Taux d intérêts simples Les caractéristiques : - < à 1 ans - Rémunération calculée uniquement sur investissement initial. Période de préférence = période sur laquelle on définit le taux de l opération Cas de l emprunt : + C -C + Intérêt t 0 1 - Remboursement en une seule fois - Calculer les intérêts : C = Capital ; T = Durée ; r = Taux ; I = Intérêts I= C x r x T Faire T/12 pour annuel Cas de placement / prêt : -C +C +Intérêt t 0 1 Intérêt = Rémunération Somme à recevoir à la date T = C + C x T x r Attention : Il faut faire attention à la période de référence.
Valeur acquise = Montant final tenant compte de la majoration des intérêts Attention : Emprunt Donner à la date T Prêt Recevoir à la date T Valeur acquise = C (1 + T x r ) Avec un taux simple, on utilise le taux de rendement arithmétique (proportionnel) r (arithmétique) = CT C0 / C0 x T CT = C0 ( 1 + T x r ) CT = C0 + ( C0 x r x T ) Taux intérêts composés Caractéristiques : - < à 1 an - Réinvestir les intérêts générés à chaque période CT = C0 ( 1 + r )^T Valeur acquise à la date T I = CT C0 Avec un taux composé, on utilise le taux de rendement actuariel r(actuariel) = (CT / C0) 1/T -1 CT = C0 (1+r) T Comparaison Simples & Composés Rappel : Simple CT = C0 (1+(r arithmétique x T) Composé CT = CO (1+r actuariel) T Pour avoir la même valeur : C0 (1+ r arithmétique x T) = C0 (1+r actuariel) T 1+(r ari x T) = (1+r actu) T
Simple r arithmétique équivalent = (1+r actu) T 1 / T Composé r actu équivalent = (1+ r ari x T ) 1/T - 1 Calculer une période Il ne faut pas compter le dernier jour, par exemple : 15 Janvier 15 Février Du 15/01 au 31/01= 16 jours + Du 31/01 au 15/02 = 14 jours. Principes d actualisation et de Capitalisation On les utilise avec les taux d intérêts composés. Analyse des opérations à plusieurs flux : - Le temps est décomposé en période de même durée (mois, trimestre, ) - Chaque entrée donne lieu à une rentrée ou une sortie d argent nette unique (= à la somme algébrique des rentrées et sorties de cette période). Quel flux choisir? Exemple : 0 1 2 3 4 A -500 100 150 200 250 B -350 250 100 75 125 On actualise à 10%, 1+t = 1,1 Entreprise A, à l instant T=0 : -500+ 100/(1+t) + 150/(1+t)² + 200/(1+t)³ + 250/(1+t)^4 = 35,90 Entreprise B : -350 + 250/(1+t) + 100/(1+t)² + 75/(1+t)³ + 125/(1+t) 4 = 101,64 Les deux rapportent plus de 10% mais il faut choisir l entreprise B. Un investissement génère une séquence de flux et la Valeur Présente (VP) de celle-ci est donnée par : VP = FO+ F1/(1+r) + F2/(1+r)² + + Fn/(1+r) n
F0 peut être positif quand c est une ouverture d un compte épargne par exemple, mais il est négatif quand il s agit d un investissement. NB : Plusieurs flux peuvent être négatifs. NB 2 : La VAN est différente de la VP quand F0 est négatif. Capitalisation La Valeur Acquise (ou valeur capitalisée ou valeur actualisée à l instant final) d une séquence de flux est égale à la somme des valeurs capitalisées jusqu à l instant final de chacun des flux composant la séquence. VAN Exemple : calculer la VAN avec un taux d actualisation de 10% Instants 0 1à9 10 Flux de trésorerie -380 +89,4 +228,8 VAN= -380 + 89,4/1,1 + 89,4/(1,1) 2 + 89,4/(1,1) 3 + 89,4/(1,1) 4 + 89,4/(1,1) 5 + 89,4/(1,1) 6 + 89,4/(1,1) 7 + 89,4/(1,1) 8 + 89,4/(1,1) 9 + 228,8/(1,1) 10 = 223,067 Pour aller plus vite on peut faire : VAN = -380 + 89,4 (1/1,1 + + 1/(1,1) 9 ) + 228,8. 1/(1,1) 10 = 5,75902 Résultat trouvé dans la table. = 0,38554 Un investissement n est retenu que s il produit une VAN positive. Entre deux investissements on préfèrera celui dont la VAN est la plus élevée. Le taux de rentabilité interne (TRI) - Qui dit VAN dit TRI - Qui dit Investissement dit TRI VAN = -I0 + F1/(1+t) + + Fn/(1+t) n > 0 Il faut que ça couvre au minimum I0 Correspond au TRI Le TRI correspond au taux exact du taux de rendement. (Taux qui annule la VAN)
Comment le calculer? Exemple : 0 1 2-200 80 280 VAN = -200 + 80/ (1+t) + 280/ (1+t) 2 r1 = 39% VAN1 = 2, 47 TRI VAN = 0 r2=41% VAN2= -2, 42 TRI = r2 x VAN1 r1 x VAN2 / VAN1 VAN2 o Le TRI d un investissement de séquence { -s ; s ; +is } où is représente les intérêts est égal aux taux d intérêt i alors : -s + s 1+i/1+TRI = 0 soit TRI = i o S il y a deux flux, TRI = y-x/x o Rente perpétuelle : TRI = y/x o Remboursement in fine : on rembourse tout à la fin mais on paye les intérêts tous les mois. Les prêts & les emprunts Annuité : remboursement à l année. Dans chaque remboursement, il y a une partie liée à l amortissement et une partie liée aux intérêts. On parle d annuité constante quand c est la même chose chaque année. CRD = Capital restant du Annuité = Amortissement + Intérêt o Annuité constante : - 1 ère étape : On calcule les intérêts Intérêt 1 = taux x CRD0-2 ième étape : Amortissement du capital, la partie que nous remboursons à la date suivante Amortissement 1 = Annuité intérêts - 3 ième étape : Trouver le CRD CRD1 = CRD0 Amortissement
o Amortissement in fine, dans le tableau, l intérêt reste le même tout le long ; l amortissement est à 0 sauf la dernière année où on retrouve le montant total à payer ; Le CRD est le montant à payer tout le long sauf la dernière année où il est de 0. o Amortissement constant : - 1 er étape : On détermine l amortissement A= C/N - 2 ième étape : On cherche l intérêt Intérêt 1 = r x CRD0-3 ième étape : On cherche l annuité Annuité 1 = A + Intérêt 1-4 ième étape : On calcule le CRD CRD1= CRD0 A = C-C/N CRD2 = C- C/N C/N = C- 2C/N CRDn= 0 o Calcul de l annuité en partant du capital : C= A1/1+r + A2/(1+r)² + + An/(1+r) n C= A (1/1+r + 1/(1+r)² + + 1/(1+r) n ) 1-(1+r) -n / r Suite géo C= A x 1-(1+r) -n / r Donc Annuité = C x r / 1-(1+r) -n TEG = Taux effectif global, il prend en compte les frais de dossier et toutes les assurances. Il permet de comparer le cout de deux emprunts. TEG : rp x p Calculer le TRI (TRI=rp) Les emprunts obligataires - Coupon = intérêt - Les obligations à taux fixe = coupon constant o Valeur Nominale (VN) : permet de calculer la valeur du coupon o Valeur d Emission (VE) : prix d achat de l obligation à la date 0 o Valeur de Remboursement (VR) : valeur reçue par l acheteur à la date finale On commence à calculer les coupons par rapport à la date de jouissance.
Coupon = Rn x Vn o Le taux actuariel actualise, = taux d actualisation, il ne rentre pas pour le calcul du coupon. o Si VE=VR=VN Rn=Taux actuariel (y) o Si VE > VN ; VR < VN Rn > y o Si VE < VN ; VR > VN Rn < y Valeur entre 2 dates de coupon qui est la valeur de transaction : valeur plein coupon La cotation se fait en fonction de la valeur de l obligation : valeur pied du coupon (date de versement du précédent coupon). Coupon couru : date du précédent coupon jusqu à la date de la vente = i. x/365 Coupon couru : V.plein coupon V. pied du coupon V. pied du coupon : V.plein coupon Coupon couru V. plein coupon : V. pied du coupon + Coupon couru
Bonus : Savoir faire une suite géométrique : S = U0 + U1 + U2 + + U N+1 + UN U0 = 1.q 0 U1= U0.q 1 U2= U1.q=U0.q² UN= U0.q n S= q 0 + q 1 + q² + + q n S= q 0 x [(1-q n ) / (1-q)] Quand on part de U0 1er terme de la suite Nb de terme VP = F [1+ 1/(1+t) + 1/(1+t)² + + 1/(1+t) n ] q= 1/1+t Nb de terme = n+1 1x [1-(1/1+t) n +1 / 1-1/1+t] Intérêt : terme échu 0 1 2 N -rxc -rxc -C(1+r) Intérêt : terme à échoir 0 1 2 N -ixc -ixc -C L amortissement constant est toujours plus avantageux pour le client. Quand le taux nominal, la valeur de l obligation et inversement. Refaire l exercice page 61 & 62 du dossier