1 NOMBRES RELATIFS 1/2 I- INTRODUCTION Jusqu en classe de sixième, en Mathématiques, les nombres utilisés sont des nombres positifs. Les nombres relatifs sont classés «relativement» à un nombre appelé «origine» ; c'est- à- dire par rapport à un zéro choisi. Par exemple, en géographie l altitude a pour origine le niveau de la mer ; en Histoire les dates sont données en fonction de la naissance de Jésus Christ On peut écrire ces nombre avec un signe «+». Il existe aussi des nombres négatifs. Ces nombres sont toujours précédé d un signe. Définition: Les nombres positifs et les nombres négatifs constituent les nombres relatifs. Un nombre relatif est donc formé : D un signe D une valeur numérique.
2 Remarques: 1- Un nombre écrit sans signe ou qui est précédé d un signe «+» est un nombre positif. 2- Un nombre qui est précédé d un signe est un nombre négatif. 3-0 est à la fois un nombre positif et un nombre négatif. 4- Les nombres relatifs qui sont entiers sont appelés nombres entiers relatifs. Les nombres 1 ; ( 2) ; +5,3 ; ( 10,2) ; (+4,2) et 0 sont des nombres relatifs. Les nombres ( 6) ; 4 ; +15 sont des nombres entiers relatifs.
3 II- REPÉRAGE A- SUR LA DROITE GRADUÉE Définition: On appelle droite graduée une droite sur laquelle on fixe : Un point appelé origine de la droite graduée ; Un sens ; Une unité de longueur que l on reporte régulièrement à partir de l origine.
4 Propriété: Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif. On dit que ce nombre est l abscisse de ce point. Sur la droite graduée ci- dessus : L abscisse du point C est zéro, on note x! = 0. En particuliers, C est l origine de la droite graduée. ( 3) est l abscisse du point F, on note x! 3. La distance à zéro de ( 3) est la distance du point F à l origine C de la droite graduée. C est donc la longueur du segment [FC] soit 3. Le point E a pour abscisse 4, on note x! = 4. La distance à zéro du nombre 4 est la distance du point E à l origine C de la droite graduée. C est donc la longueur du segment [EC] soit 4.
5 Définition: Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro et des signes contraires sont des nombres relatifs opposés. Les nombres relatifs 12 et ( 12) sont des nombres relatifs opposés. Les nombres relatifs ( 5,6 ) et 5,6 sont des nombres relatifs opposés. Remarques: 1- L opposé d un nombre positif est négatif. 2- L opposé d un nombre négatif est positif. 3- Sur une droite graduée, deux points symétriques par rapport à l origine ont des abscisses opposées. 4-0 est le seul nombre qui est égal à son opposé. graduée. Le point A et le point B sont symétriques par rapport à l origine O de la droite Leurs abscisses respectives 3 et ( 3 ) sont des nombres relatifs opposés.
6 B- DANS UN REPÈRE DU PLAN Définition: Deux droites graduées, de même origine et perpendiculaires forment un repère orthogonal du plan. La droite horizontale est appelée l axe des abscisses du repère. La droite verticale est appelée l axe des ordonnées du repère. Remarque: Les deux axes ont la même origine mais pas nécessairement la même unité de longueur. Propriété: Dans un repère, tout point du plan est repéré par deux nombres relatifs : Son abscisse, toujours citée en premier, Son ordonnée, toujours citée en second. Ces deux nombres s appellent les coordonnées du point dans le repère.
7 Dans ce repère, le point E a pour abscisse x! = 3 et pour ordonnés 2. On note E ( 3; 2). Les coordonnées des autres points de la figure sont : B (2 ; 3) F (2 ; 3) H ( 1,5 ; 0) O (0 ; 0).
8 III- COMPARAISON DE NOMBRES RELATIFS A- COMPARAISON DE DEUX NOMBRES POSITIFS Théorème: (Admis) : Si deux nombres sont positifs alors le plus petit est celui qui est le plus près de zéro. On dit que c est celui qui a la plus petite distance à zéro. Comparons 1,7 et 3,6 : On a donc 1,7 < 3,6. Remarque : On se retrouve dans la même situation que la comparaison de nombres vue jusqu à maintenant.
9 B- COMPARAISON D UN NOMBRE POSITIF ET D UN NOMBRE NÉGATIF Théorème: (Admis) : Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif (sauf zéro qui est à la fois positif et négatif). Comparons 1 et ( 2,3) : 1 est positif et ( 2,3) est négatif. On a donc ( 2,3) < 1.
10 C- COMPARAISON DE DEUX NOMBRES NÉGATIFS Théorème: (Admis) : Si deux nombres sont négatifs alors le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro. On dit que c est celui qui a la plus grande distance à zéro. Comparons ( 4,1) et ( 2,3) : On a donc ( 4,1) < ( 2,3).