PHYSQ 131: Moment d inertie 1 MOMENT D INERTIE 1 Introduction Dans cette expérience, vous effectuerez une linéarisation graphique pour (a) déterminer le moment d inertie, I, d une roue de bicyclette, (b) calculer le moment de force dû au frottement, et (c) estimer la formule qui donne le moment d inertie de la roue. Répondez aux questions 1 et 2 avant la séance de laboratoire. Insérez les réponses dans la section Analyse des résultats de votre rapport. Nous ne demandons pas de calcul d erreur. 2 Théorie Dans la deuxième loi de Newton, F = ma, (1) la masse m est une mesure de l inertie de l objet considéré, c.-à-d. sa tendance à s opposer à un changement de mouvement. Le moment d inertie, I, est l analogue rotationnel de la masse; I mesure l inertie de rotation de l objet autour d un axe donné. Autrement dit, le moment d inertie mesure la difficulté à modifier le mouvement de rotation d un objet. La version rotationnelle de la loi de Newton se lit τ = Iα, (2) où τ est le moment de force (en anglais, torque), analogue à la force, et α est l accélération angulaire de la roue. Nous appliquerons les équations (1) et (2) au système de la Figure 1, ci-dessous. Ce système consiste en une roue dont le moyeu est enroulé d une ficelle attachée à une masse suspendue. On néglige le frottement et le moment d inertie de la poulie, mais pas ceux de la roue. Le poids de la masse suspendue exerce, via la ficelle, un moment de force sur le moyeu de la roue. L accélération angulaire de la roue est reliée à l accélération de la masse suspendue, et est déterminée par ce moment de force et le moment d inertie de la roue. Liste de symboles masse suspendue: m rayon externe du moyeu (en anglais, hub): r rayon externe de la roue: R masse de la roue: M
PHYSQ 131: Moment d inertie 2 tension dans la ficelle: T accélération de la masse vers le bas: a accélération angulaire de la roue: α moment d inertie de la roue: I. Figure 1. Montage expérimental pour l analyse du moment d inertie d une roue Vous pouvez vérifier que, pour la masse suspendue à la ficelle, l équation (1) prend la forme mg T = ma. (3) Dans l équation (2), pour la roue, nous voyons que le moment de force est égal à τ = τt τ f = rt τ f, (4) où τ f est le moment de force dû à la friction exercée sur le moyeu. En isolant T dans l équation (3) et en remplaçant dans les équations (4) et (2), on obtient mr(g a) τ f = I a r, (5)
où nous avons utilisé la relation PHYSQ 131: Moment d inertie 3 a = αr, (6) entre l accélération a de la masse, et l accélération angulaire α de la roue. 3 Manipulations 1. Ajoutez une masse de 100 g (ou plus, selon le minimum requis pour que la roue commence à tourner) dans le support (masse 50 g) attaché à la ficelle reliée au moyeu de la roue. N oubliez pas d inclure la masse du support dans la valeur de m. 2. Avant de laisser tomber chaque masse, mesurez la distance, h, entre le sol et le dessous de la masse suspendue, au point indiqué par la flèche à la Figure 2. Entre chaque essai, remonter le support de sorte que h soit le plus grand possible. Figure 2. Point duquel il faut mesurer la distance au sol. 3. Laissez tomber la masse. Mesurez le temps nécessaire pour toucher le sol. Attention que les masses ne vous tombent pas sur les pieds! 4. Faites deux essais pour chaque masse m. Vous prendrez la moyenne. 5. Reprenez les étapes 1 à 4 en augmentant la masse de 100 g entre chaque essai pour un total de 9 ou 10 masses. Si vous préférez, vous pouvez aussi augmenter la masse de 50 g à la fois, afin d avoir plus de points sur votre graphique. (Pour les masses plus grandes, il se peut que vous deviez tenir le support de la poulie pour ne pas qu il bascule sous le poids de la masse suspendue.) 6. Inscrivez vos résultats dans les quatre premières colonnes du Tableau 1, ci-dessous:
PHYSQ 131: Moment d inertie 4 masse hauteur temps 1 temps 2 temps moyen accélération m h t 1 t 2 t 1 +t 2 2 a Tableau 1. Résultats. 7. Mesurez le rayon r du moyeu de la roue. Il s agit du rayon externe du moyeu, autour duquel la ficelle est enroulée. 8. Mesurez la masse totale, M, de la roue. 9. Mesurez le rayon externe R de la roue complète. 4 Analyse des résultats 1. Pour chacune des masses, (a) calculez la moyenne du temps de chute pour vos deux essais, et ajoutez-la à la colonne 5 du Tableau 1; (b) calculez l accélération a pour chaque masse, en utilisant la relation h = 1 2 at2, (c) et ajoutez-la à la colonne 6 du Tableau 1. 2. Inspiré par votre réponse à la Question 2, construisez le tableau ci-dessous pour chaque masse du Tableau 1. (La première colonne du Tableau 1 est semblable à la première colonne du Tableau 2.) m (du Tableau 1) mr(g a) a/r Tableau 2. Linéarisation graphique. 3. Tracez le graphique de y = mr(g a) en fonction de x = a/r, c.-à-d. la colonne 2 par rapport à la colonne 3 du Tableau 2. Vous devriez obtenir une droite. 4. Quelle est la valeur numérique de la pente de votre droite? 5. Quelle est la valeur numérique de l ordonnée à l origine de votre droite? 6. Dans l équation (5), isolez mr(g a). À quel terme de cette équation correspond la pente? Et l ordonnée à l origine?
PHYSQ 131: Moment d inertie 5 7. D après votre réponse à la Question 2 (et à l étape 6 précédente), que vaut τ f dans l équation (5)? 8. D après votre réponse à la Question 2 (et à l étape 6 précédente), que vaut I dans l équation (5)? 9. La théorie nous montre que le moment d inertie d un cerceau (rayon R, mass M) est donné par I cerceau = MR 2. Par contre, les rayons et la partie centrale de la roue apportent une contribution au moment d inertie. D autre part, le moment d inertie d une poulie cylindrique est donné par I cylindre = 1 2 MR2. Par conséquent, le moment d inertie d une poulie réelle a probablement la forme I cylindre = αmr 2, (7) où α est une constante. Comparez la valeur de I obtenue à l étape 8, ci-dessus, et léquation (7), en utilisant vos mesures aux étapes 8 et 9 des manipulations, et identifiez la valeur de la constante α. 10. Connaissant la valeur du moment de friction, τ f, et le rayon du moyeu, calculez la force de friction exercée sur la circonférence du moyeu. 11. Dans votre conclusion, énoncez clairement vos résultats pour les trois objectifs de l introduction: (a) moment d inertie de la roue de bicyclette, (b) moment de force dû au frottement, et (c) la constante α dans la formule (7) qui donne le moment d inertie de la roue. 5 Questions 1. Montrez que les équations (2), (3), (4) et (6) conduisent à l équation (5). 2. Linéarisons l équation (5) en définissant y mr(g a), x = a/r. Si on écrit l équation de cette droite sous la forme habituelle, y = mx + b, que valent la pente m (à ne pas confondre avec la masse!) et l ordonnée à l origine b? 3. Vu qu une roue est constituée d un moyeu cylindrique, d un pneu et de rayons, indiquez (sans calculs détaillés) comment vous feriez pour obtenir le moment d inertie d une roue réelle, à partir d un tableau de moments d inertie d objets de base (par exemple le Tableau 9.2 de University Physics, 11th Edition, de Young et Freedman).