Mme Ruscitto Les nombres entiers 0
Les nombres entiers 1. Introduction Emmanuel a placé un thermomètre dans sa cour. Il relève les températures le matin et l après-midi, une fois par saison. Au printemps, quelle température affiche le thermomètre d Emmanuel au matin? Emmanuel nous dit que le thermomètre affiche 7 degrés de plus qu au matin. Quelle est dès lors la température dans l après-midi?... En été, quelle température affiche le thermomètre d Emmanuel au matin? Il nous dit que le thermomètre affiche 10 degrés de plus qu au matin. Quelle est dès lors la température dans l après-midi?... En automne, quelle température affiche le thermomètre d Emmanuel au matin? Il nous dit que le thermomètre affiche 12 degrés de plus qu au matin. Quelle est dès lors la température dans l après-midi?... En hiver, quelle température affiche le thermomètre d Emmanuel au matin? Il nous dit que le thermomètre affiche 5 degrés de plus qu au matin. Quelle est dès lors la température dans l après-midi?... 1
Définition Jusqu { présent, tu as utilisé que des nombres entiers positifs, aussi appelés l ensemble des naturels (noté N). Dans la vie quotidienne, ces nombres ne suffisent pas pour exprimer toutes les situations dans lesquelles on peut se trouver ; on vient de le remarquer dans l exercice précédent. On va donc utiliser l ensemble des entiers (noté Z). Dans cet ensemble on peut observer : - des nombres positifs : - des nombres négatifs : 2. Droite graduée On peut placer les nombres entiers sur une droite graduée : Sur une droite graduée, les nombres représentés par des graduations et situés - à droite de A sont les nombres : - à gauche de A sont les nombres :.. Tiens, il y a un nombre qui n a pas de signe devant lui. Lequel?. est le seul nombre { être positif ET négatif. Remarque Le signe «+» n est pas obligatoire devant un nombre positif : +5 = 5 2
3. Valeur absolue et nombres opposés 1. Repérons, sur la droite graduée, les nombres situés de part et d autre du zéro, { égale distance du point marqué 0. Ces nombres sont des nombres.... Deux nombres qui ne diffèrent que par leur signe sont des. Donne quelques exemples :.. 2. Observons la distance qui sépare quelques nombres entiers de zéro. + 6 est à... graduations de 0. On note cette distance :.... - 3 est à... graduations de 0. On note cette distance :.... - 6 est à... graduations de 0. On note cette distance :.... + 3 est à... graduations de 0. On note cette distance :.... + 5 est à... graduations de 0. On note cette distance :.... Nous appellerons cette distance la... du nombre. On note : a 3. Remarquons maintenant deux nombres : 4 est un nombre... et -4 est un nombre.... 4 et -4 sont des nombres.... Que donne 4?... Que donne -4?... Conclusion :...... 3
Théorie La.. d un nombre est le nombre naturel duquel il est issu. Autrement dit c est ce nombre sans son signe. -17 =... +20 =... -51 =... Deux sont deux nombres de signes.. et qui possèdent la même... Ex. : 11 et -11 sont des nombres opposés car... et car 11 =... et -11 =... 18 et -18 sont des nombres opposés car... et car 18 =... et -18 =... Exercices : 1- Complète le tableau suivant : Nombre Opposé Valeur absolue 5-16 43-17 0 136 201-1 000 000 000-85 20 974 269 856-239 102 203 777 777 777 4
2- Complète les expressions en utilisant = ou 4. Ordre En t aidant de cette droite graduée tente de compléter les expressions suivantes par < ou > : 2 9 3 10 0 3 0 1 0-1 -1 1-3 3-4 -2-5 0 Théorie Si 2 nombres sont de signes différents, le plus petit est le nombre.. Ex : < Si 2 nombres sont positifs, le plus petit est celui qui. Ex : < Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui. Ex : < Remarque : - «<» se lit «..» ou - «>» se lit «..» ou Exercices 1- Complète par < ou > 12 21 5 3-1 5 4-5 -1-2 -3-5 5
-5 3 2-1 9-9 -8-7 10-1 -4-2 4-4 0-2 -3 0-2 -3 2- Classe par ordre croissant (du... au...). -5 C ; 8 C ; -3 C ; 5 C ; 0 C ; 10 C ; -7 C ; 6 C ; -4 C ; -9 C.... 3- Classe par ordre décroissant (du... au...). -50 ; 128 ; 9 ; 35 ; -10 ; -800 ; -127 ; 60 ; -48 ; -94.... 4- Pour chaque encadrement, entoure les nombres de la ligne qui peuvent remplacer la lettre. -5 < x < -1-4 0 2-2 -3-5 -3 < y < 7 3 0 5-7 8 15-6 < z < 2-1 0-9 -2 3-5 -5 < b < 0 5 0 1-2 -6 3 5. Somme et soustraction de deux nombres entiers 5.1 Mouvements sur la droite graduée a) Considère les déplacements de R vers S et de V vers T représentés par les flèches ci-contre. 1. Ecris au dessus des flèches correspondantes : - le calcul permettant le passage de l abscisse de R { l abscisse de S ; - le calcul permettant le passage de l abscisse de V { l abscisse de T : 6
2. A quel mouvement sur la droite graduée correspond le passage : - De R à S :. - De V à T : 3. Ecris les deux calculs illustrés par ces deux mouvements sur la droite graduée : - déplacement de couple (R, S) : - déplacement de couple (V, T) : b) Représente sur la droite graduée ci-dessous les mouvements illustrant les deux calculs suivants puis écris la réponse : (-3) : 6 = (-2) : 8 = 5.2. Gains et pertes 1 ère partie Retrouver, pour chaque situation S (colonne de gauche), l addition A (colonne du milieu) qui lui est associé ainsi que le résultat R (colonne de droite) qui lui correspond S1 S2 S3 S4 Un gain de 20 suivi d un gain de 50 Une perte de 20 suivi d une perte de 50 Un gain de 20 suivi d une perte de 50 Une perte de 20 suivi d un gain de 50 A1 (-20) + (+50) A2 (+20) + (-50) A3 (-20) + (-50) A4 (+20) + (+50) R1-30 perte de 30 R2 : 30 gain de 30 R3-70 perte de 70 R4 : 70 gain de 70 2 ème partie a) Pour calculer (+9) + (-7), on peut dire : «je gagne 9 points, puis j en perds 7, donc je gagne points. Aide-toi de cet exemple et tente de calculer les sommes ci-dessous : 8 + (-10) = (-9) : 3 = 4 + (-5) = 17 + (-23) = (-14) : 14 = (-10) + (-2) = 16 + (-25) = 29 + (-34) = 7
Addition de deux nombres entiers : Les termes ont-ils le même signe? Oui - On donne au résultat le signe commun - On additionne les valeurs absolues des nombres Non - On donne au résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue - On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande Exercices : 1-) Ecris la somme plus simplement puis effectue : 1) (+5)+ (+4) =... 11) (+8)+ (-3) =... 2) (-2)+ (+4) =... 12) (+3)+ (-1) =... 3) (-10)+ (-2) =... 13) (-3)+ (+5) =... 4) (+6)+ (-6) =... 14) (-9)+ (-2) =... 5 ) (+16)+ (-5) =... 15) (-5)+ (+16) =... 6) (+4)+ (+2) =... 16) (-13)+ (+15) =.... 7 ) (-3)+ (-12) =... 17) (+37)+ (-15) =... 8 ) (-19)+ (+11) =.... 18) (-23)+ (-16) =... 9) (+32)+ (-50) =.... 19) (-27)+ (+35) =... 10) (+43)+ (-27) =... 20) (-30)+ (+4) =... 2-) Complète les pyramides en sachant que le nombre à inscrire dans une case est égal à la somme des deux nombres écrits dans les deux cases de la ligne inférieure. 8
3-) Complète le tableau suivant en calculant a + b : 5.3. Somme de plusieurs nombres entiers Pour trouver la somme de plusieurs nombres : On additionne les nombres positifs et les négatifs entre eux ; On additionne les deux résultats selon la règle de l addition de nombres de signes différents. Calcul les sommes suivantes : 3 + ( 9) + 23 =... -7 + (-21) + 3 + 10 =... 9 + 12 + (-5) + (-12) =... -36 + 34 + 3 =... 24 + ( 9) + (-12) + 26 + 3= (-1) + (+9) + (-1) + (+3) + (-9) + (14) =.. (+10) + (-2) + (+9) + (-8) + (+2) =.. (+12) + (-8) + (-12) + (-3) + (+14) + (-20) = (-10) + (-7) + (+12) + (-25) + (+11) + (-1) = (-38) + (-2) + (-15) + (+10) + (+8) + (+15) = 9
Quelques petits problèmes : 1- Aujourd hui j ai vu qu il me restait 200 sur mon compte en banque. Chouette! C est le premier jour des soldes. Je vais en profiter pour me faire plaisir. Voici mes achats ; - Un sac { 55-2 jeans { 38-4 T-shirt { 14 - Un parfum { 39-3 pulls { 16 - Un rouge { lèvre { 6 - Une écharpe et un bonnet pour 21 - Une veste pour 33 Malheureusement, la banque était fermée lorsque j ai eu fini mes emplettes. Peux-tu m aider { retrouver mon nouveau solde? 2- Sandy est une vraie joueuse! Tous les mois elle se rend au casino et joue une partie de ses économies. Elle prend ce mois-ci 150. Elle commence par jouer au black Jack et mise 64. Elle perd la partie. Elle tente donc de récupérer ses sous en tentant sa chance { la roulette. Elle mise 40 et gagne alors 30 de plus que sa mise. Elle s adonne alors { quelques parties de poker où elle perd 73. Elle tente alors de récupérer ses gains en misant 62 { la roulette mais elle ne tire par le bon numéro. De plus, il y a un tirage au sort pour gagner un super voyage au Brésil, l inscription est de 25. Peut-elle y participer? Pourquoi? 10
5.4. Et pour soustraire? 1) Ayant un peu abusé des soldes, mon compte affiche un solde négatif de «-100». Je dois absolument payer ma facture de téléphone { 50. Quel sera mon nouveau solde? Ecris le calcul : 2) En hiver le thermomètre affiche : - le lundi : -2 - le mardi : -3 - le mercredi : -6 - le jeudi : -9 - le vendredi : -15 Du lundi au mardi la température à baisser ou augmenter? De combien? Ecris le calcul Du mardi au mercredi la température à baisser ou augmenter? De combien? Ecris le calcul Du mercredi au jeudi la température à baisser ou augmenter? De combien? Ecris le calcul Du jeudi au vendredi la température à baisser ou augmenter? De combien? Ecris le calcul Samedi on perd (-2 ), quelle température affiche le thermomètre? Dimanche, on reperd encore (-6 ), quelle température affiche le thermomètre? Pour soustraire deux entiers : Soustraire un nombre entier revient à ajouter son opposé Exemple : 3 (-2) = 3 + (+2) = 5 11
Règle des signes successifs Il est fréquent, dans une somme de rencontrer des signes qui se suivent avant d effectuer un calcul, il faut simplifier l écriture en utilisant la règle des signes successifs. Règle Exemple : ( : ) : :(:2) ==> + (- ) - +(-5) ==> - (: ) - -(:4) ==> - (- ) : -(-3) ==> Exercices : 1- Dans les cercles suivants indique le signe (+ ou -) 2- Transforme les différences en sommes, puis calcule : 12
3- Calcule en utilisant la règle des signes successifs : 4- Complète le tableau suivant : a 5 15-16 -20 b -2 20-15 a + b -3 6 13-10 -14 11 11 6. Multiplication dans les entiers 1-) Transforme les sommes en produits et calcule : 5 + 5 + 5 = 2 + 2 + 2 + 2 = (-5) + (-5) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = 13
2-) Calcule : 2. 7 = 7. (-8) = (-5). 10 = (-21). 11 = (-5). (-4) = 3-) Complète les tables se multiplication : 14
Pour multiplier deux nombres entiers Les deux nombres sont-il de même signes? Oui Le résultat du produit sera positif Non Le résultat du produit sera négatif Calcule les produits suivants : (-2). (-7) = 15. (-5) = (-1). 13 = (-3). 3 = 6. (-2) = (-4). (-6) = (-8). (-2) = (-3). 0 = 12. (-1) = (-8). (-7) = Pour multiplier plusieurs nombres entiers On détermine le signe du produit présenté : Le produit d un nombre pair de facteurs négatifs est positif ; Le produit d un nombre impair de facteurs négatifs est négatif. On effectue le produit des valeurs absolues. (-2). 8. 12 = -2. 3. (-4). (-5) = (-7). 2. (-5) = 6. (-1). 2. (-2) = -7. (-6). 2. (-4). (-5) = 3. (-1). (-2). 2. 1.(-3) = -1. 1. (-1). (-1). (-1). 1 = 125. (-15). (-20). 0. (-52)= -50. (-1). (-2). (-4). (-10) = -8. 5.(-15). 4.(-6).125 = 15