1 Quelques bases pour bien recommencer

Partie B - Nombres et Calcul Numérique Page 18 1 Quelques bases pour bien recommencer 1.1 Le signe égal (=) Propriété B1 : un nombre, plusieurs formes. Il y a une infinité de manières d'écrire un nombre donné. Preuve : admise et intuitive. On écrit le signe = pour indiquer que deux écritures différentes correspondent en fait à un même nombre. Exemple : 0,5= 1 2 = 2 4 = 50% =1,5 1 Remarques : 7+1=2 4=4 2=40 5= 32 4 =8 signifie «n'est pas égal». Exemple : 2 3 signifie «est environ égal à». Exemple : 1 3 0,333 Logique : 7 6 1,167 est vrai, mais 7 6 =1,167 est faux, et donc 7 6 1,167 est vrai

1.2 Vocabulaire Il n'existe que quatre opérations en mathématiques : c'est simple! Page 19 Symbole Vocabulaire + Addition ou Somme - Soustraction ou Différence ou rien Multiplication ou Produit : ou / ou Division ou Quotient Important : Le symbole peut désigner l'opération de soustraction ou le signe d'un nombre relatif. Méthode MB1: distinguer les deux signes sur sa calculatrice pour bien saisir ses calculs. Voir p20 du manuel. Remarque : la plupart des calculatrices de collège corrigent toutes seules vos erreurs entre signe et opération, mais ce n'est pas toujours le cas en lycée. Exemples : reconnaître les signes - 4,3+( 3)=1,3 Le moins est le signe du nombre relatif -3. 74,2 3=71,2 10 ( 3)=13 Le moins est l'opération de soustraction. Le premier est la soustraction, l'autre est le signe du relatif.

1.3 Conduire un calcul en respectant les priorités Règle des priorités : Pour évaluer une expression, on effectue les opérations dans l'ordre suivant : 1 L'intérieur des parenthèses Page 20 2 Les puissances (nouvelle notation qui sera vue en 4ème...) 3 Les multiplications et divisions (dans l'ordre d'écriture) 4 Les additions et soustractions (dans l'ordre d'écriture) Méthode MB2 (rappel) : pour conduire un calcul par écrit avec des signes «=» successifs, on doit recopier l'intégralité des nombres à chaque étape, même lorsque l'on ne les modifie pas. Exemple : Calculer B=2(6 x )+5 7, 48 pour x=1,3 Pour bien comprendre : on va remplacer x par sa valeur, puis conduire le calcul dans l'ordre des priorités. Rédaction : On calcule énoncé avec la valeur de x priorité pas modifié B=2 (6 1,3)+5 7,48=2 4,7+5 7,48= 9,4 +5 7,48=6,92 modifié pas modifié Exemple (à compléter) : calculer N=3+(4 5 6) 2 Rédaction : N=3+(4 5 6) 2=3+20 6 2=3+14 2=3+7=10

1.4 Ordre entre nombres Un nombre a par rapport à un nombre b peut être : plus petit : on note a<b et on dit a strictement inférieur à b égal : on note a=b et on dit a égal b plus grand : on note a>b et on dit a strictement supérieur à b Exemples : 3>2 est vrai, 2<3 est vrai, 1,99<2 est vrai, 1,99=2 est faux Remarque : pour deux nombres n et m, si n<m est vrai, alors m>n est vrai aussi. Définition 1: inégalités au sens large a b signifie que a est inférieur ou égal à b a b signifie que a est supérieur ou égal à b Exemple : Si x=7, alors x>6,5 est vrai, x>7 est faux, x 7 est vrai, x<9 est vrai, x<7 est faux.

2 Opérations sur les nombres relatifs 2.1 Rappels : nombres relatifs. Un nombre relatif se caractérise par son signe sa distance à zéro. Remarques : Un nombre noté sans signe est positif. Zéro n'a pas de signe.

2.2 Nombre opposé et soustraction Définition 2 L'opposé d'un nombre a est le nombre ayant : le signe contraire de a, la même distance à zéro que a. Exemples : L'opposé de 2 est -2, l'opposé de 7,5 est 7,5, l'opposé de π est - π. Conséquence : L'addition d'un nombre et de son opposé est toujours égale à 0. Propriété B2 Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé Démonstration: vue en 5ème Méthode MB3 : il est important de savoir «jongler» entre soustraction et addition de l'opposé pour conduire efficacement un calcul. http://videos.math-dujardin.fr/4mb30 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier :

2.3 Multiplication de relatifs Propriété B3 Le produit de plusieurs nombres relatifs est un nombre dont : le signe est : + s'il y a un nombre pair (ou nul) de facteurs négatifs, - s'il y a un nombre impair de facteurs négatifs, la distance à zéro est le produit des distances à zéro. Démonstration: admise. Conséquence : Pour tout nombre a, l'opposé de a est ( 1) a, que l'on peut noter -a Preuve : multiplier par (-1) change le signe mais pas la distance à zéro. Attention : -a n'est pas forcément négatif. Exemple : avec a= 2, a=+2 (-a est positif dans ce cas) Méthode MB4. Pour calculer un produit de nombres relatifs, on peut : 1. d'abord déterminer le signe du résultat en comptant les facteurs négatifs, 2. puis calculer la distance à zéro sans se préoccuper des signes. http://videos.math-dujardin.fr/4mb40 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier :

3 Multiple, diviseurs, restes, quotient 3.1 Multiples et diviseurs Définition 3 Page 25 Un nombre entier a est un multiple d'un nombre entier b lorsque a peut s'écrire comme une multiplication de deux nombres entiers contenant b. Exemple : 12 est un multiple de 3 car 12=4 3 Vocabulaire : Dire que a est un multiple de b revient à dire que b divise a, ou que b est un diviseur de a. Exemple : on peut dire que 3 est un diviseur de 12, ou que 3 divise 12. Méthode MB12 Pour justifier qu'un nombre est le multiple d'un autre, on recherche et on rédige l'égalité. Exemple : 51 est-il un multiple de 17? Recherche : on effectue la division de 51 par 17 (à la calculatrice si on l'a), qui donne 3. Rédaction : 51 est un multiple de 17 car 51=3 17. Remarque : cette méthode ne permet pas de justifier qu'un nombre ne divise pas un autre. Autres exemples de divisibilité à compléter en classe.

3.2 Critères de divisibilité Un nombre est divisible par... 2 son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemple : 457846 est divisible par 2. Page 26 5 son chiffre des unités est 0 ou 5 si et si Exemple 457415 est divisible par 5 10 son chiffre des unités est 0 Exemple : 145878852154720 est divisible par 10 4 seulement le nombre formé par ses deux derniers chiffres (dizaine et unité) est divisible par 4. 3 Exemple : 14528 est divisible par 4 car 28 l'est (28=4 7) la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3 Exemple : 123 est divisible par 3 car 1+2+3=6, qui est lui même divisible par 3 (6=2 3). 9 la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9 Exemple : 3456 est divisible par 9 car 3+4+5+6 =18 et 18 est divisible par 9 (18=2 9) Pour bien comprendre : «si et seulement si» signifie que si le critère est vrai, la divisibilité est vraie aussi si le critère est faux, la divisibilité est fausse aussi. Exemple : 67 n'est pas divisible par 2 (car il ne termine pas par 0, 2, 4, 6 ou 8). Autres exemples de divisibilité à compléter en classe.

4 Division euclidienne 4.1.1 Définition par un exemple On veut partager 27 billes équitablement entre 4 enfants. A la calculatrice : 27 4 =6,75. Cela pose problème car on ne peut pas couper les billes. Chaque enfant aura la partie entière de 6,75, qui est 6, mais combien en reste-t-il? En posant la division : Dividende (27 billes) Reste (3 billes restent après le partage) Diviseur (4 enfants) Quotient (chacun aura 6 billes) On obtient l'égalité 27=4 6+3, qui s'appelle la division euclidienne de 27 par 3. Cette égalité contient toutes les informations du partage. Conclusion : chaque enfant aura 6 billes, et il restera 3 billes après le partage. Important : le reste (3) est toujours plus petit que le diviseur (4). En effet, si on trouvait un reste de 5 billes, alors on pourrait en donner une de plus à chacun, et il n'en resterait finalement qu'une. Exemple (à compléter) : on veut partager 25 euros en trois parts égales. Consigne : poser la division, écrire la division euclidienne et conclure. Rédaction : On peut donc écrire la division euclidienne 25=3 8+1. Chacun aura 8 euros, et il restera 1 euro.

4.1.2 Définition générale de la division euclidienne Définition 4 : Pour a et b (b 0) deux nombres, l'écriture a=b Q+R avec R<b est la division euclidienne de a par b Q est le quotient, R est le reste. Conséquence : Si le reste R est égal à 0, alors a=b Q et donc b divise a. Méthode MB13 Les calculatrices possèdent généralement un bouton pour la division euclidienne qui donnent le quotient Q et le reste R. source : Transmath Nathan.

4.2 Partie entière d'un nombre positif Définition 5 : La partie entière d'un nombre n positif est le nombre entier juste en-dessous de n. Exemples : La partie entière de 5,67 est 5. La partie entière de 78,1 et 78, celle de 0,47 est 0. 4.3 Dans les tableurs Deux fonctions sont très utiles pour étudier les entiers dans les tableurs : =ENT(n) donne la partie entière de n. =MOD(a;b) donne le reste de la division euclidienne de a par b. Exemples : Formules saisies Affichage Page 29

5 Simplifier une écriture fractionnaire Propriété B4 Pour tous nombres a, b et k, avec b 0 et k 0, on a : a k b k = a b Preuve : vue en cinquième. Méthode MB5 : on peut simplifier une fraction en trouvant un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, et en appliquant cette propriété. Lorsqu'il n'y a plus de diviseur commun, on dit que la fraction est irréductible : on ne peut plus simplifier. Exemple : simplifier de plusieurs manières 24 30. Exemple : simplification de 24 30 : Recherche : on voit que 2 divise 24 et 30. On peut donc simplifier. Rédaction : 24 30 = 12 2 15 2 = 12 15 Recherche (on continue) : on voit que 3 divise 12 et 15. Rédaction : 24 30 = 12 15 = 4 3 5 3 = 4 5 Recherche (efficace) : voir dès le début que 6 divise 24 et 30 : Rédaction : 24 30 = 4 6 5 6 = 4 5

6 Nombre inverse Définition 6 : inverse Un nombre est l'inverse d'un autre si et seulement si le produit des deux fait 1. Autrement dit : si m n=1, alors m est l'inverse de n si m n 1, alors m n'est pas l'inverse de n Remarques 1. 0 n'a pas d'inverse car le produit de 0 par n'importe quel nombre fait 0 et jamais 1. 2. Si m est l'inverse de n, alors n est aussi l'inverse de m Conséquence 1 : Si n est un nombre non nul, alors l'inverse de n est 1 n. Preuve : pour tout nombre n, n 1 n =n 1 n=n n=1, donc 1 n est bien l'inverse de n. Notation : l'inverse de n peut se noter n 1 (comme sur certaines calculatrices). Exemples : L'inverse de 4 est 0,25 car 4 0,25=1. L'inverse de 0,25 est 4 d'après l'exemple précédent. 8 1 = 1 8 (notation puissance de l'inverse). L'inverse de -5 est 0,2 car 5 0,2 = 1-3 n'est pas l'inverse de 3 car 3 3 = 9 1 1 est son propre inverse car 1 1=1 Attention : ne pas confondre inverse (lié à et ) et opposé (lié à + et -) Remarque : on ne peut pas toujours écrire exactement l'inverse d'un nombre en décimal. Exemple : 1 6 =0,16666... avec une infinité de 6, que toute calculatrice arrondit par un 7 lorsque le bord droit de l'écran est atteint.

Conséquence 2 : Page 32 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse. Explication par un exemple générique : division d'un nombre x par 2. x 2=x 1 2=x 1 2 On constate que diviser par 2, c'est multiplier par l'inverse de 2 qui est 1 2 Cette méthode marcherait aussi pour une division par n'importe quel autre nombre que 2 (sauf 0). Conséquence 3 : Le signe d'un nombre et celui de son inverse sont identiques. Preuve : par définition, n 1 =1 n. Le produit est positif, donc n et 1 n deux positifs, soit négatifs (règle des signes dans un produit). sont soit tous les Exemples : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse 5 2=... 5 1 2 que l'on peut aussi écrire 5 0,5 car 1 =0,5 2 24 1 =... 24 5 5 x 7+ y 3=... x 1 7 +y 1 3 a ( 9)=... a ( 1 9 ) (attention au priorités) Exemples : le signe de l'inverse L'inverse de -4 est... - 0,25 (car ( 4) ( 0,25)=1 ) L'inverse de 2 est... 0,5 (car 2 0,5=1 ) Si x est un nombre négatif,...alors 1 x est négatif aussi.

7 Opérations sur les fractions 7.1 Multiplier par une fraction Propriété B5 : produit de deux fractions Pour tous nombres a,b,c,d avec b 0 et d 0, on a a b c d = a c b d Autrement dit : le produit de deux quotients est le quotient du produit des numérateurs par le produit des dénominateurs. Démonstration: voir en annexe. Méthode MB6 : multiplier un nombre par une fraction efficacement http://videos.math-dujardin.fr/4mb60 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier.

7.2 Diviser par une fraction Propriété B6 : inverse d'une fraction Pour tous nombres c et d non nuls, l'inverse de c d est d c Démonstration : c d d c = c d d c = cd cd =1 Méthode MB7: pour diviser par une fraction, on peut multiplier par son inverse. http://videos.math-dujardin.fr/4mb70 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier

7.3 Règle des signes dans un produit/quotient Propriété B7 La règle des signes dans un produit s'applique aussi avec des quotients. Preuve : diviser, c'est multiplier par l'inverse. On peut donc transformer les quotients en produits. Or un nombre et son inverse ont le même signe. Le signe du résultat d'un quotient est donc déterminé par la règle des signes d'un produit. Explication : pour étudier le signe de 4 ( 2) ( 3) 9 on peut réécrire la division en produit : 4 ( 2) ( 3) =4 ( 2) ( 3) 9 ( 1 9 ). D'après la règle des signes dans un produit, le résultat est négatif car il y a 3 facteurs négatifs. : Exemple : Le signe de ( 4) ( 3) ( 3,5) est...négatif (trois facteurs négatifs) Le signe de ( 1) ( 2) 3 ( 4) ( 7) est...positif (quatre facteurs négatifs)

7.4 Opposé d'une fraction Propriété B8 : opposé d'une fraction Si a b est une fraction, alors l'opposé de a b peut se noter a b a ou b ou a b. Page 36 Preuve : par rapport à a b, les trois formes sont le même quotient avec un signe moins de plus, qui ne change pas la distance à zéro. Explication : 2 3 et 2 3 et 2 3 sont négatifs et ont comme distance à zéro 2 3. Ce sont donc trois formes de l'opposé de 2 3 8 7 = 8 7 ( 8) et = 8 7 7 Ce sont donc trois formes de l'opposé de 8 7 et 8 7 = 8 7 sont positifs, avec une distance à zéro de 8 7 Exemples : L'opposé de 2 3 est... 2 3 = 2 3 = 2 3 3 7 est...l'opposé de 3 7. 3 7 + 3 7 est égal à...0 (somme de deux opposés)

7.5 Ajouter ou soustraire des fractions Propriété B9 : somme de deux fractions au même dénominateur Quels que soient les nombres a, b et c avec c 0, a c + b c = a+b c Preuve: admise et intuitive. Autrement dit : on peut sommer les numérateurs lorsque les dénominateurs sont égaux. 7.6 Soustraire deux fractions Pour soustraire une fraction, on peut ajouter son opposé. Exemple : 7 5 3 5 = 7 5 + ( 3 5) = 7 3 5 = 4 5 Attention : il faut, selon le cas, mettre au même dénominateur. Méthode MB8 (rappel) : pour ajouter ou soustraire deux fractions, il est nécessaire de les mettre d'abord au même dénominateur. http://videos.math-dujardin.fr/4mb80 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier

8 Notation puissance 8.1 Notation puissance avec un exposant positif Définition de la notation puissance Pour tout nombre a, et tout nombre entier positif n non nul, n facteurs identiques on peut noter a n le produit a a a a Cas particulier : a 1 =a Autrement dit : a n est une nouvelle manière simple et rapide d'écrire une grande multiplication avec le même facteur (ici a) à n reprises. Vocabulaire : on dit «a puissance n» ou «a exposant n». Important : la notation puissance ne concerne que le nombre directement à gauche. Par exemple : 5 4 = 5 5 5 5 (le signe moins n'est pas concerné par la puissance). ( 5) 4 =( 5) ( 5) ( 5) ( 5) (la puissance concerne tout le contenu de la parenthèse). Méthode MB9 : interpréter une notation avec exposant positif http://videos.math-dujardin.fr/4mb90 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier

8.2 Méthodes de calcul avec les puissances Page 39 Méthodes MB10 : règles pour calculer et simplifier un produit/quotient de puissances efficacement. Quels que soient les nombres a, b et les entiers n et m, on peut utiliser les règles de calculs ci-dessous pour gagner du temps : a m a n =a m+n Multiplication de a à (n+m) reprises. (a b) n =a n b n Multiplication avec a à n reprises, fois b à n reprises aussi ( a b )n = an b n Multiplication de a à n reprises, fois 1 b à n reprises aussi (a m ) n =a m n Multiplication de n «paquets de a» ayant a à m reprises chacun. Vidéo pour une explication commentée de ces règles de calcul : http://videos.math-dujardin.fr/4mb100 ou scanner le QR code Exemples : 15 10 15 24 =... =15 34 (3 x ) 85 =... =3 85 x 85 ( 73 23 ) 107 =... = 73107 23 107 (7,25 5 ) 10 =... =7,25 50

Définition 7 Par convention, pour tout nombre a 0, on définit que : a 0 =1 Page 40 Explication : a=a 1 =a 1+0 =a 1 a 0 =a a 0 donc a 0 =1 Exemples : 10235 0 =1 ( 2,3507) 0 =1 ( 2 3 +5 8 45 π ) 0 =1 Remarque : la notation «puissance 0» est étrange au début, mais finalement très facile à utiliser!

8.3 Notation puissance avec exposant négatif Définition 8 Quels que soient le nombre non nul a et l'entier m non nul, on définit que a m est l'inverse de a m et donc a m = 1 a m Page 41 Explication : l'idée de noter a m l'inverse de a m vient de la méthode de calcul de a m a n En effet, pour n= m, on a a m a m =a 0 qui vaut 1, donc a m doit bien correspondre à l'inverse de a m. Conséquence de la définition : Toutes les méthodes de calcul pour les exposants positifs sont aussi valables pour les exposants négatifs, avec une méthode en plus : am a n =am n car am a n =am 1 a n =am a n =a m+( n ) =a m n Méthodes MB11 : interpréter une puissance avec un exposant négatif http://videos.math-dujardin.fr/4mb110 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier

8.4 Ordres de grandeur et préfixes Les ordres de grandeurs sont forts utiles pour parler des grands ou des petits nombres. Voici un tableau à bien connaître : Plus petit que l'unité Plus grand que l'unité Préfixe nano micro milli unité kilo méga giga téra Ordre de grandeur 10 9 10 6 10 3 10 0 =1 10 3 10 6 10 9 10 12 Nombre milliard -ième millionième millième un mille million milliard billion Exemples : Un téra-octet (To) c'est : 10 12 octets (o), 10 9 kilo-octets (ko), 10 6 méga-octet (Mo), 10 3 giga-octets (Go).

8.5 Puissances de 10 et écritures scientifiques Définition 9 Un nombre est écrit en notation scientifique lorsque sa forme est a 10 n où a est un nombre décimal avec un seul chiffre devant la virgule (0<a<10) et n est un nombre entier relatif (positif ou négatif) Vocabulaire : le 10 n est parfois appelé l'ordre de grandeur du nombre. Méthode B1 : pour déterminer l'écriture scientifique d'un nombre, on peut jongler avec la position de la virgule et les puissances de 10. Méthode B2: pour comparer deux nombres en forme scientifique, on peut : 1. Comparer les puissances de 10 d'abord (ordre de grandeur) 2. Comparer les nombres décimaux quand les puissances sont égales. Méthode B3 : se reporter au manuel page 162 pour gérer la notation scientifique sur la calculatrice. http://videos.math-dujardin.fr/4mb120 ou scanner le QR code Exemples vidéos à recopier

9 Annexes 9.1 Démonstration de la propriété de produit de deux fractions. Soient a,b,c,d quatre nombres avec b 0 et d 0. Calculons ( a b c d ) bd en utilisant les propriétés de calcul connues : = a 1 b c 1 d b d En transformant les quotients en produits. = a c b 1 b d 1 d En modifiant l'ordre des six facteurs du produits. = a c 1 1 En simplifiant, car 1 b b=1 et 1 d d=1 = a c En reprenant le départ, on sait maintenant que : ( a b cd ) bd=a c En divisant de chaque côté par bd (qui n'est pas nul car b 0 et d 0 ), on obtient : ( a bd b cd ) bd = a c b d, c'est à dire ( a b c d ) = a c b d C'est ce qu'il fallait démontrer. bd car =1 bd