CONCOURS INTERNE ITM 013 (Physique) CONCOURS INTERNE 013 D ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX DE LA METEOROLOGIE ************************************************************************************** EPREUVE DE PHYSIQUE Durée : 4 heures Coefficient : 4 L utilisation d une calculatrice de poche, standard, programmable, alphanumérique ou à écran graphique est autorisée à condition que son fonctionnement soit autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante, ni de dispositif externe de stockage d information. L utilisation de toute autre documentation sur support papier ou électronique est strictement interdite. Cette épreuve comporte 3 problèmes indépendants, que le candidat peut traiter dans l ordre de son choix. Les trois exercices sont pris en compte dans la notation. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il aura été amené à prendre. La notation tiendra compte de ces initiatives, ainsi que de la rigueur, du soin et de la clarté apportés à la rédaction des réponses dans la notation de la copie. Cette épreuve comporte 7 pages (celle-ci incluse) Ecole Nationale de la Météorologie 1/7
PROBLEME N 1 : Machine asynchrone (0 points) Aucune connaissance préalable du principe de fonctionnement de la machine asynchrone n'est nécessaire pour traiter ce problème. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. La machine asynchrone se compose principalement de deux parties : - le stator réalisé à l'aide d'un ensemble de bobines fixes destinées à engendrer dans une zone limitée de l'espace un champ magnétique tournant B(t), - le rotor modélisé ici par un cadre conducteur rectangulaire de surface S mobile autour d'un axe. Première partie : Etude du stator Soit un ensemble de trois bobines (Figure 1), dont les axes sont perpendiculaires à Oz et π régulièrement décalés de. Ces bobines sont parcourues par des courants sinusoïdaux de 3 pulsation ω s dont les intensités sont les suivantes : π 4π i 1 (t) = I 0 cos (ω s t) ; i (t) = I 0 cos (ω s t - ) ; i3 (t) = I 0 cos (ω s t - ). 3 3 Figure 1 La fréquence d'alimentation de ces bobinages statoriques est égale à 50Hz. Chaque bobine r r crée en O un champ magnétique qui peut se mettre sous la forme : B = K i ( t) e (K est une constante qui s exprime en H.m - et e r k est le vecteur unitaire de l'axe de la k ème bobine). k k k 1.1) Justifier l unité de K par une analyse dimensionnelle. 1.) On donne le théorème de Ferraris : p 1 kπ r p r cos ω st ek = cos ωst ex + sin k= 0 p r ( ( ) ( t) e ) + 1 ωs y. Ecole Nationale de la Météorologie /7
En déduire que les 3 bobines créent au point O un champ tournant B r dont on donnera l expression dans la base e r, e r ). Donner la norme du champ B 0 = B r en fonction de K et I 0. ( x y Préciser la vitesse angulaire de rotation du champ et calculer sa valeur numérique en tours par minutes (tr.min -1 ). Deuxième partie : Entraînement du rotor Le rotor, modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S orientée selon la normale n r tourne autour d'un axe Oz avec une vitesse angulaire ω (ω 0) (Figure ). y B r Figure cadre e r y e r z i n r ϕ = ωt e r x θ = ω s t x.1) Exprimer le flux Φ du champ magnétique B r généré par le stator à travers le cadre en fonction de B 0, S, ω, ω s et t. En déduire la force électromotrice d induction e(t) qui apparait dans le cadre en fonction du flux maximum Φ 0 = B 0 S, de la vitesse angulaire de glissement Ω = ω s ω et de t..) Le cadre constitue un circuit série de résistance R et d inductance L. Etablir l équation différentielle vérifiée par le courant i(t) induit dans le cadre. L orientation de l intensité du courant induit est indiquée sur la figure sur laquelle la spire est vue de dessus..3) On se place en régime permanent sinusoïdal ; l intensité dans le cadre s écrit alors π i(t) = I M sin (Ωt ψ)= IM cos( Ωt ψ ). En utilisant la notation complexe, montrer que : π j Ω t ψ π j Ω t Φ 0Ω i ( t) = IM e = e. R + jlω.4) En déduire l expression de I M en fonction de Φ 0, Ω, R et L. Exprimer cosψ en fonction de Ω, R et L et préciser le signe de sinψ. Préciser si i(t) est en avance ou en retard par rapport à e(t)..5) Donner l expression du moment magnétique M r du rotor. Ecole Nationale de la Météorologie 3/7
En déduire le couple électromagnétique r Γ des forces de Laplace s exerçant sur le cadre puis r sa projection r Γ = Γ e z sur l axe de rotation en fonction de S, B0, I M, ψ, Ω et t. 1.6) On donne la relation de trigonométrie suivante : sin a sin b = ( cos( a b) cos( a + b) ). Montrer que la valeur moyenne de Γ notée Γ m est donnée par : Φ 0 RLΩ Γm = L. R + ( LΩ ) On peut tracer l allure de Γ m en fonction de ω (figure 13 ci-dessous) : A quoi correspond physiquement la limite de Γ m lorsque ω tend vers 0? Dans quelles conditions le couple est-il moteur ou au contraire résistant? Troisième partie : Puissance et rendement d un moteur On considère maintenant un moteur du type précédent relié à une charge par un arbre (Figure 3) : Figure 3 Le moment d inertie de l arbre est noté J. On notera Γ le couple délivré par le moteur, Γ r le couple résistant dû à la charge (Γ et Γ r sont des normes de vecteurs). 3.1) En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à l axe de rotation, relier la dérivée de la vitesse angulaire Ω m de l arbre à J, Γ et Γ r. 3.) On considère les courbes suivantes correspondant à trois moteurs différents (Figure 4) reliés à la même charge exerçant un couple résistant Γ r constant. Figure 4 Γ(ω) moteur arbre charge Moteur 1 Moteur Moteur 3 Γ d3 Γ d Γ r Γ d1 0 Couple résistant constant Ecole Nationale de la Météorologie 4/7 ω s ω
Expliquer de façon précise quel(s) moteur(s) est (sont) susceptible(s) de démarrer. 3.3) On se place maintenant en régime permanent ; on a alors Γ(ω) = Γ r. En utilisant les résultats de la deuxième partie, donner l expression de la puissance mécanique moyenne fournie par le moteur < P méca > = Γ m ω en fonction de Φ 0, ω, ω s, R et L. 3.4) En utilisant à nouveau les résultats de la deuxième partie, donner l expression de la puissance moyenne < P J > dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor en fonction de Φ 0, ω, ω s, R et L. 3.5) En déduire la puissance électrique moyenne < P él > fournie au moteur en fonction de Φ 0, ω, ω s, R et L. 3.6) On introduit maintenant la grandeur ( ωs ω) g =, appelée glissement, qui caractérise ωs l écart relatif entre la vitesse angulaire de synchronisme et la vitesse angulaire de rotation de l arbre du moteur. Exprimer le rendement du moteur en fonction de g. La vitesse de rotation ω des moteurs asynchrones s écarte rarement de plus de 5% de la vitesse de rotation ω s du champ tournant. Donner dans ce cas, la valeur numérique du rendement. PROBLEME N : CYCLES MOTEURS DE CARNOT, BEAU DE ROCHAS et STIRLING (15 points) Après quelques généralités sur la machine thermique ditherme, nous comparerons les rendements des cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes, notamment un faible niveau de pollution, une durée de vie élevée et un bon rendement. Les trois parties de ce problème sont indépendantes, certaines données numériques sont cependant communes aux trois parties. La constante des gaz parfaits R=8,314 u.s.i. Première partie : Généralités Une masse m de gaz, constituée d air (principalement), subit un cycle moteur entre deux sources thermiques, l une froide à la température T f =90 K, l autre chaude à la température T c =1450 K. 1.1) Exprimer les bilans d énergie et d entropie au cours d un cycle réel. On introduira les quantités algébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Q f, Q c et S p ; W est le travail reçu (algébriquement) par le fluide (si W>0, il est effectivement reçu par le fluide, si W<0, il est effectivement fourni par le fluide). De même Q f est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source froide, Q c la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude. S p est l entropie produite lors d une étape irréversible. Ecole Nationale de la Météorologie 5/7
1.) Etablir l expression du rendement η du moteur, en fonction de T c, T f, Q c et S p. 1.3) Que devient ce rendement lorsque la machine fonctionne selon un cycle de Carnot? Exprimer le rendement η Carnot et commenter le résultat. η 1.4) On définit le degré d irréversibilité du cycle à l aide du rapport =r. Sachant que ηcarnot r=0,94 et que le moteur fournit un travail de 15 kj par cycle, trouver Q c, Q f et S p lors du cycle réel. Deuxième partie : Cycle Beau de Rochas Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m=,9 g, assimilé à un gaz parfait diatomique (γ=1,4), de masse molaire M=9g.mol -1, subit une évolution cyclique réversible ABCD, constituée de deux portions isentropiques, AB et CD, séparées par deux portions isochores, BC et DA. Le cycle n est plus ditherme, car la réversibilité des étapes suppose la mise en contact du fluide avec une succession de sources chaudes ou froides. Les températures et les pressions aux points A et C sont respectivement : V T A =90 K, P A =1 bar, T C =1450 K et P C =40 bar. Le taux de compression α= A V =8. C.1) Calculer P B, P D, V B et V D..) Représenter le cycle sur un diagramme P,V. Donner le sens de parcourt..3) Calculer le travail et la chaleur reçus par le gaz sur chaque portion du cycle..4) Quel est le rendement du moteur ainsi constitué. Comparer au rendement d un cycle moteur de Carnot fonctionnant entre les températures T A et T C. Troisième partie : Cycle Stirling Dans un cycle de Stirling, une même masse d air, suit une évolution cyclique réversible A B C D, constituée de deux portions isothermes A B et C D séparées par deux portions isochores B C et D A. Les températures T A = T A et T C =T C. Le taux de compression n a pas VA changé, α= ' V =8. ( P A=P A et P C =P C ) ' C 3.1) Déterminer les pressions inconnues. 3.) Représenter le cycle dans le diagramme P,V. 3.3) Calculer le travail et la chaleur reçus par le gaz sur chaque portion du cycle. 3.4) Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l aide d un régénérateur interne à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l extérieur se font lors des étapes isothermes. En déduire le rendement du cycle et commenter. Ecole Nationale de la Météorologie 6/7
PROBLEME N 3 (5 points) Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, on considère un satellite S de masse m en rotation autour de la Terre (de masse M T ) ; sa vitesse V r 0 est orthoradiale et le satellite se trouve à une distance r 0 du centre T de la Terre. 1.1)Rappeler la définition d un référentiel galiléen, ainsi que celle du référentiel géocentrique. 1.) Etablir l expression de V 0 en fonction de la constante gravitationnelle G, de M T et de r 0. 1.3) Donner l expression de l énergie mécanique du satellite en fonction de G, m, M T et r 0. Une erreur a en fait été commise lors de la satellisation. Le satellite a bien été lancé sur un GM rayon r 0 avec une vitesse orthoradiale mais V = α T. 0 r0.1) Exprimer l énergie mécanique du satellite en fonction de G, m, M T, α et r 0..) Quelle est la relation entre le signe de l énergie mécanique et le type de trajectoire?.3) Conclure suivant les valeurs de α sur le devenir du satellite. Ecole Nationale de la Météorologie 7/7