Michel Agullo 1
PROBLEMES PLANS Exercice 1 : Equilibre d une échelle On considère une échelle double en contact en C et D avec le sol Les 2 branches 1 et 2 sont articulées en O par une liaison pivot et reliées par un câble 3 en A et B On note T la tension du câble et P le poids de l opérateur 4 dont le centre de gravité G est supposé à la verticale de B Hypothèses : OA = AC = OB = BD = L le frottement est négligé le problème est supposé plan dans le repère galiléen C, x, y l ensemble matériel E = (1,2,3,4) est à l équilibre Q1-1 Déterminer, par application du principe fondamental de la statique à l ensemble matériel E, les actions mécaniques F ( C,1) ( D,2) Q1-2 On isole le câble 3 Déterminer la direction et le sens des actions mécaniques F F ( A,13) et ( B,23) Q1-3 On isole la branche 1 En déduire, par application du PFS, les actions mécaniques F ( A,31) et ( O,21) F En déduire T en fonction de P, L et Q1-4 Tracer l évolution de la tension du câble T en fonction de 2
Exercice 2 : Balance On souhaite déterminer la masse M d un objet déposé sur le plateau 2 d une balance On cherche pour cela la distance l du contrepoids de masse m sur le balancier 3 qui permettra de rétablir l équilibre de la balance Hypothèses : Le problème est supposé plan Les liaisons pivots en A, B, C, D sont supposées parfaites (le frottement est négligé) On suppose la balance à l équilibre dans le repère galiléen A x, y, Q2-1 On isole la barre 1 en liaison pivot en C avec le bâti et en D avec le plateau 2 Déterminer la direction et le sens des actions mécaniques F ( C,1) ( D,21 ) Q2-2 On isole le plateau 2 Déterminer les actions mécaniques F ( B,32) ( D,12 ) Q2-3 On isole le balancier 3 Déterminer l action mécanique F ( A,3) et la distance l de la masse m permettant de rétablir l équilibre 3
Exercice 3 : Cric automobile Le cric est destiné à lever une masse maximale M de 1kg Le système vis-écrou est irréversible et l étude sera menée pour une position d équilibre obtenue lorsque la manivelle n est pas manipulée Le système à étudier est constitué de trois barres repérées 1 (barre AB), 2 (barre ACD) et 3 (barre CBE) de masses négligeables Le cric supporte en E la masse M et repose en D sur le sol Hypothèses : Longueurs : AC = CB = L, BE = 2L, CD = 3L Toutes les liaisons sont assimilées à des linéaires annulaires parfaites (Le frottement est négligé) C, x, y Le problème est supposé plan dans le repère galiléen Q3-1 Isoler l ensemble du cric et déterminer l action mécanique F ( D,2) Q3-2 On isole la barre 1 En déduire la direction et le sens des actions mécaniques F ( C,23) ( B,31 ) Q3-3 On isole la barre 3 Déterminer par application du PFS les actions mécaniques F ( B,13 ) ( C,23) en fonction de m, g et Q3-4 On donne M=1kg, g=9,81m/s 2 Tracer l évolution de l intensité T de l action mécanique dans la barre 1 en fonction de Q3-5 L étude de l équilibre de la barre 2 est-elle nécessaire? 4
Exercice 4: Grue d atelier On s intéresse à un équipement d atelier utilisé pour lever et transporter une masse M On en trouve fréquemment chez les garagistes pour déposer les moteurs de véhicules automobiles Système réel Modèle Hypothèses : Le poids des éléments de la grue est négligé devant l intensité des efforts extérieurs Les liaisons en O, A, B et E sont des linéaires annulaires supposées parfaites On isole la grue, ensemble matériel constitué des solides 1, 2, 3 et M Q4-1 : Déterminer les actions mécaniques F C en C et F D en D exercées par le sol sur la grue en fonction de a, b, c et P On isole le vérin hydraulique 3 en considérant ses orifices d alimentation obturés Q4-2 : Déterminer la direction et le sens des actions mécaniques F E, 13 A, 23 On isole l ensemble matériel constitué des solides 2 et M Q4-3 : Indiquer la direction et le sens des actions mécaniques F A, 32 O, 12 Q4-4 : Ecrire le torseur des actions mécaniques en O En déduire, par application du principe fondamental de la statique, les actions mécaniques F A, 32 O, 12 Application numérique : P=5N, a=,3m, b=,8m, c=,2m et 3 Q4-5 : Calculer l intensité F A de l action mécanique développée par le vérin hydraulique 4 5
ASPECT TRI-DIMMENSIONNEL Exercice 5 : Equilibrage d un avion Un avion est au repos sur une piste horizontale, en appui en 3 points A, B, C Une mesure sur une bascule a permis de déterminer les 3 actions de contact Z A, Z B, Z C Données : OA = OB = a, OC = c Q5-1 Calculer le poids P de l avion Q5-2 Déterminer les coordonnées Xg et Yg du centre de gravité G de l avion Q5-2 Application numérique Calculer P, Xg et Yg pour les valeurs suivantes: a = 2m, c = 6m Z A= 4 dan, Z B= 35 dan, Z C= 25 dan Exercice 6 : Torseurs - Structure porteuse La structure porteuse 1 ci-après est considérée comme un solide unique Elle est liée à un bâti par deux liaisons linéaires annulaires en A (L,, ) et B (-L,, ) ainsi que par une liaison ponctuelle en D (,, -L) On donne les torseurs {T A}, {T B} et {T D} correspondants à ces actions de liaison La structure est chargée en C (, L, ) par la charge F dont le torseur {T C} est également donné ci-après Q6-1 : Calculer les inconnues de liaison Y A, Z A, Y B, Z B et Y D en fonction de F Q6-2 : Effectuer l application numérique pour L=1m =1N 6
T A YA Z A A T B YB Z B B T D Y D D T C F C Exercice 7 : Equilibre 3D Une poutre 4 de masse négligeable sert au maintien en F d une masse M de 4 kg La poutre est liée au bâti en O par une liaison rotule et fixée par 3 câbles attachés en A et B sur la poutre et en C, D, E sur le bâti On donne les coordonnées des différents points dans le repère O, x, y, z A 2, 1,5 B, 2 1 C 1, 1,5 D 2, 1,5 E, F,75 2 Q7-1 On isole la poutre 4 et la masse M Déterminer, par application du PFS, les actions mécaniques dans les câbles et l articulation F ( A,1 4), F ( B,24), F ( B,34) ( O,4) 7
Exercice 8 : On s intéresse à la modélisation mécanique d un puits à manivelle constitué des éléments suivants : S : le bâti du puits ; S 1 : le moyeu et sa manivelle ; S 2 : le seau fixé à l extrémité d un câble enroulé autour du moyeu On définit le repère galiléen R O, x, y, ) lié au bâti S On admettra que le moyeu S 1 et ( z le bâti S sont en liaison rotule en O et en liaison linéaire annulaire d axe Ox en C Soit l ensemble matériel E constitué des solides S 1 et S 2 On considère E à l équilibre dans la configuration de la Figure 2, avec la manivelle en position verticale S1 S S2 Figure 1 : Puits à manivelle Figure 2 : Ensemble matériel E On donne : Rayon du moyeu : GB Rz Position du centre de gravité du moyeu : OG Lx Centre de la liaison linéaire annulaire : OC 2 L x Dimensions de la manivelle : OA a x b y 8
Actions mécaniques à distance : Poids du moyeu en G : P1 P1 y Poids du saut en B : P2 P2 y Actions mécaniques de contact : Action mécanique de l opérateur en A : FA FA z Action mécanique en O de la liaison rotule entre S et S 1, représentée par le torseur : X L F O, SS 1 T S S Y 1 o M M O, SS 1 Z N O O, x, y, z Action mécanique en C de la liaison annulaire entre S et S 1, représentée par le torseur : X C LC F C, S S 1 T 2, S S Y 1 C C M C M C, S S 1 Z N C C C C, x, y, z Q8-1 : Déterminer, en fonction des degrés de liberté des liaisons rotule et annulaire entre S et S 1 les composantes non nulles des résultantes et moments des torseurs ( S S1 C T 2 ) Exprimer ces derniers après simplification T 1( S S ) 1 o Q8-2 : Déterminer le torseur général T EE o R M O, EE extérieures à l ensemble matériel E au point O O des actions mécaniques Q8-3 : En déduire, par application du principe fondamental de la statique, les expressions en fonction de P 1, P 2 et de la géométrie des actions mécaniques en A, O et C Application numérique : a =,1m, b =,4m, R =,2m, L =,5m, P 1 = 2N, P 2 = 1N Q8-4 : Calculer les actions mécaniques en A, O et C On remplace la manivelle par un moteur électrique monté sur l axe x et entraînant le moyeu en rotation Q8-5 : Déterminer le couple minimal que devra exercer ce moteur pour remonter le seau 9
PRISE EN COMPTE DU FROTTEMENT Exercice 9 : Angle limite d inclinaison d une échelle (limite entre l adhérence et le frottement) L objectif est de calculer la valeur limite de l angle pour que l échelle 1 supportant l opérateur 2 ne tombe pas Hypothèses : Le frottement intervient en A (patin) et peut être négligé en B Le coefficient de frottement en A est f=,6 (pneu sur une route goudron Le poids de l opérateur et de l échelle s applique en G au milieu de l échelle et vaut 1N On isole l ensemble matériel E=(1, 2) Q9-1 Mettre en place les actions mécaniques extérieures à E sur E Q9-2 On se place à la limite de l équilibre Déterminer l angle au-delà duquel l échelle commence à glisser 1
Exercice 1 : Mécanisme avec glissement Déterminer l intensité F de l action mécanique F requise pour soulever le bloc 1 de masse m = 2 Kg Le coefficient de frottement sur toutes les surfaces est égal à f =,4 Q1-1 Isoler le solide 1 et déterminer les actions mécaniques F ( 1) ( 21) Q1-2 Isoler le solide 2 et déterminer les actions mécaniques F ( 2) Exercice 11 : Une caisse 1 de poids P = P y, de longueur L et de hauteur h est posée sur un plan incliné d un angle par rapport à l horizontale On note f = tanφ le coefficient d adhérence entre la caisse 1 et le plan avec α < φ L action mécanique du sol sur la caisse sera représentée par un vecteur glissant dont la droite support passe par un point A situé sur la surface de contact entre la caisse et le sol Q11-1 : On isole la caisse 1 Mettre en place en A le cône de frottement et l action mécanique F A 1 Un opérateur 2 exerce en B une action mécanique F B 2 1 afin de déplacer la caisse soit vers le haut (Figure 3 : cas 1), soit vers le bas (Figure 4 : cas 2) On se place dans les deux cas à la limite du glissement 11
Figure 3 : cas 1 Figure 4 : cas 2 Etude du cas 1 Q11-2 : On isole la caisse 1 Mettre en place en A le cône de frottement et l action mécanique F A 1 On note :F A = F A 1 B = F B2 1 Q11-3 : Donner dans le repère (x, y) les expressions de F A 1 B2 1 en fonction de F A, F B et des angles et Q11-4 : Par application du principe fondamental de la statique, déterminer les expressions Etude du cas 2 littérales de F A B Q11-5 : On isole la caisse 1 Mettre en place en A le cône de frottement et l action mécanique F A 1 On note :F A = F A 1 B = F B2 1 Q11-6 : Donner les expressions de F A 1 et F B2 1 en fonction de F A, F B et des angles et dans le repère (x, y) Q11-7 : Par application du principe fondamental de la statique, déterminer les expressions littérales de F A B Application numérique Q11-8 : On donne f =,364, = 15, P = 5N Calculer F A B dans les cas 1 et 2 12