Le principe multiplicatif (notion 2)

L indépendance (notion 1) (source : académie d Aix-Marseille) Le programme est très clair à ce sujet : «La notion de probabilité conditionnelle est hors programme» Mais pour aborder la loi binomiale, il est inévitable de préciser les conditions de la répétition d expériences aléatoires. L énoncé usuel consiste à dire qu on étudie la répétition d expériences identiques et indépendantes à deux ou trois issues. L idée à transmettre est que : «Des expériences sont considérées comme indépendantes si la réalisation d une issue de l une d elles ne modifie pas les probabilités des issues de celles qui suivent» Elle peut être dégagée par des exemples simples de tirages répétés avec ou sans remise, comme dans la situation suivante : Une urne contient 2 boules blanches et 1 boule noire indiscernables au toucher Tirage de deux boules avec remise Tirage de deux boules sans remise On voit bien alors que c est la modification des conditions initiales du deuxième tirage, entraînée par l absence de remise, qui remet en cause l indépendance. Le principe multiplicatif (notion 2) «Pour la répétition d expériences identiques et indépendantes, la probabilité d une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.» Cette notion de produit des probabilités est le second point clé. Il y a déjà eu prise de contact les années précédentes : Expériences à deux épreuves en 3ème. Equiprobabilité, utilisation d arbres, diagrammes et tableaux en 2 nde pour le calcul des probabilités. Sur ce travail fait en amont, le principe multiplicatif peut être facilement accepté par les élèves. La multiplication sur les branches correspondant à un dénombrement visuel. Le cas de l équiprobabilité reposant sur ce dénombrement, il n y a pas vraiment de difficultés. Mais qu en est-il dans une situation non équiprobable où la multiplication des probabilités n est pas directement liée à ce dénombrement? Ce préambule est indispensable avant l introduction de la loi binomiale. Elle ne doit pas arriver comme une recette miracle, mais au contraire comme un outil se suppléant au mécanisme de l arbre qui pourrait représenter un travail Probabilités 1

fastidieux dans le cas d un nombre élevé de répétitions (n>4 comme le suggère le programme). Elle ne sera vécue comme un outil pratique de simplification que si le travail sur les arbres est bien maîtrisé et son aspect répétitif évident. «La représentation à l aide d un arbre est privilégiée : il s agit ici d installer une représentation mentale efficace» Propriété des coefficients binomiaux (notion 5) n n n 1 Comment démontrer la formule k k1 k1? Le mieux est de reconstruire un arbre pour 4 répétitions, mais cette fois-ci non pas pour dénombrer mais pour comprendre le mécanisme de construction des chemins lorsque l on répète l expérience. Le but est de ne pas construire l arbre, mais d anticiper la répétition : un succès va donner naissance à un succès et à un échec. Après l expérience initiale : Nous aurons donc à la répétition suivante : 2 succès : il y avait déjà un succès au départ et on suit la branche succès. 1 succès : soit il y avait 1 succès au départ et on suit la branche échec soit il y avait 0 succès au départ et on suit la branche succès 0 succès : il y avait déjà 0 succès au départ et on suit la branche échec Après la première répétition : Nous aurons donc à la répétition suivante : 3 succès : il y avait déjà 2 succès avant et on suit la branche succès. 2 succès : soit il y avait 2 succès avant on suit la branche échec soit il y avait 1 succès avant et on suit la branche s 1 succès : soit il y avait 1 succès avant on suit la branche échec soit il y avait 0 succès avant et on suit la branche succès 0 succès : il y avait 0 succès avant et on suit la branche échec. etc. Ce qui nous amène à la généralisation suivante : Après n répétitions : - chacun des chemins amenant à k succès donnera naissance à : k succès si on suit la branche échec de l arbre k+1 succès si on suit la branche succès de l arbre. - chacun des chemins amenant à k+1 succès donnera naissance à : k+1 succès si on suit la branche échec de l arbre k +2 succès si on suit la branche succès de l arbre. Ainsi le nombre de chemins à k+1 succès parmi n+1 répétitions est égale à la somme des nombres de chemins à k succès et à k+1 succès parmi n répétitions. La formule n est plus qu à traduire en utilisant juste la notation du nombre de chemins réalisant k succès parmi n répétitions. Toute référence aux combinaisons et aux factorielles étant proscrite. La construction du triangle de Pascal peut donc se faire simultanément puisqu elle s appuie sur cette propriété. Il pourrait être intéressant de le compléter au fur et à mesure que l on travaille sur les arbres, voire même le présenter comme un tableau de bilan à remplir au fur et à mesure que l on avance dans ce travail. Probabilités 2

Nombre de succès Nombre de répétitions 0 1 2 3 4 5 1 1 1 2 1 1+1=2 1 3 1 1+2=3 2+1=3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 Remarque : la propriété de symétrie ne pose pas vraiment de problème en remarquant que k succès correspondent à n-k échecs, il y a donc autant de chemins menant à k fois une des deux issues et à n-k fois l autre. Exercice 1 : Le principe multiplicatif (notion 2) Exercices Une urne contient 2 jetons blancs et 1 jeton noir indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard et on note sa couleur avant de le remettre dans l urne et de recommencer l expérience une fois. X est la variable aléatoire égale au nombre de jetons blancs tirés. Déterminer la loi de probabilité de X. Exercice 2 : Problème fil rouge «Autour de la loi binomiale» Partie A : (notion 3) Un feu tricolore a les caractéristiques suivantes : le vert et le rouge durent 24 secondes, mais le feu orange dure 12 secondes. 1. On arrive «au hasard» devant le feu et on observe sa couleur. Comment simuler cette expérience à l aide d une boîte contenant des jetons? 2. Un conducteur emprunte un itinéraire comportant quatre feux successifs non synchronisés, indépendants les uns des autres, et possédant les caractéristiques précédentes. Le conducteur, respectueux du code de la route, s arrête dès qu il rencontre un feu rouge ou orange. L expérience est terminée dès que le conducteur s arrête ou qu il a franchi les quatre feux verts. Représenter l expérience à l aide d un arbre. 3. On numérote les quatre feux successifs de 1 à 4. On s intéresse maintenant au numéro du feu qui provoque le premier arrêt. On appelle X la variable aléatoire égale au numéro du feu provoquant le premier arrêt. S il n y a pas d arrêt (c est à dire si les quatre feux sont verts) on convient de dire que X prend la valeur 0. Donner la loi de probabilité de X. Partie B : (notion 4) Les données sont les mêmes que celles de la partie A. 1. On appelle Y la variable aléatoire qui compte le nombre d'arrêts sur le trajet lors du franchissement des quatre feux. Déterminer la loi de probabilité de Y en utilisant un arbre pondéré et compléter le tableau suivant : k 0 1 2 3 4 P(Y=k) 2. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire Y et interpréter cette valeur. Partie C : (Scénario pour une conjecture sur l espérance) (notion 6) La loi de Y est une loi binomiale de paramètres n et p. On réalise à l aide d un tableur 500 expériences correspondant à ce modèle. Pour chaque expérience, on compte le nombre de succès, puis on fait la moyenne des résultats obtenus sur les 500 expériences. Ceci permet d estimer pour différentes valeurs de n et p la valeur de l espérance mathématique de Y, puis de conjecturer la formule générale donnant cette espérance. p = 0,2 p = 0,4 p = 0,6 p = 0,8 n = 10 n = 20 Probabilités 3

Exercice 3 : (Intervalle de confiance, intervalle de fluctuation) : (notion 7) A la veille du second tour d une élection présidentielle opposant deux candidats A et B, un institut de sondage souhaite estimer la probabilité que le candidat A soit élu. On fait l hypothèse que les suffrages des différents électeurs sont indépendants et que la probabilité que chacun d entre eux vote A au second tour est p. 1) L institut de sondage désire obtenir une estimation à maximum + ou 3 % du score du candidat A à ce second tour. a) Combien d électeurs doit-il sonder au minimum pour obtenir un intervalle de confiance à 95 % pour son estimation? b) On considère que cet institut effectue un sondage auprès de 1 112 électeurs parmi lesquels 563 se déclarent en faveur de A (on suppose que tous les électeurs se prononcent). Déterminer l estimation p obs de p que l on peut faire du score de A à ce second tour, puis déterminer un intervalle de confiance à 95 % de p. 2) Monsieur A annonce que 52 % des électeurs lui font confiance. On interroge 100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu il s agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 5 %, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par Mr A, dans un sens ou dans l autre. a) On fait l hypothèse que Mr A dit vrai et que la population des électeurs qui lui font confiance dans la population est p=0,52. Montrer que la variable aléatoire X, correspondant au nombre d électeurs lui faisant confiance dans un échantillon de 100 électeurs, suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,52. b) On donne ci-contre un extrait de la table des probabilités cumulées p(x k) où X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,52. b1) Déterminer a et b tels que : a est le plus petit entier tel que p(x a)>0,025 b est le plus petit entier tel que p(x b)>0,975. b2) Comparer l intervalle de fluctuation à 95 %,, ainsi obtenu grâce à la loi binomiale, avec l intervalle. k p(x k) 40 0,0106 41 0,0177 42 0,0286 43 0,0444 61 0,9719 62 0,9827 63 0,9897 64 0,9941 c) Enoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l hypothèse p=0,52, selon la valeur de la fréquence f des électeurs favorables à Mr A obtenue sur l échantillon. d) Sur les 100 électeurs interrogés au hasard, 43 déclarent avoir confiance en Mr A. Peut-on considérer, au seuil de 5 %, l affirmation de Mr A comme exacte? Exercice 4 : (Loi binomiale et prise de décision) : (notions4 et 8) On s intéresse au chiffre d affaire journalier d un hypermarché pendant 30 jours ouvrables, et on choisit une journée au hasard. On suppose que les 30 tirages d un chiffre d affaire journalier sont indépendants. On sait que 24,8 % des chiffres d affaires journaliers dépassent 200 000 euros. Soit X la variable aléatoire qui mesure, sur 30 jours ouvrables, le nombre de jours où le chiffre d affaire dépasse 200 000 euros. 1) a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi. b) Calculer la probabilité de l événement " X 1 ". 2) La direction de l hypermarché engage une campagne publicitaire. Au vu des chiffres d affaires journaliers des 30 jours ouvrables suivant cette campagne, elle annonce que 7 d entre eux dépassent 200 000 euros. Peut-on mettre en doute le pourcentage annoncé par la direction? Probabilités 4

Exercice 5 : (notion 8) Un échantillon de 200 personnes est extrait, au hasard et avec remise, de la population constituée par les employés d une grande entreprise. Le tableau suivant décrit la distribution des salaires annuels bruts de ces 200 employés, en 2010. On suppose que la répartition des salaires est uniforme à l intérieur de chaque classe. salaires en milliers d euros [8;16[ [16;24[ [24;32[ [32;40[ [40;48[ effectif 90 50 30 20 10 1) On considère un employé choisi au hasard dans cet échantillon. Quelle est la probabilité que son salaire annuel brut en 2010 soit strictement inférieur à 40 000 euros? 2) Calculer la moyenne et l écart type σ des salaires pour l échantillon de 200 personnes décrit dans le tableau 3) Le directeur de l entreprise affirme que 52 % des salaires de ses employés dépassent 16 000 euros On interroge 40 employés au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu il s agit de tirages avec remise). Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre des personnes parmi ces employés dont le salaire annuel brut, en 2010, est supérieur ou égal à 16 000 euros. a) Déterminer la loi suivie par X, puis calculer l espérance mathématique E(X) de cette variable aléatoire. b) Enoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l affirmation du directeur au seuil de 5 %. Eléments de correction : Exercice 3 : 1) a) et b) p obs = et [0,476 ; 0,536] 2) a)on lit a=42 et b=62. b) les intervalles sont identiques. c) Si f appartient à l intervalle [0,42 ; 0,62], l hypothèse p=0,52 est acceptable, sinon, l hypothèse p=0,52 est rejetée au seuil de 5%. d) 0,43 appartient à l intervalle [0,42 ; 0,62], on considère que l affirmation de Mr A est exacte. Exercice 4 : 1) b) p(x 1 )=1-p(X=0)=1-0,752 30 0,9998 à 10-4 près. 2) f = à 10-3 près, p=0,248, et à 10-4 près et 0,233 appartient à l intervalle [0,066 ; 0,430]. L affirmation est exacte. Exercice 5 : 1) p=0,95 2) et donc à 10-2 près. 3) a) X = B(40;0,52) et E(X)=40 0,52=20,8. b) p obs =, à 10-3 près par excès et à 10-3 près par défaut, 0,55 appartient à l intervalle [0,362 ; 0,678]. Probabilités 5