T ES/L DM : CONVEXITE COEFFICIENT DE GINI 14 AVRIL 2015 Exercice 1 Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction dérivée notée C f est donnée ci-dessous. La droite T est tangente à la courbe C f au point d'abscisse 0. 1. Par lecture graphique : a. Résoudre f (x) = 0. b. Résoudre f (x) = 0. c. Déterminer f (0). 2. Une des quatre courbes C 1, C 2, C 3 et C 4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f. a. Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde f. b. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave. c. La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion?
Exercice 2 PARTIE A On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 2e 0,5x + x 1. Calculer f (x). 2. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f. PARTIE B On considère maintenant la fonction F définie sur R par F(x) = x2 2 4e 0,5x. 1. Montrer que F (x) = f(x). 2. Étudier les variations de la fonction F. 3. Étudier la convexité de la fonction F. 4. La courbe représentative de de la fonction F a-t-elle un point d'inflexion? PARTIE C 2 1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale I = f(x)dx 2 2. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées). Calculer une valeur approchée à 10 2 près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée.
Exercice 3 (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) Partie A : Courbe de LORENZ D après Wikipédia, la courbe de LORENZ a été développée (par MAX O. LORENZ) comme une représentation graphique des inégalités de revenu. Elle peut aussi servir à mesurer les inégalités de répartition d un actif ou de toute autre distribution de richesse. La courbe de LORENZ est la représentation graphique de la fonction qui a la part x des ménages les moins riches associe la part y du revenu total qu ils perçoivent. La part des ménages, classés par ordre de revenu individuel croissant, est donc en abscisse, et la part du revenu reçu en ordonnée. 1. Lectures graphiques sur la courbe de LORENZ donnée en exemple ci-contre Exemple de lecture : les 0,4 = 40 % des ménages les moins riches se partagent 0,184 = 18,4 % du total des revenus des ménages. (a) Le point M est de coordonnées (0,80; 0,592). Interpréter ce point. (b) Avec la précision permise par le graphique, indiquer : quel pourcentage du total des revenus revient aux 50 % les moins riches? quel pourcentage du total des revenus revient aux 20 % les plus riches? 2. (a) On propose sur la figure ci-dessous deux courbes C1 et C2 de Lorenz associées à deux pays P1 et P2. Dans lequel de ces deux pays la répartition des revenus est-elle la moins inégale?
(b) On suppose que tous les ménages d un pays ont exactement la même part du total des revenus. On parle alors d égalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA]. (c) On suppose qu une seule personne possède la totalité des revenus. On parle alors d inégalité totale. Que devient dans ce cas la courbe de LORENZ? 3. Généralités sur les courbes de LORENZ. (a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A. ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de la première bissectrice (la droite (OA) d équation y = x tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple. iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction croissante. (b) Justifier que pour qu une fonction f convienne, il faut qu elle vérifie les points suivants : f doit être définie sur [0; 1] ; f (0) = 0 et f (1) = 1 ; f (x) x pour tout x [0; 1]; f croissante sur [0; 1]. (c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent : f 1 (x) = x² ; f 2 (x) = x 3 ; f 3 (x) = e x (e 2)x 1 ; Partie B : Indice de GINI D après Wikipédia, le coefficient de GINI, noté γ, est une mesure du degré d inégalité de la distribution des revenus dans une société donnée, développée par le statisticien italien CORRADO GINI. Mathématiquement, on a : γ = aire entre [OA]et C aire du triangle OBA 1. Expliquer pourquoi 0 γ 1. Préciser dans quelle situation on a γ = 0 et dans quelle situation on a γ = 1. 2. Si on note f la fonction associée à la courbe de LORENZ, montrer que γ = 1 2 f(x)dx. 3. (a) Calculer γ 1, γ 2 et γ 3, les coefficients de GINI correspondant aux fonctions f 1, f 2 et f 3 de la question 3c de la Partie A. (b) Ranger ces fonctions de celle correspondant à la répartition des salaires la plus égalitaire à la répartition la moins égalitaire. 4. Rechercher sur Internet l indice de GINI (ou le coefficient de GINI = 100 γ) de la France et des États-Unis à une même date (on donnera l adresse exacte de la source sur sa copie) et comparer ces deux indices. 1 0
T ES/L INDICATIONS : DM : CONVEXITE COEFFICIENT DE GINI 14/04/2015 Exercice 1 1. Par lecture graphique : Bien faire attention à la courbe tracée : C f f est la dérivée seconde de f et également la dérivée de f D où f (0) est le nombre dérivé de ou le coefiicient directeur de 2. Une des quatre courbes C 1, C 2, C 3 et C 4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f. Exercice 2 a. Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde f. Chercher les variations de la fonction f et celles de la fonction f Puis en déduire les signes de la dérivée. b. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave. Pour connaitre la convexité d une fonction, il faut connaitre le signe de sa dérivée seconde c. La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion? Il y a un point d inflexion quand PARTIE B 2. Étudier les variations de la fonction F. Il faut se souvenir que pour tout x, F (x) = f(x) En connaissant le signe de la fonction f on en déduit les variations de F 3. Étudier la convexité de la fonction F. Pour connaitre la convexité d une fonction, il faut connaitre les variations de sa dérivée
Exercice 3 Courbe de Lorentz et Indice de Gini Partie A : Courbe de LORENZ 2. (b) On suppose que tous les ménages d un pays ont exactement la même part du total des revenus. On parle alors d égalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA]. Si tous les ménages ont le même revenu, si l on prend les 10 % les moins riches (n importe quels 10 % de la population puisqu ils sont tous à égalité), ils se partagent 10 % des revenus, si on prend les 20 % les moins riches de la population, ils se partagent 20 % des revenus, etc. Plus généralement x % de la population se partage x % des revenus et la courbe de Lorenz est donc d équation y = x, où y est le pourcentage de revenu partagé et x les x % les moins riches. 3. Généralités sur les courbes de LORENZ. (a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A. Les 0 % les moins riches se partagent toujours 0 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par O (0; 0). Les 100 % les moins riches se partagent toujours 100 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par A(1; 1). ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de la première bissectrice (la droite (OA) d équation y = x tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple. Supposons que la courbe passe par (0,5; 0,6) qui est situé au-dessus de la première bissectrice. On aurait alors les 50 % les moins riches qui toucheraient 60 % du revenu disponible, ce qui signifierait qu il ne resterait alors que 40 % du revenu pour les 50 % les plus riches de la population. Les plus riches seraient moins riches que les moins riches, ce qui est contradictoire. iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction croissante. Soient x et x deux pourcentages de la population telles que x < x et y et y les pourcentages respectifs du revenu total qu ils se partagent. D après la définition de la courbe de Lorenz, étant des fréquences cumulées, les x les moins riches sont contenus dans les x les moins riches, donc les revenus cumulés correspondant à x contiennent les revenus cumulés correspondant à x, donc y < y. On a donc : si x < x alors y < y, ce qui correspond à la définition d une fonction croissante. (b) Justifier que pour qu une fonction f convienne, il faut qu elle vérifie les points suivants : f doit être définie sur [0; 1] ; f (0) = 0 et f (1) = 1 ; f (x) x pour tout x [0; 1]; f croissante sur [0; 1]. x variant de 0 à 1, la fonction f doit être définie sur [0; 1] On a vu qu une courbe de Lorenz passe forcément par O et A, donc f (0) = 0 et f (1) = 1. On a vu qu une courbe de Lorenz y = f (x) est forcément au-dessous de la première bissectrice y = x, donc f (x) x. On a vu qu une courbe de Lorenz est la représentation graphique d une fonction croissante.
(c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent : f 1 (x) = x² ; f 2 (x) = x 3 ; f 3 (x) = e x (e 2)x 1 ; Il faut donc vérifier que ces fonctions vérifient bien les quatre conditions du (b) f 1 (x) = x² f 2 (x) = x 3 Aucun souci Aucun souci f 3 (x) = e x (e 2)x 1 sur [0 ; 1], f 3 (x) x Car Il faut poser une fonction h tel que h(x) = x f 3 (x) Pour étudier le signe de h(x), il faut étudier ses variations et montrer qu elle admet un minimum de 0 sur [0; 1] Voici le tableau qu on doit obtenir : la fonction f 3 est strictement croissante sur [0; 1] Car Il faut déterminer sa dérivée puis étudier le signe de celle-ci Pour pour tout réel x de [0,1], 0 x 1 0 3 e e x 2 Donc pour tout réel x de [0,1], 0 f 3 (x) Partie B : Indice de GINI 3. (a) Calculer γ 1, γ 2 et γ 3, les coefficients de GINI correspondant aux fonctions f 1, f 2 et f 3 de la question 3c de la Partie A. f 1 (x) = x² donc F 1 (x) =. est une primitive de f 1. Alors γ 1 =.. f 2 (x) = x 3 donc F 2 (x) =.. est une primitive de f 2. Alors γ 2 =.. f 3 (x) = e x (e 2)x 1 donc F 3 (x) = e x (e 2) x2 x est une primitive de f 2 3. Alors γ 3 =..