I SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Dire qu une suite(u n ) est géométrique signifie qu il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier n, u n+1 = qu n Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique. ÉVOLUTION EN POURCENTAGE Augmenter une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1+ t 100. Diminuer une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1 t 100. Chaque fois qu on est confronté à une situation d évolutions successives d une grandeur de t%, on peut définir une suite géométrique de raison 1+ t t (augmentation) ou 1 100 100 (diminution) EXEMPLES 1. Un capital de 2 000 C est placé au taux d intérêt composé de 1,5% par an. On note C n le capital disponible au bout de n années alors : ( C n+1 = 1+ 1,5 ) C n = 1,015 C n 100 Ainsi, la suite (C n ) est une suite géométrique de premier terme C 0 = 2000 et de raison q=1,015. 2. Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4% par an. En 2012, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes. On note r n la quantité de rejets l année 2012+n d où : r n+1 = ( 1 4 100 ) r n = 0,96 r n Ainsi, la suite (r n ) est une suite géométrique de premier terme r 0 = 50000 et de raison 0,96. 2 PROPRIÉTÉ 1 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, EXEMPLE u n = u 0 q n L objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à 30 000 tonnes (soit une réduction de 40%). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans? Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : r 10 = 50000 0,96 10 33242 Avec un réduction de 4 % par an, en 2022 l objectif du groupe industriel ne sera pas atteint. 3 PROPRIÉTÉ 2 Si(u n ) une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n et pour tout entier p, u n = u p q n p A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 15
Lycée JANSON DE SAILLY 4 MONOTONIE Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 donc : u n+1 u n = u 0 q n+1 u 0 q n = u 0 q n (q 1) La monotonie de la suite dépend du signe de u 0, q n et (q 1) Si q<0 alors q n est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n est pas monotone. Si q>0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit u 0 (q 1). Si q>1 Si 0<q<1 Si u 0 > 0, alors la suite (u n ) est croissante Si u 0 < 0, alors la suite (u n ) est décroissante Si u 0 > 0, alors la suite (u n ) est décroissante Si u 0 < 0, alors la suite (u n ) est croissante u n 1 2 3 4 5 6 7 n u n 1 2 3 4 5 6 7 n u n 1 2 3 4 5 6 7 n u n 1 2 3 4 5 6 7 n Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants THÉORÈME 1 Soit q un réel non nul. Si q<0 alors la suite (q n ) n est pas monotone. Si q>1 alors la suite (q n ) est strictement croissante. Si 0<q<1 alors la suite (q n ) est strictement décroissante. Si q=1 alors la suite (q n ) est constante. THÉORÈME 2 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u 0 non nul Si q<0 alors la suite (u n ) n est pas monotone. Si q>0 et u 0 > 0 alors la suite (u n ) a le même sens de variation que la suite (q n ). Si q>0 et u 0 < 0 alors la suite (u n ) a le sens de variation contraire de celui de la suite (q n ). 5 SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, u 0 + u 1 + +u n = n i=0 ( ) 1 q n+1 u i = u 0 1 q Cette formule peut se retenir de la façon suivante : La somme S de termes consécutifs d une suite géométrique de raison q 1 est : S=premier terme 1 qnombre de termes 1 q A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 15
Lycée JANSON DE SAILLY II LIMITE D UNE SUITE On étudie le comportement d une suite (u n ) quand n prend de grandes valeurs. 1 LIMITE INFINIE DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) admet une limite égale à + quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n =+ n + Concrètement, une suite (u n ) tend vers + si u n est aussi grand que l on veut dès que n est suffisamment grand. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE On a représenté ci-dessous une suite (u n ) ayant une limite égale à+ u n A p n Pour tout entier n p, u n > A. p est le seuil à partir duquel u n > A DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) admet une limite égale à quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à A à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n = n + 2 LIMITE FINIE DÉFINITION Soit (u n ) une suite définie surnet l un réel. 1. Dire que la suite (u n ) admet pour limite le réel l signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]l r;l+r[ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang p. On écrit : lim u n =l n + 2. Une suite qui admet pour limite un réel l est dite convergente. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 15
Lycée JANSON DE SAILLY Autrement dit, une suite (u n ) est convergente vers un réel l si tous les termes de la suite à partir d un certain rang p peuvent être aussi proches que voulu del. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d un certain rang p, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d équation y=l r et y=l+r. u n l+r l l r p Le rang p est le seuil à partir duquel «u n est à une distance de l inférieure à r» n PROPRIÉTÉ La suite (u n ) converge vers un réel l si, et seulement si, la suite (u n ) l est convergente vers un 0. REMARQUE Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général ( 1) n prend alternativement les valeurs 1 et 1. Elle n admet pas de limite. 3 LIMITES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE THÉORÈME (admis) Soit q un réel strictement positif : Si 0<q<1 alors la suite géométrique de terme général q n converge vers 0 : lim n + qn = 0. Si q=1 alors la suite géométrique de terme général q n est constante et sa limite est 1. Si q>1 alors la suite géométrique de terme général q n a pour limite + : lim n + qn =+. COROLLAIRE Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 non nul et de raison q strictement positive. Si 0<q<1 alors la suite (u n ) converge et lim n + u n = 0. Si q=1 alors la suite (u n ) est constante et égale à u 0. Si q>1 alors la suite (u n ) admet une limite infinie avec : lim u n = si u 0 < 0 et lim u n =+ si u 0 > 0 n + n + A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 4 sur 15
RECHERCHE D UN SEUIL À L AIDE D UN ALGORITHME EXEMPLE 1 Soit (r n ) la suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme r 0 = 50000 Comme 0<0,96<1 la suite (r n ) converge vers 0 : lim n + 50000 0,96n = 0. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à 30 000. C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, 50000 0,96 n 30000 INITIALISATION : A=50000 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A > 30000 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 0,96 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I PROGRAMME TEXAS CASIO PROGRAM : SEUIL ===== SEUIL ===== : 50000 A 50000 A : 0 I 0 I : While A > 30000 While A > 30000 : I + 1 I I + 1 I : 0.96*A A 0.96*A A : End WhileEnd : Disp I I La calculatrice affiche 13. Donc pour tout entier n 13, 50000 0,96 n 30000. EXEMPLE 2 Soit (u n ) la suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme u 0 = 2000 1,015> 1 et u 0 > 0 donc la suite (u n ) est croissante et lim n + 2000 1,015n =+. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur à 3 000. C est à dire déterminer le plus petit entier p tel que pour tout entier n p, 2000 1,015 n > 3000 INITIALISATION : A=2000 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A 3000 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 1,015 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I La calculatrice affiche 28. Donc pour tout entier n 28, 2000 1,015 n > 3000. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 5 sur 15
EXERCICE 1 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 16 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,75 u n. 1. a) Quelle est la nature de la suite (u n )? b) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. c) Étudier la monotonie de la suite (u n ). d) On note S n la somme des n+1 premiers termes de la suite u n. Calculer S 4. 2. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=0,75x et la droite D d équation y=x. y D A1 M 1 1 0 1 u 1 u 0 x a) Construire sur le graphique les termes de la suite u 2, u 3,,u 11. b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n 0,1. 4. Montrer que pour tout entier n, S n = 64 ( 1 0,75 n+1). Vers quel réel tend S n quand n tend vers +? EXERCICE 2 Soit (u n ) la suite géométrique définie par : u 0 = 1 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 8 5 u n. 1. a) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. b) Étudier le sens de variation de la suite (u n ). A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 6 sur 15
2. a) Utiliser les droites d équations y=x et y=1,6x pour construire les huit premiers termes de la suite(u n ). y 1 0 1 x b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n 5000. 4. On note S la somme des n premiers termes de la suite u n. a) Montrer que pour tout entier n, S= 5(1,6n 1). 6 b) Vers quel réel tend S quand n tend vers +? EXERCICE 3 (D après sujet bac) La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française. Les montants réalisés à l exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d euros : Années 2008 2009 2010 2011 Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d euros) 81 295 66 052 64 690 63 182 Source : ISPF (Institut de Statistiques de Polynésie Française) 1. Vérifier que le taux d évolution annuel moyen des montants à l exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est 8,06% arrondi au centième. On admet pour la suite de l exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 7 sur 15
2. On considère l algorithme suivant : Entrée Saisir un nombre positif P Traitement : Affecter la valeur 0 à la variable N {initialisation} Affecter la valeur 63 182 à U {initialisation} Sortie Tant que U>P Affecter la valeur N + 1 à N Affecter la valeur 0,92 U à U Fin de Tant que Affecter la valeur N + 2011 à N Afficher N Si on saisit P=50 000 en entrée, qu obtient-on en sortie par cet algorithme? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles. 3. Pour prévoir les montants réalisés à l exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite (u n ). On note u 0 le montant en 2011, en milliers d euros, et u n le montant en 2011+n, en milliers d euros. On a donc u 0 = 63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%. a) Montrer que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016? On arrondira le résultat au millier d euros. 4. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d euros. EXERCICE 4 (D après sujet bac France métropolitaine, La Réunion 2015) Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil et GPL). Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à «faible émission de CO 2» c est-à-dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d un moteur électrique) et des véhicules électriques. DOCUMENT 1 Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l ADEME (Agence de l Environnement et de la Maîtrise de l Energie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux, l ADEME prévoit d atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d émission de CO 2 par véhicule de 100 g/km. Ventes et prévisions Véhicules (VP-VUL) Ventes 2010 Parc 2010 Prévisions ventes 2030 Prévisions parc 2030 Véhicules thermiques 100 % 100 % 64 % 89 % Véhicules hybrides 0 % 0 % 24 % 7 % Véhicules électriques 0 % 0 % 12 % 4 % Total des voitures VP et VUL 2,2 millions 35 millions 2 millions 35 millions Emission moyenne de CO 2 par véhicule 127 g/km 165 g/km 49 g/km 100 g/km DOCUMENT 2 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 8 sur 15
Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013 Véhicules (VP- VUL) Ventes 2011 Ventes 2012 Ventes 2013 Véhicules hybrides 13 600 27 730 41 340 Véhicules électriques 4 313 9 314 13 954 Total des ventes y compris véhicules thermiques 2 204 065 1 898 872 1 790 000 PARTIE A 1. Selon les prévisions de l ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides vendus? 2. Selon les prévisions de l ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO 2 dans le parc automobile? PARTIE B 1. Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013. Véhicules VP et VUL Augmentation des ventes de véhicules de 2011 à 2012 de 2012 à 2013 Véhicules hybrides 103,9 %... Véhicules électriques 116 % 49,8 % 2. Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16 % par an de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de 41 340. On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique de raison 1,16. On note u n le nombre de véhicules hybrides vendus durant l année 2013+n. a) Donner u 0. b) Exprimer u n en fonction de n. c) L augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle d atteindre la prévision de l ADEME pour l année 2030? 3. Les professionnels de l automobile s intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13 954. a) On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16 % à partir de 2013. A B 1 Année Prévisions des ventes de voitures électriques 2 2013 13 954 3 2014 16 186,64 4 2015 18 776,502 4 5 2016 21 780,742 78 6 2017 25 265,661 63 7 2018 29 308,167 49 8 2019 33 997,474 29 9 2020 39 437,070 17 10 2021 45 747,001 4 11 2022 53 066,521 63 12 2023 61 557,165 09 13 2024 71 406,311 5 14 2025 82 831,321 34 15 2026 96 084,332 76 16 2027 111 457,826 17 2028 129 291,078 2 18 2029 149 977,650 7 19 2030 173 974,074 8 A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 9 sur 15
Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour compléter le tableau par «recopie vers le bas». b) Ce taux d augmentation annuel permettrait-il d atteindre les prévisions de l ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030? 4. Les professionnels de l automobile cherchent un pourcentage d augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d atteindre les prévisions de l ADEME en 2030. On considère l algorithme suivant : VARIABLES u : un nombre réel q : un nombre réel INITIALISATION Affecter à u la valeur 173 974 Affecter à q la valeur 1,16 TRAITEMENT Tant que u 240000 q prend la valeur q+0,01 u prend la valeur 13954 q 17 Fin Tant que SORTIE Afficher (q 1) 100 a) Que représente la valeur 173 974 prise par la variable u dans l initialisation de l algorithme? b) Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées. Étapes de l algorithme Variables q u Initialisation 1,16 173 974 Étape 1...... Étape 2............... c) Quelle est la valeur affichée par l algorithme? Interpréter le résultat. EXERCICE 5 (D après sujet bac France métropolitaine septembre 2014) Chloé, âgée de 15 ans au 1 er janvier 2014, réside dans une agglomération française. Pour anticiper le financement de son permis de conduire, elle décide de placer sur un produit d épargne ses 600 euros d économies à partir du 1 er janvier 2014. Information 1 : conditions de souscription du livret jeune Montant maximum de placement : 1 600 euros Taux d intérêt annuel de 2,75 % Avoir entre 12 et 25 ans Résider en France Montant minimum à l ouverture : 10 euros Information 2 : coût moyen du permis de conduire A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 10 sur 15
La loi impose un minimum de 20 heures de conduite avant de se présenter au permis. Une enquête de la CLCV (Consommation, Logement et Cadre de Vie) publiée en août 2013 et menée auprès de 447 auto-écoles souligne que ce forfait de 20 heures est facturé du simple au double selon les régions. Par ailleurs, même si le minimum imposé par la loi est de vingt heures de conduite, il en faut plutôt trente en moyenne. Ainsi, en comptant les frais de dossier, il est préférable de prévoir un budget de 1 500 euros. PARTIE A 1. Expliquer pourquoi Chloé remplit les conditions permettant de souscrire au livret jeune. 2. Aura-t-elle une somme suffisante disponible au 1 er janvier 2017 pour passer son permis si elle choisit de souscrire au livret jeune? PARTIE B Chloé aura besoin de 1 500 euros pour financer son permis. Ses parents lui conseillent de verser chaque mois sur le livret la somme supplémentaire de 25 euros, à partir du 1 er février 2014. Ils lui expliquent que le taux annuel du livret jeune correspond à un taux mensuel de 0,226 %. 1. Ses parents lui présentent un extrait d une page de tableur qui simule l évolution d épargne : A B 1 01/01/2014 600,00 C 2 01/02/2014 626,36 C 3 01/03/2014 652,77 C 4 01/04/2014 679,25 C 5 01/05/2014 705,78 C 6 01/06/2014 732,38 C 7...... a) Justifier que, dans la feuille de calcul ci-dessus, la formule à saisir dans la cellule B2 est : = 1,00226 B1+25. b) Déterminer la somme qui serait disponible sur le livret au 1 er juillet 2014. 2. Chloé veut déterminer au bout de combien de mois elle aurait l argent nécessaire pour financer son permis en suivant le conseil de ses parents. Elle décide de noter u n la somme, en euros, disponible le n-ième mois après l ouverture du livret. Ainsi, u 0 vaut 600 euros. a) Exprimer u n+1 en fonction de u n. b) Chloé décide d écrire l algorithme suivant : Variables n : un nombre entier naturel u : un nombre réel Initialisation Affecter à n la valeur 0 Affecter à u la valeur 600 Traitement Tant que...... Affecter à n la valeur n+1 Affecter à u la valeur...... Fin Tant que Sortie Afficher...... A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 11 sur 15
Trois lignes de l algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter pour que Chloé puisse déterminer le nombre de mois cherché. c) Au bout de combien de mois Chloé aura-t-elle l argent nécessaire pour financer son permis si elle suit les conseils de ses parents? EXERCICE 6 (D après sujet bac Antilles Guyane 2013) 1. L algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d une suite que l on appellera (u n ). Entrée : Traitement : Saisir la valeur de l entier naturel n Affecter 2 à la variable u Pour i variant de 1 à n Affecter 1,5u à u Fin de Pour Sortie : Afficher u Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l on saisit n = 1, puis n = 2 et enfin n = 3? 2. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1,5u n. a) Quelle est la nature de la suite (u n )? Préciser ses éléments caractéristiques. b) Pour tout entier naturel n, donner l expression du terme u n en fonction de n. 3. On considère la suite (S n ) définie pour tout entier naturel n par : S n = n k=0 a) Calculer les valeurs des termes S 0, S 1 et S 2. u k = u 0 + u 1 + u 2 +...+u n. b) Quelles modifications doit-on faire à l algorithme précédent pour qu il affiche la valeur du terme S n pour un n donné? Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie. c) Calculer le terme S n en fonction de l entier naturel n. d) En déduire la limite de la suite (S n ). EXERCICE 7 (D après sujet bac Nouvelle Calédonie 2013) La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par u n+1 = 0,4u n + 3 et u 0 = 1. PARTIE A 1. À l aide d un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de u n. On obtient les résultats suivants : A B C D E F G H I J K L 1 Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Valeur de u n 1 2,6 4,04 4,616 4,8464 4,9386 4,9754 4,9902 4,9961 4,9984 4,9994 Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification)? a. = 0,4 n + 3 b. = $B$2 0,4+3 c. = B2 0,4+3 d. = 0,4ˆC1+3 2. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (u n )? 3. On considère l algorithme suivant : A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 12 sur 15
VARIABLES : ENTRÉE : INITIALISATION : TRAITEMENT : SORTIE : p et n sont des entiers naturels, u est un nombre réel saisir la valeur de p n prend la valeur 0, u prend la valeur 1 Tant que u 5 >10 p n prend la valeur n+1 u prend la valeur 0,4u+3 Fin Tant que Afficher la valeur de n À l aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque p=2. PARTIE B On étudie maintenant la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = 6 (0,4) n. 1. Donner la nature de la suite (v n ) et ses éléments caractéristiques. 2. Déterminer la limite de (v n ) quand n tend vers +. 3. On admet que pour tout entier naturel n : u n = 5 v n. Déterminer la limite de(u n ). 4. a) Déterminer en fonction de n la somme v 0 + v 1 + + v n. b) En déduire en fonction de n la somme u 0 + u 1 + +u n. EXERCICE 8 On considère la suite numérique (u n ) définie par : (D après sujet bac) u 0 = 8 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,4u n + 3. 1. Calculer u 1 et u 2. On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite. Une copie d écran sur laquelle les termes u 1 et u 2 ont été effacés est donnée ci-dessous. A B 1 n u(n) 2 0 8 3 1 4 2 5 3 5,192 6 4 5,076 81 7 5 5,030 72 8 6 5,012 288 9 7 5,004 915 2 10 8 5,001 966 08 11 9 5,000 786 43 12 10 5,000 314 57 2. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas? 3. En utilisant cette copie d écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite (u n )? 4. On considère l algorithme suivant : A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 13 sur 15
Les variables sont l entier naturel N et le réel U. Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 8 Traitement : TANT QUE U 5>0,01 Affecter à N la valeur N + 1 Affecter à U la valeur 0,4U+3 Fin TANT QUE Sortie : Afficher N Par rapport à la suite (u n ), quelle est la signification de l entier N affiché? 5. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 5. a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer v n en fonction de n. c) Déterminer la limite de la suite (v n ). d) Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3? Pourquoi? EXERCICE 9 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 5500 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,68 u n + 3560. 1. a) Utiliser les droites d équations y = x et y = 0,68x + 3560 pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ). y 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 x Conjecturer le sens de variation de la suite (u n ) ainsi que la limite de la suite (u n ). b) Quel est le rôle de l algorithme suivant? A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 14 sur 15
A=5500 ; k=0; TANT_QUE A < 11000 FAIRE k prend la valeur k+1 ; A prend la valeur 0,68 A+3560 ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher k; 2. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n, par v n = u n 11125. a) Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 11125 5625 0,68 n. c) La suite (u n ) est-elle convergente? EXERCICE 10 En raison de l évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d eau. On remplit un bassin avec 90 m 3 d eau. PARTIE A 1. Calculer le volume d eau contenu dans ce bassin au bout de deux semaines. 2. On note V n le nombre de m 3 d eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines ; on a donc V 0 = 90. a) Déterminer la nature de la suite (V n ) puis, exprimer V n en fonction de n. b) Au bout de quatre semaines, le bassin a-t-il perdu 12 % de son volume d eau? PARTIE B Pour compenser la perte due à l évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2,4 m 3 d eau dans le bassin. On note U n le nombre de m 3 d eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines ; on a donc U 0 = 90. 1. On considère l algorithme suivant : Initialisation : Affecter à N la valeur 0 Affecter à U la valeur 90 Traitement : Tant_que U 88 : Affecter à N la valeur N+ 1 Affecter à U la valeur 0,97 U+ 2,4 Fin Tant_que Sortie : Afficher N a) Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au centième près. N 0 1... U 90... Test U 88 VRAI... b) Quel nombre obtient-on en sortie de l algorithme? Interpréter ce résultat. 2. Soit (W n ) la suite définie pour tout entier naturel n, par W n = U n 80. a) Démontrer que (W n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer, pour tout entier naturel n, W n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, U n = 80+10 0,97 n. c) La suite (U n ) est-elle convergente? A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 15 sur 15