Chapitre 13 Techniques de prévision et de gestion commerciale Corrigé de l exercice 13.1 1. Vérification Par le graphique Corrigés des entraînements du manuel 0 100 00 Ventes 800 600 00 00 0 0 5 15 0 5 30 35 Budget de publicité Le nuage n est pas franchement allongé. La corrélation semble faible. Par le coefficient de corrélation Désignons par x... le budget publicitaire y... les ventes Σx i = 199 Σy i = 9 190 Σx i y i = 161 370 Σx² i = 9 Σy² i = 8 001 0 199 9 190 161 370 1 199² 9 0² 9 8 0010 1 1. Avec décalage entre publicité et ventes Décalage d un mois Σx i = 171 Σy i = 8 750 Σx i y i = 15 550 = 0,3 Corrélation très faible.
Σx² i = 3 5 Σy² i = 7 807 500 171 8 750 15 550 11 171² 8 750² 3 5 7 807 500 11 11 = 0,6 Corrélation médiocre. Décalage de deux mois Σx i = 150 Σy i = 8 0 Σx i y i = 116 150 Σx² i = 3 00 Σy² i = 7 385 000 150 80 116 150 150² 80² 3 00 7 385 000 Conclusion = 0,1 Très mauvaise corrélation. Il semble qu il y ait une certaine corrélation entre publicité et ventes quand le décalage est de un mois mais cette corrélation reste insuffisante pour justifier un ajustement linéaire. Corrigé de l exercice 13. 1. Représentation graphique 50 000 00 000 Ventes 150 000 0 000 50 000 0 0 6 8 Années 1. Coefficient de corrélation Désignons par x... les années (de 1 à ) y... les ventes (en milliers de tonnes) Σx i = 55 Σy i = 1 0 Σx i y i = 7 960
Σx² i = 385 Σy² i = 168 5 55 1 0 7 960 55² 1 0² 385 168 5 = 0,98 Excellente corrélation. 3. Ajustement linéaire 55 1 0 7 960 a = = 15,15 x = 6,5 y = 1 55² 385 1 = 15,15 5,5 + b b = 38,7 L équation est : y = 15,15 x + 38, 7. Prévision des ventes en N+11 En N+11, x = 1 y = 15,15 1 + 38,7 = 0,5 milliers de tonnes. 5. Corrélation avec Rondor Désignons par x... les ventes totales françaises y... les ventes de Rondor Σx i = 783 Σy i = 130 Σx i y i = 1 097 Σx² i = 17 11 Σy² i = 13 50 783 130 1 097 5 783² 130² 17 11 3 50 5 5 6. Prévision des ventes de Rondor Droite ajustée 783 130 1 097 a = 5 783² 17 11 5 = 0,16 x = 156,6 y = 6 6 = 0,16 156,6 + b b = 0,3 L équation est : y = 0,16 x + 0,3 Prévision pour N+11 y = 0,16 0,5 + 0,3 = 36,5 milliers de tonnes = 0,997 Corrélation pratiquement parfaite
Corrigé de l exercice 13.3 1. Représentation graphique 30 Demande (en millions) 5 0 15 5 0 0 00 00 600 800 00 100 Prix (en dollars) La demande est une fonction décroissante du prix. La courbe ressemble à celle d une fonction puissance avec un exposant négatif.. Transformation logarithmique des données y = b.x a log y = a.log x + log b Prix x 0 00 300 00 500 600 700 800 900 1 000 Log x,00000,303,771,6006,69897,77815,85,90309,95 3,00000 Demande y 5 15 11 9 7 6,5 5,5,3 3,5 Log y 1,3979 1,1761 1,01 0,95 0,851 0,819 0,6990 0,653 0,6335 0,51 3. Corrélation 3.1. Graphique Log de la demande 1,6000 1,000 1,000 1,0000 0,8000 0,6000 0,000 0,000 0,0000 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5 Log du Prix
Les points sont sensiblement alignés ce qui justifie une régression linéaire. 3.. Coefficient de corrélation Σlog x i = 6,56 Σlog y i = 8,757 Σlog x i.log y i =,9 Σ(log x i )² = 71,5 Σ(log y i )² = 8,3 6,56 8,757,9 6,56² 8,757² 71,5 8,3. Paramètres de la droite des moindres carrés = - 0,995 Corrélation négative parfaite 6,56 8,757,9 a = = -0,8 l og x =,66 l og y = 0,8757 6,56² 71,5 0,8757 = -0,8,66 + log b log b = 3,11 L équation est : log y = -0,8 log x + 3,11 5. Équation de la fonction puissance b = 3,11 = 1 88 y = 1 88 x -0,8 6. Élasticité demande/prix Prix (x) Δx Δx / x Δy Δy / y Élasticité = Δy y Δx x 0 1 0,01-0,39-0,0083-0,83 500 1 0,00-0,0117-0,0017-0,85 1 000 1 0,001-0,0033-0,00085-0,85 On remarque que l élasticité est ici sensiblement constante. Elle est égale à l exposant de la fonction puissance.
Corrigé de l exercice 13. 1. Représentation graphique 70000 60000 Chiffre d'affaires 50000 0000 30000 0000 000 0 0 1 3 5 6 7 Trimestre. Transformation semi-logarithmique des données y = b.a x log y = x.log a + log b Trimestre 1 3 5 6 Chiffre d affaires y 000 3 500 9 000 15 000 30 000 65 000 Log y 3,30 3,51 3,95,1761,771,819
3. Corrélation 3.1. Graphique 6,0000 5,0000 Logarithme du CA,0000 3,0000,0000 1,0000 0,0000 0 1 3 5 6 7 Trimestre Les points sont sensiblement alignés ce qui justifie une régression linéaire. 3.. Coefficient de corrélation Σ x i = 1 Σlog y i =,66 Σx i.log y i = 90,19 Σ x i ²= 91 Σ(log y i )² = 99,7 1,66 90,19 6 1²,66² 91 99,7 6 6. Paramètres de la droite des moindres carrés = 0,998 Corrélation positive parfaite 1,66 90,19 log a = 6 = 0,303 x = 3,5 l og y =,0 1² 91 6,0 = 0,303 3,5 + log b log b =,986 L équation de la droite est : log y = 0,303 x +,986 5. Équation de la fonction exponentielle a = 0,303 =,006 b =,986 = 969 y = 969,006 x
6. Extrapolation de la tendance Le 1 er trimestre N+ est le trimestre de rang 7. y = 969,006 7 = 16 660 milliers d euros. L extrapolation repose sur l hypothèse que le taux d accroissement du chiffre d affaires trimestriel (plus de 00 %) va se maintenir. C est une hypothèse hasardeuse. La croissance des ventes devrait se ralentir. Corrigé de l exercice 13.5 1. Tendance 1.1. Coefficient de corrélation Σx i = 36 Σy i = 35 Σx i. y i = 990 Σx i ² = 0 Σy i ² = 73 95 36 35 990 8 36² 35² 0 73 95 8 8 Les ventes sont indépendantes du temps 1.. Ajustement linéaire = 0, Absence de corrélation. 36 35 990 a = 8 = 0,77 x =,5 y = 30,3 36² 0 8 30,3 = 0,77,5 + b b = 300,8 L équation de la droite est : y = 0,77 x + 300,8 Les ventes ne progressent en moyenne que de 0,77 millions par an pour un total de 300 millions. Cette progression est négligeable. La droite ajustée est presque horizontale. 1.3. Conclusion La tendance est pratiquement stationnaire ; le lissage exponentiel est donc une méthode pertinente de prévision.. et 3. Lissage Année 1 3 5 6 7 8 9 Ventes 300 35 90 80 3 330 80 30 Prévision 300 300 308 303 96 300 309 300 306
Corrigé de l exercice 13.6 1. Étude de la tendance 1.1. Choix du modèle 90 000 80 000 70 000 60 000 CA 50 000 0 000 30 000 0 000 000 0 N-5 N- N-3 N- N-1 N Années L'étude graphique à échelles arithmétiques montre que la tendance n'est pas loin d'être linéaire mais que la pente de la courbe tend à se redresser vers la droite ; ceci pourrait donc être le reflet d'une croissance exponentielle. 0 000 000 1 000 C.A. 0 Sur un graphique à échelles semi-logarithmiques, la représentation de la série des chiffres d'affaires est sensiblement rectiligne ce qui confirme l'hypothèse d'une croissance exponentielle. 1 N-5 N- N-3 N- N-1 N Années 1.. Ajustement d'une fonction exponentielle En désignant le rang de l'année par x (x = 1 pour l'année N-5) et le chiffre d'affaires par y, la fonction exponentielle est de la forme y = a. b x log y = log a + x.log b. Ajustons cette dernière fonction par la méthode des moindres carrés. Années x y log y x.log y x² (log y)² (a) N-5 1 5 57,65760077,65760077 1 1,6939 N- 50 67,701897 9,056593,0615 N-3 3 57 35,75917663 1,77599 9,6976 N- 65 8,8136335 19,5537 16 3,17757 N-1 5 73 7,867898,3399 5 3,666180 N 6 83 363,909733 9,558 36,159786 Total 1 8,717579 1,03 91 137,98303 (a) Cette colonne sera utilisée pour la question 1.3. x = 1 6 = 3,5 log 8, 717579 y = =,786 6
log b = x.log y n x log y 1, 6 3, 5,786 = x n x 91 6 3,5 = 0,053 b = 0,053 = 1,13 log a = log y log b. x =,786 3,5 0,053 =,6 a =,6 = 39 816. La fonction ajustée est donc : y = 39 816 1, 13. 1.3. Corrélation x.logy n x logy ( x )( ) ( )( ) n x (logy) n logy 91 6 3,5 137,5 6, 786 La corrélation est presque parfaite. 1.. Estimation du CA de N+1 = x 1, 6 3,5,786 = 0,999 Pour N+1, x = 7 et l'estimation du chiffre d'affaires est y = 39 816 1, 13 7 = 93 671.. Étude des variations saisonnières.1. Moyennes mobiles Moyennes mobiles de quatre trimestres consécutifs 16 77 (a) 16 56 (b) 16 867 (c) 17 76 18 31 18 666 19 7 0 158 0 81 9 115 + 15 66 + 788 + 17 579 (a) = 16 77 15 66 + 788 + 17 579 + 5 (b) = 16 56 788 + 17 579 + 5 + 16 87 (c) = 16 867 etc... Moyennes mobiles deux à deux des moyennes mobiles ci-dessus 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre N- 16 19 (a) 16 71 (b) N-1 17 315 (c) 18 037 18 89 18 957 N 19 703 0 99 (a) 16 77 + 16 56 = 16 19 16 56 + 16 867 (b) = 16 71 16 867 + 17 76 (c) = 17 315 etc...
.. Coefficients saisonniers multiplicatifs Rapports des données brutes aux moyennes mobiles 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre N- 1,387906 (a) 1,0517530 (b) N-1 0,59039 0,93051 1,619936 1,035579 N 0,599559 0,9353139 788 (a) 16 19 = 1,3879 17 579 (b) 16 71 = 1,0517 etc... Moyenne des rapports 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre Total 0,599 (a) 0,936691 1,0705181 1,07501 3,981787 0,590 + 0,599 (a) = 0,59 Ajustement des rapports La somme des rapports devrait théoriquement être égale à. Ceci est réalisé par un ajustement des rapports. 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre Total 0,59500508 (a) 0,93901807 1,1359858 1,053787 (a) 0,59 3,9817 = 0,5950 Les rapports ajustés seront retenus comme coefficients saisonniers..3. Estimation des ventes de N+1 Tendance exponentielle des ventes trimestrielles Rappelons que la tendance des ventes annuelles est donnée par la fonction exponentielle : y = 39 816 1, 13 x (voir question 1.). La tendance des ventes trimestrielles est égale au quart de la tendance des ventes annuelles. Le milieu de l'année N+1 (30.06.N+1) correspond à x = 7. Les milieux des quatre trimestres 15, de N+1 correspondent respectivement à x = 7 = 6,65 pour le 15.0.N+1, x = 7 05, = 6,875 pour le 15.05.N+1, x = 7 + 05, = 7,15 pour le 15.08.N+1 et x = 7 + 15, = 7,375 pour le 15.11.N+1. 1 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre x 6,65 6,875 7,15 7,375 39 816 1,13 x 369 3 063 3 778 516
Application des coefficients saisonniers à la tendance des ventes trimestrielles 3. Discussion 1 er trimestre e trimestre 3 e trimestre e trimestre Total de l'année N+1 13 3 (a) 1 656 (b) 33 598 5 791 9 379 (a) 369 0,595 = 13 3(b) 3 063 0,939 = 1 656 etc... 3.1. Validité des méthodes La prévision par extrapolation de la tendance est fondée sur l'hypothèse de la continuation de la tendance passée. Cette hypothèse est contestable dans un environnement changeant et incertain. Elle n'est à la rigueur admissible qu'à court terme. De plus, cette méthode n'explique pas les causes du phénomène. 3.. Autres approches Modèles de causalité Identification des variables explicatives. Étude de leur corrélation avec les ventes. Prévision des ventes basée sur la prévision des variables explicatives. Techniques de simulation Tests de plusieurs scénarios affectés de probabilités subjectives. Corrigé de l exercice 13.7 1. Étude de la fonction de demande 1.1. Variation de la demande ΔD en fonction de la variation du prix ΔP La variation relative de la demande par rapport au prix est exprimée par la fonction d élasticité : ΔD Élasticité demande/prix = D = ΔD ΔP D Δ PP = Δ D ΔP P D = P ΔD = ( ) D 9 000 ΔP = ( ) ΔP = 30 ΔP P 600 ΔD = 30 ΔP 1.. Niveau de la demande, chiffre d'affaires et résultat Soit x le taux de variation du prix qui devient 600 (1 + x) = 600 + 600 x ΔP = 600 x Niveau de la demande = 9 000 (30 600 x) = 9 000 18 000 x Chiffre d affaires correspondant = (9 000 18 000 x) (600 + 600 x) = 800 000 x² 5 00 000 x + 5 00 000 Résultat correspondant = chiffre d affaires coûts variables coûts fixes = 800 000 x² 5 00 000 x + 5 00 000 (9 000 18 000 x) 30
. Étude de rentabilité.1. Recherche de la zone de rentabilité 000 000 = 800 000 x² + 70 000 x + 30 000 Nous devons chercher les valeurs de x pour lesquelles le résultat est nul. Il faut, à cet effet, identifier les racines du trinôme du second degré qui représente le résultat. Soit Δ le discriminant : Δ = b² ac = 70 000² ( 800 000 30 000 ) = 1,506 E + 13 Le trinôme admet deux racines entre lesquelles le trinôme (et donc le résultat) est positif : x = b + Δ = 1,7 % x = b Δ = + 1,39 % a a L activité est rentable pour tout prix situé dans la fourchette 511,68 et 78,3 (prix obtenus d'après les variations de 1,7 % et + 1,39 %)... Calcul de la marge Variation du prix 88,3 18,3 Variation de la demande 650 3 850 Nouveau prix 511,68 78,3 Quantités vendues 11 650 5 150 Marge sur coûts variables - unitaire 171,68 388,3 - totale 000 003 1 999 873 Coûts fixes 000 000 000 000 Résultat 3 17 Remarque : les résultats sont très proches de zéro ; les valeurs non nulles sont dues à l arrondi à la deuxième décimale des pourcentages de variation des prix. 3. Étude du prix optimal 3.1. Détermination du prix optimal La fonction de résultat admet un extremum pour la valeur de x qui annule la dérivée. f (x) = résultat = 800 000 x² + 70 000 x + 30 000 f ' (x) = 1 600 000 x + 70 000 = 0 f ' (x) est égale à zéro pour x = 3,33 % Le résultat est maximal pour une progression du prix de 3,33 %. À l optimum : - prix = 60 - quantités vendues = 9 000 (0 30) = 8 00 unités - résultat = [8 00 (60 30) ] 000 000 = 35 000
Remarque : on vérifie l amélioration du résultat par rapport à la situation actuelle qui dégage un résultat de [ ( 9 000 ( 600 30 ) ] 000 000 = 30 000 3.. Fixation du prix de vente Le prix doit être fixé en fonction des objectifs de l entreprise : - gain de parts de marché prix de 51 qui assure un marché de 11 650 montres tout en couvrant les charges ; - résultat maximal prix de 60. Le prix doit rester fixé dans la fourchette [51 ; 60 ]. Corrigé de l exercice 13.8 J F M A M J Q V Q V Q V Q V Q V Q V M 1 0 8 000 30 6 000 5 9 000 50 000 50 000 0 8 000 M 160 000 10 18 000 180 7 000 00 30 000 00 30000 160 000 M 3 10 36 000 90 7 000 135 0 500 150 5 000 150 5000 10 36 000 Total 68 000 51 000 76 500 85 000 85000 68 000 J A S O N D Q V Q V Q V Q V Q V Q V M 1 0 8 800 5 5 500 50 11 000 0 8 800 0 8800 50 11 000 M 160 000 0 15 000 00 30 000 160 000 160 800 00 31 000 M 3 10 36 000 75 500 150 5 000 10 36 000 10 36000 10 5 000 Total 68 800 3 000 86 000 68 800 68800 87 000