1 Convertisseur DC-DC

REPRÉSENTATION D ÉTAT H. Khennouf 1 Convertisseur DC-DC Modélisation sous forme de RE, linéarisation. On considère dans cet exercice un convertisseur DC-DC, le BOOST Converter, dont le schéma électrique est donné ci-dessous : Figure 1 Convertisseur Boost Question 1 : En considérant les differents types de fonctionnement de ce circuit, déduire une représentation d état non linéaire du convertisseur dans laquelle : x 1 représente le courant dans la self x 2 représente la tension aux bornes de la capacité E > 0 est la source de tension R est la valeur nominale de la résistance représentant la charge L est l inductance de la self q prend comme valeur 0 ou 1 et représente l interrupteur : c est l entrée de commande. 1

La sortie à contrôler est la tension x 2. La synthèse des lois de commande qui peuvent être mises en oeuvre utilisent un modèle (continu approximé) moyen. On note z 1 et z 2 les valeurs moyennes respectives de x 1 et x 2 ; µ qui est la valeur moyenne de q est maintenant un signal continu. Dans la pratique, on aura donc besoin d une MLI pour implanter la commande de l interruption. Question 2 : Déterminer le modèle moyen (continu approximé) obtenu en remplaçant x 1, x 2 et q par z 1,z 2 et µ. Question 3 : Déterminer le point d équilibre du système. Question 4 : Linéariser le système autour du point de fonctionnement, c est-à-dire calculer le linéarisé tangent au point d équilibre. 2 Suspensions magnétiques Modélisation sous forme de RE, linéarisation, réduction de modèle, lien avec la fonction de transfert. Le procédé considéré est représenté sur la figure ci-dessous : Figure 2 Suspension magnétique Les équations physiques de ce système sont les suivantes : M d2 h = Mg Ki2 dt 2 h L di = V Ri dt où h est la position verticale de la balle, i est le courant générant la force magnétique, V est la tension d entrée, M est la masse de la balle, g la gravité, L et R respectivement l inductance et la résistance équivalente du circuit inducteur et K le coefficient relatif à la force magnétique. La sortie du système est la position de la balle. Les valeurs numériques sont : M = 0.05 Kg, g = 9.81 m/sec 2, L = 0.01 H, R = 1 Ω et K = 0.0001 S.I. Question 1 : Déterminer, en fonction des paramètres du système, le point d équilibre du système (h 0, i 0 ). 2 (1)

Question 2 : Sachant qu à l équilibre, la balle est suspendue en l air à une hauteur h 0 pour laquelle le courant nominal est i 0 = 7 A, calculer la position h 0 à l équilibre. Question 3 : Linéariser le système (2) autour du point de fonctionnement (h 0, i 0 ). Pour cela, on posera : h = h 0 + h, i = i 0 + i et V = V 0 + V où h, i et V représentent de faibles variations autour du point d équilibre. Question 4 : En déduire la représentation d état linéaire du système autour du point de fonctionnement. Question 5 : On décide de négliger la dynamique de la partie électrique c-à-d : L di = 0. En déduire la représentation d état du système réduit. dt Question 6 : On suppose que le système réduit s écrit sous la forme : ẋ = Ax + Bu (2) y = Cx + Du avec A = ( 0 1 α 0 avec α = 982 et β = 2.8. ) B = ( 0 β ) C = ( 1 0 ) D = (0) Déterminer les pôles du système réduit. Question 7 : A partir de la représentation d état déterminer la fonction de transfert F (p) = h(p) V (p). 3

3 Machine connectée à un réseau infini Modélisation sous forme de RE à partir d un schéma bloc, stabilité, détermination de la fonction de transfert à partir de la RE, détermination d une RE à partir de la fonction de transfert, forme canonique commandable, calcul de l exponentielle d une matrice, solution exacte en régime libre. Le système considéré est un générateur connecté à un bus infini. A partir d un modèle simplifié du système, un schéma bloc est proposé figure 3. Kt + KD Figure 3 Schéma bloc d une machine connectée à un réseau infini Les variables précédées d un représentent les variations autour du point de fonctionnement : δ : variation de l angle de puissance du générateur en radians, ω r : variation de la vitesse relative de rotation électrique du générateur en rd/s ; ω 0 = 2πf 0 et f 0 = 50 Hz, T e : variation du couple électromagnétique N.m ; T m : variation du couple mécanique N.m. La sortie que l on cherche à réguler est la variable δ et l entrée du système est T m. Les différents paramètres du système sont donnés par : H constante d inertie : H = 3.5MW.s/MV A K D et K t coefficients liés aux paramètres du générateur et au point de fonctionnement du système ; K t = 0.757 pu Nm/rad. La variable s représente la variable de Laplace. Question 1 : Justifier que le vecteur x = [ δ ω r ] T peut être choisi comme vecteur d état. Proposer la représentation d état associée, RE1 (expression littérale). Question 2 : Étudier la stabilité du système pour les 3 cas suivants : K D = { 10; 0; 10} (pu Nm/ pu rad/s). Question 3 : Pour K D = 10 et K D = 0 déterminer la pulsation naturelle ω n et le coefficient d amortissement du système. Conclure. 4

Question 4 : A partir de la représentation d état RE1, déterminer l expression littérale de la fonction de transfert du système. Question 5 : En déduire une représentation d état RE2 sous forme canonique commandable (garder les expressions littérales). Question 6 : Pour K D = 0, établir l expression de l exponentielle de la matrice A de la représentation d état RE1. Question 7 : Déduire de la question précédente la solution y(t) si à t = 0, δ = 5 et ω r = 0 pour une entrée T m (t) = 0. Question 8 : Sans calculs, donner l allure de la réponse y(t) lorsque K D = 10. 5

4 Représentation d état d un système linéaire à temps discret Le schéma de la figure 4 représente le shéma-bloc d un système à plusieurs entrées et plusieurs sorties. Déterminer la représentation d état du système en considérant x 1 (k), x 2 (k) et x 3 (k) comme variables d état. Figure 4 schéma-bloc du système multi-entrée multi-sortie 5 Représentation d état d un système linéaire à temps discret On considère le système représenté par le schéma bloc de la figure 5. 6

Figure 5 Système discret Question 1 : Déterminer une représentation d état discrète du système en respectant les notations proposées. Déterminer les matrices A, B, C et D de la représentation d état. Question 2 : A partir du schéma bloc, déterminer la fonction de transfert. Etudier la stabilité du système d entrée u(k) et de sortie y(k). Question 3 : Ecrire le système sous forme canonique commandable. 6 Oscillateur - Discrétisation d un système linéaire continu Le système considéré est un oscillateur représenté par la fonction de transfert : Y (s) U(s) = ω2 s 2 + ω 2 (3) Question 1 : Déterminer une représentation d état continue du système. Question 2 : Discrétiser le système et donner sa représentation d état discrète. Question 3 : Déterminer la fonction de transfert discrète du système. 7 Commande d un bras de lecture/écriture d un disque dur Modélisation sous forme de RE, stabilité, discrétisation d un système continu, commande par RE avec placement des pôles, estimateur d état. 7

Chaque fois que cela sera possible, donner les commandes Matlab permettant de répondre aux questions. Présentation du système Le système considéré dans cette partie est un bras de lecture/écriture d un disque dur. L objectif est de réguler la position angulaire (en radians) de la tête de lecture/écriture Figure 6 Disque Dur à une position de référence θ ref. Le bras est actionné par un moteur électrique à courant continu dont le fonctionnement dynamique est défini par les équations suivantes : où L di (t) = KΩ(t) Ri(t) + u(t) dt J dω (t) = Ki(t) fω(t) dt i(t) : courant (A) Ω(t) : vitesse angulaire de l axe du moteur (rad s 1 ) u(t) : tension en entrée du moteur (V ) K : coefficient de proportionnalité R : résistance de l induit f : coefficient de frottements visqueux L : inductance de l induit J : inertie de la charge On considère comme entrée la tension u(t) et comme sortie la vitesse angulaire de l axe du moteur Ω(t). Question 1 : Choisir un vecteur d état (la première composante du vecteur d état sera le courant i) et établir une représentation d état de ce système en fonction (4) 8

des paramètres du moteur. On appellera ce système : moteur et A, B, C et D les matrices associées. Question 2 : La figure 7 montre le lieu des pôles et zéros du système. Analyser la stabilité asymptotique du système moteur. Donner la commande Matlab qui a permis le tracé de la figure 7. 500 Pole-Zero Map 400 300 200 100 Imaginary Axis 0-100 -200-300 -400-500 -600-500 -400-300 -200-100 0 Real Axis Figure 7 lieu des pôles et des zéros du système Question 3 : La sortie que nous souhaitons à présent contrôler est la position angulaire du bras du robot θ(t). Proposer une représentation d état prenant en compte cette modification. On notera Ac, Bc, Cc et Dc les matrices de cette représentation d état et lecteur le nom de la représentation associée sous Matlab. Question 4 : Le système lecteur est-il asymptotiquement stable? Justifier. (cette question ne nécessite pas de calculs supplémentaires sous Matlab). Question 5 : Déterminer les matrices Ad, Bd, Cd et Dd du système discrétisé avec la période d échantillonnage T e en fonction des matrices Ac, Bc, Cc, Dc et T e. 9