dans C. Hérédité : On suppose que P n est vraie pour tous les k appartenant à {4,2,3... n }. On veut démontrer que P n 1 est vraie. Soit G= S, A un graphe connexe avec n 1 arêtes et tous les sommets de degré pair. Soit C un cycle dans G, alors C est inclus dans A ( A= {a 1, a 2,...a n 1 } et par exemple C={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 } ). On considère le graphe G '= S,C = S, A C. Exemple : Graphe G, 13 arêtes Graphe G Deux possibilités : Soit C= A et c est gagné; soit C est différent de A, C est inclus dans A. On considère alors le graphe G '= S, A C. Il n est plus connexe. 15
2.4 Conclusion du théorème Ainsi, si l on enlève une ou plusieurs composantes connexes au cycle initial, le graphe obtenu sera toujours eulérien. De même, si l on retire du graphe initial un cycle eulérien qu il contient, on obtient au final plusieurs composantes connexes. Si on reprend l exemple des graphes G et G ', on peut rapidement s apercevoir que la propriété est vraie : si l on retire à G un cycle eulérien «principal» P qui le compose, on obtient le graphe G ' ou x composantes connexes de G dans chacune desquelles il existe un cycle eulérien par hypothèse de récurrence. G n est donc, somme toute, que le rassemblement de plusieurs petits cycles eulériens, formant un cycle eulérien global. Conclusion En utilisant le théorème d Euler pour notre problème, on s aperçoit que cela ne marche que pour n pair. Le cycle eulérien représente notre jeu de dominos. On peut donc en conclure que l'on peut former une boucle si notre jeu est numéroté de 0 jusqu à n, n étant un entier naturel pair. Pour pouvoir réaliser la boucle, il suffirait de modéliser le jeu de dominos sous forme d un cycle eulérien (degrés pairs). Ainsi, on pourrait trouver notre boucle en traçant notre chemin sur le graphe. 16
THE END 17