Olivier MAES 2PRO Maths Module 2 Fréquences et probabilités Exercices Série 1 Fluctuation d échantillonnage Exercice 1.1 Un échantillon est aléatoire si les individus sont pris au hasard dans la population. Parmi les échantillons suivants, quels sont ceux qui sont aléatoires : 1. Les habitants d'une ville pour étudier la population d'un pays? 2. 900 pièces prélevées au hasard dans la production pour en contrôler la qualité? 3. 30 élèves d'une classe pour étudier les élèves d'un lycée? 4. 10000 «0 et 1» obtenus avec la fonction entaléat de la calculatrice? Exercice 1.2 Trois échantillons de n = 100 lancers sont réalisés avec un dé à 4 faces. Les fréquences obtenues sont les suivantes : Échantillon 1 2 3 Face 1 0,16 0,25 0,13 Face 2 0,32 0,27 Face 3 0,24 0,25 0,26 Face 4 0,28 0,23 0,28 Total 1 1 1 1. Calculez la fréquence de face 2 dans l'échantillon 3. 2. Calculez l'étendue des fréquences de face 2 dans cette série de 3 échantillons. Exercice 1.3 Une pièce de monnaie, un dé (à 4, 6, 8, 10 ou 20 faces) ou une urne contenant des boules (en couleur ou numérotées) sont des outils permettant de réaliser des expériences aléatoires. 1. Pour une randonnée, Zoé a le choix entre deux itinéraires. Avec quel outil peut-elle choisir au hasard? 2. Dans une équipe de football, il y a six remplaçants. Avec quel outil l'entraîneur peut-il organiser l'ordre d'entrée au hasard de ces remplaçants sur le terrain? 3. Dans un QCM (questions à choix multiple), chacune des 10 questions propose 3 réponses, dont une seule est juste. Avec quel «outil» un élève peut-il répondre au hasard? 4. À l'épreuve orale d'un concours, les candidats doivent tirer au hasard un des 20 sujets proposés. Avec quel outil peut être réalisé le tirage au sort 5. Le sang humain est classé en quatre groupes : A, B, AB et O. La répartition dans la population Française est la suivante : A : 45 % B : 9 % AB : 3 % O : 43 % Avec quel outil pouvez-vous simuler expérimentalement le choix au hasard d un individu qui ait du sang du groupe B dans une population de 1000 habitants. - 1 -
Exercice 1.4 Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules blanches. On tire une boule au hasard que l'on remet dans l'urne après avoir noté sa couleur. 1. Cette épreuve est-elle une épreuve aléatoire? Quels sont les deux résultats possibles? 2. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge. 3. Calculer la probabilité d'en tirer une blanche. 4. Les résultats d'une simulation de 100 tirages réalisée à l'aide d'un ordinateur sont donnés ciaprès. On a effectué 10 fois la simulation. Nombres de boules blanches 72 68 63 69 70 74 75 71 76 65 5.1. Calculer pour chaque simulation la fréquence correspondant. 5.2. Calculer l'étendue des fréquences. 5.3. Que doit-on probablement constater pour l'étendue des fréquences si on simule 10000 tirages au Iieu de 100? Exercice 1.5 On simule à l'aide d'un ordinateur le lancer d'une pièce. On peut effectuer des simulations successives de n lancers et enregistrer la fréquence de sortie du côté face pour ces n lancers (n est un nombre entier). Les résultats pour les fréquences de sortie du côté face sont donnés dans le tableau ci-contre. Simulation n Fréquence observée n = 100 n = 1000 1 0,42 0,481 2 0,55 0,505 3 0,50 0,522 4 0,48 0,510 5 0,52 0,475 6 0,58 0,512 7 0,40 0,492 8 0,45 0,485 9 0,44 0,528 10 0,59 0,502 2. En effectuant des simulations de 100000 lancers que constaterait-on pour l'étendue des fréquences? 3. Représenter dans le même repère ci-dessous les fréquences observées pour n = 100 et pour n = 1000. On choisira 2 couleurs différentes pour distinguer les expériences de 100 lancers et celles de 1 000 lancers. 4. Que peut-on constater? f 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 1. Calculer l'étendue des fréquences observées pour n = 100 puis pour n = 1000. Que constate- t-on? 0,35-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Simulation - 2 -
Série 2 Probabilités Exercice 2.1 On dispose d une pièce de monnaie et on souhaite savoir si elle est bien équilibrée, c'est-à-dire si la probabilité d apparition du côté «pile» est égale à celle du côté «face». Pour cela on a constitué un échantillon de 200 lancers et on a obtenu 85 «pile» et 115 «face». 1. Donner les probabilités d obtenir «pile» et «face» si la pièce est bien équilibrée. 2. Calculer les fréquences de «pile» et «face» sur l échantillon de 200 lancers. 3. Calculer les écarts entre la probabilité et la fréquence correspondante obtenue pour cet échantillon. 4. Peut-on dire que la pièce est bien équilibrée? 5. Que faudrait-il faire pour pouvoir répondre avec plus de certitude à la question initiale? Exercice 2.2 La calculatrice peut fournir un nombre décimal au hasard compris entre 0 et 1. Ce nombre est composé de 10 chiffres après la virgule qui, si on génère beaucoup de nombres, apparaissent à peu près aussi souvent les uns que les autres. 1. On souhaite simuler 10 lancers d une pièce bien équilibrée. Expliquer comment le nombre de 10 chiffres après la virgule 0,1452637908 obtenu à l aide de la calculatrice se traduira par l expérience PFPFFPPPFF où F correspond au côté face et P au côté pile. 2. On souhaite simuler 100 tirages d une boule dans une urne contenant 40 % de boules rouges. 2.1. En s inspirant de la question précédente, imaginer un procédé pour simuler 100 tirages successif avec remise de la boule dans l urne après chaque tirage. 2.2. Donner un exemple de nombre correspondant alors à 5 occurrences d une boule rouge. (Indication : 40 % de boules rouges correspond à 4 boules sur 10). Exercice 2.3 1. Dans un groupe de 10 personnes un délégué est choisi au hasard. Quelle est la probabilité pour une personne d'être choisi(e)? Quelle est la probabilité pour une personne de ne pas être choisi(e)? 2. Pour une tombola, Laura a acheté 4 billets sur les 1000 vendus. Quelle probabilité a Laura de gagner le gros lot? Quelle probabilité a Laura de ne pas gagner le gros lot? 3. Dans une urne contenant 100 boules numérotées de 1 à 100, on prélève une boule au hasard. Indiquer la probabilité que le numéro de la boule soit : 3.1. Un multiple de 2. 3.2. Divisible par 10. 4. dans un jeu de 32 cartes. 4.1. On tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité de tirer un trèfle? 4.2. Combien de cartes faut-il tirer au maximum et au hasard, sans remise, pour être sûr d'avoir un trèfle? 5. La roulette d'un casino comporte des encoches numérotées de 0 à 36. Quelle est la probabilité que la bille arrive sur : 5.1. Le numéro 0? 5.2. Un numéro impair? 6. Dans une classe de 28 élèves, 7 élèves pratiquent un sport en club. Quelle est la probabilité qu'un de ces élèves sportifs soit choisi au hasard? 7. La probabilité d'avoir deux filles est-elle la même que d'avoir un garçon et une fille pour des futurs parents? Justifiez la réponse. - 3 -
Exercice 2.4 On dispose d une pièce de monnaie et on souhaite savoir si elle est bien équilibrée, c'est-à-dire si la probabilité d apparition du côté «pile» est égale à celle du côté «face». Pour cela on a constitué un échantillon de 200 lancers et on a obtenu 85 «pile» et 115 «face». 1. Donner les probabilités d obtenir «pile» et «face» si la pièce est bien équilibrée. 2. Calculer les fréquences de «pile» et «face» sur l échantillon de 200 lancers. 3. Calculer les écarts entre la probabilité et la fréquence correspondante obtenue pour cet échantillon. 4. Peut-on dire que la pièce est bien équilibrée? 5. Que faudrait-il faire pour pouvoir répondre avec plus de certitude à la question initiale? Exercice 2.5 Dans un élevage industriel de poissons, dans des conditions normales, la fréquence p de mâles est égale à 0,5 (soit 50 %). Certaines pollutions peuvent augmenter cette proportion. Dans un bassin de plusieurs milliers de poissons, on en prélève 100 au hasard. Dans cet échantillon, la fréquence de mâles est de 0,58 (soit 58 %). Pour savoir si cet échantillon met en évidence une éventuelle pollution, on simule 10 prélèvements aléatoires de 100 poissons avec un tableur. On utilise pour cela la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;2) qui permet d'afficher de façon aléatoire 50 % de 1 et 50 % de 2 en moyenne (1 représente un poisson mâle, 2 représente un poisson femelle). Les résultats obtenus sont donnés dans la copie d écran ci-après. Le nombre de 1 par échantillon est calculée dans la ligne 102. 1. Quelle est la somme de 1 la plus petite? Quelle est la somme de 1 la plus grande? 2. Calculez la plus petite fréquence f min et la plus grande fréquence f max. 3. Calculez l'étendue des fréquences obtenues. 4. En vous référant à la simulation informatique, pouvez-vous affirmer que la fréquence de mâles dans l'échantillon prélevé est due au hasard, et donc considérée comme normale, ou bien suspectezvous une pollution? Exercice 2.6 On dispose de deux jeux de cartes. Le jeu de 32 cartes est composé du 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As pour les 4 couleurs pique, trèfle, carreau et cœur. Le jeu de 52 cartes est composé du 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi et As des 4 couleurs. 1. Déterminer la probabilité de tirer le 10 de carreau dans le jeu de 32 cartes lors d'un tirage au hasard. 2. Déterminer la probabilité de tirer le Roi de pique dans le jeu de 52 cartes lors d'un tirage au hasard. 3. Déterminer la probabilité de tirer une carte de cœur pour le jeu de 32 cartes et celui de 52 cartes. 4. Déterminer la probabilité de tirer le 2 de trèfle dans le jeu de 32 cartes. - 4 -
Exercice 2.7 On cherche à vérifier si une pièce, utilisée pour une expérience aléatoire, est bien équilibrée ou si elle est au contraire truquée. On effectue une série de lancers. 1. Après 3 lancers on observe pile 3 fois et face 0 fois. Peut-on alors affirmer que la pièce est truquée? 2. Après 30 lancers on observe pile 24 fois et face 6 fois. Est-il raisonnable de penser que la pièce n'est pas correctement équilibrée? 3. Après 100 lancers on observe pile 72 fois et face 28 fois. Parmi ces quatre phrases indiquer celle qui est correcte : 3.1. La pièce est bien équilibrée. 3.2. La pièce n'est pas correctement équilibrée. 3.3. La pièce est probablement bien équilibrée. 3.4. La pièce n'est probablement pas correctement équilibrée. Exercice 2.8 Indiquer si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. 1. Lorsque je lance une pièce de monnaie, il y a une chance sur deux pour obtenir «pile». 2. Si j ai obtenu «pile» lors d un premier lancer d une pièce de monnaie alors je vais obtenir face au deuxième lancer. 3. Si je joue au loto, j ai une chance sur deux de gagner : soit je gagne, soit je perds. 4. Lorsque je lance un dé non truqué, le «6» à moins de chance de sortir que le «1». 5. Il est possible d obtenir 20 fois de suite «pile» en lançant 20 fois de suite une pièce de monnaie. 6. Si je lance 6 fois un dé, je suis sûr d obtenir le «6». 7. Louise lance 10 fois une pièce de monnaie. Elle obtient 8 fois «pile» et 2 fois «face». Elle peut en déduire que la pièce est truquée. 8. Louise lance 100 fois une pièce de monnaie. Elle obtient 90 fois «pile» et 10 fois «face». Elle peut en déduire que la pièce est truquée. - 5 -