Exercices sur les réseaux électriques en régime triphasé

Exercices sur les réseaux électriques en régime triphasé Ce document est une compilation d exercices posés en devoirs surveillés d électricité au département Génie Electrique et Informatique Industrielle de l IUT de Nantes. Ces devoirs se sont déroulés généralement sans documents, sans calculette et sans téléphone portable Les devoirs d une durée de 80 min sont notés sur 0 points. Donc chaque point proposé au barème correspond approximativement à une activité de 4 min. Ces exercices correspondent aux chapitres 11 et 1 de la ressource Baselecpro sur le site IUTenligne. Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir (C est souvent le seul moment où ils vont réfléchir à ce qu ils ont su (ou pas su) faire dans ce devoir) Personnellement, je me refuse à bricoler le barème d un devoir lors de la correction dans le but d obtenir une moyenne présentable. (ni trop ni trop peu ) La moyenne d un devoir doit refléter l adéquation entre les objectifs de l enseignant et les résultats des étudiants. Les documents proposés ici sont délivrés dans un format qui permet tout assemblage/désassemblage ou modification à la convenance de l utilisateur. Les dessins et les équations ont été réalisés avec Word97. Nos étudiants disposent d une masse considérable d informations sur internet. Les enseignants sont maintenant soucieux de leur apprendre à utiliser intelligemment cet immense champ de connaissance. Ils leur apprennent notamment à citer les sources Ressource proposée sur le site Internet Copyright : droits et obligations des utilisateurs L auteur ne renonce pas à sa qualité d'auteur et aux droits moraux qui s'y rapportent du fait de la publication de son document. Les utilisateurs sont autorisés à faire un usage non commercial, personnel ou collectif, de ce document notamment dans les activités d'enseignement, de formation ou de loisirs. Toute ou partie de cette ressource ne doit pas faire l'objet d'une vente - en tout état de cause, une copie ne peut pas être facturée à un montant supérieur à celui de son support. Pour tout extrait de ce document, l'utilisateur doit maintenir de façon lisible le nom de l auteur Michel Piou et la référence au site Internet IUT en ligne. La diffusion de toute ou partie de cette ressource sur un site internet autre que le site IUT en ligne est interdite. Une version de Baselecpro est disponible sous forme d un livre aux éditions Ellipses dans la collection Technosup sous le titre ÉLECTRICITÉ GÉNÉRALE Les lois de l électricité Michel PIOU - Agrégé de génie électrique IUT de Nantes France

Table des matières 1 Questions de cours... 1 Plaque signalétique (1 pts)... 4 Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage étoile équilibré (1 pt)... 4 4 Couplage d un moteur ( pts)... 5 5 Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage triangle équilibré (1 pt)... 6 6 Puissance en triphasé (Du cas général au particulier)... 7 7 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot 1 (10,5 pts)... 10 8 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot (11,5 pts)... 1 9 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré 1 (7 pts)... 17 10 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (7 pts)... 19 11 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (5 pts)... 1 1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré 1 (5 pts)... 1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré (4 pts)... 4 14 Application du Théorème de Boucherot avec deux moteurs (5,5 pts)... 6 15 Application du Théorème de Boucherot : relèvement du facteur de puissance (7 pts)... 8 16 Application du Théorème de Boucherot (Moteur + radiateur) (5 pts)... 0

- 1-1 Questions de cours a) Que dit le théorème de Boucherot lorsque les tensions et les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même fréquence? Réponse : Dans l'ensemble d'un réseau où toutes les tensions et tous les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même fréquence, il y a conservation de la puissance active d'une part, et de la puissance réactive d'autre part. Puissance active totale consommée somme algébrique des puissances actives consommées par chaque élément (loi de conservation de l énergie) Puissance réactive totale consommée somme algébrique des puissances réactives consommées par chaque élément (sans démonstration).

Phase N 1 Phase N Phase N v sinusoïdal équilibré de sens direct. En supposant que ( ) des cinq autres tensions. v u 1 u u 1 b) Triphasé Les tensions de la ligne ci-contre sont alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées. Quelle relation existe entre U et V? Représenter les vecteurs de Fresnel des six tensions de la ligne triphasée précédente en régime alternatif v1 ( t ) V$ cos ω. t, donner les expressions temporelles c) Que signifie le mot «équilibrées»dans l expression «tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées»? d) La plaque à borne normalisée ci-contre est alimentée par une ligne triphasée. Etablir les liaisons entre les bornes de façon à obtenir un montage triangle. i v 1 i i N - - Pour une autocorrection, voir la ressource 145 sur le site IUTenligne

- - e) La ligne ci-contre est soumise à des tensions et des courants quelconques périodiques de même période. Comment s exprime la puissance moyenne (ou puissance active) qu elle délivre à la charge? i i charge v 1 v v i N Dans la liste ci-dessous, cocher toutes les réponses exactes dans le cas particulier du régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré en tensions et courants. P P P P.U max. Imax. cos( I,V ) P.U max. Imax. cos( I,U ).U. I. I,V ) P.V. I. I,V ).U. I. cos( I,U ) P.V. I. cos( I,U ).U. I. cos( I,U ) P. < v1( t ).i1( t ) > P < v1( t ).i1( t ) + v( t ).i( t ) + v( t ).i( t ) > P < v1( t ).i1( t ) > + < v( t ).i( t ) > + < v( t ).i( t ) > ( I,V ) + V. I. cos( I,V ) V. I. cos( I, ) P V + 1. I1. cos 1 1 V Réponses : Tensions et courants quelconques périodiques de même période : P < v1( t ).i1( t ) > + < v( t ).i( t ) > + < v( t ).i( t ) > < v1( t ).i1( t ) + v( t ).i( t ) + v( t ).i( t ) > Régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré en tensions et courants P P P P.U max. Imax. cos( I,V ) P.U max. Imax. cos( I,U ).U. I. I,V ) P.V. I. I,V ).U. I. cos( I,U ) P.V. I. cos( I,U ).U. I. cos( I,U ) P. < v1( t ).i1( t ) > P < v1( t ).i1( t ) + v( t ).i( t ) + v( t ).i( t ) > P < v1( t ).i1( t ) > + < v( t ).i( t ) > + < v( t ).i( t ) > ( I,V ) + V. I. cos( I,V ) V. I. cos( I, ) P V + 1. I1. cos 1 1 V Pour une réponse plus complète, voir la ressource N 185 sur le site IUTenligne

Plaque signalétique (1 pts) Soit une machine triphasée (équilibrée) dont la plaque signalétique indique une tension icace d alimentation de 0 V/400 V. Représenter les liaisons à établir entre ses différentes bornes de façon que, dans chacun des deux cas ci-dessous, la machine soit alimentée sous tension nominale en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré. (Les valeurs indiquées sont les tensions icaces de la ligne.) - 4-0 V 400 V 0 V 0 V 400 V 400 V Réponse : 0 V 400 V 0 V 0 V 400 V 400 V Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage étoile équilibré (1 pt) Une ligne triphasée en régime alternatif sinusoïdal équilibré alimente un montage étoile équilibré constitué de trois impédances Z. Quelle est la valeur de (lorsque le neutre est relié)? Quelle est la valeur de I n Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A V ON (lorsque le neutre n est pas relié)? (On peut utiliser les résultats du cours) Réponse : Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A I N 0 Phase N 1 Phase N Phase N I1 A I A I A V ON 0

- 5-4 Couplage d un moteur ( pts) Un moteur asynchrone triphasé porte sur sa plaque signalétique les informations suivantes : P 4 kw ; cosϕ 0,8 ; 0/400 V. (Ce moteur est constitué de trois dipôles passifs linéaires identiques constituant un ensemble équilibré) On a réalisé successivement les deux montages suivants. Ceux-ci sont réalisés de façon que le moteur soit alimenté sous tension nominale par une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée. (Les liaisons sur la plaque à borne sont représentées). 1 1 V RMS A RMS V 1 RMS Préciser les valeurs des trois mesures en justifiant celles-ci par un bref calcul ou par un court rappel d un résultat du cours. Corrigé : Le moteur est couplé en étoile. Dans un montage étoile constitué de dipôles passifs linéaires identiques (montage équilibré) soumis à des tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées : Le potentiel du centre de l étoile est égal au potentiel du neutre. (Que le neutre soit relié ou non.). Si le neutre est relié, son courant est nul. (Extrait de Baselecpro/chapitre 11/. sur le site «IUTenligne» Donc l ampèremètre indique la valeur 0, et le voltmètre «V1» indique la valeur 0. Le moteur 0/400V est alimenté sous tensions nominales. (Sans autre précision, les valeurs indiquées sont les valeurs icaces). La tension icace aux bornes de chaque dipôle est donc 0 V, et la valeur icace de la tension entre deux phases est de 0. 400 V. L indication du voltmètre «V» est donc 400 V.

- 6-5 Tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées et montage triangle équilibré (1 pt) Une ligne triphasée en régime alternatif sinusoïdal équilibré de sens direct alimente un montage triangle équilibré constitué de trois dipôles linéaires identiques. Phase N 1 Phase N Phase N π ( t ) 10.cos( 100π.t ) 6 car I J. et ligne branche r r r r ( I, V ) ( J, U ) Soit : v1 ( t) 0..cos(100π. t) π u 1 ( t ) 400..cos( 100π.t + ) 6 j1 ( t) 10..cos(100π. t) Compléter l expression de ( t ) suivante : ( t )...cos(100π.t...). (On peut utiliser les résultats du cours sans les redémontrer) Réponse : v 1 v v u 1 u u 1 i i j 1 j j 1 Tension entre phases Courant dans une branche Tension phase/neutre Courant de ligne

- 7-6 Puissance en triphasé (Du cas général au particulier) Soit une ligne "triphasée" de transport d énergie électrique. Elle est constituée de 4 conducteurs (voir ci-contre). Cette ligne triphasée est soumise à des tensions v ( ), v ( ) et v ( t ) ; elle est parcourue v 1 v v i i i N charge 1 t par des courants ( t ), i ( t), i ( t ) et i N (t) qu elle délivre à une charge inconnue. On a observé que les tensions et les courants sont quelconques mais tous périodiques de même période. La loi des nœuds permet d affirmer : i t) + i ( t) + i ( t) i ( ). t 1( N t La puissance électrique transportée par des conducteurs ne dépend que des tensions entre ces conducteurs et des courants dans ceux-ci. v 1 v v i i i N 1 En laboratoire, on a constitué trois dipôles (nommés «1», et ) qui, lorsqu ils sont soumis respectivement aux tensions v 1( t ), v ( ) et v ( ), engendrent les mêmes courants i ( ), i ( ) et i ( t ). t t On remplace maintenant la charge inconnue par ces trois dipôles. Cette opération ne modifie pas les courants et les tensions dans la ligne. La puissance électrique transportée par la ligne triphasée reste donc inchangée. 1 t t a) La loi de conservation de l énergie précise que la puissance électrique instantanée totale consommée par un ensemble est la somme des puissances électriques instantanées consommées par chaque élément de cet ensemble. Exprimer la puissance instantanée dipôles «1», et. p(t) transportée par la ligne triphasée et reçue par l ensemble des trois

- 8 - b) En supposant toutes les tensions et tous les courants périodiques de même période, exprimer la puissance active consommée en monophasé ou en triphasé en complétant les cases du tableau ci-dessous. i i v v 1 v v i i N 1 Cas général (Les signaux ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux ni triphasés équilibrés) P P Indiquer la formule associée aux cas particuliers où toutes les tensions et tous les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même période P P Triphasé équilibrés (Les signaux des différentes phases sont décalés d 1/ de période les uns par rapport aux autres, mais ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux) Triphasé alternatif sinusoïdal équilibrés (Les signaux des différentes phases sont déphasés de π ± rad les uns par rapport aux autres) Indiquer la formule associée à ce cas particulier : P Indiquer la formule associée à ce cas particulier : P

Corrigé a) p ( t) v1( t).1( i t) + v( t). i( t) + v( t). i( t) - 9 - b) i i v v 1 v v i i N 1 Cas général (Les signaux ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux ni triphasés équilibrés) Indiquer la formule associée aux cas particuliers où toutes les tensions et tous les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même période Triphasé équilibrés (Les signaux des différentes phases sont décalés d 1/ de période les uns par rapport aux autres, mais ne sont pas nécessairement alternatifs sinusoïdaux) P < v. i >.cos( ϕ) P V.I avec : V : valeur icace de v( t ) : valeur icace I de i( t ) ϕ : déphasage de v( t ) par rapport à i( t ) P < v1.i1 > + < v.i > + < v. i > ou P < v.i + v. i + v. > 1 1 i P V1.I1.cos + V.I.cos ( ϕ ) + V.I.cos( ϕ ) 1 ( ϕ ) avec : V : valeur icace de v 1 ( t ) 1 I : valeur icace de ( t ) 1 ϕ 1 : déphasage de v ( ) par rapport à ( t) 1 t P. < v1.i 1 >. < v.i >. < v. i > On peut calculer ou mesurer la puissance active sur une seule phase et multiplier le résultat par Triphasé alternatif sinusoïdal équilibrés (Les signaux des différentes phases sont déphasés de π ± rad les uns par rapport aux autres) P V. 1.I1.cos V..I.cos ( ϕ ) V..I.cos( ϕ ) 1 ( ϕ ) ou P V..I.cos( ϕ) sans préciser l indice ou P U..I.cos( ϕ)

- 10-7 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot 1 (10,5 pts) Remarques préliminaires: Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que ou π. Les valeurs numériques ont été choisies de façon que les angles soient des multiples de 6 Les démonstrations peuvent s appuyer sur: les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter), ou toute autre méthode. Pour répondre à certaines questions, il est recommandé d utiliser le théorème de Boucherot. Problème: La ligne triphasée suivante alimente une machine tournante triphasée équilibrée dont la plaque signalétique porte l indication 0V / 400V. Phase N 1 Phase N Phase N v v u 1 u 1 i u v 1 i i N Sachant que u1 ( t) 400..cos ( ω. t) u ( t) 400. π.cos ω. t u1( t) 400. π.cos ω. t + a) Préciser le mode de branchement de cette machine pour qu elle soit alimentée sous tension nominale. b) Chacun des trois dipôles de cette machine peut être modélisé par une résistance R 0. Ω en série avec une inductance d impédance Lω 0 Ω. Calculer l impédance complexe de chaque dipôle. c) Calculer ( t), i ( t) et i ( t). d) Calculer la puissance active P M, la puissance réactive Q M et la puissance apparente S M consommées par la machine e) De façon à relever le facteur de puissance de la ligne triphasée, on ajoute, au montage précédent, trois condensateurs montés en triangle sur la ligne. 1 Le module de l impédance de chaque condensateur est : 40 Ω. C. ω Calculer la puissance active P T, la puissance réactive Q T et la puissance apparente S T consommées par le nouvel ensemble constitué de la machine associée aux trois condensateurs. En déduire le facteur de puissance k T et la valeur icace du nouveau courant de ligne I T à l entrée de ce nouvel ensemble.

- 11 - Corrigé : a) La plaque signalétique de la machine indique les valeurs nominales suivantes : 0V / 400V. Cela signifie que la machine peut fonctionner sur un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont la tension icace entre deux phases est de 0V (avec les trois dipôles de la machine couplés en triangle), un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont la tension icace entre deux phases est de 400V (avec les trois dipôles de la machine couplés en étoile) Dans les deux cas, la valeur icace de la tension aux bornes d un dipôle de la machine sera 0V. Sachant que u1 ( t) 400..cos ( ω. t), on en déduit U1 400. et U1 400 V Donc ici, la tension icace entre deux phases est de 400V. Il faut coupler la machine en étoile. b) Impédance d un dipôle : Z R + jlω 0. + j0 max c) Sachant que u1 ( t) 400..cos ( ω. t) Phase N 1 u ( t) 400. π.cos ω. t Phase N π u1( t) 400..cos ω. t + Phase N U V V U 1 V 1 U 1 On en déduit que les phases sont numérotées dans l ordre direct : D après le diagramme de Fresnel associé aux tensions, on en déduit : ( t v 1 400. ).cos ω.t Z R + 400. V V 10. Z 40 max I max max A Imax 40 40 π arg( Z ) déphasage de v 1 ( t ) par rapport à ( t ) 6 10. π π 10. En conclusion : ( t ).cos ω.t 6 6 π 6 1 jlω 0. + j0 40. j + π.cos ω.t v 1 v 40. e π j 6 v i i i N v 1 v v Comme les tensions, les courants sont alternatifs sinusoïdaux triphasés équilibrés de sens direct, donc 10. π π 10. i ( t ).cos ω.t.cos( ω. t + π ) ( t i 10. ) π π 10..cos ω.t +.cos ω.t + π

- 1 - d) PM U..I.cos( ϕ) ; QM U..I.sin( ϕ) ; S M U.. I avec U U max 400 V ; I I 10 r r r r r r max π A; ϕ ( I1,V1 ) ( I,V ) ( I,V ) arg( Z ) 6 Donc : P M 10 π.400..cos 4000. 000. 6 W Q M 10 π 1.400..sin 4000. 000 VAR 6 S M 10.400. 4000 VA e) Les condensateurs sont montés en triangle. u 1 u u 1 i T1 i T i T C C C i i Z Z Z La puissance réactive d un condensateur est donc : v 1 v v 4 1 4x4x10 QC C. ω U. 400 40 4x6 x10 La puissance réactive des condensateurs est donc 000 M Piou VAR Q C 000 VAR On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine tournante P M 000. W Q M 000 VAR condensateurs P C 0 W Q C 000 VAR Total P T 000. W Q T 0 ST PT + QT 000. VA Q P T T T T Facteur de puissance k cos( ϕ ) cos arctg cos( 0) 1 I S T U. 000. 400. T 5 A

- 1-8 Montage triphasé en alternatif sinusoïdal équilibré Boucherot (11,5 pts) Remarques préliminaires : Le problème étant résolu sans calculette, les valeurs ont été choisies pour que les calculs soient très simples. (On pourra laisser dans les résultats des expressions telles que ou ). Les valeurs numériques ont été π choisies de façon que les angles soient des multiples de 6 Les démonstrations peuvent s appuyer sur les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter). A - La ligne triphasée équilibrée 0/400 V suivante alimente une machine M 1 triphasée équilibrée dont la plaque signalétique porte l indication 400V / 700V. Phase N 1 ( ) u1 ( t) 400..cos ω. t Phase N Phase N v 1 v v u 1 u u 1 i i i N u ( t) 400. π.cos ω. t u1( t) 400. π.cos ω. t + a.1) Préciser le mode de branchement de cette machine pour qu elle soit alimentée sous tension nominale (justifier en quelques mots), et compléter en conséquence le schéma ci-dessus (en reliant les trois dipôles en étoile ou en triangle). a.) Chacun des trois dipôles de cette machine peut être modélisé par une résistance R 0. Ω en série avec une inductance d impédance Lω 0 Ω. Exprimer l impédance complexe de chaque dipôle sous la forme jϕ Z Z. e. a.) Calculer la valeur icace I des courants de ligne et déterminer l expression de ( t). B - Sur la ligne triphasée précédente, la machine M 1 est maintenant remplacée par une machine triphasée M qui consomme les courants : π 5π π ( t) 10..cos ω. t, i ( t) 10..cos ω. t + et i ( t) 10..cos ω. t + 6 6 b-1) Représenter l allure de l ensemble des vecteurs de Fresnel associés aux tensions simples, aux tensions composées et aux courants de ligne à un instant quelconque (qui peut être, par exemple, t 0). (Il est conseillé d utiliser différentes couleurs). b-) Calculer la puissance active P M, la puissance réactive Q M et la puissance apparente S M consommées par la machine M. b-) De façon à relever le facteur de puissance de cette ligne triphasée, on ajoute, au montage précédent, trois condensateurs montés en triangle entre les trois phases de cette ligne.

- 14-1 La capacité de chacun est C telle que 140 Ω. C. ω Calculer la puissance active P T, la puissance réactive Q T et la puissance apparente S T consommées par le nouvel ensemble constitué de la machine M associée aux trois condensateurs. En déduire la valeur icace du nouveau courant de ligne I T à l entrée de ce nouvel ensemble. (Il est conseillé d utiliser le théorème de Boucherot). Corrigé : a.1) La plaque signalétique de la machine indique les valeurs nominales suivantes : 400V / 700V. Cela signifie que la machine peut fonctionner sous tensions nominales sur un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de 400V (avec les trois dipôles de la machine couplés en triangle), un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de 400. 700 V (avec les trois dipôles de la machine couplés en étoile) Dans les deux cas, la valeur icace de la tension aux bornes d un dipôle de la machine sera 400V. Sachant que u1 ( t) 400..cos ( ω. t), on en déduit U1 400. et U1 400 V Donc ici, la tension icace entre deux phases est de 400V. Il faut coupler la machine en triangle. max Phase N 1 j 1 Phase N u 1 u 1 i j Phase N u i j 1 v 1 v v a.) Impédance d un dipôle : j π 1 Z R + jlω 0. + j0 40. j 40. e 6 + a.) Sachant que u1 ( t) 400..cos ( ω. t) π u ( t) 400..cos ω. t π u1( t) 400..cos ω. t + On en déduit que les phases sont numérotées dans l ordre direct : U V V U 1 V 1 U 1 I J 1 J I 1 I J 1 Z U 40 J max max J max U 40 max 400. 40 10. A

arg ( Z ) π déphasage de u ( t ) par rapport à 6 1 j 1 ( t ) - 15 - Pour un montage triangle linéaire équilibré soumis à des tensions alternatives sinusoïdales triphasées r r r équilibrées, on dispose de relations (voir Baselecpro chapitre 11.4) : ( I,V ) ( J, U ) ϕ et I J. J max En conclusion I J.. 10 A : r π π ( U1,I1) ( U1,J1 ) + ( J1,I1) arg( Z ) 6 π ( t ) 10..cos ω.t b.1) ( t ) 10..cos ω.t π U 1 V U 1 π U V V 1 I J 1 I 1 U 1 J J 1 I b.) PM U..I.cos( ϕ) ; U..I.sin( ϕ) Q ; S M M U max Imax avec : U 700 V ; I 10 A; r r r r r r r π π π ϕ ( I1,V1 ) ( I,V ) ( I,V ) ( I1,U 1 ) + ( U1,V1 ) 6 Donc : π.700.10.cos 1.7000. P M π.700.10.sin.7000..700.10 7000. VA Q M S M 500. W 10500 VAR U.. I b) Les condensateurs sont montés en triangle. u 1 i T1 i T C i j 1 j u u 1 i T C C i j 1 La puissance réactive d un condensateur est donc : v 1 v v M Piou

QC C. ω U. 1 140 700 4 7 x7 x10 7 xx10 La puissance réactive des condensateurs est donc 7000 VAR x7000 Q C 10500 VAR - 16 - On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M P M 500. W Q M 10500 VAR condensateurs P C 0 W Q C 10500 VAR Total P T 500. W Q T 0 ST PT + QT 500. VA QT S T 500. ϕ P ; I T T 5 A T U. 700. Facteur de puissance k cos( ) cos arctg cos( 0) 1 T

9 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré 1 (7 pts) - 17 - j 1 La ligne triphasée ci-contre alimente, sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, un moteur qui se comporte comme une charge triphasée équilibrée. u 1 i a) Les conducteurs de ligne peuvent avoir été u 1 u i numérotés dans l ordre direct ou dans l ordre j 1 inverse. v 1 v v a.1) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V r 1, V r, V r et U r 1 si l ordre des phases est supposé direct. a.) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V r 1, V r, V r et U r 1 si l ordre des phases est supposé inverse. a.) On a relevé à l oscilloscope les courbes ci-dessous. j 600 V 0 10 A v 1 u 1 j 1 Compte tenu du graphe des tensions relevées, préciser si les conducteurs de phases sont numérotés dans l ordre direct ou inverse. (réponse bonne: +1 pt, pas de réponse: 0 pt, réponse fausse: -1 pt). t période b) A partir des courbes précédentes, calculer le facteur de puissance du moteur. c) A partir des courbes précédentes, calculer la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente consommées par le moteur. (Le devoir se déroulant sans calculette, on pourra laisser dans les réponses des expressions telles que... ). (Ne pas oublier de préciser les unités).

Corrigé : - 18 - V r V r 1 V r U r 1 Ordre direct V r U r 1 V r V r 1 Ordre inverse a) Sur les courbes : u 1 ( t ) est en retard de T/1 par r r π rapport à v 1 ( t ). Donc ( V1,U 1 ). Les phases sont 6 numérotées dans l ordre inverse. b) Dans un système alternatif sinusoïdal triphasé équilibré, le facteur de puissance est r r k cos( ϕ ) cos( I,V ). r r π 1 Sur les courbes : ( I,V ) cos( ϕ ). Le facteur de puissance du moteur est donc de 0,5. c) 600 10 1 P U.I..cos ϕ... 1500. ( ) W 600 10 Q U.I..sin ϕ ( )... 4500 VAR 600 10 S U.I... 000. VA

10 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (7 pts) - 19 - j 1 La ligne triphasée ci-contre alimente, sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, un moteur qui absorbe des courants alternatifs sinusoïdaux triphasés équilibrés. v 1 v v i i a) Les conducteurs de ligne peuvent avoir été numérotés dans l ordre direct ou dans l ordre inverse. a.1) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V r 1, V r, V r et U r 1 si l ordre des phases est supposé direct. r r J, quelconque, a.) Pour un déphasage ( ) 1 U 1 représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel J r 1, J r, J r 1 et I r 1 si l ordre des phases est supposé direct. a.) On a relevé à l oscilloscope les courbes ci-dessous. 400 V 0 10 A u 1 u u 1 v 1 j j 1 j 1 Compte tenu du graphe des courants relevés, préciser si les conducteurs de phases sont numérotés dans l ordre direct ou inverse. (réponse bonne: +1 pt, pas de réponse: 0 pt, réponse fausse: -1 pt). b) A partir des courbes précédentes, calculer le facteur de puissance du moteur. T c) A partir des courbes précédentes, calculer la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente consommées par le moteur. (Le devoir se déroulant sans calculette, on pourra laisser dans les réponses des expressions telles que... ). (Ne pas oublier de préciser les unités). t

Corrigé : V U V U 1 V 1 I J 1 I 1 U 1 a) On a représenté ci-contre les vecteurs de Fresnel si l ordre des phases est direct. - 0 - On constate sur le graphe de Fresnel ci-contre que I r π 1 est déphasé de par rapport à J r 1. 6 U 1 J J 1 constate que I r π 1 est déphasé de + par rapport à J r 1 6 l ordre inverse. b) Facteur de puissance : k cos( ) cos( I,V ) I Sur les courbes relevées à l oscilloscope, on ; donc l ordre des phases n est pas l ordre direct, mais π ϕ. Sur Les courbes, on constate que v 1 ( t ) est déphasé de + π par rapport à ( t ) donc k cos( ϕ ) cos 0, 5 c) 400 10 1 P U.I..cos ϕ ( ϕ ) V..I.cos( )... 000 W 400 ( ϕ ) V..I.sin( )... 000. VAR Q U.I..sin ϕ S U.I. V..I 400 10.. 6000 VA 10

11 Montage triangle équilibré en régime alternatif sinusoïdal équilibré (5 pts) - 1 - u 1 u 1 u v 1 v v i i j 1 j j 1 La ligne triphasée ci-contre alimente, sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, un moteur qui se comporte comme une charge triphasée équilibrée. Les conducteurs de ligne peuvent avoir été numérotés dans l ordre direct ou dans l ordre inverse. a) Représenter à main levée l allure des vecteurs de Fresnel V r 1, V r, V r et U r 1 si l ordre des phases est supposé inverse. b) On a relevé à l oscilloscope les courbes ci-dessous. 600 V u 1 10 A v 1 0 j 1 T t Compte tenu du graphe des tensions relevées, préciser si les conducteurs de phases sont numérotés dans l ordre direct ou inverse. Justifier brièvement la réponse (réponse bonne: +1 pt, pas de réponse: 0 pt, réponse fausse: -1 pt). c) Représenter ci-contre le graphe du courant ( t ). (justifier par un diagramme de Fresnel ou par un résultat établi en cours ou par tout autre moyen). d) Déterminer le facteur de puissance de ce moteur.

Corrigé : U U V V V U 1 V 1 U 1 V U1 V 1 U 1 a) On a représenté ci-contre les vecteurs de Fresnel si l ordre des phases est inverse. b) On constate sur ce graphe de Fresnel que U 1 est déphasé de à V 1. π par rapport 6 Sur les courbes relevées à l oscilloscope, on constate que U 1 est déphasé de - - π + 6 par rapport à V 1 ; donc l ordre des phases n est pas l ordre inverse, mais l ordre direct. c) Pour un montage triangle linéaire équilibré soumis à des tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées, on dispose de relations (voir Baselecpro chapitre 11.4) : r r r U 1 ( I,V ) ( J, U ) ϕ et I J. I J1 I 1 En conclusion I J. 10. A : J I J 1 (,V ) ( J,U ) I1 1 1 1 max max π + d) Facteur de puissance : π k cos( ϕ ) cos( I,V ) cos 0, 5. 600 V 10 A u 1 v 1 0 j 1 t

- - 1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré 1 (5 pts) Remarques préliminaires: Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que. Les démonstrations peuvent s appuyer sur les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter). ou La ligne triphasée équilibrée 0/400 V suivante alimente une machine M triphasée équilibrée. Phase N 1 ( ) u1 ( t) 400..cos ω. t Phase N Phase N u 1 v 1 v v u u 1 i i i N u ( t) 400. π.cos ω. t u1( t) 400. π.cos ω. t + La machine triphasée M consomme les courants : π 5π π ( t) 10..cos ω. t, i ( t) 10..cos ω. t + et i ( t) 10..cos ω. t + 6 6 a) Représenter l allure de l ensemble des vecteurs de Fresnel associés aux tensions simples, aux tensions composées et aux courants de ligne à un instant quelconque (qui peut être, par exemple, t 0). (Il est conseillé d utiliser différentes couleurs). b) Calculer la puissance active P M, la puissance réactive Q M et la puissance apparente S M consommées par la machine M. Corrigé : U V V U 1 V 1 I I I 1 b) Sur le diagramme de Fresnel, on constate que l angle ϕ ( I 1, V 1 ) est égal à π + On peut le retrouver car ( I,V ) ( I,U ) + ( U, ) (,V ) 1 1 1 1 1 V1 I1 1 π π π + + 6 U 1 u1 ( t ) 400..cos ( ω.t ) U1 400. U1 400 V max De même I1 10. I max 1 10 A P Q U. U. π 1.I.cos ( ϕ).400.10.cos.400.10. 000. W π.400.10.i.sin ( ϕ ).400.10. sin.400.10. 6000 VAR S U..I.400.10 4000. VA

- 4-1 Montage en régime alternatif sinusoïdal triphasé équilibré (4 pts) Remarques préliminaires: Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que. Les démonstrations peuvent s appuyer sur les résultats du cours (qu il n est pas nécessaire de redémontrer), ou sur un diagramme de Fresnel (qu il n est pas nécessaire de commenter). ou La ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée 0/400 V suivante alimente une machine M triphasée équilibrée dont la plaque signalétique porte l indication 0/400 V. (*) Phase N 1 Phase N Phase N u 1 u u 1 i i v 1 v v 0 1) Sur la figure ci-dessus, représenter les liaisons à établir sur la plaque à bornes de façon que la machine soit alimentée sous tension nominale. ) La machine consomme une puissance active P M 4000. W, une puissance réactive Q M 00 VAR et une puissance apparente S M 760 VA. De façon à relever le facteur de puissance de cette ligne triphasée, on ajoute, au montage précédent, trois condensateurs montés en triangle entre les trois phases de cette ligne. 1.100 La capacité de chacun est C tel que 150 Ω. C. ω Calculer la puissance active P T, la puissance réactive Q T et la puissance apparente S T consommées par le nouvel ensemble constitué de la machine M associée aux trois condensateurs. En déduire la valeur icace du nouveau courant de ligne I T à l entrée de ce nouvel ensemble. (Il est conseillé d utiliser le théorème de Boucherot). (*) Sans autre précision, il s agit toujours des valeurs icaces

- 5 - Corrigé : 1) La plaque signalétique de la machine indique les valeurs nominales suivantes : 0V / 400V. Cela signifie que la machine peut fonctionner sous tensions nominales sur un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de 0V (avec les trois dipôles de la machine couplés en triangle), un réseau alternatif sinusoïdal triphasé équilibré dont les tensions icaces entre deux phases sont de 0. 400 V (avec les trois dipôles de la machine couplés en étoile) Dans les deux cas, la valeur icace de la tension aux bornes d un dipôle de la machine sera 0V. Sachant que la ligne triphasée d alimentation est une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée 0/400 V, la tension icace entre deux phases est de 400V. Il faut coupler la machine en étoile : Phase N 1 Phase N Phase N u 1 i T1 i T C i ) Les condensateurs sont montés en triangle. u u 1 i T C C i v 1 v v M Piou La puissance réactive d un condensateur est donc : Q C C. ω U.. 100 400. 16.10. 10 4 VAR La puissance réactive des condensateurs est donc Q 4 C. 16.10.. 10 00 VAR On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M P M 4000. W Q M 00 VAR condensateurs P C 0 W Q C 00 VAR Total P T 4000. W Q T 0 S ST 4000. PT + QT 4000. VA ; IT 10 A U. 400. T

- 6-14 Application du théorème de Boucherot avec deux moteurs (5,5 pts) Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que. (Les valeurs numériques ont été choisies de façon que les calculs soient simples à ectuer). (On rappelle que 5. 8, 66,. 5, 196 et que 5, 89 ). ou i L i M1 i M Moteur asynchrone M1 Moteur asynchrone M La ligne triphasée ci-contre alimente sous tensions triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées 0/400 V, 50 Hz : - un moteur asynchrone M 1 absorbant une puissance active de 1000. 17 W et une puissance réactive de +1000 var. - un moteur asynchrone M absorbant une puissance active de 168 W et une puissance réactive de +4196 var. a) Calculer la puissance apparente S M 1 et le courant du moteur M1. I M 1 b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble des deux moteurs ainsi que la valeur de. I L Corrigé : M 1 M 1 M 1 a) S P + Q ( 1000. ) + 1000 1000.( + 1) 000 VA S 000 5 S U..I I M 1 M 1 M 1 M 1,89 U..400 A b) On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M1 P M 1 17 W Q M 1 1000 VAR Machine M P M 168 W Q M 4196 VAR Total P T 000 W Q T 5196 VAR ( 000. ) 000. ( 1 + ) 6000 VA ST PT + QT 000 + 5196 000 + Facteur de puissance de la ligne : k cos( ϕ ) cos( I,V ) 0, 5 ST 6000 15 5 I L..,89 8,67 A U. 400. PT ST 000 6000

Variante avec calculette - 7 - Régime alternatif sinusoïdal i L i M1 Moteur asynchrone M1 M1 (triphasé équilibré) absorbe une puissance active de +000 W et une puissance réactive de +000 VAR. Ligne d alimentation sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées 0/400 V 50 Hz I M Moteur asynchrone M M Piou M (triphasé équilibré) absorbe une puissance active de +1500 W et une puissance réactive de +1800 VAR. Corrigé : M 1 M 1 M 1 a) S P + Q ( 000) + 000 606 VA SM 1 U..I M 1 I M 1 SM 1 606 5 5,04 A U..400 b) On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Machine M1 P M 1 000 W Q M 1 000 VAR Machine M P M 1500 W Q M 1800 VAR Total P T 4500 W Q T 800 VAR ST PT + QT 4500 + 800 5890 VA 4500 5890 Facteur de puissance de la ligne : k cos( ϕ ) cos( I,V ) 0, 764 I S T U. 5890 400. L 8,5A PT ST

- 8-15 Application du théorème de Boucherot : relèvement du facteur de puissance (7 pts) Le problème étant résolu sans calculette, on pourra laisser dans les résultats des expressions telles que. ou i L i M Moteur asynchrone La ligne triphasée ci-contre alimente sous tensions triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées 0/400 V, 50 Hz : - un moteur asynchrone absorbant une puissance active de 6 kw et une puissance réactive de +. kvar. - Un ensemble de trois condensateurs montés en triangle. Chaque condensateur a une valeur de 4. 4.10. π. a) Calculer la puissance apparente S M et le courant du moteur. F. I M b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble moteur + condensateurs, ainsi que la valeur de. (On rappelle que 48 4 x 4 x et que 6 4. 0, ). I L ( ) 866 Corrigé : SM PM + QM 6 +. 48 4. kva 4000. SM 4. kva U.I. I M M 400. 10 A Q C x U.C. ω.400.10. 4.4. π..100π 000. VA R P ligne 6 kw, QLigne QM + QC 0. Le facteur de puissance de la ligne est donc de 1. S Ligne PLigne + QLigne 6 kva U.I L. Sligne 6000 15 I L 5. A 8.66 U. 400. A

Variante (avec une calculette) Régime alternatif sinusoïdal - 9 - i L i M C C C Moteur asynchrone Ligne d alimentation sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées 0/400 V 50 Hz Trois condensateurs montés en triangle. Chaque condensateur a une valeur de µf Moteur (triphasé équilibré) : absorbe une puissance active de +6 kw et une puissance réactive de +,5 kvar. I M a) Calculer la puissance apparente S M et le courant du moteur. b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble moteur + condensateurs, ainsi que la valeur de. I L Corrigé : SM PM + QM 6 +,5 48,5 6,946 kva 6946 SM 6,946 kva U.I. I M M 400. 10 A Q C x U.C. ω.400..10 6.100π 468 VA R On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Moteur P M 6000 W Q M 500 VAR condensateurs P C 0 W Q C 468 VAR Total (ligne) P ligne 6000 W Q ligne VAR S Ligne PLigne + QLigne 6000 VA U.I L. 6000 6000 Facteur de puissance de la ligne : k cos( ϕ ) cos( I,V ) 1 PT ST Sligne 6000 15 I L 5. A 8.66 U. 400. A

16 Application du théorème de Boucherot (Moteur + radiateur) (5 pts) i Le problème étant résolu sans calculette, les valeurs numériques ont été L i M choisies en conséquence. On pourra laisser dans les résultats des expressions telles que ou. i R Moteur asynchrone Radiateur triphasé équilibré a) Calculer la puissance apparente S M et le courant du moteur. - 0 - La ligne triphasée ci-contre alimente sous tensions triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées 0/400 V, 50 Hz : - un moteur asynchrone absorbant une puissance active de 6400 W et une puissance réactive de +4800 VAR. (On rappelle que 6400 4 x 1600, que 4800 x1600) - Un ensemble de trois résistances constituant un radiateur triphasé équilibré absorbant une puissance active de 1914 W. (On rappelle que 1914 4800. 6400 ) I M b) Calculer le facteur de puissance de la ligne qui alimente l ensemble moteur + radiateur, ainsi que la valeur de I L. Corrigé : ( 4 + ) 1600.( 5 ) 1600. 5 8000 VA SM PM + QM 6400 + 4800 1600. 8000 SM 8000 VA U.I. I M M 400. 0 A Le radiateur est constitué de résistances ohmiques. Sa puissance réactive est nulle On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Moteur P M 6400 W Q M 4800 VAR Radiateur P R 1914 W Q R 0 VAR Total (ligne) P ligne 814 W Q ligne 4800 VAR ( 4800. ) + 4800 4800.( + 1) 4800. 9600 VA U.I. S Ligne PLigne + QLigne k cos cos I,V 4800. 4800. Facteur de puissance de la ligne : ( ϕ ) ( ) 0, 866 P S T T L Sligne 9600 4 I L 8. A 1,86 U. 400. A

Variante avec calculette : - 1 - Régime alternatif sinusoïdal i L i M Moteur asynchrone Le moteur (triphasé équilibré) absorbe une puissance active de 6400 W et une puissance réactive de +4800 VAR. Ligne d alimentation sous tensions alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées 0/400 V 50 Hz i R Radiateur triphasé équilibré Le radiateur absorbe une puissance active de 000 W et une puissance réactive nulle. Corrigé : ( 4 + ) 1600.( 5 ) 1600. 5 8000 VA SM PM + QM 6400 + 4800 1600. 8000 0 SM 8000 VA U.I. I M M 400. 11,55 A Le radiateur est constitué de résistances ohmiques. Sa puissance réactive est nulle On utilise le théorème de Boucherot : Puissance active Puissance réactive Moteur P M 6400 W Q M 4800 VAR Radiateur P R 000 W Q R 0 VAR Total (ligne) P ligne 8400 W Q ligne 4800 VAR S Ligne PLigne + QLigne 8400 + 4800 9675 VA U.I L. 8400 9675 Facteur de puissance de la ligne : k cos( ϕ ) cos( I,V ) 0, 868 PT ST I S U 9675 400. ligne L. 1,96 A