Dossier Master «Enfance Enseignement Education» 2 nd année Site de Montigny-Lès-Metz UE 1019-9 : Unité et spécificités de la didactique des sciences, technologies et mathématiques : Réalisation et analyse d un projet d enseignement. EC2 : Construction d un projet d enseignement à caractère scientifique Jérôme COLSON Marie KORN Groupe M2P1B Année universitaire : 2011-2012
INTRODUCTION Dans le cadre de l UE 1019-9, nous avons fait le choix de construire et de mener en classe une séance de mathématiques portant sur la résolution d un problème. Cette séance a été mené dans une classe de cycle 3 niveau CE2 à l école d application Sainte-Thérése à Metz. Ce projet nous a permis de s initier à la pédagogie spécifique aux situations problèmes et plus particulièrement à leurs résolutions. Nous présentons dans ce dossier la conception des différentes phases, leurs mises en œuvre en classe et une analyse à posteriori de cette séance.
PLAN I/ Conception de la séance autour de la résolution de problème : A. Choix du problème : B. Appropriation du problème : a. Premier type de méthode organisée: b. Second type de méthode organisée : C. Objectifs et compétences visés : II/ Description de la conception et de la réalisation en classe des différentes phases et analyse à posteriori : A. Situation de départ : a. Description : b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : c. Analyse à posteriori : B. Phase de recherche : a. Description : b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : c. Analyse à posteriori: C. Phase de confrontation : a. Description : b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : c. Analyse à posteriori : D. Phase de structuration : a. Description : b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : c. Analyse à posteriori : CONCLUSION ANNEXE
I/ Conception de la séance autour de la résolution de problème : A. Choix du problème : Parmi les différents problèmes que nous avions à disposition, nous avons fait le choix d organiser une séance autour du problème : «Les glaces». Présentation du problème : «Les glaces» Trouve tous les mélanges possibles de glace à trois boules différentes, avec cinq parfums : citron, vanille, chocolat, fraise, pistache. B. Appropriation du problème : Avant de concevoir la séance, nous nous sommes tout d abord essayé à la résolution du problème. Cet essai nous a permis de prendre conscience des différentes procédures de résolution possibles et surtout des obstacles ou difficultés potentiels que pourront avoir les élèves. Il s est avéré que nous sommes partis automatiquement sur une procédure organisée alors qu il est probable que certains élèves utilisent des procédures non organisées. Même si nous avons utilisé tous les deux une méthode organisée, cette méthode a été différente chez l un et chez l autre. a. Premier type de méthode organisée: La méthode consiste à écrire toutes les combinaisons de parfums possibles même celles qui se répètent (Voir photographie ci-contre). Elle se déroule en plusieurs phases : - Phase 1 : Fixer au préalable un parfum (le citron) puis un second (la vanille) et trouver toutes les possibilités de glaces avec citron et vanille.
- Phase 2 : Garder le premier parfum choisi (le citron), changer le second (la vanille est remplacée par le chocolat) et trouver toutes les possibilités de glaces avec citron et chocolat. - Phase 3 et 4 : C est le même raisonnement que pour la phase deux avec pour premier parfum le citron puis successivement la fraise et la pistache. - Phase 5 : Comme toutes les possibilités avec le citron ont été trouvées, on reprend les phases 1 à 4 en changeant le premier parfum (le citron est remplacé par la vanille). - Phase 6, 7 et 8 : C est le même raisonnement que la phase précédente mais pour chaque phase on change le premier parfum, soit successivement la fraise, le chocolat et la pistache. - Phase 9 : Une fois que toutes les possibilités ont été trouvées, il faut éliminer toutes les répétitions. Cette procédure est coûteuse en temps, en énergie et source d erreur dû aux répétitions car il y a en tout 60 combinaisons : 10 solutions et 50 répétitions. C est à ce moment précis que nous nous sommes rendus compte de la nécessité de faire prendre conscience aux élèves des possibles répétitions avant même la résolution du problème. Exemple : La glace «Citron, vanille, chocolat» est la même que «Chocolat, vanille, citron». b. Second type de méthode organisée : La seconde procédure consiste à utiliser un arbre et de ne pas écrire toutes les répétitions. Il s agit, en fait, de fixer un premier parfum (le citron) puis un second (successivement la vanille, le chocolat, la fraise et la pistache) et de relever toutes les possibilités avec les deux parfums bloqués sans écrire les répétitions.
Une fois que toutes les possibilités ont été trouvées avec le premier parfum (le citron), on bloque un autre parfum (la vanille) et on procède de la même manière que précédemment en n utilisant pas le citron. Lorsque toutes les possibilités ont été trouvées avec le citron et la vanille, on bloque un autre parfum (le chocolat) et on procède de la même manière en n utilisant pas le citron et la vanille. Dans ce cas précis, après avoir bloqué le chocolat, il ne reste plus que deux parfums : la fraise et la pistache. Cette procédure est moins coûteuse en temps et en énergie. Même s il est peu probable qu ils utilisent un arbre, il est possible que les élèves reprennent le principe de cette méthode (Bloquer deux parfums et ne pas écrire les répétitions). C. Objectifs et compétences visés : L objectif principal de cette séance est de développer progressivement chez les élèves une démarche organisée dans une recherche exhaustive. Les deux compétences principales visées sont : - S investir dans un projet collectif. - Travailler en groupe et proposer collectivement une réponse.
II/ Description de la conception et de la réalisation en classe des différentes phases et analyse à posteriori : A. Situation de départ : a. Description : La situation de départ permet de capter l attention des élèves et surtout de les motiver à s approprier le problème. Nous avons décidé de scénariser le problème et de donner l énoncé par l intermédiaire d une affiche (Voir photographie ci-dessous). Comme nous pouvons le voir sur la photographie, l affiche est composée : - d une bulle de dialogue : «Aidez-moi à réaliser la carte des glaces pour mon stand. Je souhaite proposer des glaces à trois boules différentes parmi les cinq parfums proposés.» ; Photographie de l affiche utilisée : - d une image de la marchande ; - d une image de son stand de glace ; - et des différents parfums : fraise, vanille, chocolat, pistache, citron. Plusieurs exemples ont été donnés pour vérifier leur compréhension du problème dont des exemples incorrects: - un contre exemple : Vanille, chocolat, chocolat ; - deux exemples similaires : Vanille, fraise, chocolat et Chocolat, fraise, vanille. Ces deux derniers exemples permettent aux élèves de leur faire prendre conscience des problèmes liés aux répétitions. La consigne est explicitée : Trouvez le plus de glaces possibles différentes pour les inscrire sur la carte des glaces.
b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : Lors de notre arrivée en classe, nous avons accroché au tableau l affiche de la marchande de glaces. Cela a suscité beaucoup de curiosité et d intérêt de leur part. Un élève a lu à haute voix la bulle de dialogue et par un jeu de questions-réponses, nous nous sommes assurés de la compréhension de la consigne et du vocabulaire utilisé : carte des glaces et stand. Les exemples donnés ont été inscrits au tableau, ce qui a fortement influencé leurs méthodes de recherche comme nous le verrons par la suite. c. Analyse à posteriori : La situation de départ a bien fonctionné et a été efficace. L utilisation d une affiche a non seulement permis de capter l attention des élèves et de garder une trace écrite comme référence. Nous avons constaté dans la phase de recherche, que les élèves avaient repris la structure des exemples donnés au tableau. Peut-être aurait-il été plus intéressant de donner un exemple écrit et un exemple sous forme de dessin figuratif? De plus, la disposition des parfums sur l affiche a fortement influencé les procédures de recherche des élèves (voir phase de confrontation). Nous pourrions nous demander si une autre disposition des parfums (moins organisée) aurait donné les mêmes résultats. B. Phase de recherche : a. Description : Suite à l appropriation du problème, les élèves se mettent en groupe de 3-4 élèves (Groupes constitués par l enseignante). Chaque groupe essaye de résoudre le problème à l aide de procédures personnelles. Les élèves ont à leur disposition une feuille A3 pour chercher les solutions du problème et pour communiquer aux autres leurs résultats. L écrit a donc deux fonctions : une fonction de recherche et une fonction de communication. Au sein de chaque groupe, un scripteur et un rapporteur sont désignés. b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : Les élèves ont mis du temps à se constituer en groupe (Changement de tables, chaises, déplacement, matériel ). Une fois les problèmes d organisation rétablis, les élèves se sont très rapidement mis au travail. Pendant cette phase de recherche, nous avons circulé dans les différents groupes et pu constater une invariance : la reprise de la forme des exemples donnés en situation de départ.
c. Analyse à posteriori : Nous avons pu constater que la situation de départ a permis à tous les groupes de s approprier le problème. Il aurait peut-être été intéressant d avoir une phase de recherche individuelle afin que chaque élève puisse s approprier le problème et puisse confronter ses réponses au groupe. Il peut alors se mettre en place un véritable débat autour des solutions de chacun. En observant les feuilles A3 des différents groupes, nous avons pris conscience que nous n avions pas assez insisté sur la fonction de communication du support. En effet, les groupes ont utilisé la feuille A3 comme support de recherche et non comme support de communication. L écriture des scripteurs était trop petite et pas adapté à une présentation devant la classe (Voir photographies des feuilles A3 de deux groupes). Ce problème n a pas pu être rectifié directement en classe, provoquant des changements lors des phases suivantes. Photographies de deux feuilles A3 de deux groupes : Pour remédier à ce problème deux pistes sont possibles : - Première piste : Insister, lors de la situation de départ, sur la fonction de communication. - Seconde piste : Différencier les deux fonctions par deux supports écrits différents ; les élèves peuvent chercher sur un support (Cahier de brouillon, feuille volante ) et communiquer leurs résultats sur un autre support (feuille A3).
A notre arrivée en classe, des élèves nous ont été signalés comme ayant des difficultés et s investissant peu dans le domaine des mathématiques. Lors de cette phase de recherche, nous avons pu constater que certains de ces élèves signalés se sont révélés intéressés et même investis dans le travail de groupe. Nous pouvons penser que ces élèves n ont pas identifié notre séance comme étant une séance de mathématiques mais plutôt comme un projet collectif : constituer la carte des glaces de la marchande. Par ailleurs, la résolution de ce problème ne nécessite pas forcément de compétences particulières en mathématiques puisque les élèves peuvent utiliser une procédure par tâtonnements ce qui permet aux élèves en difficulté de s investir dans le travail. Enfin, nous avons pu constater que beaucoup d élèves, qui avaient trouvé 8 solutions, cherchaient à atteindre le nombre 10. Pour eux, il y avait 10 solutions mais ils ne savaient pas pour quelle raison. Cette recherche «du 10» peut s expliquer soit par l attraction de la dizaine, du chiffre rond soit par l influence des autres groupes qui parlaient de 10 combinaisons possibles. C. Phase de confrontation : a. Description : Chaque rapporteur de groupe doit présenter aux autres leurs solutions et surtout la méthode employée. Cette phase permet aux élèves de prendre conscience des différentes procédures et du nombre de solutions trouvées. Lors de cette phase nous avions élaboré deux scénarios possibles : Les groupes n ont pas trouvé les dix solutions : l enseignant questionne alors les élèves sur les solutions restantes. Certains groupes ont trop de solutions : L enseignant questionne les élèves pour qu ils prennent conscience des répétitions. Lorsque les élèves ont trouvé les dix solutions, nous sommes partis du principe de ne pas prouver qu il y a dix solutions et seulement dix. Cette phase se terminerait en disant : «Il semble avoir 10 glaces possibles, nous allons donc compléter la carte des glaces.». b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : Chaque groupe avait désigné un rapporteur pour présenter les résultats et la méthode utilisée. Du fait que les affiches n étaient pas communicables (non visibles par l ensemble de la classe), les élèves n avaient pas de support visuel auquel se rattacher et devaient donc
écouter attentivement les rapporteurs pour comprendre. Certains groupes avaient des difficultés à expliciter leurs méthodes, si bien que pour certains groupes, nous les avons poussés vers une explication de méthode qui ne correspondait pas à la leur. Au fil des comptes-rendus, nous avons pu distinguer plusieurs types de méthodes pour résoudre le problème : Procédure en utilisant une méthode non organisée : Les élèves ont pris à chaque fois trois parfums au hasard et ils n ont écris que les glaces qu ils n avaient pas encore trouvées. Cette méthode a été utilisée par 4 groupes : 3 groupes ont trouvé les dix solutions et un groupe en a trouvé 9 (Voir photographies ci-dessous). Notons qu un des trois groupes qui avait d abord utilisé cette méthode, a ensuite privilégié une méthode organisée pour être sûr d avoir toutes les réponses. Photographies des traces écrites des groupes ayant utilisée une méthode non organisée :
Procédure consistant à commencer par une méthode organisée puis utilisation d une méthode non organisée pour compléter les réponses : Photographie de la trace écrite du groupe ayant bloqué un parfum: o En bloquant un seul parfum : Les élèves ont bloqué un parfum (la fraise) et ont essayé de trouver toutes les combinaisons possibles avec ce parfum en choisissant au hasard les deux autres parfums. Une fois qu ils avaient toutes les combinaisons possibles, ils ont adopté une méthode non organisée en trouvant toutes les glaces possibles qui ne contient pas le parfum qu ils avaient bloqué (la fraise). Cette méthode ne concerne qu un groupe et ils n ont trouvé que 8 solutions (Voir photographie cicontre). o En bloquant deux parfums : Les élèves ont tout d abord bloqué deux parfums (la fraise et la vanille), puis ont essayé de trouver toutes les combinaisons possibles avec ces deux parfums. Ensuite ils ont gardé le premier parfum bloqué (la fraise) et ont cherché de manière non organisé les deux autres parfums en retirant la vanille. Une fois qu ils avaient toutes les possibilités avec le premier parfum bloqué (la fraise), ils ont recherché de manière non organisé les autres solutions en ne prenant pas la fraise. Cette méthode n a concerné qu un groupe et ils n ont trouvé que 9 solutions (Voir photographie ci-dessous). Photographie de la trace écrite du groupe ayant bloqué deux parfums:
o En suivant l ordre des parfums donné par l affiche : Les élèves ont suivi l ordre de l affiche pour former la première glace (Fraise, vanille, chocolat) puis ils ont décalés d un parfum pour trouver les autres solutions (Vanille, chocolat, pistache / Chocolat, pistache, citron etc.) et ont ainsi effectué «un tour». Après cette étape, ils ont formé des glaces de manière non organisée ont prenant des parfums qui ne se suivent pas, c est-à-dire en laissant «un trou» entre les parfums. Cette méthode ne concerne qu un seul groupe et ils ont trouvé les 10 solutions (Voir photographie cicontre). c. Analyse à posteriori : Les affiches n étant pas communicables, nous avons eu quelques difficultés à faire expliciter aux différents rapporteurs leurs méthodes. En les interrogeant certains rapporteurs avaient le sentiment d être obligé de se positionner entre deux types de méthodes : organisée ou non organisée. Photographie de la trace écrite du groupe ayant suivi l ordre des parfums donné par l affiche : A la fin de cette séance, nous n avons pas clairement expliqué l importance d utiliser une méthode organisée. La seule justification que nous avons donnée est que la méthode organisée est plus efficace. Avec le recul, cette notion d efficacité est à revoir car trois groupes sur les sept avaient trouvé les dix solutions en utilisant une méthode non organisée, de ce fait la méthode non organisée n est pas moins efficace, en terme de résultat, que la méthode organisée. Nous aurions dû donner plus de sens à la notion d efficacité : la méthode organisée est plus efficace car elle est moins source d erreurs (pas de problème de répétitions) et elle est plus rapide (gain de temps) qu une méthode non organisée. Peut-être aurait-il été intéressant de donner une autre situation semblable et de chronométrer les élèves en demandant à la moitié d entre eux d utiliser une méthode organisée et à l autre moitié une méthode non organisée? Suite à cette expérience, les élèves auraient comparé leurs réponses et constater que ceux utilisant une méthode organisée ont plus de réponses dans le temps imparti que ceux ne l utilisant pas. Il aurait aussi été intéressant de demander aux élèves de prouver qu il n y a
que dix solutions, surtout pour ceux ayant utilisant une méthode non organisée, afin qu ils prennent conscience que seule une méthode organisée permet de prouver qu il n y en a pas d autres. D. Phase de structuration : a. Description : Lors de la conception de la fiche de préparation, nous avions fait le choix de préparer une trace écrite à compléter, laissant ainsi les élèves utiliser la procédure qu ils souhaitent parmi les méthodes organisées. Un exercice complémentaire avait été prévu si la résolution du premier problème avait été très rapide. Présentation du problème : «Aidez la marchande à trouver toutes les coupes de glace à quatre boules différentes parmi six parfums : citron, vanille, chocolat, fraise, pistache et cassis.» Il y a 15 solutions au total. b. Comment s est déroulée cette phase en classe? : Après avoir interrogé des élèves sur les différentes méthodes utilisées pour trouver les combinaisons possibles, nous avons distribué à chaque élève la trace écrite à remplir. Comme les affiches n étaient pas exploitables, nous avons guidé la rédaction de la trace écrite. Nous avons ainsi fait le choix de compléter collectivement et à l oral, à travers un jeu de questionsréponses, la carte des glaces. Face aux réponses données par les élèves, nous avons décidé de mettre l accent sur une méthode organisée (bloquer deux parfums) pour compléter la trace écrite. L exercice complémentaire n a pas été donné. c. Analyse à posteriori : Même si nous avons guidé les élèves lors de la trace écrite, les élèves étaient motivés à répondre surtout ceux qui maitrisaient bien la technique. L inconvénient d un oral collectif est que nous n interrogeons pas tous les élèves et de ce fait, nous ne sommes pas certains que tous les élèves aient compris la méthode organisée choisie. C est ce qui est arrivé avec une élève, qui après avoir levé le doigt et avoir été interrogée, ne savait plus où elle en était soit parce que la méthode ne lui convenait pas soit parce qu elle ne l avait pas encore assimilée.
A l inverse, un élève ayant de grandes facilités en mathématiques, prenait souvent la parole au détriment des autres. Nous aurions pu l interroger un peu moins souvent, afin de laisser les autres élèves s exprimer et surtout intégrer une méthode organisée. CONCLUSION La séance que nous avons mise en place à l école St-Thérèse nous a permis de nous confronter à ce que pouvait être la résolution de problèmes de recherche à l école. Avec ce travail réflexif sur notre pratique, il nous paraît important de développer chez eux le travail de groupe, l élaboration de différents types d écrit (écrit de recherche et écrit de communication) et la prise de parole pour présenter des résultats à un groupe classe. Nous avons pu constater que la résolution de problèmes n engageant pas de techniques opératoires peut permettre à certains élèves en difficulté de s exprimer et/ou de s investir dans une activité mathématique. La capacité à résoudre des problèmes nous semble importante car c est en ayant une posture réflexive, de recherche, que nous formons les citoyens de demain : des citoyens capables de faire des choix réfléchis.
ANNEXE