Chapitre 3 Régime fréquentiel variable. Introduction Chapitre + chapitre : détermination des tensions, des courants et des puissances d un circuit alimenté par une source à fréquence constante. Chapitre 3 : Maintien de l amplitude et de la phase du signal constante et variation de la fréquence du signal réponse fréquentielle du circuit Réponse fréquentielle d un circuit représentation de la fonction de transfert du circuit en fonction de la pulsation, la pulsation variant de à l infini. Application des réponses fréquentielles : télécommunications (filtres électriques pour la radio, la télévision, les systèmes de téléphonie, ), systèmes de commande. UFHB UFR SSMT L Tronc commun
. Fonction de transfert Outil efficace pour la détermination de la réponse fréquentielle d un circuit H Y X Y X H : sortie du circuit (élément de tension ou courant) : entrée du circuit (tension ou courant de source) Types de fonctions de transfert H H V V I I s e s e H H V I e s I V s e 3. Fonction de transfert Autre expression de H(ω): N H D N et D ne sont pas forcement les mêmes expressions que les fonctions d entrée et de sortie respectivement. Racines de Racines de N D : les zéros de : les pôles de H H Astuce : remplacer ω par s ou p temporairement lorsqu on travaille avec H(ω) puis remplacer s ou p par ω à la fin. 4 UFHB UFR SSMT L Tronc commun
Outil graphique permettant d analyser le comportement des systèmes linéaires continus dans le domaine fréquentiel Il est utilisé afin de visualiser rapidement la marge de gain, la marge de phase, le gain continu, la bande passante, le reet des perturbations et la stabilité des systèmes. Les systèmes linéaires continus conservent la forme du signal soumis à une excitation sinusoïdale 5 Soit e(t)=a e sint on aura en sortie s(t)=a s sin(t+ L amplitude du signal de sortie ainsi que le déphasage vont dépendre de la pulsation d excitation. Exemple d analyse de l évolution fréquentielle d un système du premier ordre de fonction de transfert : H.s 6 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 3
Pour une pulsation de. rad/s, on a les courbes suivantes : 7 Pour une pulsation de rad/s, on a les courbes suivantes : 8 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 4
Pour une pulsation de rad/s, on a les courbes suivantes : 9 Pour une pulsation de rad/s, on a les courbes suivantes : UFHB UFR SSMT L Tronc commun 5
Constat : en faisant évoluer la pulsation d excitation, l amplitude du signal de sortie évolue et le déphasage évolue. Il serait intéressant de sortir l évolution de l amplitude et du déphasage en fonction de la pulsation d excitation Diagramme de Bode Le diagramme de Bode est composé de deux tracés : - le diagramme d amplitude - le diagramme de phase Diagramme d amplitude : Tracé de l amplitude en fonction de la pulsation Adb= log(module de la fonction de transfert) Avec Adb en décibels et la pulsation en échelle logarithmique UFHB UFR SSMT L Tronc commun 6
Diagramme de phase : Tracé de la phase de la fonction de transfert en fonction de la pulsation La phase en degrés ou en radians et la pulsation en échelle logarithmique 3 Intérêt de l échelle logarithmique : L'intérêt d'une échelle logarithmique est de pouvoir représenter sur des formats standards des fonctions ayant une grande amplitude de variation (représentation de grandes valeurs sur un même graphe). L'utilisation d'une échelle métrique aurait obligé à "écraser" les petites valeurs. Avec l'échelle linéaire, deux graduations dont la différence vaut sont à distance constante. Avec l'échelle logarithmique, deux graduations dont le rapport vaut sont à distance constante. 4 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 7
Intérêt de l échelle logarithmique: T 5 3. Echelle des décibels 6 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 8
Tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert /(+.p) 7 Tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert /(+.p) 8 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 9
Tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert /(+.p) 9 Tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert /(+.p) Constats : lorsque les pulsations sont faibles, le gain est nul la sortie se superposera à l entrée usqu à rad/s. A partir de rad/s, on s aperçoit que la courbe d amplitude descend le signal de sortie va être atténué Pour une pulsation de rad/s, on a un gain en décibels de -3db atténuation du signal de 3% UFHB UFR SSMT L Tronc commun
Le diagramme asymptotique est un diagramme simplifié qui va nous permettre de connaitre assez rapidement l allure de la réponse harmonique réelle. Diagramme des gains précédents : le gain n évolue pas pour de petites pulsations, il peut donc être remplacé par une asymptote Pour des pulsations élevées, le gain évolue de manière linéaire sur deux décades, on peut aussi le remplacer par une asymptote Les deux asymptotes se coupent en un point : pulsation de cassure c Diagramme des phases précédents faibles pulsations : déphasage quasi-nul Pulsations constant et vaux -9 A la pulsation de cassure, le déphasage varie brusquement de zéro à 9 Le dia UFHB UFR SSMT L Tronc commun
Le dia 3 Diagramme du gain : tracé en décibels en fonction de la fréquence HdB log H Diagramme de la phase : tracé en degrés en fonction de la fréquence Les deux diagrammes doivent être tracés sur du papier semilog Forme standard du diagramme de Bode: K / z / k / k / p / /... H n n... 4 UFHB UFR SSMT L Tronc commun
UFHB UFR SSMT L Tronc commun 3 La fonction de transfert peut être constituée au numérateur et au dénominateur du produit de 4 termes - Gain K - Terme en - Terme en - Terme en La diagramme asymptotique de Bode est obtenu par le tracé de chaque terme séparément puis par l assemblage graphique de l ensemble z 5 Les termes suivants introduisent une pulsation de cassure: - - Exemple : Elément du premier ordre On la met sous forme canonique, c est-à-dire : avec z 6 Tp K p F K F T
UFHB UFR SSMT L Tronc commun 4 Exemple : Elément du second ordre soit Ces deux exemples montrent comment extraire des pulsations de cassure connaissant la fonction de transfert. 7 p p z K p F z K F Tracé du diagramme de Bode asymptotique Considérons la fonction de transfert suivante : Numérateur : produit d un élément proportionnel par un élément du premier ordre Dénominateur : produit d un élément du premier ordre par un élément du second ordre 3 pulsations de cassure :,, 3. (On considère < < 3 ) 8 3 3 p z K F
Tracé du diagramme de Bode asymptotique Etape : regarder ce qui se passe dans les petites pulsations Gain : Si <<, et très petits devant F() tend vers K 3 A db =logk Tracé d une asymptote horizontale usqu à la première pulsation de cassure Phase : Déphasage nul usqu à la première pulsation de cassure 9 3 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 5
Tracé du diagramme de Bode asymptotique Etape : regarder ce qui se passe à : pulsation de cassure extraite d un élément du premier ordre situé au numérateur de la fonction de transfert Gain : Cassure vers le haut en aoutant à l asymptote de référence une pente de +db Phase : Déphasage de 9 vers le haut du diagramme Conclusion : élément du premier ordre au numérateur cassure au niveau de l amplitude de +db/décade et déphasage de +9. 3 3 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 6
Tracé du diagramme de Bode asymptotique Etape 3 : regarder ce qui se passe à : pulsation de cassure extraite d un élément du premier ordre situé au dénominateur de la fonction de transfert Gain : Cassure vers le bas en aoutant à l asymptote de référence une pente de -db (soit en retranchant db à l asymptote de référence). La pente initiale étant à + db, en retranchant db, on a db asymptote horizontale. Phase : Déphasage de -9 (soit en retranchant 9 aux 9 d origine, la phase sera nulle. 33 34 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 7
Tracé du diagramme de Bode asymptotique Etape 4 : regarder ce qui se passe à 3 3 : pulsation de cassure extraite d un élément du second ordre situé au dénominateur de la fonction de transfert Gain : Cassure vers le bas en aoutant à l asymptote de référence une pente de -4dB (soit en retranchant 4 db à l asymptote de référence). La pente initiale étant à db, en retranchant 4 db, on a -4 db/décade. Phase : Déphasage de -8 (soit en retranchant 8 aux d origine, la phase sera de -8. 35 36 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 8
Résumé 37 Résumé 38 UFHB UFR SSMT L Tronc commun 9
Exemple de tracé de diagramme de Bode : F P.p p p p. Identification des pulsations de coupure - Au numérateur : =. rad/s - Au dénominateur : =rad/s On a donc pulsations de coupure Regardons ce qui se passe pour les petites pulsations. F 39 Exemple de tracé de diagramme de Bode : Déterminations de l amplitude Adb log F log. log Adb pour. Equation d une droite de pente -db/décade Détermination de la phase arg F arg. arg 9 9 4 UFHB UFR SSMT L Tronc commun
Exemple de tracé de diagramme de Bode : 4 Exemple de tracé de diagramme de Bode : 4 UFHB UFR SSMT L Tronc commun