Chapitre 1 Algèbre Tout au long de ce chapitre, les élèves seront appelés à mettre en œuvre les compétences suivantes : Estimer un résultat Objectifs Maîtriser les conventions d écriture Utiliser les termes usuels, les notations propres aux nombres et aux opérations Vérification à la calculatrice du résultat Maîtriser les conventions d écriture 1 Situation initiale S9-S16 S25 S25 S9-S14-S15-S16 S20-S25 Socles de competences Prérequis : les élèves ont appris à : effectuer une division par écrit (matière de primaire) ; calculer le quotient de deux naturels ou de deux décimaux ; utiliser les caractères de divisibilité pour justifier si un nombre est divisible par un autre ou s il est premier ; écrire un nombre en le décomposant sous la forme d un produit de puissances de facteurs premiers ; déterminer le PGCD et le PPCM de nombres sur base des ensembles de diviseurs ou multiples des naturels. 2 Structure du chapitre En se basant sur des situations concrètes, on étend la notion de division aux nombres entiers. La détermination du signe d un quotient est appliquée au signe d une fraction à termes entiers. La relation de division non exacte est abordée sur base du partage le plus équitable possible et elle amène ainsi l élève à encadrer la valeur du résultat d une division non exacte. Ensuite la factorisation première permet d aborder la notion de nombres premiers entre eux et de découvrir une propriété de la divisibilité. Toutes ces notions représentent un terrain propice au développement et à l utilisation des outils algébriques. On citera, la généralisation des propriétés des opérations et l écriture générale des familles de nombres. 3 Évaluation Les interrogations relatives à ce chapitre sont disponibles sur le site www.editionspelckmans.be/neomath. Après les avoir téléchargées, vous pourrez les modifier afin de les adapter à vos besoins et réalités de terrain. 22 Algèbre Chapitre 1
La division des entiers A1 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Code Memo Socle de competences officiel Déterminer le signe d un quotient. 34 S1-S8-S23 O13 L12 Utiliser les règles de calcul pour diviser un nombre 34 S1-S7-S8-S23 O13-O30 L17 entier par un autre. 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 8-11 livre d exercices p. 6-8 crayon bleu 3 Contenu de la leçon libre confessionnel Au cours de l exploration, les élèves découvrent (ou redécouvrent) les règles permettant de déterminer le signe du quotient de deux ou plusieurs entiers. C est l occasion, en raison de leurs similitudes, de rappeler les règles des signes pour la multiplication de ces mêmes entiers. Il est nécessaire de rappeler aux élèves de ne pas confondre cette règle des signes avec celle de l addition des nombres entiers. 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description Exercices miroir Entrainement Extra 1 B Déterminer le signe du 1B 2B quotient de deux nombres entiers. 2 B Déterminer le signe du 3B 4B* 5B quotient en présence de plusieurs facteurs. 3 B Diviser deux nombres entiers. 6B 7* 4 B Déterminer les quotients 8B successifs de deux entiers. 5 B* Déterminer la régularité d une série et la compléter. 9B 10* Livre d algèbre Application 4 On attirera l attention des élèves sur les conséquences d une erreur de calcul en début d exercice. Exercices 4B* et 5B Exercice de type pyramide, le résultat d une case est obtenu à partir des deux cases sur laquelle elle repose. Exercice 7* Après cet exercice on peut illustrer cette situation en l appliquant aux élèves de la classe. Exercice 8B Exercice de divisions successives, le résultat obtenu devient la base du calcul suivant. 23
A1 La division des entiers 5 Lexique Diviser deux nombres entiers : 34 Succession de calculs : vous effectuez toujours le calcul suivant avec le résultat de l énoncé précédent. 6 Compléments d informations Les contextes de rédaction des problèmes donnent l occasion au professeur d informer plus en détails les élèves et ainsi de susciter leur curiosité. À cet effet, voici quelques détails que vous pourriez transmettre. Fosse des Mariannes Les îles Mariannes sont formées par une série d îles volcaniques située au sud-est de Japon. Découverte par Magellan, elles portèrent d abord le nom «d îles aux voleurs», elles furent ensuite rebaptisées «îles Mariannes» en référence à Marie-Anne d Autriche. Les plus connues sont Guam, Saipan et Tinian. C est de Tinian que décolèrent les avions transportant les bombes atomiques larguées sur les villes d Hiroshima et de Nagasaki en 1945. À proximité des îles se trouve la fosse des Mariannes. Elle se situe à la rencontre des plaques tectoniques pacifique et philippines. Le point reconnu le plus profond de notre Terre (10 911 m) s y trouve. Il a été appelé challenger deep en hommage au nom du navire de la Royal Navy l ayant mesuré. En 1960, le bathyscaphe «Le Trieste» parvient avec deux hommes à son bord à explorer ce fond marin. Malgré une pression 1000 fois supérieure à celle au niveau de la mer, ils y découvrent des organismes vivants dont des poissons. Jupiter Jupiter est la 5 e planète du système solaire et la plus massive. Parmi ses satellites on trouve la lune Europe sur laquelle on a décelé la présence d océans liquides constitués d eau salée. Il s agit de l endroit le plus probable de vie extra-terrestre dans notre système solaire. Cette éventualité a été utilisée par Arthur C. Clarke dans sa série de romans initiée par 2001, l odyssée de l espace. A.C. Clarke est aussi l inventeur du concept du satellite géostationnaire autour de la Terre. 24 Algèbre Chapitre 1
Le signe d une fraction A2 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Code Memo Socle de competences officiel libre confessionnel Déterminer le signe d une fraction. 3 S3 O13 L21 Respecter les conventions d écriture liées aux 3 S20 O8-O9 L30-L32 fractions. 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 12-13 livre d exercices p. 8-9 3 Contenu de la leçon L écriture fractionnaire a déjà été abordée en primaire et en 1 re. Il est important d établir le lien entre l écriture «horizontale» d un quotient et sa représentation fractionnaire «verticale». Le passage d une écriture à l autre équivalente entraine le respect de règles mathématiques. 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description 6 B Déterminer le signe d une fraction donnée. 7 B Comparer des fractions et déterminer si elles sont égales. Exercices miroir Entrainement Extra 11B 12* 13B 14* 5 Lexique Convention d écriture d une fraction : 3 25
A3 La division euclidienne 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Code Memo Socle de competences Écrire la relation d Euclide. 43 S1-S8-S12- S17-S20 Reconnaître une relation d Euclide correctement écrite. Compléter les éléments manquants d une division euclidienne. 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 14-15 livre d exercices p. 9-12 3 Contenu de la leçon officiel O4-O5-O27 43 S8-S17 O28 L4 43 S8S17 O4-O5 L4-L10 libre confessionnel L4-L10 A l heure des paiements électroniques, il n est plus nécessaire de connaître à l avance le retour de monnaie. Il est encore utile de pouvoir déterminer le nombre d unités d une marchandise que l on peut se procurer en fonction d une somme d argent donnée. La division euclidienne introduit la notion de partage avec reste. Cette approche pratique des divisions avec reste permet d entrevoir la notion de valeur par excès ou défaut. Quelle que soit orientation future des élèves, la division euclidienne sera utile dans des filières qualifiantes conduisant à des métiers comme la menuiserie, la plomberie (entre autres). Dans l enseignement de transition, on la retrouve lors de l étude de la loi du reste de la division d un polynôme par un autre, mais aussi lors du calcul de limites ou et la détermination d asymptotes. Il est par conséquent important de fixer cette relation fondamentale et en particulier la condition du reste inférieur au diviseur. 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description Exercices miroir Entrainement Extra 8 B Etablir la relation d Euclide pour une division donnée. 9 B Déterminer si une relation d Euclide est vraie. 10 B Compléter une division euclidienne dont certains éléments sont manquants. 15B 16B 17**-18** 19B 20* 21B 22B-23B-24B* 25B-26*-27*- 28**-29**-30***- 31***-32*** Livre d algèbre Application 9 Pour déterminer si la relation est correcte, il faut déterminer en premier lieu le diviseur de cette relation. Il faut insister, auprès des élèves, pour qu ils utilisent la condition du reste strictement inférieur au diviseur. Application 10b Le travail des élèves doit se faire en premier sur la condition du reste strictement inférieur au diviseur et établir ensuite toutes les possibilités de reste. Pour organiser leur travail, il est judicieux d utiliser un tableau. Si le quotient et/ou le reste doivent répondre à une condition, les élèves devront valider leurs choix. Diviseur Quotient Reste Dividende 26 Algèbre Chapitre 1
La division euclidienne A3 Exercice 21B Ici encore, il faut centrer la réflexion sur la condition du reste inférieur au diviseur. Exercices 23B-24B*-26*-28**-29** Ces exercices donnent plusieurs dividendes possibles car plusieurs conditions sont parfois à respecter. L utilisation de tableaux organisera le travail de réflexion des élèves. Exercice30***-31*** D autres méthodes de résolution sont possibles pour ces exercices. L utilisation de la division euclidienne permet un gain de temps appréciable. Il est bon d en faire prendre conscience aux élèves qui peuvent ainsi se rendre compte de l utilité du cours de mathématique. 5 Lexique La division euclidienne : 43 6 Variante Lorsque l on cherche à établir la relation euclidienne, la plupart d entre nous utilisent la division par écrit. On peut aussi décomposer le dividende en une somme comprenant un maximum de multiples du diviseur. On applique ainsi, à rebours, le critère de division suivant : si un nombre en divise deux autres alors il divise aussi leur somme. Lorsque le dividende est ainsi décomposé, on procède à une mise en évidence du diviseur et la relation s écrit presque par elle-même. Le choix pertinent des multiples du diviseur permet une grande facilité puisque l élève choisi avec quels nombres il travaille plutôt que de subir un calcul imposé. Voici un choix de multiples du diviseur disposés d une manière pratique : 1 Div 2 Div 5 div 10 div 20 div Pour établir le reste, on procède par soustractions successives comme repris dans l exemple. Établir la division euclidienne de 225 : 8 1 choix des multiples 2 Décomposition 8 16 40 80 160 225 En partant du dividende, on 160 soustrait le plus gros des multiples du diviseur choisis et ainsi de suite. = 65 40 La décomposition s arrête lorsque = 25 le résultat de la soustraction est inférieur au diviseur. 16 = 9 8 = 1 27
A3 La division euclidienne On peut donc écrire le nombre sous la forme d une somme : 225 = 160 + 40 + 16 + 8 + 1 225 = 8 (20 + 5 + 2 + 1) + 1 On pratique une mise évidence partielle sur les termes supérieurs au reste. 225 = 8 28 + 1 Le quotient se calcule en additionnant les termes de la parenthèse. On obtient ainsi notre relation de division euclidienne. Cette technique «contamine» les élèves pour l apprentissage futur d une technique de factorisation : la méthode par groupement. 28 Algèbre Chapitre 1
Encadrer une fraction A4 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Code Memo Socle de competences officiel Encadrer un nombre avec une approximation 58 S3 O12 L5-L9 donnée. Déterminer l approximation d un encadrement. 58 S25 O12 L9 Déterminer la valeur approchée par excès ou par défaut d un nombre. 58 S25-S27 O11-O12 L5-L8 Arrondir judicieusement un résultat dans un contexte donné. 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 16-19 livre d exercices p. 12-15 3 Contenu de la leçon 57 S9 O6-O7-O9- O10-O22 libre confessionnel L9-L31 Au fondamental les compétences socles «Estimer, avant d opérer, l ordre de grandeur d un résultat» et «vérifier le résultat d une opération» ont été certifiées. Trop souvent, cette vérification est zappée lors de la résolution de problème. Combien de fois n avons-nous pas lu des réponses telles que«un cycliste ou un piéton se déplaçant à 650 km/h» sans que l élève ne s inquiète de l incohérence de sa réponse dans le contexte de l exercice. Il faut entretenir l usage des procédés d estimation dans un cadre concret d utilisation. Tous les jours nous utilisons fréquemment des valeurs approchées et des arrondis, les expressions telles que «il reste environ, il me faut au minimum, le nombre de était approximativement de, sont courantes. Il est important que nos élèves intègrent ces notions et les transfèrent dans le cadre des autres cours (les sciences notamment). 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description 11 B Encadrer des nombres ou des quotients à l unité près. 12 B Encadrer un nombre selon une approximation demandée. 13 B Déterminer la valeur approchée par excès, par défaut et l approximation d un encadrement. 14 B Écrire en encadrement d un nombre en respectant une approximation demandée. 15 B Déterminer l abscisse d un point en connaissant des encadrements successifs selon des approximations de plus en plus petite. 16 B Utiliser de façon judicieuse la notion d arrondi lors de la résolution d un problème. Exercices miroir Entrainement Extra 35B 36B 33B-34B 37B 38B 39** 40B 41B-42B 43* 49*** 44B-45B-46B 47B-48** 50B-51B-52B- 53B 29
A4 Encadrer une fraction Livre d algèbre Application 15 Dans cet exercice les élèves doivent analyser des représentations successives de graduations permettant d affiner la précision d une mesure. Ils travaillent ainsi des subdivisions successives d intervalles. Exercice 46B Les élèves doivent comparer et classer des fractions en faisant appel à leurs valeurs approchées. Exercice 48** Cet exercice peut comporter un nombre de réponses infinies car on détermine un encadrement du nombre. Exercice 49*** Exercice miroir de l application 15 mais son interprétation demande une attention particulière de la part de l élève. Exercices 50B-51B-52B-53B Ces exercices sont des mises en situations de problèmes ne présentant pas un degré élevé de difficulté. 5 Lexique Arrondir : 57 Encadrer un nombre : 58 6 Variante Pour alléger l écriture, on peut utiliser les abréviations suivantes : V.a.d. pour valeur approchée par défaut V.a.e. pour valeur approchée par excès. On peut aussi établir les relations suivantes liant les éléments d un encadrement : approximation = V.a.e. - V.a.d. V.a.e. = V.a.d. + approximation V.a.d. = V.a.e. - approximation 30 Algèbre Chapitre 1
Propriétés de la division des entiers A5 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Code Memo Socle de competences officiel Illustrer la non-commutativité de la 69 S20-S22 O27 L34 division dans Z. Illustrer la non-associativité de la division dans Z. 69 S20-S22 O27 L34 Déterminer dans quel cas un quotient vaut 0. 4 S22 O13-O27 L34 Déterminer dans quel cas un quotient vaut 1. 4 S22 O13-O27 L34 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 20-21 livre d exercices p. 15-16 3 Contenu de la leçon libre confessionnel Il n est pas habituel d établir des non propriétés. Cependant, cela permet de fixer dans l esprit des élèves les démarches à éviter car elles entrainent des erreurs de calcul. Dans cette leçon, les rôles du«zéro» et du«un» dans les opérations sont abordés afin de pouvoir simplifier certaines parties du calcul. Déterminer quand un quotient vaut 0 ou 1 est une notion qui semble anodine à ce stade mais elle sera déterminante lors de la résolution d équations fractionnaires ou encore lors de l étude du second degré et de l utilisation de la règle du produit nul. Si un quotient vaut l unité, cela signifie que son numérateur et son dénominateur sont égaux. Cette notion correctement utilisée prendra le nom «d artifice de calcul», permettant notamment de rendre un dénominateur rationnel en 3 e année ou d introduire dans un produit un élément neutre. Cette leçon n est donc pas sans intérêt. 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description Exercices miroir Entrainement Extra 17 B Déterminer si une suite de calculs est correcte ou non. 18 B Déterminer la valeur d une variable pour obtenir un quotient égal à 1 ou 0. 54B 55B 56B 57B 58* Livre d algèbre Application 17 Les élèves doivent analyser un raisonnement et en découvrir les erreurs. Application 18 Pour déterminer les valeurs des variables les élèves doivent mettre en œuvre la technique de résolution d équations. Exercices 57B et 58* La présence de deux variables peut sembler déroutante. Les réponses doivent être données en exprimant une variable comme étant un multiple de l autre. 5 Lexique Propriétés de la division dans Z : 69 Rôles de 1 et 0 dans les opérations : 42 31
A6 Factorisation PGCD PPCM 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Code Memo Socle de competences officiel libre confessionnel Écrire la factorisation première d un nombre 17 S5-S18 Rappel 1 e Rappel 1 e naturel. Calculer le PGCD de deux nombres naturels. 18 S12 O2 L6-L7 Calculer le PPCM de deux nombres naturels. 18 S12 O2 L6-L7 Reconnaître si un problème se résout à l aide du PGCD ou du PPCM de nombres naturels. S1 O2-O3 L11 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 22-25 livre d exercices p. 16-22 3 Contenu de la leçon On réactive la décomposition d un nombre naturel en un produit de facteurs premiers abordée en 1 re. Ensuite, en déterminant le PGCD ou le PPCM de deux nombres à partir de la définition en extension des ensembles des diviseurs et des multiples de ces nombres, on construit la définition des PGCD et PPCM en comparant les décompositions des nombres avec celles du PGCD ou du PPCM. Deux propriétés relatives aux PGCD et PPCM de nombres particuliers (premiers entre eux et multiples l un de l autre) sont établies. Les élèves seront amenés à définir la notion de nombre premiers entre eux en utilisant la notion de PGCD. Si l approche de cette leçon se fait essentiellement par le biais des nombres, elle débouche sur la résolution de nombreux problèmes relatifs à des situations concrètes. On mettra en avant la rapidité des méthodes de calcul en comparaison avec celle qui consiste à établir les listes de diviseurs ou de multiples. Certains élèves éprouvent des difficultés dans le choix de résolution. Doit-on calculer le PGCD ou le PPCM? Il faut d abord estimer quelle sera la «taille» de la réponse, sera-t-elle plus grande ou plus petite que les données. Si celle-ci est plus petite ou égale au plus petit des nombres, le problème se résout par calcul du PGCD. Si celle-ci est plus grande ou égale au plus grand des nombres, le problème se résout par le calcul du PPCM. La compétence «estimer avant d opérer» est donc une ressource non négligeable. 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description Exercices miroir Entrainement Extra 19 B Après avoir établi les décompositions en facteurs premiers de deux nombres, établir leur PGCD et PPCM. 20 B A partir de décompositions données, établir le PPCM de deux nombres et déduire le PGCD. 21 B Etablir si une proposition est vraie ou fausse et justifier. 22 B Déterminer le PGCD et PPCM de deux nombres à l aide des propriétés. 23 B Résoudre un problème en faisant appel au PGCD ou au PPCM 59B 60B 61B 62B 63B 64B 65B 66*-67* 68B-69B 70B 71B-72B-73B* 74B-75B-76B*- 77B* 78B-79B-80*- 81*-82**-83***- 84***-85*** 32 Algèbre Chapitre 1
Factorisation PGCD PPCM A6 Livre d algèbre Application 20 Dans cette application, il n est pas nécessaire de calculer la valeur du produit. Application 21 L élève doit, si possible, faire appel aux propriétés des PGCD et PPCM de nombres particuliers. Application 23 Comme pour tous les problèmes, il faut demander aux élèves d estimer la réponse finale. De cette estimation dépendra l emploi du PGCD ou du PPCM des nombres. Exercices 64B Dans cet exercice les élèves doivent rendre irréductibles des fractions en utilisant le PGCD. Exercices 71B et 72B Dans un premier temps, les élèves ne doivent pas résoudre les problèmes. Ils doivent déterminer qui du PGCD ou du PPCM sera la clé de la résolution. Si, au terme des exercices de résolution, un élève rencontre encore des difficultés, on peut envisager de lui faire résoudre ceux-ci. Exercices 82** En faisant remplir le tableau, on propose une aide à la résolution. 5 Lexique Factorisation première d un nombre naturel : 17 PGCD et PPCM de deux nombres naturels : 18 6 Variante En plus de la méthode classique de recherche du PGCD, on peut initier la méthode suivante sans en faire une incontournable. En utilisant les facteurs premiers dans l ordre, on divise simultanément et tant que faire se peut les 2 nombres jusqu à ce qu ils n aient plus de diviseur commun (les quotients sont premiers entre eux). En utilisant les facteurs premiers dans l ordre, on divise simultanément et tant que faire se peut les 2 nombres jusqu à ce qu ils n aient plus de diviseur commun (ils sont premiers entre eux). En multipliant les facteurs premiers utilisés, on obtient le PGCD. 60 90 2 30 45 3 10 15 5 2 3 30 Ce tableau peut servir pour établir le PGCD de plus de deux nombres, celui-ci étant toujours le produit des facteurs premiers ayant divisé de manière simultanée les nombres. 33
A6 Factorisation PGCD PPCM Pour la détermination du PPCM de deux nombres, on procède dans un premier temps comme pour le PGCD. 60 90 2 30 45 3 10 15 5 2 3 30 Celui-ci est obtenu en multipliant les nombres de la dernière ligne. 2 x 3 x 30 = 180 En utilisant les facteurs premiers dans l ordre croissant, on divise les nombres jusqu à obtenir 1 dans chaque potence. À chaque étape, les nombres non divisés sont réécrits. Le PPCM est le produit des nombres premiers utilisés. Exemple : 60 126 105 2 30 63 105 2 15 63 105 3 5 21 35 3 PPCM (60, 126, 105)= 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7 = 1260 5 7 35 5 1 7 7 7 1 1 1 Cette recherche de PPCM est sans doute destinée à des élèves plus performants mais peut être envisagée avec le plus grand nombre. 34 Algèbre Chapitre 1
Propriété de la divisibilité A7 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Déterminer si un nombre est divisible par le produit de deux de ses diviseurs. Code Memo Socle de competences officiel 10-15 S4-S12 O3-O27-O28 L2 libre confessionnel 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 26-27 livre d exercices p. 22-29 3 Contenu de la leçon Si un nombre est divisible par 2 et par 3 alors il est aussi divisible par 6. Cette affirmation revient régulièrement dans la bouche de nos élèves. Mais peuvent-ils étendre le concept à toutes les paires de nombres? La réponse est non, bien entendu. En parcourant cette leçon, les élèves détermineront les paires de nombres pour lesquelles cette règle reste valable. Ils manipuleront ici la notion de nombre premiers entres eux. Pour résoudre les exercices, ils devront faire appel aux décompositions en produits de facteurs premiers. La manipulation de cette propriété permet d exercer les caractères de divisibilité, la décomposition première des nombres et d acquérir une rapidité de résolution de problèmes. 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description Exercices miroir Entrainement Extra 24 B Déterminer si un nombre donné est divisible par le produit de deux autres. 25 B Justifier de la divisibilité d un nombre. 26 B Déterminer les diviseurs d un nombre connaissant certains de ceux-ci. 27 B Justifier de la divisibilité d un nombre premier par le produit de ses diviseurs. 28 B Justifier de la divisibilité d un nombre connaissant deux de ses diviseurs. 86B 87B* 88*-89* 90B 91B* 92B* 93**-94** 95** 96** 5 Lexique Caractère de divisibilité : 11 Nombres premiers entre eux : 14 35
A8 Algèbre et divisibilité 1 Objectifs de la leçon Objectifs de la lecon Code Memo Socle de competences officiel Reconnaître des nombres naturels consécutifs. 18 S1-S6 O27 L3 Reconnaître des multiples d un nombre 10-18 S1-S6-S7-S10 O22-O27-O28 L1-L3 consécutifs. Reconnaître une famille de nombres. 1-9-10 S1-S6-S7-S20 O28 L3 Déterminer à quelle famille un nombre appartient. 1-10 S6-S7-S20- S21-S22 O28-O29 L3 2 Matériel didactique livre d algèbre p. 26-27 livre d exercices p. 22-29 3 Contenu de la leçon libre confessionnel Cette leçon a pour but de formaliser l écriture de nos élèves. Si elle ne s appuie pas sur des contextes concrets, elle se base néanmoins sur la réalité du langage et des expressions. Le chemin de l abstraction est long. En voici une des premières étapes. En se basant sur des suites de nombres les élèves seront amenés à traduire le n ième élément sous la forme d une expression algébrique. Ces éléments seront rassemblés pour former un ensemble de nombres organisés (familles de nombres) dont tous les éléments présentent une caractéristique commune. Deux grandes familles de nombres sont dégagées des activités de cette leçon. Les multiples d un nombre (an) et les multiples d un nombre augmenté d une constante (ax+b). Ces deux formes d écriture se retrouveront plus tard lors des problèmes de dénombrement ainsi que dans les fonctions du premier degré en 3 e année. 4 Exercices Applications E-B-B* *** Description Exercices miroir Entrainement Extra 29 B Déterminer le nombre consécutif d un autre dans une famille déterminée. 30 B Déterminer l écriture générale d une famille de nombres. 31 B* Reconnaître l appartenance à une famille de nombres déterminée. 32 * Écrire n e nombre d une famille. 33 B Reconnaître l appartenance à une famille de nombres déterminée. 97B 98B-99B-100B- 101B* 104B 105B 106* 107B* 108* 102B-103** 109B 110B* 111B-112** Livre d algèbre Application 31 Les élèves sont libres du choix des nombres. Le correctif propose une solution que les élèves doivent analyser pour vérifier la concordance de leur travail. La justification algébrique est commune. 36 Algèbre Chapitre 1
Algèbre et divisibilité A8 Application 33 Les élèves doivent additionner différents éléments pour obtenir l expression de la famille de nombres. Après cela, ils doivent la caractériser. Exercice 102B Les élèves doivent former des paires de multiples consécutifs. Exercice 103** En analysant le tableau, les élèves doivent déterminer une nouvelle famille de nombres. Ils utiliseront la réduction de monômes semblables (3n + 5n = 8n). Exercices 104B-105B Les élèves doivent analyser la solution proposée et vérifier l adéquation de leurs propres solutions. Exercices 109B-110B*-111B-112** Pour justifier leurs réponses, les élèves doivent faire appel à la réduction de monômes semblables. 5 Lexique Nombres naturels consécutifs : 1 ou 18 Multiples d un nombre consécutifs : 18 Famille de nombres : 9 37