Outils Maths Discrètes CM n o 1 Damien Bouloc Bureau 106 Bâtiment 1R2 05.61.55.82.32 damien.bouloc@math.univ-toulouse.fr 14 septembre 2017
Informations sur Moodle Tous les cours L1 SNAF - Sciences numérique fondamentales et appliquées S1 - Spécifique Outils Maths Discrètes L1 S1 Informations pédagogiques Ressources de cours, TD et TP Modalités de Contrôle de Connaissances
Matériel (fortement) conseillé Le polycopié de cours Pour garder sous les yeux les énoncés (définitions, théorèmes,...) utilisés dans les questions et les exercices, pour l annoter en fonction des remarques faites en amphi De quoi prendre des notes propres Pour noter les corrections d exercice, les démonstrations,... Du brouillon Pour certaines questions qui ne peuvent pas se faire de tête, pour vos recherches pendant les phases d exercice Son boîtier de vote Pour répondre aux questions qui vous sont posées pendant la séance
Programme 1. Arithmétique élémentaire 1.1 Division euclidienne dans Z 1.2 Calcul en base b 1.3 Exponentiation rapide 1.4 Algorithme d Euclide 2. Arithmétique modulaire...
Énoncé du théorème Théorème 1.1.1 Soient a Z et b N. Il existe un unique couple (q, r) Z Z tel que { a = bq + r 0 r b 1 On dit que q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
Énoncé du théorème Question Dans la division euclidienne de 20 par 3, 1. le quotient vaut 6 et le reste vaut 2 2. le quotient vaut 6 et le reste vaut 2 3. le quotient vaut 6 et le reste vaut 2 4. le quotient vaut 7 et le reste vaut 1 5. le quotient vaut 7 et le reste vaut 1 6. le quotient vaut 7 et le reste vaut 1 7. aucune des réponses ci-dessus
Démonstration Théorème 1.1.1 Soient a Z et b N. Il existe un unique couple (q, r) Z Z tel que { a = bq + r 0 r b 1 Démonstration : On fixe a Z et b N. Il y a deux choses à démontrer : l existence du couple (q, r) son unicité
Démonstration : unicité Soient (q, r) et (q, r ) deux couples dans Z Z tels que { { a = bq + r a = bq + r et 0 r b 1 0 r b 1 Alors...... donc (q, r) = (q, r ).
Démonstration : existence On utilise un algorithme : q := 0 r := a si (a >= 0) alors tant que (r >= b) faire r := r - b q := q + 1 fin tant que sinon tant que (r < 0) faire r := r + b q := q - 1 fin tant que fin si rendre (q, r) Exemple : a = 20, b = 3 q r 0 20 1 17 2 14 3 11 4 8 5 5 6 2
Démonstration : existence q := 0 r := a si (a >= 0) alors tant que (r >= b) faire r := r - b q := q + 1 fin tant que sinon tant que (r < 0) faire r := r + b q := q - 1 fin tant que fin si rendre (q, r) Question Si a = 19 et b = 3, alors l algorithme... 1. renvoie (q, r) = (6, 1) 2. renvoie (q, r) = (-7, 2) 3. renvoie (q, r) = (-6, 1) 4. renvoie (q, r) = (7, -2) 5. ne s arrête jamais 6. On ne peut pas savoir
Démonstration : existence q := 0 r := a si (a >= 0) alors tant que (r >= b) faire r := r - b q := q + 1 fin tant que sinon tant que (r < 0) faire r := r + b q := q - 1 fin tant que fin si rendre (q, r) Question Si a = 19 et b = 0, alors l algorithme... 1. renvoie (q, r) = (19,0) 2. renvoie (q, r) = (0,19) 3. ne s arrête jamais 4. On ne peut pas savoir
Démonstration : existence Pour utiliser cet algorithme comme démonstration, il faut vérifier deux choses : Terminaison : l algorithme s arrête en temps «fini» Ici, il faut vérifier qu on finit toujours par sortir des boucles tant que Correction : l algorithme renvoie le résultat voulu Ici, il faut vérifier que le couple (q, r) rendu par l algorithme vérifie bien { a = bq + r 0 r b - 1 Pour ça on utilise un invariant de boucle.
Lien avec la partie entière Définition Soit x R. On appelle partie entière de x l unique nombre entier n tel que n x < n + 1 On la note en général x. Question Que vaut 3, 61? 1. 3 2. 3 3. 4 4. 4
Lien avec la partie entière Corollaire 1.1.2 Soient a Z et b N. Le quotient de la division euclidienne de a par b est exactement a b Démonstration :
Exercice avancé Exercice 1.1.5 Soit x R. On appelle mantisse de x le nombre M(x) := x x 1. Montrer que M(x) est l unique nombre réel α [0, 1[ tel que x α Z 2. Exprimer le reste de la division euclidienne de a par b en fonction de M(a/b).
Prochain amphi Jeudi 21 septembre, 7h45 Travaux dirigés Début des TD semaine 40 Imprimez et préparez vos TD