POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Orthoptiste / stage i-prépa intensif - 1
Chapitre 7 : Chute d un bille dans un fluide I. Deux nouvelles forces : a) la Poussée d Archimède : Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale ascendante valeur égale au poids du volume V du fluide déplacé par le corps immergé :, de * b) Forces de frottement fluide : Pour des vitesses relativement faibles (régime laminaire) : * A savoir : Le coefficient k dépend de la forme, de la surface, de la nature de l objet ; pour une bille de rayon r plongée dans un fluide de viscosité η : ηr. Formule de Stokes (valable pour les vitesses faibles) Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent) : Généralisation, selon la vitesse de l écoulement, les forces de frottement fluide sont de la forme : II. Chute d une bille dans un fluide : Système : {la bille} Référentiel : terrestre considéré comme galiléen Bilan des forces : 2 ème Loi de Newton : 2
a) 1 er cas : si on peut négliger la Poussée d Archimède devant le poids P : l équation précédente devient : On projette sur un axe [Oz) vertical descendant : d où, avec et f = kv Equation différentielle régissant les variations de v au cours du temps ) Point-Méthode : Etant donnée l équation différentielle (ED 1) et sachant que la bille est lâchée à t = 0 sans vitesse initiale, déterminer A et B et β pour qu une solution de cette équation différentielle soit de la forme donc : On remplace dans l ED1 et on obtient : [ En développant : g D où : g En identifiant les coefficients on obtient : 3
soit : Ainsi : Condition Initiale : Or : Ainsi, : On retrouve la solution générale : ) b) Détermination de la vitesse-limite : 1 ère méthode : quand t tend vers l, et et 4
d où : 2 ème méthode : on part de l équation différentielle si l équation différentielle devient : et : La vitesse-limite de chute de la bille est donc : c) Constante de temps : La constante de temps est la durée au bout de laquelle la vitesse a atteint 63% de sa vitesse-limite Soit à résoudre : = = ln 5
Remarques : Au bout de 5τ, la vitesse est égale à la vitesse-limite, le régime permanent est atteint. Preuve : = ) d) 2 ème cas : si on ne peut plus négliger la Poussée d Archimède devant le poids P : On projette sur un axe [Oz) vertical descendant : Si les frottements sont de la forme f = kv : Vitesse-limite : si 6
l équation différentielle devient : et : Si les frottements sont de la forme f = kv², on obtiendrait de même : et 7
Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : ( Isaac Newton - 1686 ) D après la 3 ème Loi de Newton, deux corps A et B dont la répartition des masses est à symétrie sphérique et dont la distance d éloignement est grande devant leurs tailles, exercent l un surl autre des forces attractives, de même direction, de même valeur, mais de sens opposés, telles que : II. Référentiels usuels : 8
- Héliocentrique : défini par le centre du Soleil et 3 étoiles loitaines fixes sur la voûte céleste ; sert à étudier le mouvement des planètes du système solaire - Géocentrique : défini par le centre de laterre et 3 étoiles lointaines fixes sur la vôute céleste ; sert à étudier le mouvement des satellites de la Terre III. Etude du mouvement d un satellite en orbite circulaire autour de la Terre : Système : {le satellite S} Référentiel : géocentrique considéré comme galiléen Bilan des forces : force d attraction gravitationnelle de la Terre sur le satellite 2 ème Loi de Newton : 9
est dirigée dans le sens opposé à celui du vecteur, donc centre de la Terre est centripète, c est-à-dire dirigée vers le La base de Frénet : elle est constituée de deux vecteurs, l un tangent à la trajectoire (sens arbitraire), l autre normal à la trajectoire et orienté vers l intérieur de la courbe Dans cette base, l accélération s exprime par : étant colinéaires, est entièrement porté par Le mouvement d un satellite en orbite de la Terre est circulaire uniforme, de vitesse : Remarques : 10
la vitesse diminue lorsqu on s éloigne de la planète, et augmente lorsqu on s approche de sa surface. Si l on pose : IV. Période de révolution du satellite : 3 ème Loi de Képler : V. Satellite géostationnaire : Un satellite géostationnaire est un satellite qui se trouve en permanence à la verticale du même lieu ; pour un observateur en ce lieu, le satellite paraît donc immobile. ( satellites d'observation, de télécommunications, de télédiffusion) a) Conditions pour que le satellite soit géostationnaire : 11
Le mouvement du satellite doit se faire sur une trajectoire circulaire de centre le centre de la Terre La période du satellite géostationnaire doit coïncider avec celle de la rotation de la Terre sur elle-même, soit : T = 24h = (jour sidéral) Le satellite doit tourner dans le même sens que la Terre Le plan de rotation de la Terre doit être perpendiculaire à l axe de rotation de la Terre et contenir G, le centre de la Terre b) Altitude du satellite géostationnaire : Unités : T en secondes : Application numérique : h = 3,5786. c) Vitesse du satellite géostationnaire : 12
d) Conclusion : Un satellite géostationnaire est en orbite dans le plan équatorial à 36 000 km d altitude et tourne à une vitesse de 11 000 km/h e) Complément (Hors-Programme) : Mise en orbite d un satellite géostationnaire Lancement du satellite depuis Kourou sur une orbite de transfert. Le satellite décrit plusieurs révolutions sur l'orbite de transfert. Lors d un passage à l apogée, la mise à feu du moteur d apogée place le satellite sur une orbite circulaire équatoriale à environ 36 000 km du sol. D'ultimes corrections de trajectoires rendent la satellite géostationnaire. Il est mis ultérieurement à poste à l emplacement souhaité. 13
VI. Lois de Képler : Les Lois de Képler sont des lois issues de l observation du Système solaire, et décrivant les propriétés principales du mouvement des planètes autour du soleil. 1 ère Loi : Loi des orbites Les planètes décrivent une ellipse dont l un des foyers est le Soleil. L'aphélie est le point de l'orbite le plus éloigné du Soleil (3 juillet pour nous) Le périhélie est le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil (3 janvier pour nous) Aphélie et périhélie sont mesurés de la surface de la planète à la surface du Soleil (et non de centre à centre) Remarque : pour la Terre on parle d apogée et de périgée : 14
En réalité, à l'exception de Mercure, les ellipses que décrivent les centres de gravité des planètes ont une très faible excentricité orbitale ; on peut approximer la trajectoire de toutes les autres planètes à une trajectoire est quasi-circulaire. De la 1 ère loi, on déduit que le Soleil exerce sur une planète une force centripète (ou centrale, ou radiale) sur le centre de gravité des planètes. 2 ème Loi : Loi des aires A durée égale, aires balayées égales. 15
Si S est le Soleil et P une position quelconque d'une planète, l'aire balayée par le segment [SP] entre deux positions P1 et P2 pendant la durée t, est égale à l'aire balayée par ce segment entre deux positions P3 et P4 pendant la même dur ée t. Conséquences : a vitesse d'une planète devient donc plus grande lorsque la planète se rapproche du soleil ; est maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie), et minimale au voisinage du rayon le plus grand (aphélie). Le mouvement des planètes en orbite elliptique n'est donc pas uniforme. Elles accélèrent lorsqu'elles s'approchent du Soleil, ralentissent lorsqu'elles s'en éloignent 3 ème Loi : Loi des périodes Dans l approximation circulaire des orbites des planètes autour du Soleil, on a, pour chaque planète éloignée (centre à centre) d une distance r par rapport au Soleil, et de période sidérale T : (voir démonstration plus haut) Remarques : Les lois de Kepler ne sont pas seulement applicables aux planètes mais à chaque fois qu'une masse se trouve en orbite autour d'une autre masse. C'est le cas, par exemple, de la Lune et de la Terre ou d'un satellite en orbite autour de la Terre ne dépend que de l astre attracteur, pas de la masse de l objet attiré ; en effet :, avec M : masse de l astre attracteur Les périodes de révolution s'accroissent lorsqu'on s'éloigne du Soleil VII. Champ de gravitation terrestre : a) Champ de gravitation terrestre : 16
Par analogie avec le poids d un corps dans le champ de pesanteur terrestre en posant : = Champ de gravitation créé par la Terre en un point situé à un rayon r de son centre Remarques : Ce champ diminue rapidement avec l éloignement ; il varie en En particulier, en posant = b) Champ surfacique : donc à la surface de la Terre, où h = 0, on a : = = expression du champ surfacique : = Application numérique : = est l expression du champ de gravitation créé par la Terre à sa surface dans le repère géocentrique, g est l expression du champ de pesanteur dans un référentiel terrestre 17
c) Expression du champ de gravitation en fonction du champ surfacique : = G. Or = expression du champ à l altitude h en fonction du champ surfacique : 18