ÉRIE : GÉNÉRALITÉSG ÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS LINÉAIRES Complète le tableau en indiquant les fonctions linéaires et leur coefficient. f : k : 7 g : h : j : Fonction linéaire Coefficient l :, m : ( n : ( g k l n 7,8 f est une fonction linéaire de coefficient. a. Complète le tableau de valeurs.,,, f(,, 8 b. Que peu-tu dire de ce tableau? Justifie. Pour obtenir les valeurs de la ligne de f(, on doit multiplier les valeurs de la ligne de par. Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité. On considère la fonction g : 9. Calcule. a. g( et g( g( = 9 = 4. g( = 9 ( = 4 b. L'image de,..g(, = 9, = 4,8. c. L'image de. g = 9 = d. L'antécédent de 7. g( = 7 donc est l'antécédent de 7 e. L'antécédent de 4,. g(, = 4, donc 4, est l'antécédent de 7 4 On considère la fonction h :. Calcule. a. L'image de 7. h(7 = 7 = 4 b. h h = = c. L'antécédent de. h = donc est l'antécédent de. Durant les soldes, un magasin pratique une remise de % sur tous les articles. a. Un article coûtait 8 avant les soldes. Quel est son nouveau pri? 8 8 = 8 = 8 8 = 8 8 = 4 7 7 = 7 7 = 9 4 =,8 Son nouveau pri est de,8 b. On appelle f la fonction qui, au pri de départ p, associe le pri soldé. Donne son epression. f(p= p p = p = p 8 f(p= 8 p =,8 p c. Un article coûtait 4 avant les soldes. Quel est son pri soldé? f(4=,8 4 = 8, Son pri soldé est de 8, d. Un article est soldé à,79. Quel était son pri avant les soldes? On cherche p tel que f(p =,79.,8 p =,79 donc p =,79,8 = 79 8 =7,4. Son pri avant les soldes était de 7,4 k est une fonction linéaire telle que k(4 =. Est-il possible que k( 8 =? Justifie. 4 ( = 8. Or (. La fonction k ne représente pas une situation de proportionnalité donc elle n'est pas linéaire. 7 f est une fonction linéaire telle que f(7 =. Sans déterminer le coefficient de f, calcule. a. f(. = 7 donc f( = ( =. b. f(,., = 7 donc f(, = ( =. 8 Même énoncé avec une fonction linéaire g telle que g( = 7, et g( =. a. g( = g( g ( = 7, = 4,8. b. g( = g ( = 4,8. c. g( = g ( = 7, = 4,4. d. g( = g( + g ( = g( g ( = +4,4 =,4. FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES : CHAPITRE D
ÉRIE : GÉNÉRALITÉSG ÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS AFFINES Parmi ces fonctions, détermine : f : 4 j : g : k : 4 h : 4, l : a. celles qui sont affines : f, g, h et k. b. celles qui sont linéaires : h. c. celles qui sont constantes : k. d. celles qui ne sont pas affines : j et l. Indique si chaque fonction est affine. Justifie. a. La fonction qui, à un nombre, associe le résultat du programme de calcul suivant. Choisis un nombre. Ajoute-lui. + Multiplie le tout par. (+ Annonce le résultat. La fonction est f( = (+ = +. C'est une fonction affine. b. La fonction par laquelle la longueur du rayon d'un cercle a pour image le périmètre de ce cercle. Soit R le rayon d'un cercle. Le périmètre est : P(R = R. C'est une fonction linéaire (de coefficient donc elle est affine. c. La fonction qui, à la longueur du rayon d'un disque, associe l'aire de ce disque. Soit R le rayon d'un disque. L'aire est : A(R = R². Ce n'est pas une fonction affine. g est la fonction définie par g( =. a. Complète le tableau de valeurs.,,,7 g(,4 b. Est-ce un tableau de proportionnalité? Justifie. Il n'eiste pas de coefficient de proportionnalité (par eemple = mais, ou l'image de n'est pas. Ce n'est donc pas un tableau de proportionnalité. 4 On considère la fonction f : 7. a. Calcule f(. f(8 = 8 + 7 = 4 + 7 = 7. b. Calcule l'image de. f( = + 7 = + 7 = 7. c. Calcule l'antécédent de. 7 = soit = soit = = L'antécédent de est Une agence de location de voitures propose le tarif suivant : un forfait de auquel s'ajoute,7 par kilomètre parcouru. a. Calcule le pri à payer pour 4 km parcourus. +4,7 = + 78 = 478. Il faut payer 478 pour 4 km parcourus. b. Avec un budget de 7, combien de kilomètres peut-on parcourir? Soit d la distance cherchée. +d,7 = 7 donc d,7 = 7 donc d = 7,7 =. Avec 7, on peut parcourir km. c. On considère la fonction f qui, au nombre de kilomètres parcourus d, associe le pri à payer. Donne une epression de f ainsi que sa nature. f(d =,7 d +. C'est une fonction affine. d. Traduis les réponses des questions a. et b. en utilisant la fonction f. f(4 = 478 et f( = 7. Soit h la fonction affine qui, à un nombre, associe le nombre 7. a. Calcule les rapports suivants. h h = h h h h 4 4 = = 4 7 = 7. 8 4 8 7 b. Que remarques-tu? = 8 4 = 49 7 =7. = 4 =7. Ces trois rapports sont égau. Pour une fonction affine, les accroissements sont proportionnels. CHAPITRE D : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
ÉRIE : DÉTERMINERD ÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE OU AFFINE GRAPHIQUEMENT Les droites (d, (d, (d et (d 4 sont les représentations graphiques respectives de quatre fonctions linéaires f, f, f et f 4. b. Indique le coefficient de chaque fonction dans ce tableau. Fonction f f f A (d 4 Coefficient, A 4 c. Indique l'ordonnée à l'origine de chaque droite dans ce tableau. (d, a. Quelles sont les coordonnées de A, A, A et A 4? A ( ; A ( ;, A ( ; A 4 ( ; b. Déduis-en quatre égalités avec f, f, f et f 4. f ( = f ( =, f ( = f 4 ( = c. Déduis-en le coefficient de f, f, f et f 4. A A (d (d Droite (d (d (d Ordonnée à l'origine d. Déduis-en l'epression de chaque fonction. f ( =,. f ( = +. f ( = +. Par lecture graphique, indique pour chaque fonction affine la droite qui est sa représentation graphique. (d (d 4 (d (d Fonction f f f f 4 Coefficient directeur, (d d. Déduis-en l'epression de chaque fonction. f ( = f ( =, f ( = f 4 ( = (d Les droites (d, (d et (d sont les représentations graphiques respectives de trois fonctions affines f, f et f. (d (d (d 7 (d 8 Fonction Droite Fonction Droite a. Indique la (les fonction(s qui ont un coefficient négatif. f (d (d (d 7 (d 7 (d 8 (d 4 (d (d (d FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES: CHAPITRE D
ÉRIE 4 : REPRÉSENTATIONS R EPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES Soit les fonctions f : 4 et g : 4. a. Quelle est la nature de leur représentation graphique? Justifie. Ce sont des droites passant par l'origine du repère car les fonctions sont affines. b. Calcule les coordonnées des points F et G d'abscisse de la courbe de f puis de celle de g. F ( ; 4 et G ( ; 4 c. Trace la courbe de f. d. Trace la courbe de g. F Soit la fonction g :. a. Quelle est la nature de sa représentation graphique? Justifie. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine, car c'est une fonction affine non linéaire. b. Complète le tableau suivant. g( c. Déduis-en les coordonnées de deu points appartenant à cette représentation graphique. A ( ; 4 et B ( ;. d. Trace la représentation graphique de la fonction g dans le repère ci-dessous. G B Trace la représentation graphique de chaque fonction dans le repère orthonormal donné. f ( = f ( = A e. Par lecture graphique, complète le tableau de valeurs suivant.,, g( f ( =, f 4 ( = f. Quelle est l'image de par g? g(= g. Quel nombre a pour image par g?, h. Quelle est l'image de, par g? g(,= i. Quel est l'antécédent de par g? j. g(, = 4 l. g( = k. g(4 = 7 m. g(, =, CHAPITRE D : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
ÉRIE 4 : REPRÉSENTATIONS R EPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES 4 On veut tracer la représentation graphique d f de la fonction f :. a. Quelles sont les coordonnées du point A de (d f d abscisse? Comment appelle-t-on son ordonnée? Place le point A dans le repère ci-dessous. A(;. Son ordonnée est appelée l'ordonnée à On considère les fonctions f : et g :. On appelle (d f et (d g leur représentation graphique. G - l'origine de (d f. b. En utilisant le coefficient directeur de la fonction f, place un deuième point B de (d f. Quelles sont ses coordonnées? G G I B(; c. Trace la courbe (d f représentative de f. F 7 (d f (d g F B F - F G H d. Trace les courbes (d g et (d h des fonctions g et h définies par g( = et h( = 4. e. Que remarques-tu? Justifie pourquoi. Ces trois droites sont parallèles, car elles ont le même coefficient directeur. f. Place les points F, G et H d'abscisse appartenant respectivement à (d f, (d g et (d h. g. Donne les coordonnées de ces points. F ( ; ; G ( ; 7 et H ( ; 7. 4 4 7 A (d h a. Détermine les coordonnées des points F et G d'abscisse respectivement sur (d f et (d g. F ( ; ; G ( ; b. Détermine le coefficient directeur de f et de g. Pour (d f : et pour (d g : c. Déduis-en les coordonnées des points F et G d'abscisse respectivement sur (d f et (d g. F ( ; + soit F ( ;. G ( ; d. Ces deu points suffisent-ils à tracer précisément chaque courbe? Justifie. Avec ces deu points sur chaque droite, on peut la tracer précisément (car l'échelle donnée permet de placer des tiers précisément. e. Détermine les coordonnées des points F et G d'abscisse respectivement sur (d f et (d g. F ( ; et G ( ; f. Place ces différents points puis trace (d f et (d g. g. Ces deu droites sont sécantes en un point I. Lis les coordonnées de ce point I. I ( ; h. Résous graphiquement l'équation f( = g(. À quoi cela correspond-il graphiquement? =. Il s'agit de l'abscisse du point d'intersection de (d f et (d g. FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES : CHAPITRE D
ÉRIE : DÉTERMINERD ÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE OU AFFINE PAR LE CALCUL Soient f et f deu fonctions linéaires telles que : f ( = 8 et f ( = 7. Détermine les fonctions f et f. Si f ( = a alors f ( = a =8 donc a = 8 = donc f ( = 7 ( = ( 9 donc f ( = 9. Soient f et g deu fonctions affines telles que : f( = et f(4 = 8 g( = et g(4 = a. Quelle est l'ordonnée à l'origine b f et b g correspondant à chaque fonction? b f = et b g =. Ce sont les images de. b. Détermine les fonctions f et g. f( = a + f(4 = 4a + = 8 d'où 4a = d'où a = 4 = f( = + g( = a g(4 = 4a = d'où 4a = 4 d'où a = 4 4 =, f( =, + f( est une fonction affine de la forme a b telle que : f( = et f( =. On souhaite déterminer l'epression de f, c'est à dire déterminer a et b. Première méthode : a. Écris un système de deu équations d'inconnues a et b traduisant les données de l'énoncé puis résous-le. a + b = et a + b = b = a et b = a a = a et b = a a = et b = a d. Détermine l'epression de f. f( = + b donc f( = + b = donc + b = donc b = = 4. f( = 4. 4 Détermine les fonctions affines f et f telles que : f ( = 4 et f (4 = 7 f ( = et f ( = Pour f (méthode avec coefficient directeur: f 4 f a = = 7 4 = 4 = f ( = + b donc f ( = + b = 4 donc b = 4 =. Donc f ( = +. Pour f (méthode avec résolution de système: Si f ( = a + b alors on résout le système : a + b = et a + b = b = a et b = + a + a = a et b = + a a = et b = + a a = et b = donc f ( = +. Détermine la fonction affine f telle que : f(9 = et f(8 = 8. a = f 8 f 9 8 9 = 8 9 = 8 9 = 7 9 f( = 7 9 + b donc f(9 = 7 9 9+ b = donc 7 + b = donc b = + 7 =. Donc f( = 7 9 +. donc a = et b = = 4. b. Détermine l'epression de f. f( = Deuième méthode : c. Calcule le coefficient directeur de f en utilisant la formule a = f f. a = f f = = = = CHAPITRE D : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
SYNTHÈSE Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule est eacte. Pour chaque question, entoure la réponse juste. (Etrait de Brevet Soit la fonction définie par f( =. Réponse A Réponse B Réponse C. f( est de la forme a b. La valeur de a est :. L'image de par f est :,. La droite qui représente la fonction f passe par le point : 4. L'antécédent de 4 par la fonction f est : A( ; A( ; A( ; 8 7. La droite qui représente la fonction f coupe l'ae des ordonnées en : D(, ; E( ; F( ; Soient f et g deu fonctions telles que : f( = et f( =, g( =,8 et g( =,8 a. Justifie que ces fonctions ne sont pas linéaires. e. Construis les courbes représentatives (d f et (d g des fonctions f et g dans le repère ci-dessous. Pour une fonction linéaire, on doit avoir f(=. Sa représentation graphique doit passer par l'originie du repère. b. Écris f et g sous la forme a b où a et b sont des nombres à préciser. f( = a car f( =. f( = a =, d'où a = 8, d'où a = 8, =,7. Donc f( =,7. g( = a +,8 car g( =,8. (d g (d f g( = a +,8 =,8 d'où a = d'où a = =,. Donc g( =, +,8. c. Détermine par le calcul la valeur de pour laquelle f( = g(. f( = g(,7 =, +,8,,7, =,8 +, =,8 =,8 =, d. Complète les tableau de valeurs suivants. 4 8 f(,4 4,8 8,, 4 8 g(,8,, 8,4,8 f. Retrouve la valeur de pour laquelle f( = g( sur le graphique où tu feras apparaître les pointillés nécessaires. g. Calcule les coordonnées du point K d'intersection de (d f et (d g. Son abscisse est =, (d'après c. donc son ordonnée est f(, =,7, = 7,. (ou aussi : g(,=,, +,8 = 7,. FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES : CHAPITRE D
SYNTHÈSE Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d'une fonction affine g passe par les points A( ; 4 et B( ;. a. Détermine une epression de la fonction g. g( = 4 et g( =. Si g( = a + b, alors : a g g = = 4 = 4 = = donc g( = +b. g( = + b = 4 d'ù + b = 4 d'où b = 4 =. Donc g( =. b. Par le calcul, détermine si le point C( ; appartient à la droite (AB. g( = = 8 = donc le poitn C n'appartient pas à la droite (AB. c. Détermine les coordonnées des points D et E d'intersection de la droite (AB avec respectivement l'ae des abscisses et celui des ordonnées. g( = donc E( ;. a. Quelles sont les coordonnées des points A et B? A(; et B(4;4 b. Détermine la fonction f. Coefficient directeur : Donc f( = (par lecture graphique. + b. Comme f( = alors + b = d'où b = = 9 = 8 Donc f( = + 8 c. Quelles sont les coordonnées des points C et D? C(; et D(4; d. Détermine la fonction g. Coefficient directeur : 4 graphique. (par lecture g( = = = = Donc D( ; Donc g( = 4 + b. Comme g( = alors 4 + b = d'où b = + 4 = + 4 = 9 Donc g( = 4 + 9 e. Détermine graphiquement les solutions de l'équation f( = g( puis les coordonnées du point d'intersection M de (d f et (d g. 4 Les droites (d f et (d g sont respectivement les représentations graphiques des fonctions f et g. A C B (d f Une unique solution :,. M(, ;,4 f. Vérifie par le calcul les résultats de la question e.. f( = g( + 8 = 4 + 9 + 4 = 9 8 = = = =,. Puis f( = + 8 = + 8 = D + 4 = = 7 =,4. On a bien M(, ;,4 (d g CHAPITRE D : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
SYNTHÈSE (EXTRAITS DU BREVET L école décide d acheter un logiciel pour gérer sa bibliothèque. Il y a trois tarifs : Tarif A : 9 euros ; Tarif B : centimes par élève ; Tarif C : 8 euros + centimes par élève. a. Compléter le tableau suivant. Nombre d élèves Tarif A 9 9 9 Tarif B Tarif C 8 b. Si représente le nombre d élèves, entourer la fonction qui correspond au tarif C. 8 8,, 8 c. Quelle est la nature de cette fonction? C'est une fonction affine non linéaire. d. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté le tarif B. Sur ce même graphique, représenter les tarifs A et C. 8 4 8 4 8 4 Pri en euros 4 Tarif C Tarif A 8 e. Par lecture graphique, à partir de combien d élèves le tarif A est-il plus intéressant que le tarif C? (On fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture. À partir d'environ élèves le tarif A est plus avantageu que le tarif C. f. Dans l école, il y a 9 élèves. Quel est le tarif le plus intéressant pour l école? Tarif A :9 Tarif B : 9, =,9. Tarif C : 8 + 9, = 8 +,4 = 8,4. Le tarif le plus avantageu pour 9 élèves est donc le tarif C. 4 8 4 Tarif B Nombre d'élèves 8 4 TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = cm ; PA = cm et AR = 4 cm. M est un point variable du segment [PA], et on note la longueur du segment [PM] en cm. a. Donner les valeurs entre lesquelles peut varier. peut varier entre et. b. Montrer que l aire du triangle PTM est, et l aire du triangle ARM est. A PTM = PT PM = =, MA = donc A ARM = AR AM = 4 ( = ( = La droite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction qui à associe l aire du triangle ARM. 9 8 7 4 Aire en cm²,,4,,8 Répondre au questions c., d. et f. en utilisant ce graphique. Laisser apparents les traits nécessaires. c. Pour quelle valeur de l aire du triangle ARM est égale à cm? Pour = cm. d. Lorsque est égal à 4 cm, quelle est l aire du triangle ARM? Si = 4 cm alors l'aire du triangle est cm. e. Sur ce graphique, tracer la droite représentant la fonction :,. f. Estimer, à un millimètre près, la valeur de pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire.,8 cm.,,4,,8, cm,4, g. Montrer par le calcul que la valeur eacte de pour laquelle les deu aires sont égales, est. =, donc = +, donc =, soit =, =. T P,8 Aire du triangle ARM,,4 M cm,,8 4 4, 4,4 4, 4,8 R A 4 cm Longueur de en cm FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES : CHAPITRE D