MVA003 Combinatoire, probabilités ordre, calcul booléen séance n 7 séance n 7 1
MVA003 Chapitre 8 Probabilités combinatoires 1. Épreuves et événements 2. Fréquences et probabilités 3. Lois de probabilité 4. Probabilité conditionnelle et indépendance 5. Essais répétés Plan ch8-1 2
Le calcul des probabilités étudie les phénomènes qui dépendent du hasard ; on les appelle les phénomènes aléatoires. Dans un phénomène aléatoire, l'ensemble des résultats théoriquement possibles s'appelle l' ensemble des épreuves ; on le note. Un élément de (donc un résultat théoriquement possible) s'appelle une épreuve ou une issue. Exemple le lancer de 2 dés, un blanc et un noir. Exemple le lancer de 2 dés indiscernables. issues 3
Avec une issue, il arrive qu'un certain événement se produise. Exemple Avec on a sorti un double. L'ensemble des doubles est : D = {,,,,, } Cette liste remplace la définition en compréhension : sortir deux fois le même numéro, par une définition en extension : on donne la liste des doubles. D'une façon générale, on appelle événement toute partie de. Exemple A = {,,,,,, } Avec cette définition, et sont des événements! On dit que l'issue x réalise l'événement E quand. Exemple langage courant : est un double. langage mathématique : langage des probabilités : l'issue réalise l'événement D. événements 4
Règles de représentation langage mathématique langage des probabilités A est un événement l'issue x réalise l'événement A A est un singleton A est un événement élémentaire l'événement A entraîne l'événement B A c est la non réalisation de A A et B est la conjonction de A et B A et B sont incompatibles A ou B est la disjonction de A et B règles de représentation 5
MVA003 Chapitre 8 Probabilités combinatoires 1. Épreuves et événements 2. Fréquences et probabilités 3. Lois de probabilité 4. Probabilité conditionnelle et indépendance 5. Essais répétés Plan ch8-2 6
On lance une pièce. Elle tombe sur le côté Pile, ou sur le côté Face : Pile Face Pourquoi dit-on : " J'ai 1 chance sur 2 de tirer Face "? L'idée intuitive est que si on lance un très grand nombre de fois la pièce, on trouvera à peu près autant de fois Pile que Face - si on l'a lancée 1 million de fois, est-ce un très grand nombre fois? - si on trouve 499703 fois Pile et 500297 fois Face, est-ce à peu près la même chose? Et si la pièce est truquée? proba 1/2 7
L'idée va être la suivante : Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire (je prends une vraie pièce et je la lance vraiment ), une probabilité est attachée à chaque événement. p(a), la probabilité de l'événement A est une grandeur physique ( comme la longueur d'une tige, le poids d'une personne, la vitesse d'un mobile ), mesurée par un nombre réel. On a une valeur approchée de l'événement A. p(a) avec f(a) la fréquence de Pour obtenir f(a), on reproduit le phénomène et on note a le nombre de fois où l'événement réalisé. Alors f(a) = a/n. Quand N tend vers l'infini, f(a) tend vers p(a). N fois A est Il faut remarquer que p(a) ne dépend que de A et du dispositif expérimental alors que f(a) dépend du hasard Si on refait l'expérience, on ne retrouve pas exactement la même valeur proba-2 8
Propriétés Puisque est toujours égale à 1, sa limite est égale à 1. Donc : De même : Puisque on a toujours, le passage à la limite donne : Si A et B sont des événements incompatibles, on a toujours : parce que. proba-3 9
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Loi de probabilité Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire, une probabilité est attachée à chaque événement. On a donc une application qui a les propriétés suivantes : et quand D'une façon générale, quand on a un ensemble non vide appelle loi de probabilité sur E toute application telle que : et quand E, on Exemple loi 11
Propriétés des loi de probabilité Si sont des événements incompatibles 2 à 2, alors : loi-2 12
Comment fabriquer des loi de probabilité? Pour fabriquer une loi de probabilité on doit associer un nombre compris entre 0 et 1 à chaque partie de façon que ces nombres vérifient des relations. Comment y arriver? Si la partie A a pour éléments, alors A est la réunion des singletons et ces singletons sont 2 à 2 disjoints, donc : Pour simplifier, on écrit au lieu de et on appelle ce nombre la probabilité de l'élément. Théorème Pour définir une loi de probabilité sur un ensemble fini non vide telle que : il suffit de se donner une application et de poser : loi-3 13
Exemple Pour définir une loi de probabilité sur nombre p(f) = a avec 0 a 1 : E, il suffit de se donner le Équiprobabilité On dit qu'une loi de probabilité est uniforme ou encore, qu'il y a équiprobabilité quand p(e) est le même pour toutes les issues. Dans ce cas : et loi-4 14
Exemple Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/36 Équiprobabilité => la probabilité d'un tirage est 1/21 ce n'est pas pareil! - dans le premier cas, la probabilité de tirer un 3 et un 2 est 2/36=1/18, dans le deuxième c'est 1/21. - dans le premier cas, la probabilité de tirer un double 6 est 1/36, dans le deuxième c'est 1/21. loi-5 15
MVA003 Chapitre 9 Probabilités combinatoires 1. Épreuves et événements 2. Fréquences et probabilités 3. Lois de probabilité 4. Probabilité conditionnelle et indépendance 5. Essais répétés Plan ch9-4 16
Quand on reproduit expérimentalement un phénomène aléatoire, il arrive qu'on ait des informations qui modifient notre pronostic. Exemple On tire au hasard de façon uniforme une carte dans un jeu de 52 cartes. La probabilité de tirer cœur est 1/4. Si l'on me dit que la carte tirée est noire, je sais que je n'ai aucune chance d'avoir tiré un cœur. Si l'on me dit qu'elle est rouge, je sais que c'est cœur ou carreau et je " devine " que j'ai une chance sur 2 que ce soit un cœur Probabilité conditionnelle On a un phénomène aléatoire dont l'espace des épreuves est. On a un loi de probabilité p et deux événements A et B. On tire une issue. On voudrait définir p(b/a) la probabilité que l'événement B soit réalisé sachant que A est réalisé. On dit que p(b/ A) est une probabilité conditionnelle. Le symbole p(b/ A) s'appelle la probabilité de B sachant A. condit-1 17
On va définir p(b/ A) comme la limite de réalisation de B quand A est réalisé. f(b/ A) la fréquence de On reproduit expérimentalement N fois le phénomène aléatoire. On compte a, le nombre de fois où l'événement A a été réalisé. On dispose donc de a expériences où l'événement A est réalisé. Si, parmi elles, on en compte c où B était réalisé, c/a = f(b/ A) est la fréquence de réalisation de B quand A est réalisé, c'est une fréquence relative. Mais il se trouve que c est aussi le nombre de réalisation simultanées de A et B parmi les N expériences, donc : Puisqu'on veut que p(b/ A) soit la limite de f(b/ A), on décide que : condit-2 18
Exemple On tire au hasard de façon uniforme une carte dans un jeu de 52 cartes. La probabilité d'un événement A est p(a)= A /52. p(cœur )= 13/52 = 1/4 p(cœur et noire)= 0/52 = 0 p(cœur et rouge)= 13/52 = 1/4 p(rouge ) = p(noire )= 26/52 = 1/2 p(cœur/noire )= 0 p(cœur/rouge ) = Remarque : Quand p(a)= 0 on a aussi p(a et B)= 0 donc p(b/a) n'est pas défini quand A est un événement improbable. Indépendance A et B sont deux événements. Si p(b/ A) = p(b) l'information apportée par la réalisation de modifie pas la probabilité de B et réciproquement. Cette condition donne immédiatement : qui a l'avantage de faire jouer un rôle symétrique à A et B. Définition On dit que A et B sont indépendants quand: A ne condit-3 19
Exemple On tire de façon uniforme une carte dans un jeu de 52 cartes. L'événement figure est constitué des valets, des dames, des rois. p(cœur ) = 13/52 p(figure ) = 12/52 (13/52) x (12/52) = 3/52 p(cœur et figure) = 3/52 Tirer une figure ou tirer un cœur sont des événement indépendants pour la loi uniforme. Remarques : 1) Un événement improbable est indépendant de tous les autres événements. 2) La propriété d'indépendance dépend de la loi de probabilité. Deux événements peuvent être indépendants pour une loi et pas pour une autre. indépendance 20