Cours AQ 7 Correction des systèmes asservis
Rappel On étudie un système à retour unitaire: C(p) est la commande H(p) est la transmittance du système Jusqu à présent, on a considéré que C(p)=k k=cte commande proportionnelle
Rappel le gain k modifie la stabilité du système k modifie aussi l allure de la réponse. Le choix de k assure au système un comportement équivalent à un second ordre de z=0,42 (marge de phase de 45 ) Z=0,42 D1=23% t1d=3/ωco % tr=4,4/ωco tm=0,5 t1d
Accord avec le cahier des charges? Evaluation Z=0,42 D1=23% t1d=3/ωco % tr=4,4/ωco tm=0,5 t1d OUI réglage Non car: Transitoire trop long Erreur statique trop importante Utilisation d un correcteur
Quelle commande C(p) faut il utiliser : Si le transitoire est trop long (Tr trop élevé)? Si l erreur statique trop importante? Démarche: On détermine la fonction supplémentaire à rajouter dans la fonction de transfert On conçoit un circuit qui donne cette fonction de transfert Il ne s agit pas de «bidouiller»!
Amélioration du temps de réponse Réponse à un échelon: variation de l erreur e(t)-s(t) en fonction du temps Pour une commande proportionnelle, la «puissance» appliquée est proportionnelle à cette erreur
1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Réponse 0 2 4 6 8 10 12-0,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 Erreur 0 2 4 6 8 10 12 On remarque que l erreur est la même (-0,1) pour autour de t=2 et autour de t=4 Pourtant ce sont deux situations très différentes! Pour t=2 le signal s éloigne de la valeur de consigne Pour t=4 le signal s approche de la valeur de consigne
1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Réponse 0 2 4 6 8 10 12-0,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 Erreur 0 2 4 6 8 10 12 Si le signal s approche de la valeur de consigne, il faudrait «ralentir» pour ne pas dépasser diminuer le gain Si le signal s éloigne de la valeur de consigne il faut «réagir» pour corriger augmenter le gain
1,4 1,2 1 1,2 1 0,8 Erreur 0,8 0,6 Réponse 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0 0 2 4 6 8 10 12 0-0,2-0,4 0 2 4 6 8 10 12 En t=2 et t=4 l erreur est la même mais les dérivées sont opposées! La pente est négative quand le signal s éloigne de la consigne (l erreur augmente en valeur absolue) La pente est positive quand le signal s approche (erreur diminue en valeur absolue) quand le signal s approche de la consigne
Correction Dérivée ) ( ) ( t k t c dt t d T t k t c d ) ( ) ( ) ( Au lieu de la commande proportionnelle On utilisera une commande Proportionnelle- Dérivée Td est la constante de temps du dérivateur
Analyse: c( t) k ( t) T d d dt ( t) L erreur peut être positive ou négative car la sortie oscille autour de la consigne avant de se stabiliser La dérivée de l erreur peut être positive ou négative en fonction que le signal s approche ou s éloigne de la consigne Le correcteur doit fonctionner quel que soit le cas de figure
1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Réponse 0 2 4 6 8 10 12-0,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 Erreur 0 2 4 6 8 10 12 c( t) k ( t) T d d ( t) dt t Erreur dérivée commande Effet 1 > 0 < 0 - Td C diminue OK 2 < 0 0 > Td C augmente Ok 4 < 0 0 < - Td C diminue OK
dt t d T t k t c d ) ( ) ( ) ( Influence sur la réponse harmonique d d d jt k j H p T k p H p p T p k p c 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 =1/Td SI 0 0 H(j ω)1 SI ω 0 H(j ω) Déphasage: + π/4 à 0 + π/2 au delà Le correcteur introduit un déphasage positif amélioration de la marge phase donc de la stabilité
Réalisation pratique du correcteur Proportionnel - Dérivée Le schéma de base est le montage sommateur inverseur Problème: pour les hautes fréquences le gain du dérivateur tend vers : Les hautes fréquences seront fortement amplifiées bruit
Pour limiter le gain en HF, on place une petite résistance en série avec la capacité C est le montage à avance de phase
Fonction de transfert du correcteur PD: gain
Fonction de transfert du correcteur PD: Phase
Influence du paramètre temps dérivé en boucle fermée Comportement statique L action dérivée a peu d influence dans le comportement statique. Comportement dynamique : Lors d'une réponse indicielle, plus Td est grand plus le système est rapide, plus le dépassement est faible.
Amélioration de l erreur statique 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Réponse Au-delà de t=10 l erreur ne change plus: la puissance fournie au système sera très faible et ne permet pas de corriger l erreur 0,2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 La courbe est plate donc la dérivée est nulle Le correcteur PD ne sert à rien
Correction Proportionnelle Intégrale La surface entre les deux courbes représente l intégrale de l erreur Celle-ci ne sera nulle que si les deux courbes sont confondues (erreur nulle) On rajoute un terme proportionnel à l intégrale de l erreur correction intégrale
Fonction de transfert du correcteur T i est la constante de temps de l intégrateur Plus Ti est faible plus la correction sera rapide mais
Etude en fréquence La transmittance harmonique s écrit: SI 0 0 SI w0 H(jw) H(jw)0 Déphasage: - π/2 quand ==>0 En basse fréquence la correction PI introduit in déphasage de -90 ce qui réduit la marge De phase, la stabilité donc le temps de réponse! On compense en combinant avec une correction PD qui rajoute +90 de déphasage
Réalisation pratique du correcteur Proportionnel Intégral Le montage de base est l inverseur Problème: en BF la capa est un circuit ouvert: le gain tend vers l infini: l ampli va buter sur La valeur d alimentation!
Réseau retard de phase On place toujours une résistance en parallèle sur la capacité pour limiter le gain
Fonction de transfert PI Gain
Fonction de transfert phase
Correcteurs PID et méthodes de réglage (Ziegler Nichols)
Correcteur PID C(p) = Kr.(1 + 1/Ti.p + Td.p)
Structure parallèle
Structure série
Structure mixte
Influence des corrections P, I et D Quand Xp augmente... La stabilité augmente ; La rapidité diminue ; La précision diminue. Quand Ti augmente... La stabilité augmente ; La rapidité diminue ; La précision reste parfaite. Quand Td augmente... La stabilité augmente ; La rapidité augmente ; La précision ne bouge pas.
Exemple de PID Parallèle
Régulateurs PID Industriels
Réglage d un PID Méthode de Ziegler-Nichols Méthode empirique qui permet d ajuster les paramètres d un régulateur P.I.D. S utilise à partir de mesures sur sa réponse indicielle. Critère de réglage: le rapport entre les deux premiers dépassements (positifs) en BF est de 0,25.
Ziegler Nichols en BO En boucle ouverte: A utiliser sur les systèmes apériodiques Assimiler le système à un 1 er ordre avec retard ou un retard pur avec un intégrateur Consiste à mesurer: la pente de la tangente au point d inflexion a, la valeur finale M et le retard r
Exemple 1-On applique un échelon d amplitude Eo M 2-On mesure la valeur finale M 3- On trace la tangente au point d inflexion 4- on calcule a, pente de la tangente au point d inflexion 5- on mesure le retard r a 6- Si T est la constante de temps du premier ordre, on a : a = M / T T r
Réglage d un correcteur P, PI ou PID selon Ziegler Nichols en BO C(p) = Kr.(1 + 1/Ti.p + Td.p)
Comparaison des correcteurs de Ziegler Nichols Le correcteur proportionnel laisse une erreur statique L e correcteur PI est sans erreur statique mais est plus long à stabiliser. Le correcteur PID rend le système relativement stable et sans erreur statique.
Mesure sur la réponse en BF S applique dans le cas où il est impossible d ouvrir la boucle de régulation pour obtenir la réponse indicielle en BO Ziegler Nichols en BF permet de régler un correcteur à partir d un essai en limite de pompage
Méthode pratique Pour obtenir la limite de pompage, on place un correcteur proportionnel (seul) dans la boucle fermée et on augmente doucement le gain de ce correcteur jusqu `a obtenir des oscillations auto-entretenues (phénomène de pompage). On note le gain Ko qui a amenené le système en limite de stabilité et la période To des oscillations obtenues. Les paramètres de régulation pour que la réponse du système bouclé soit satisfaisante sont donnés dans un tableau
Réglage d un correcteur P, PI ou PID selon Ziegler Nichols avec les mesures en BF
Méthodes d identification
Identification Un système linéaire a une fonction de transfert qui peut se calculer en établissant les équations différentielles qui relient entrée et sortie. Ces équations théoriques sont parfois difficiles à écrire car on n a pas forcément toute la connaissance du système nécessaire : valeurs numériques, processus mis en jeu, non linéarité... Souvent, un modèle dont le comportement ressemble à celui du système à étudier est suffisant pour élaborer une loi de commande adaptée.
Identification Identification = méthode pour obtenir un modèle sous forme de fonction de transfert équivalente en terme de réponse d un système dont on ne sait pas modéliser le comportement. Ces m ethodes NE donnent donc PAS LA fonction de transfert du système mais en donnent UNE dont la réponse ressemble à celle du système.
Identification en Boucle Ouverte Méthode de Strejc Modèle: Les paramètres à identifier sont donc : le gain statique K, le retard r, la constante de temps et l ordre n.
Le gain statique est mesuré directement par la valeur finale de la sortie. Celle-ci vaut K.E0 où E0 est l amplitude de l echelon d entrée. On trace la tangente au point d inflexion et on relève T1 et T2. on en déduit l ordre n en utilisant le tableau Entre deux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la plus petite. Déterminer la constante de temps à partir de T2 du tableau. déterminer le retard r quand il existe à partir de la différence entre la valeur de T1 mesurée et celle donnée par la colonne T1 / T2 du tableau.
Exemple Le gain statique : K = 5 on mesure : T1 = 0, 27 et T2 = 1, 76 T1/ T2 = 0, 15 ordre n = 2 T2/ Ƭ = 2, 72 Ƭ = 0, 65. D apr`es le tableau, T1 / Ƭ = 0, 28, ce qui donnerait une valeur de T1 =0, 18. Or on mesure T1 = 0, 27. On peut en déduire un retard r = 0, 09
Autres méthode: broïda Modèle: Voir procédure dans le polycope de cours