Suites numériques. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2010/2011

Suites numériques Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2010/2011 Table des matières 1 Notion de suite numérique 2 1.1 Définition................................................. 2 1.2 Modes de génération d une suite.................................... 2 2 Suites arithmétiques 3 2.1 Définition, exemples........................................... 3 2.2 Expression en fonction de n....................................... 3 3 Suites géométriques 4 3.1 Définition, exemples........................................... 4 3.2 Expression en fonction de n....................................... 4 4 Sens de variation d une suite 5 4.1 Définition................................................. 5 4.2 Différents types de croissance...................................... 5 4.2.1 Suite arithmétique : croissance linéaire............................. 5 4.2.2 Suite géométrique : croissance exponentielle.......................... 5 4.2.3 Autres types de croissances................................... 6 Table des figures 1 Croissance linéaire............................................ 6 2 Croissance exponentielle......................................... 6 3 Suites croissantes............................................. 6 4 Suites décroissantes............................................ 7 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1

1 NOTION DE SUITE NUMÉRIQUE En préliminaire au cours : Activité 1 (feuille polycopiée) : Des chiffres et leur place. Activité 2 (feuille polycopiée) : Des nombres obtenus par un procédé. 1 Notion de suite numérique 1.1 Définition Définition : Une suite numérique est une liste indexée de nombres. Elle a un premier terme, un deuxième terme, etc. Exemple : Dans l activité 1 de la feuille polycopiée, au 1., à chaque entier naturel, on associe un nombre suivant sa place dans la liste donnée. Ainsi : u 0 = 2 u 1 = 2, 1 u 2 = 3, 1 u 3 = 3, 4 u 4 = 4, 3 Remarque : Une suite numérique est donc une fonction qui, à tout entier naturel n, associe un nombre, noté u (n), ou, plus souvent, u n. Notations : On utilise généralement les lettres u, v, w,... pour caractériser une suite. u n est appelé terme d indice n (ou de rang n) de la suite. La suite dans sa globalité est notée u ou (u n ). Remarque : Attention! Il ne faut pas confondre le terme d indice n de la suite et le n ième terme de la suite : dans l exemple précédent, u 2 est le troisième terme de la suite (car on commence l indexation au rang 0). Exercices : 1, 2 page 93 1 [Déclic] 1.2 Modes de génération d une suite Exemple 1 : A l aide d une formule explicite Soit (u n ) la suit définie par : u n = 6n+4 n+2. u 0 = 6 0+4 0+2 = 4 2 = 2 ; u 8 = 6 8+4 8+2 = 52 10 = 5, 2 ; u 16 = 6 16+4 16+2 = 100 18 5, 6 ; etc. Remarque : La suite est donc de la forme u n = f (n), où f est une fonction. Pour calculer des termes de la suite, on peut donc utiliser les tableaux de valeurs de la calculatrice. Exemple 2 : A l aide d un procédé Soit (u n ) la suite de premier terme u 0 = 4 et dont le terme suivant est obtenu en divisant le nombre par 2, puis en ajoutant 1 au résultat puis en multipliant par 3. u 1 = ( u 0 2 + 1 ) 3 = ( 4 2 + 1) 3 = 9 ; u 2 = ( u 1 2 + 1 ) 3 = ( 9 2 + 1) 3 = 33 2 et, plus généralement u n+1 = ( u n2 + 1 ) 3. Remarques : 1. Dans ce cas, le terme d indice n est calculé à partir du terme précédent. On calcule donc les termes de (u n ) de proche en proche (avant de calculer u 5, il faut déjà avoir calculé u 4, u 3, etc.). Une telle relation est appelée formule de récurrence. 2. On notera la suite (u n ) de la façon suivante : { u 0 = 5 u n+1 = ( u n2 + 1 ) 3 3. On peut aussi utiliser la calculatrice pour calculer les premiers termes de suites définies par récurrence. Voir le 2. de l activité 2 de la feuille polycopiée et l exercice 23 page 97 [Déclic]. Exercices : 3 page 93 2 21, 22 page 96 3 [Déclic] Module : TD 1 page 89 et exercices 16, 17 page 95 4 [Déclic] 1. Notation indicielle. 2. Utilisation du tableur. 3. Calculs de termes. 4. Création d une suite. 2

2 SUITES ARITHMÉTIQUES 2 Suites arithmétiques 2.1 Définition, exemples Définition : On dit qu une suite (u n ) est arithmétique si on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r. On a donc : u n+1 = u n + r Exemples : Le réel r est alors appelé raison de la suite. 1. La suite : 1, 6, 11, 16, 21,... est arithmétique de raison 5. 2. La suite définie par : est arithmétique de raison ( 3). { u 0 = 10 u n+1 = u n 3 3. La suite des entiers naturels : 0, 1, 2, 3,4, 5,... est arithmétique de raison 1. 4. La suite des entiers naturels impairs est arithmétique de raison 2. Propriété : Une suite (u n ) est arithmétique si et seulement si la différence u n+1 u n est constante pour tout entier n. Dans ce cas, la constante trouvée est la raison de la suite. Exemples : 1. Soit u la suite définie par u n = 3n 2. u n+1 u n = 3 (n + 1) 2 (3n 2) = 3n + 3 2 3n + 2 = 3 La suite est donc arithmétique de raison 3 et de premier terme u 0 = 2. 2. Soit v la suite définie par v n = n 2. v n+1 v n = (n + 1) 2 n 2 = n 2 + 2n + 1 n 2 = 2n + 1 Le résultat dépend de n, la suite n est donc pas arithmétique. 3. Soit w la suite définie par : { w 0 = 1 w n+1 = w n + 2 Par définition, la suite est arithmétique de raison 2. 2.2 Expression en fonction de n Cas 1 : suite arithmétique de premier terme u 0 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. u 1 = u 0 + r u 2 = u 1 + r = (u 0 + r) + r = u 0 + 2r u 3 = u 2 + r = (u 0 + 2r) + r = u 0 + 3r Théorème : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Alors : u n = u 0 + nr 3

3 SUITES GÉOMÉTRIQUES Cas 2 : suite arithmétique de premier terme u 1 Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. u 2 = u 1 + r u 3 = u 2 + r = (u 1 + r) + r = u 1 + 2r u 4 = u 3 + r = (u 1 + 2r) + r = u 1 + 3r Théorème : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Alors : u n = u 1 + (n 1) r Exemple : Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 7 et de raison ( 2). u n = u 0 + nr = 7 + n ( 2) = 7 2n. En particulier : u 50 = 7 2 50 = 7 100 = 93. Remarque : En particulier, la représentation graphique d une suite arithmétique est formée de points alignés. Exercices : 5, 6, 7 page 93 et 24, 25 page 97 5 37 page 100 6 [Déclic] 3 Suites géométriques 3.1 Définition, exemples Définition : On dit qu une suite (u n ) est géométrique si on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel q. On a donc : Exemples : Le réel q est alors appelé raison de la suite. u n+1 = q u n 1. La suite : 1, 2, 4, 8, 16,... est géométrique de raison 2. 2. La suite définie par : { u 0 = 3 u n+1 = 1 2 u n est arithmétique de raison ( 1 2). 3. On augmente tous les ans une quantité de 5%. La suite obtenue est u n+1 = 1, 05u n. C est donc une suite géométrique de raison 1, 05. Propriété : Une suite (u n ) est géométrique si et seulement si le quotient un+1 u n est constant pour tout entier n. Dans ce cas, la constante trouvée est la raison de la suite. 3.2 Expression en fonction de n Cas 1 : suite géométrique de premier terme u 0 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. u 1 = u 0 q u 2 = u 1 q = (u 0 q) q = u 0 q 2 u 3 = u 2 q = ( u 0 q 2) q = u 0 q 3 Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. Alors : u n = u 0 q n 5. Suites arithmétiques. 6. Capital placé à intérêts simples. 4

4 SENS DE VARIATION D UNE SUITE Cas 2 : suite géométrique de premier terme u 1 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. u 2 = u 1 q u 3 = u 2 q = (u 1 q) q = u 1 q 2 u 4 = u 3 q = ( u 1 q 2) q = u 1 q 3 Théorème : Soit (u n ) une suite géométrique de raison q. Alors : u n = u 1 q n 1 Exemple : Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 3 et de raison 2. u n = u 0 q n = 3 2 n. En particulier : u 10 = 3 2 10 = 3072. Exercices : 8 page 93 ; 10 page 94 et 27, 29 page 97 7 30 page 97 8 38 page 100 9 39 page 101 10 [Déclic] Module : TD 2 page 90 et exercices 18, 19 page 95 11 [Déclic] 4 Sens de variation d une suite 4.1 Définition Cas particuliers : 1. Si (u n ) est une suite arithmétique de raison r, u n+1 = u n + r donc : Si r > 0, u n+1 > u n donc la suite (u n ) est croissante. Si r < 0, u n+1 < u n donc la suite (u n ) est décroissante. 2. Si (u n ) est une suite géométrique à termes positifs de raison q, u n+1 = u n q donc : Si q > 1, u n+1 > u n donc la suite (u n ) est croissante. Si 0 < q < 1, u n+1 < u n donc la suite (u n ) est décroissante. Définition : Une suite (u n ) est croissante si, pour tout entier naturel n, on a u n+1 u n. Une suite (u n ) est décroissante si, pour tout entier naturel n, on a u n+1 u n. Remarque : On peut aussi définir une suite strictement croissante, strictement décroissante ou constante. 4.2 Différents types de croissance 4.2.1 Suite arithmétique : croissance linéaire Soit (u n ) la suite arithmétique de raison r = 0, 25 et de premier terme u 0 = 4. Soit (v n ) la suite arithmétique de raison r = 0, 2 et de premier terme v 0 = 4. On a représenté graphiquement les premiers termes de (u n ) et (v n ) sur la figure 1. Les points sont alignés. Définition : On parle de croissance linéaire (ou de décroissance linéaire) lorsque la suite est arithmétique, c est-à-dire que u n+1 u n est constant. 4.2.2 Suite géométrique : croissance exponentielle Soit (u n ) la suite géométrique de raison q = 1, 1 et de premier terme u 0 = 10. Soit (v n ) la suite géométrique de raison q = 0, 9 et de premier terme v 0 = 10. On a représenté graphiquement les premiers termes de (u n ) et (v n ) sur la figure 2. 7. Suites géométriques. 8. Comparaison suite arithmétique et géométrique. 9. Capital placé à intérêts composés. 10. La légende du jeu d échecs. 11. Comparaison de suites arithmétiques et géométriques. 5

4.2 Différents types de croissance 4 SENS DE VARIATION D UNE SUITE Figure 1 Croissance linéaire Figure 2 Croissance exponentielle Définition : On parle de croissance exponentielle (ou de décroissance exponentielle) lorsque la suite est géométrique, c est-à-dire que un+1 u n est constant. 4.2.3 Autres types de croissances Suites croissantes : voir figure 3. Figure 3 Suites croissantes Pour la suite (u n ), plus n augmente, plus la différence entre deux termes consécutifs u n+1 u n augmente. On dit que la croissance est accélérée. Pour la suite (v n ), plus n augmente, plus la différence entre deux termes consécutifs u n+1 u n diminue. On dit que la croissance est ralentie. Suites décroissantes : voir figure 4. Pour la suite (w n ), plus n augmente, plus la différence entre deux termes consécutifs u n+1 u n est négatif, mais devient de plus en plus petit en valeur. On dit que la décroissance est ralentie. 6

RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Figure 4 Suites décroissantes Pour la suite (v n ), plus n augmente, plus la différence entre deux termes consécutifs u n+1 u n est négatif, mais devient de plus en plus grand en valeur.. On dit que la décroissance est accélérée. Exercices : 13, 14 page 94 12 31 page 97 13 32, 33 page 98 14 [Déclic] Module : Exercice 34 page 98 15 TD 3 page 92 et exercice 20 page 95 16 [Déclic] Exercices de synthèse : Sujets 3 page 106 ; 5 page 107 et 6 page 108 17 [Déclic] Références [Déclic] Déclic 1re L, Mathématiques-Informatique, Hachette éducation (édition 2003) 2, 4, 5, 7 12. Croissance (ou décroissance) ralentie ou accélérée. 13. Calcul de l accroissement. 14. Autres types de croissance. 15. Étude d une évolution. 16. calcul de différence seconde. 17. Types BAC. 7