Un peu d'histoire Les archéologues ont montré que les jeux de hasard étaient pratiqués dans de nombreuses sociétés antiques. Parmi les ancêtres des jeux de hasard, les jeux de dés occupent une place très importante. C'est en cherchant à résoudre ces problèmes posés par les jeux de hasard que les mathématiciens donnent naissance aux probabilités. Le problème du duc de Toscane, par exemple, posé au XVI ème siècle, n'a été résolu que des dizaines d'année plus tard par Galilée (1564 1642). Le problème initial le plus fameux est celui du chevalier de Méré : lorsqu'une partie d'un jeu de hasard doit être arrêtée avant la victoire de l'un des joueurs, comment répartir entre ceux-ci les sommes d'argent misées? Aujourd'hui, les probabilités interviennent dans presque tous les secteurs : économie, gestion, assurances, génétique, psychologie, médecine... I Rappels de Terminale 1. Vocabulaire des ensembles Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. Exemple : Le lancer d'un dé. Chaque résultat possible et prévisible d une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à l expérience aléatoire. Exemple : {2} ; {5} sont deux éventualités possibles de l'expérience aléatoire précédente. L ensemble formé par les éventualités est appelé univers, il est très souvent noté Ω. Exemple : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Langage probabiliste Définition Illustration A est un événement A est une partie de Ω A Ω A est l'événement contraire de A A est composé de toutes les éventualités qui ne sont pas dans A A Ω L'événement A B A B est composé des éventualités qui sont soit dans A soit dans B B A Ω L'événement A B A B est composé des éventualités qui sont dans A et aussi dans B B A Ω - 1 -
2. Probabilité Qu'est-ce qu'une probabilité et comment la calcule-t-on? Il a fallu longtemps pour arriver à une définition satisfaisante de la probabilité. Celle en vigueur actuellement a été publiée en 1933 et est due au russe Kolmogorov. Cette définition explicite le lien entre la fréquence d un événement et sa probabilité. Elle s exprime de façon tout à fait rigoureuse (bien sûr), et en français vulgarisé elle dit à peu près ceci : Plus le nombre d'expérience augmente, et plus il est probable que la fréquence de l'événement A sera proche de la probabilité de A. Par exemple, pour déterminer la probabilité d'obtenir 6 lors du lancer d'un dé équilibré, on simule un grand nombre de lancers à l'aide d'un tableur : n lancer Résultat lancer effectif cumulé fréquence cumulée 1 4 0 0 2 6 1 0,5 3 6 2 0,67 4 2 2 0,5 5 2 2 0,4 6 1 2 0,33 7 3 2 0,29 8 1 2 0,25 9 2 2 0,22 10 4 2 0,2 11 1 2 0,18 12 6 3 0,25 13 2 3 0,23 14 2 3 0,21 15 1 3 0,2 16 3 3 0,19 17 4 3 0,18 18 1 3 0,17 19 4 3 0,16 20 5 3 0,15 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-2 -
Définition : Une probabilité P sur un univers fini est une application qui, à chaque événement élémentaire, associe un nombre réel P compris entre 0 et 1 tel que : La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. La probabilité de l'univers est égale à 1. Quelques résultats : Pour tout événement A, P(A) = 1 P(A) Pour tout événements A et B, P( A B ) = P(A) + P(B) P( A B ) Cas particulier important : l'équiprobabilité Définition : On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Dans ce cas, on a : nombre de casfavorables nombresd 'éléments de A P A = = nombresde cas possibles nombresd 'éléments dans Ω. II Probabilités conditionnelles Exemple Voici les résultats d'un sondage effectué auprès de 1000 personnes, à propos d'internet : 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet; 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans, et parmi celles-ci, 80% déclarent être intéressées par Internet; 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et parmi celles-ci, 85% ne sont pas intéressées par Internet. 1. Compléter le tableau suivant : Intéressées par Internet Non intéressées par Internet Total Moins de 25 ans Entre 25 et 50 ans Plus de 50 ans Total 2. On choisit au hasard une personne parmi les 1 000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. Dans la suite, si E est un événement, on note p(e) sa probabilité. On considère les événements : A : «la personne interrogée est intéressée par Internet» B : «la personne interrogée a moins de 25 ans» a. Calculer, en les justifiant, les probabilités p(a) et p(b). b. Définir par une phrase l'événement A B, puis calculer p A B. En déduire p A B. - 3 -
3. On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par Internet. Quelle est la probabilité qu'elle ait moins de 50 ans? 4. Quelle est la probabilité qu'une personne ayant entre 25 et 50 ans soit intéressée par internet? Définition : Soit P une probabilité sur Ω et soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité sachant que A est réalisé est l'application P A qui, à tout événement B, associe le nombre P A B = P A B P A Propriétés : P A, la probabilité sachant que A est réalisé, est une probabilité sur Ω. Soient A et B deux événements de probabilités non nulles : P A B = P B A = Formule des probabilités totales : Soit A et B deux événements de Ω et P une probabilité de Ω. Exemple Dans un atelier, deux machines M 1 et M 2 découpent des pièces métalliques identiques. M 1 fournit 60% de la production (parmi lesquelles 6, 3% sont défectueuses), le reste étant fourni par M 2 (dont 4% de la production est défectueuse). La production du jour est constituée des pièces produites par les deux machines, et on en tire en fin de soirée une pièce au hasard (tous les prélèvements sont supposés équiprobables). 1. Utilisation des formules des probabilités conditionnelles. a. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite par M 1? b. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite par M 2? c. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse? - 4 -
2. Utilisation d un tableau. On suppose maintenant que la production est composée de 10000 pièces. Reproduire et compléter le tableau suivant qui décrit la production du jour : Nombre de pièces défectueuses Nombre de pièces conformes Total Nombre de pièces produites par M 1 Nombre de pièces produites par M 2 Total a. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite par M 1? b. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite par M 2? c. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse? 3. Utilisation d un arbre des probabilités conditionnelles a. Dresser un arbre des probabilités conditionnelles relatif à la situation proposée. b. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite par M 1? c. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse, sachant qu elle est produite par M 2? d. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse? - 5 -
III Événements indépendants Définition : Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si, P A B =P A P B Définition 2 : Dans le cas où A et B ont des probabilités non nulles, A et B sont indépendants si, et seulement si, P A B =P B ou P B A =P A Cela signifie que la réalisation d'un des deux événements n'a pas d'influence sur celle de l'autre. Exercice : Une entreprise fabrique un certain modèle de système d'alarme pour des maisons individuelles. Ce système d'alarme est susceptible de présenter deux défauts, et deux seulement, notés d 1 et d 2. Dans un lot de ce modèle de système d'alarme, on prélève un système au hasard. On considère les événements suivants : E 1 : «le système prélevé présente le défaut d 1» E 2 : «le système prélevé présente le défaut. d 2» On suppose que les deux événements E 1 et E 2 sont indépendants, que P( E 1 )= 0,02 et P( E 2 ) = 0,015. 1. Calculer la probabilité qu'un système prélevé au hasard dans le lot présente le défaut d 1 et le défaut d 2. 2. Un système est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. Démontrer que la probabilité qu'un système prélevé au hasard dans ce lot soit défectueux est 0,0347. 3. Calculer la probabilité qu'un système prélevé au hasard dans ce lot ne soit pas défectueux? - 6 -
IV Dénombrement Comment doit-on savoir si l'on doit utiliser des arrangements ou des combinaisons? On considère que les éléments ne peuvent pas être répétés et on se base sur un seul critère : L' ordre des éléments est-il à prendre en compte? On tient compte de l'ordre On utilise des arrangements. On ne tient pas compte de l'ordre On utilise des combinaisons. Exemple 1: Dans une course de 100m, il y a huit partants numérotés de 1 à 8. Sur le podium, il y aura 3 médaillés (or argent bronze). Combien y a-t-il de podiums possible? On ne peut pas obtenir plusieurs fois le même numéro sur le podium, les éléments sont donc bien distincts. L'ordre d'apparition des différents numéro sur le podium a-t-il une importance? OUI, le podium 6 4 3 signifie que le coureur n 6 a la médaille d'or tandis que 4 6 3 signifie que c'est le coureur 4 qui est en or. Les deux podiums sont différents, l'ordre est déterminant. On utilise des arrangements Définition : On appelle arrangement et on note A n p le nombre de façon d'ordonner p objets choisis parmi n. Dans notre cas, il y a donc A 8 3 =8 7 6=336 8 choix possibles pour la première marche du podium, 7 pour la deuxième et enfin 6 pour la dernière. Remarque : Si n = p, A n n A n n = est une permutation de n éléments. Exemple 2: Au loto, on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien y a-t-il de tirages possibles? (on ne tient pas compte du numéro complémentaire) On ne peut pas obtenir plusieurs fois le même numéro lors d'un tirage, les éléments sont donc distincts. L'ordre d'apparition des numéros a-t-il de l'importance? NON, on considère les 6 numéros globalement, l'ordre n'a pas d'importance. On utilise des combinaisons Définition : On appelle combinaison et on note n p tenir compte de l'ordre. le nombre de façon de choisir p objets parmi n sans Dans notre cas, il y a donc 49 6 =13983816 tirages possibles. Si on coche une grille au loto, on a donc une chance sur 13 983 816 d'avoir les 6 numéros... - 7 -
Avec la calculatrice Texas Instrument Casio - 8 -
Quand on utilise plusieurs combinaisons, faut-il additionner ou multiplier? Cela dépend! Concrètement : Si les différentes étapes sont reliées par un «et», on multiplie. Si les différents cas sont reliés par un «ou», on additionne. Exemple 3: Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (ces 5 cartes s'appellent une 'main'). 1. Combien de mains contiennent exactement 2 dames et un roi? 2. Combien de mains contiennent au moins 3 rois? Exemple 4 : On remplit une grille de loto (cela signifie que l'on a coché 6 numéros parmi 49). Calculer la probabilité d'avoir exactement 3 numéros gagnants. - 9 -
Comment calculer avec les coefficients n p? Pour tout entier naturel n non nul, on rappelle que n! est le produit de tous les entiers compris entre 1 et n. Par exemple, 5! = Cas particuliers : 2! = 1! = 0! = Définition : Le nombre de façons de choisir p objets parmi n est n p = n! p! n p!. Cas particuliers : n 0 = n 1 = n n = Propriété : Pour tout n, p entiers naturels tels que p n n n p. Exercice : Démontrer que n 1 p 1 = n p 1 n p. n p = - 10 -
Le triangle de Pascal Le triangle arithmétique était connu et utilisé bien avant l'époque de Pascal. C'est à ce dernier cependant que revient le mérite d'en avoir analysé les structures et les propriétés afin de les utiliser avec ingéniosité dans différents domaines des mathématiques. Il est construit de la façon suivante : On place 1 au sommet de la pyramide, puis 1 et 1 en dessous, de part et d'autre. Les extrémités des lignes sont toujours des 1, et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus. Propriété : On retrouve les valeurs des coefficients n p - 11 -