RAPPEL D ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES FINANCIERES

UFR 06 MASTER 2 GESTION FINANCIERE ET FISCALE Séminaire fiscalité - F TURQ 2017/2018 RAPPEL D ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES FINANCIERES Toutes les opérations financières supposent l'utilisation de certains outils mathématiques. Les intérêts simples et les intérêts composés - Un capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital. - Un capital produit des intérêts composés si à la fin de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux intérêts. On dit aussi que ces intérêts sont capitalisés. Les problèmes financiers des entreprises sont des problèmes traités dans le cadre des intérêts composés. Taux proportionnel Le taux périodique est un taux proportionnel si ce taux appliqué à un calcul d'intérêts simples sur toutes les périodes de l'année donne le même résultat que le taux annuel. Taux mensuel proportionnel = Taux annuel / 12 Taux équivalent Le taux périodique est un taux équivalent (ou actuariel) si ce taux appliqué à un calcul d'intérêts composés sur toutes les périodes de l'année donne le même résultat que le taux annuel. Ainsi, pour passer de périodes mensuelles à l année : (1 + i m ) 12 = 1 + i a Les problèmes financiers sont en intérêts composés et taux actuariel équivalent. I - Capitalisation et actualisation a) Capitalisation et valeur acquise Soit un capital initial V0 placé au début d'une période à un taux d'intérêt i pour la période. A la fin de cette première période, le propriétaire de ce capital investi dans de telles conditions disposera de la somme de : V1 = V0 + (V0 * i) = V0 (1+i) C'est cette somme V1 qui va être replacée, selon le système des intérêts composés pour une seconde période : les intérêts obtenus au terme de la première période s'ajoutent au capital de départ dans la base de calcul des intérêts suivants. Au terme de la deuxième période, la valeur acquise par le capital sera : V2 = V1 (1+i) = V0 (1+i)(1+i) = V0 (1+i) 2 Par généralisation, on a donc la valeur acquise par un capital initial V0 placé en début de période au taux périodique i, exprimée à la fin de la n ème période :

Vn = V0 (1+i) n b) Actualisation et valeur actuelle Sur la base du raisonnement précédent on peut aisément déterminer le capital V0 à placer à l'origine, ou valeur actuelle, pour disposer d'une somme Vn au terme de la n ème période : V0 = Vn/(1+i) n La convention, pour ce type de calcul est de retenir l'expression équivalente : V0 = Vn(1+i)-n c) Réflexion sur la durée de la période On observe que la durée de la période n'intervient pas explicitement dans les calculs, c'est seulement le nombre de périodes qui et pris en compte. Mais le taux d'intérêt utilisé est défini par rapport à la durée de la période. on peut envisager de raisonner sur des périodes de longueur différente, ainsi sur 12 périodes d'un mois et non pas sur 1 an. Dans ce cas, les principes de calcul à employer en pratique sont fondés sur la notion de taux d'intérêt équivalent ; ainsi pour un taux d'intérêt i a l'an, on a un taux d'intérêt mensuel équivalent i m 1 + i a = (1 + i m ) 12 Les calculs présentés ici sont développés sur la base d'une somme unique, V 0 ou V n ; ils peuvent être utilisés à la résolution de problèmes financiers plus courants dans lesquels il y a une suite de sommes à des échéances successives. Tels sont les problèmes d'emprunts, de crédit-bail ou de rentabilité d'investissement.

II - Les emprunts L'opération d'emprunt comporte les données suivantes : - V0 est la capital emprunté - ce capital est emprunté avec un taux d'intérêt i qui est normalement payable à chacune des échéances - à l'occasion de ces échéances, on rembourse au préteur une fraction du capital emprunté au départ : Aj est la fraction du capital remboursée (amortie) à la date j - comme le remboursement du capital est ainsi étalé dans les temps, la dette initiale V0 diminue et Vj est le capital restant dû après le j ème remboursement - aj est l'annuité j, somme du remboursement et de l'intérêt payés à chaque échéance. Ce terme concerne donc des problèmes d'emprunt avec des échéances annuelles. On observera toutefois que les raisonnements développés s'appliqueront sans problème à toutes opérations financières sur des périodes de longueur différente. En fait, on doit distinguer : - les emprunts dont le remboursement et les intérêts sont étalés dans le temps, via des versements périodiques (mensuels, trimestriels ), - ceux qui font l objet d un seul remboursement en fin de contrat (in fine). Les calculs qui suivent peuvent être paramétrés pour chacune des ces situations. date annuité = intérêt + amortissement capital restant dû 1 a1 = V0 i + A1 V1 = V0 - A1 2 a2 = V1 i + A2 V2 = V1 - A2 = V0 - (A1+ A2) 3 a3 = V2 i + A3 j=3 V3 = V2 - A3 = V0 - Aj p-1 ap-1 = Vp-2 i + Ap-1 p ap = Vp-1 i + Ap p+1 ap+1 = Vp i + Ap+1 j=p-1 Vp-1 = V0 - Aj j=p Vp = V0 - Aj j=p+1 Vp+1 = V0 - Aj n-1 an-1 = Vn-2 i + An-1 n an = Vn-1 i + An j=n-1 Vn-1 = V0 - Aj j=n Vn = V0 - Aj Remarques : Bien évidemment, le concept d annuité peut être transposé et ce raisonnement permet de traiter les cas des mensualités, trimestrialités, etc., il faut alors utiliser un taux équivalent.

Dans le cas d emprunts à remboursement unique «in fine», les amortissement A 1 à A n-1 sont nuls et A n = V 0 On observe que, dans la dernière annuité : Vn-1 = An Une annuité est donc la somme d un intérêt et d un amortissement (nul pour les périodes intermédiaires, en cas de remboursement unique in fine) : an = An i + An = An (1+i) j=n V0 = Aj Cette dernière expression est vraie dans tous les cas, indépendamment de la loi d'amortissement. Elle signifie qu'à la fin on aura remboursé la totalité de sa dette (Lapalissade financière). On peut établir la relation entre deux annuités successives, par exemple ap et ap+1. La relation peut être la différence entre deux annuités successives : ap+1 - ap = (Vp i + Ap+1) - ( Vp-1 i + Ap) Avec Vp = Vp-1 - Ap On obtient donc : ap+1 - ap = {(Vp-1 - Ap) i + Ap+1} - (Vp-1 i + Ap) ap+1 - ap = Vp-1 i - Ap i + Ap+1 - Vp-1 i - Ap ap+1 - ap = -Ap i + Ap+1 - Ap = Ap+1 - Ap (1+i) DANS LE CAS PARTICULIER (MAIS SI PRATIQUE) DES ANNUITES CONSTANTES : ap+1 = ap D'où l'on peut déduire : Ap+1 = Ap (1+i) Cette relation exprime que les amortissements sont en progression géométrique de raison (1+i) lorsque les annuités sont constantes. On peut en déduire quelques relations fort utiles : 1) Relations entre le capital emprunté et les amortissements Le capital emprunté est égal à la somme des amortissements (dans tous les cas) j=n V0 = Aj = A1 + A2 +... + An Lorsque les annuités sont constantes :

V0 = A1 + A1 (1+i) +... + A1 (1+i) n-1 V0 est alors exprimé comme étant la somme d'une suite de termes en progression géométrique de raison (1+i), donc croissante car (1+i) >1 On obtient alors deux relations remarquables : V0 = A1 (1+i) n -1 i i A1 = V0 (1+i) n -1 2) Relation entre le capital emprunté et les annuités Le capital emprunté est égal à la valeur actuelle des annuités futures (dans tous les cas) V0 = a1 (1+i) -1 + a2 (1+i) -2 +... + an (1+i) -n Dans le cas des annuités constantes, les a étant tous égaux, on a une expression du type : V0 = a (1+i) -1 + a (1+i) -2 +... + a (1+i) -n V0 est alors la somme d'une suite de termes en progression géométrique de raison (1+i)-1 donc décroissante car (1+i)-1 <1 Lorsque les annuités sont constantes, on obtient deux relations remarquables : V0 = a a = V0 1 - (1+i) -n i i 1 - (1+i) -n On peut alors envisager de traiter les problèmes suivants : a) Quelle est la somme V0 que l'on peut emprunter au taux i, remboursable par versements constants sur une durée n si on ne désire pas que l'annuité (ou la mensualité) ne dépasse pas une somme a?

b) Quelle est la durée n sur laquelle sera étalé le remboursement d'un emprunt V0 contracté au taux i, si l'annuité (ou la mensualité) est a? c) Quelle est l'annuité (ou la mensualité) a d'un emprunt V0 contracté au taux i sur une durée n? d) Quel est le taux i d'un emprunt V0 servi par n annuités (ou mensualités) a? e) Quels sont : o la mensualité m équivalente à l annuité a d un emprunt V 0 au taux i a sur n années? o le taux mensuel équivalent? Problème a Somme V 0 empruntable Problème b Durée n Problème c annuité Problème d Taux d emprunt Problème e V 0 147 201,74 150 000 90 000 200 000 50 000 i a 6,0% 5% 5,5% 4,28% 4,5% n 10 ans Entre 7 et 8 6 ans 10 ans 10 ans ans a 20 000 24 000 18 016,11 25 000 6 318,94 m 516,02 i m 0,37% La réglementation en vigueur oblige le prêteur à annoncer à l'emprunteur le taux du financement Taux Effectif Global, compte tenu des éléments annexes (assurance, frais de dossier) ; certains donnent le taux mensuel dans le cas de mensualités et non plus d'annuités! Dans le cas d'achat à crédit, le prix total en cas de financement par emprunt est égal à la somme de ce qui est immédiatement payé par l'acheteur/emprunteur plus le total des annuités ou mensualités. Le coût du financement est quant à lui normalement égal au montant des intérêts majorés des frais (assurance, frais de dossier). III - Le crédit-bail a) Présentation C'est une opération permettant de disposer d'un bien en le louant à une société de crédit-bail qui achète le bien d'équipement ou l'immeuble, objet du contrat de location, dans le seul objectif de le louer à un utilisateur. Ce contrat est assorti d'une option à un terme prévu, l'entreprise locataire pouvant : - restituer le bien à la société de crédit-bail, qui en est propriétaire, - renouveler la location avec un nouveau tarif, - acheter le bien, la valeur d'achat étant généralement prévue dans le contrat initial et correspondant à un éventuel dépôt de garantie.

Juridiquement, le crédit-bail peut s'analyser comme la combinaison d'un contrat de location et d'une promesse de vente à terme. Économiquement, il ne fait pas de doute que c'est une opération de crédit, l'utilisateur locataire du bien trouvant ce procédé de financement plus intéressant que d'autres. Dans ce système, la société financière étant propriétaire du bien a une garantie de récupération, elle peut donc se contenter d'un apport initial faible ou nul. C'est donc un moyen de financement qui peut séduire les entreprises qui ne disposent pas de capitaux importants ou qui ne désirent pas immobiliser leurs capitaux. b) application des mathématiques financières On peut, pour analyser cette opération, utiliser les outils mathématiques présentés pour la résolution des problèmes précédents :

Le schéma ci-dessus correspond à des loyers de fin de période. On trouve très souvent des loyers de début de période ; les calculs doivent être ajustés en conséquence. Le versement initial peut être un dépôt de garantie ou un premier loyer majoré. Les loyers peuvent ne pas être constants sur toute la durée de l'opération. Sur la base de ce schéma, on peut envisager de déterminer le coût du crédit-bail, c'est à dire le taux i qui rend équivalente la somme actualisée des loyers futurs au prix du bien : V0 - dépôt garantie = L1(1+i) -1 + L2(1+i) -2 +... + (Ln + option) (1+i) -n Dans le cas de loyers de début de période, on aurait : V0 - dépôt garantie = L1 + L2(1+i) -1 + L3(1+i) -2 +... + Ln(1+i) n-1 + option(1+i) -n En pratique, le "taux" d'un tel financement n'est pas annoncé au client : l'établissement financier n'est tenu que d'annoncer le prix total et le coût du financement. REMARQUE IMPORTANTE On doit être particulièrement attentif, pour ces problèmes, à la localisation dans le temps des différentes sommes : le nombre de périodes de calcul (actualisation ou capitalisation) n'est en effet pas le même selon, par exemple, qu'un loyer est payé immédiatement ou à la fin de la période envisagée