Dossier de révisions : bac blanc janvier Programme du devoir : Niveau première : statistiques, dérivation et second degré (voir : résumé de cours, fiches méthodes et eercices corrigés de ce dossier, ainsi que la fiche de révision à préparer pour la rentrée et qui sera corrigée en cours). Niveau terminale : probabilités (AP) et primitives/intégration (Horti). Fiche de cours : Trinômes du second degré Polynôme du second degré. Un polynôme du second degré (ou trinôme) est une epression du type : a ² + b + c où a, b et c sont les coefficients (nombres réels avec a non nul). Sa représentation graphique est une parabole dont le sommet a pour abscisse b a Racines d un trinôme et solution d une équation. Remarque : les solutions de l'équation a² + b + c sont aussi appelées les racines du polynôme a ² + b + c.
Signe d un trinôme et représentation graphique. Si >, a ² + b + c est du signe de a, sauf entre les racines. Si, a ² + b + c est du signe de a, sauf en où il est nul. Si <, a ² + b + c est du signe de a.
BILAN. Fiche méthode : Etudier un trinôme du second degré Repérer les valeurs de a, b et c (a est le nombre devant ², b celui devant et c celui sans. Ce sont des nombres, les ne doivent pas être pris en compte. Si aucun nombre n est écrit devant ou ² alors le coefficient est, si il n y a pas de ou de constante alors le coefficient est ). Calculer le discriminant b² 4ac en remplaçant chaque lettre par sa valeur numérique. En fonction du signe de calculer la ou les éventuelle(s) racine(s). Si besoin (dérivation, inéquation) déterminer le signe dans un tableau de signe: Le trinôme est du signe de a (coefficient de ²), sauf entre les racines si il y en a. Remarque : un trinôme ne change pas forcément de signe en.
Eemples : Eemple : ² +. On identifie a, b et c : a ; b ; c On calcule : ( ) 9 8 4 Comme >, le trinôme a racine(s). On calcule ces racines : b + a ( ) + + b a ( ) On peut en déduire que les solutions de ² + sont : et. Tableau de signes : Eemple : ² +. On identifie a, b et c : a ; b ; c On calcule : ² 4 ( ) ( ) 4 Comme <, le trinôme a racine(s). On peut en déduire que l équation ² + + n a pas de solution. Tableau de signes : 4
Eemple :.5 ² +. On identifie a, b et c : a, 5 ; b ; c On calcule : ( ) 4 4 4,5 Comme, le trinôme a racine(s). On calcule cette racine : b a ( ),5 On peut en déduire que l équation.5² + a pour solution :. Tableau de signes : Eercices corrigés Révisions Thème : Second degré Eercice :. Calculez le discriminant de D(). Déterminez les racines éventuelles de D(). D() - ² - 4 -. Donnez le tableau de signes de D puis l ensemble S des solutions de D(). a b c Eercice : Déterminer les solutions réelles des équations suivantes : ) -² + - ) ² + 4 - ) ² + 4) 5² + 5-5
Eercice : Résoudre l inéquation ci-dessous algébriquement. Puis vérifier graphiquement à l aide de votre calculatrice graphique. ² + 7 ² 7 + 9 Eercice 4 : Etudier le signe du trinôme ² + 5sur IR. Eercice 5 : Etudier le signe du polynôme ² +. Eercice :Résoudre l équation ² + 5 + Eercice 7 : Étude du signe du polynôme P ( ) ² + 5 Eercice : CORRECTION. a b 4 c ( 4)² 4 ( ) ( 4). donc le trinôme a une racine :. Tableau de signes : D() a < - + - - Eercice : ) a b c ² 4 ( ) ( ) 4 4 < donc il n y a pas de solution. ) a b 4 c 4 ² 4 ( ) + 84 > donc il y a deu solutions : ) ² + ² - 4 4 + 4 4 + 4 7
a b c ( )² 4 ( ) 4 + > donc il y a deu solutions : ( ) 4 ( ) + + 4 4) 5² + 5-5² + 5 + a 5 b 5 c 5² 4 5 5 4 5 < donc il n y a pas de solution. Eercice : ² + 7 ² 7 + 9 ² + 7 ² + 7 9 ² + 5 a b 5 c 5² 4 ( ) ( ) 5 9 > donc il y a deu solutions : 9 ( ) 5 4 8 4 5 5 + 9 ( ) 5 + 4 4.5 + Signe de ² + 5 - + - a < Eercice 4 : ( )² 4 5 > donc il y a deu racines : ( ) + + 4 ( ) 4 5 et On en déduit le tableau de signes : 7
² + 5 a > 5 + + - + Eercice 5 : ( )² 4 ( ) ( ) 9 8 > donc il y a deu racines : + + et ( ) 4 ( ) 4 On en déduit le tableau de signes : + ² + a < - + - Eercice : ( 5)² 4 ( ) 5 + 4 49 > donc il y a deu racines : 5 + 49 5 + 7 5 49 5 7 et ( ) ( ) Eercice 7 : ( )² 4 5 > donc il y a deu racines : S ; ( ) + + 4 ( ) 4 5 et On en déduit le tableau de signes : P() a > 5 + + - + Fiche de cours : Dérivation. 8
Soit f une fonction définie sur un intervalle[ a; b], et C sa courbe représentative. Nombre dérivé. On appelle nombre dérivé de f en le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f en son point d abscisse. On note ce nombre f '( ). Les fonctions dérivées. On appelle fonction dérivée de f, et on note f, la fonction qui à tout Dérivées des fonctions usuelles : de [ b] a; associe le nombre f ( ) ' Fonction f() k (constante réelle) Nombre seul : sans ² Dérivée f () ² Règles de dérivation: n n n, n IN, non nul ² Soient u et v deu fonctions définies sur [ a; b]. k IR Opération Dérivée Somme : u + v Produit par un réel : k u u Quotient : (v ne s'annulant pas sur[ a; b] ) v u' + v' k u' u' v uv' v² Propriétés des fonctions dérivées. 9
Signe de la dérivée f Comportement de la fonction f Tableau conjoints Allure de Cf f '( ) > f est croissante f '( ) < f est décroissante Fiche méthode : Etude du sens de variations d une fonction. Méthode : Déterminer la dérivée f (voir tableau des dérivées). Etudier le signe de f (bien respecter l intervalle donné dans l énoncé pour les valeurs de dans le tableau). Si f est une constante alors son signe est évident (soit elle est positive, soit négative). Si f est une fonction affine (a+b) : Deu méthodes possibles : o Résoudre a + b. Placer cette valeur dans le tableau. f est du signe de a après cette valeur (si vous ne vous souvenez pas de cette règle, calculer avec des valeurs simples et regardez le signe du résultat, le signe restant constant dans chaque case, un calcul par intervalle suffit). o Ou Résoudre a + b. Placer cette valeur dans le tableau. f est positive quand répond au critère. Si f est du second degré : voir méthode d étude du signe d un trinôme. Si f est un quotient (en bac pro les intervalles sont donnés pour que le quotient ne pose pas de problème de définition) :
o Le dénominateur est un carré donc il sera toujours positif. o Il faut étudier le signe du numérateur, c est lui qui donnera le signe au quotient. Se ramener au études de signes vues au-dessus en fonction du type de numérateur. En déduire les variations de f : quand f est positive f est croissante, quand f est négative f est décroissante. Ne pas oublier de remplir les valeurs (toute sauf celles en la calculatrice graphique. ± ) à l aide du mode table de Eemple (dérivée de type affine) : Soit f la fonction définie sur[ ; ] par f ( ) ² + 5. Donner le tableau de variations de f. > f '( ) 4 + 5 4 + 5 (de signe +) 4 5 5 4 5 4 ( plus petit que 4 5 ) La fonction f' s'annule en 4 5. Elle est positive «avant» 4 5. - 5 4 f'() + -,5 f() -7 - Eemple (dérivée de type quotient avec numérateur de type constante) : Soit f la fonction étudiée sur[ ;9] par ( ) u v f ( ). Donner le tableau de variations de f. u' v' u f '( ) en utilisant la règle : ( )² ( )² v u' v uv' v² ( ) est positif car c est un carré, donc le quotient est du signe du numérateur : -, qui est négatif. Donc on obtient le tableau suivant : 9
f '() - d f(),5 Car f ( ) et f ( 9). 5 (peuvent aussi être obtenues à l aide du mode 9 8 4 table de la calculatrice graphique). GRAPHIQUEMENT : Fiche méthode : Déterminer l équation d une tangente. La tangente à C au point d abscisse a une équation de la forme y a + b. a est le coefficient directeur (c est le nombre dérivé de f en : f '( ) ) ou pente de la droite. b est l ordonnée à l origine. Eemple : La droite D représentée ci-dessous est la tangente à C f au point d abscisse. On obtient l équation de la tangente D au point d abscisse : y + PAR LE CALCUL :
La tangente à C au point d abscisse a pour équation réduite : y f '( ) ( ) + f ( ) On remplace par la valeur donnée dans l eercice. On calcule la dérivée de f : f. Calculer l image de par f. Calculer l image de par f. Remplacer f ( ) et f ) par les valeurs trouvées. Eemple : ' ( Soit f ( ) 4² 5 + définie sur IR et C sa courbe représentative. Déterminer l équation réduite de la tangente à C, au point de la courbe d abscisse -. Cette tangente a pour équation y f '( ) ( ( ) ) + f ( ) y f '( ) ( + ) + f ( ) On calcule f '( ) 4 5 + 8 5 On en déduit f '( ) 8 ( ) + 5 8 5 On calcule f ( ) 4 ( ) 5 ( ) + 4 + 5 + 4 + Donc la tangente a pour équation : y ( + ) + y + y
Eercices corrigés Révisions Thème : Dérivation Eercice : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur IR : f ( ) 5 + 4² + 7 g ( ) 8 h ( ) ² 4 + Eercice : Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes définies sur [ ;] : 4 f ( ) + 5 g( ) Eercice : On considère la fonction f définie sur[ 5;5] par : a) Déterminer f '( ). f ( ) ² + 4 7 b) Etudier le signe de f '( ) sur l'intervalle[ 5;5] et en déduire le tableau de variations de f. Utilisez votre calculatrice pour calculer les valeurs de f qui doivent apparaître dans ce tableau. Eercice 4 : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur l'intervalle [ ;] I. f ( ) + 4² f ( ) ² + 8 f ( ) 5 f 4 ( ) Eercice 5 : Soit f ( ) ² + une fonction définie et dérivable sur[ ; ].. Déterminer f '( ).. Etudier le signe du trinôme : ² +. 4
. En déduire le tableau de variations de la fonction f. Eercice : Soit la fonction f définie sur l intervalle [- ; ] par : f ( ) ² + +. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : - -5-4 - - - 4 5 f() - 8 8 8 8. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f.. Déterminer la ou les valeurs de pour lesquelles f () 4. Donner le tableau de signes de f ' et le tableau de variations de f sur l intervalle [- ; ]. O; i r ; r j : 5. Tracer la courbe représentative C f de la fonction f dans un repère orthogonal ( ) Prendre : cm comme unité graphique pour l ae des abscisses et,5 cm comme unité graphique pour l ae des ordonnées.. Déterminer l équation réduite de la tangente à la courbe C f au point d abscisse 4. Eercice 7 : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes définies sur l'intervalle [ ;] I. f 4 ( ) 5 f 5 ( ) CORRECTION Eercice : f '( ) 5 + 4 + 5² + 8 g '( ) h '( ) 4 + 4 4 Eercice : Rappel : u v ' u' v uv' v² 4 f ( ) + 5 u 4 v + 5 u' 4 4 v' + 4 f '( ) ( + 5) ( 4 ) 8 + 8 + ( + 5) ² ( + 5) ² ( + 5)² 5
g ) ( v u ' ' v u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )² 5 ² 5 8 ² ) '( + + + g Eercice :. On trouve : 4 ) (' + f. Etude du signe de f' sur IR : f' s'annule en 4. D'après le cours sur les fonctions affines, on a : -5 5 f'() + - f() Eercice 4 : f 8 ² ) ( ' + ) ( ' f ( ) ( ) ( )² 5 ² 5 5 ) '( f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )² ² ² ) ( ) 4 '( f + Eercice 5 :. ² ) ( ' + f. Signe du trinôme : ² +. c b a 8 9 4 )² ( -5,7 - -
Le trinôme a deu racines : Tableau de signes du trinôme : ( ) + ( ) - Signe du trinôme : ² + Signe de a : + Signe de -a : - Signe de a : +. - Signe de f + - +,8 Variations de f,7 Eercice :. Tableau de valeurs : - -5-4 - - - 4 5 f() - - 8 4 8 8 4 8 -. La fonction dérivée de la fonction f est la fonction f ' définie sur [- ; ] par : f '( ) +. f () + La fonction f s'annule pour. 4. - 7
5. f'() + -,5 f() - -. La tangente à C f au point d'abscisse -4 a pour coefficient directeur f '(-4) : f '( 4) ( 4) + 9. f ( 4) Donc y f '( 4)( + 4) + f ( 4) y 9 ( + 4) + y 9 + Eercice 7 : f 4 ' f ( ) 5 ' ( ) ( 5) ( 5) ² ( 5)² ( ) ( ) ( ) + ( ) ² ( ² ) ² ( ² )² 8
Fiche de cours : Statistiques Tableau de contingence. Un tableau de contingence (ou tableau de tri croisé) est un tableau qui représente une série statistiques à deu variables. A l'intersection de la ligne i et de la colonne j, on reporte le nombre d'individus possédant simultanément la modalité i du premier caractère et la modalité j du second caractère. Série statistiques à une variable qualitative. Population : ensemble des individus (objets ou personnes) sur lesquels porte l'étude statistique. Caractère : Propriété étudiée. Caractère qualitatif s'il n'est pas mesurable. Effectif : L'effectif est le nombre d'individus vérifiant la condition donnée, noté n i. Effectif total : somme de tous les effectifs. Fréquence effectif effectif total. Elle peut être eprimée en %. La somme des fréquences vaut ou %. Diagramme circulaire : Chaque valeur du caractère est représentée par un angle dont la mesure est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence). Caractère quantitatif s'il est mesurable : Série statistiques à une variable quantitative. - discret s'il prend des valeurs isolées (en général entières). - continu s'il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle. Dans le cas de caractère quantitatif continu, les valeurs sont regroupées en classes ou intervalles. Amplitude valeur ma valeur min de l intervalle Densité effectif amplitude 9
Le centre de classe est le «milieu» de l intervalle, moyenne entre la plus grande et la plus petite valeur de l intervalle. Diagramme à bâtons : Chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueur est proportionnelle à l'effectif (ou la fréquence). Particulièrement adapté au séries statistiques à caractère quantitatif discret. Histogramme : Chaque valeur du caractère est représentée par un rectangle dont l'aire est proportionnelle au effectifs. L histogramme est particulièrement adapté au séries statistiques à caractère quantitatif continu. Paramètres de position Mode et classe modale : valeur du caractère ayant le plus grand effectif (caractère quantitatif discret) ou intervalle ayant la plus grande densité (caractère quantitatif continu). Moyenne : A la calculatrice graphique - Sur Casio : Menu - Stats Entrer dans L les valeurs ou les centres de classes et dans L les effectifs. Puis : calc (F) Var (F). Remarque : dans le cas d'une répartition en classes, on prend pour valeur le centre des classes. Médiane : valeur du caractère qui partage l'effectif en deu parties de même effectif. Paramètres de dispersion Etendue : valeur maimale - valeur minimale de la série. Ecart type : écart moyen par rapport à la moyenne. Il permet de mesurer la régularité. S obtient à la calculatrice avec la moyenne. On appelle premier et troisième quartiles, notés, la première valeur pour laquelle on atteint ou dépasse 5 % et 75 % de l effectif total. S obtiennent à la calculatrice avec la moyenne. On appelle écart interquartile le nombreq Q. Interprétation :
Eercices corrigés Révisions Thème : Tableau de contingence. Eercice : 4 clients d un supermarché ont accepté de donner leur âge et de dire s ils avaient ou non acheté un produit présenté en tête de gondole. Les âges sont regroupés en trois catégories : jeunes, adultes et anciens. On donne une partie du tableau de tri croisé. Jeunes Adultes Anciens Total A acheté 99 N a pas acheté 4 84 Total ) Complétez le tableau ) Quel est le pourcentage de jeunes dans cet échantillon? ) Quel est le pourcentage d acheteurs parmi les adultes? 4 ) Quel est le pourcentage d adultes parmi les acheteurs? Eercice : Dans une entreprise de 5 personnes : 5 sont dans des bureau, 58 sont à l atelier, les autres ailleurs. On interroge ces personnes sur leurs conditions de travail : ils ont le choi entre trois réponses : satisfait, mécontent, indifférent. Dans l entreprise 9 sont satisfaits. Dans les bureau sont satisfaits et indifférents. Dans l atelier sont mécontents. A l atelier il y a fois moins de mécontents que de satisfaits. ) Complétez le tableau : Satisfait Mecontent Indifférent Total Bureau Atelier Autre Total ) Donner le pourcentage de mécontents dans l entreprise. ) Donner le pourcentage de mécontents parmi les personnes de l atelier.
Eercice : CORRECTION ) Jeunes Adultes Anciens Total A acheté 99 7 N a pas acheté 4 84 9 Total 4 ) Le pourcentage de jeunes dans cet échantillon est 5% 4 99 ) Le pourcentage d acheteurs parmi les adultes est 45% 99 4 ) Le pourcentage d adultes parmi les acheteurs 57.9% 7 Eercice : ) Complétez le tableau : Bureau Atelier Autre Total Satisfait 4 9 Mecontent 4 4 Indifférent 8 9 Total 5 58 4 5 4 ) Le pourcentage de mécontents dans l entreprise est.% 5 ) Le pourcentage de mécontents parmi les personnes de l atelier est 7.4% 58
Eercices corrigés Révisions Thème : Statistiques Eercice : Voici un tableau donnant la répartition par classes de la taille des arbres dans une forêt. Centre Fréquences en % Fréquences Taille en cm de classe Effectifs cumulées croissantes Amplitude Densité (FCC) [7 ;8[ [8 ;9[ 5 [9 ;[ 4 [ ;[ 5 [ ;5[ 5 ) Précisez la population, le caractère et sa nature. ) Compléter le tableau. ) Calculer la taille moyenne des arbres de cette forêt. Calculer l écart type. 4 ) Représenter le polygone des fréquences cumulées croissantes de cette série sur papier millimétré. Echelle : Abs : cm/ Ord : cm/5 5 ) En déduire la médiane et les quartiles de cette série par lecture graphique. Construire la boite de cette série. Echelle : cm pour cm. ) Représentez l histogramme de cette série.
Eercice : Dans un champ de haricots on prélève 44 gousses et on compte le nombre de grains de gousse. Ce nombre varie de à. Nombre de grains Effectif 7 9 4 9 5 8 7 8 8 9 5 ) Précisez la population, le caractère et sa nature. ) Quel est le mode de cette série? Justifier votre réponse. ) Calculer le nombre de grains moyen et l étendue. Arrondir les résultats à. Calculer l écart type. 4 ) Déterminer la médiane. 5 ) Représenter le diagramme à bâtons de cette série. 4
CORRECTION Eercice : ) La population est «les arbres de la forêt», le caractère est «la taille» et il est quantitatif continu. ) Taille en cm Centre de classe Effectifs Fréquences en % Fréquences cumulées croissantes (FCC) Amplitude Densité [7 ;8[ 75.5.5 [8 ;9[ 85 5..85 5 [9 ;[ 95 4.5 57.9 4 [ ;[ 5 4. 9..5 [ ;5[ 5 5 7.89.5 Total / 9 / / / ) Par le calcul : Taille moyenne : 75* + 85*5 + 95* 4 + * 5 + 5*5 98. 55cm 9 A la calculatrice graphique Casio : Menu «Stat». Entrer dans la liste les centres de classe, et dans la liste les effectifs (utiliser DelA pour effacer les listes si besoin : accessible avec situé à droite de F4). Appuyer sur Calc (touche F), puis Var (touche F). On obtient le résultat : 5
98. σ. 4 ) Polygone des FCC : 5 ) On lit les abscisses des points d ordonnées respectives 5, 5 et 75 % : Q 8 ; Me 97 ; Q Boite de la série : ) Histogramme (attention il faut raisonner en terme d aire proportionnelle à l effectif, car les classes n ont pas la même amplitude, donc en ordonnées on ne met pas les effectifs mais la densité).
Eercice : ) La population est «les 44 gousses du champ», le caractère est «le nombre de grains par gousse» et sa nature est quantitative discrète. ) Le mode de cette série est car c est la valeur ayant le plus grand effectif. ) + 7 +... + Par le calcul : Nombre de grains moyen : 5. 4 44 A la calculatrice graphique Casio : Menu «Stat». Entrer dans la liste les nombres de grains, et dans la liste les effectifs (utiliser DelA pour effacer les listes si besoin : accessible avec situé à droite de F4). Appuyer sur Calc (touche F), puis Var (touche F). On obtient le résultat : 5. 44 σ. 79 Etendue (différence entre la plus grande et la plus petite valeur) : 9. 4 ) La médiane est la moyenne entre la 7 ème et la 7 ème valeur, soit. 5 ) Diagramme à bâtons (abscisses : nombre de grains, ordonnées : effectifs, on trace des traits verticau). 7