Etude de la convection naturelle en régime laminaire dans une cavité carrée inclinée d un angle

Etude de la convection naturelle en régime laminaire dans une cavité carrée inclinée d un angle DJATOUT.A 1, DOUHA.M 1 HAMI.O 1, RAHMANI.L 1, MEBARKI.B 1 1 Université de Béchar, Département de MécaniqueB.P.417, Bechar Algérie Résumé Le travail que nous avons présenté dans cet article concerne l étude de la circulation d air par convection naturelle en régime laminaire. Cette circulation est causée par des variations de la température qui provoquent une variation de la masse volumique du fluide créant ainsi des mouvement de la convection naturelle dans une cavité carrée avec des parois horizontales adiabatiques et des parois verticales soumises à des températures constantes respectivement ( et ). Le modèle mathématique décrivant le présent problème a été développé en ce basant sur de l équation de Navier-stokes. Le système d équations qui régit le phénomène de la convection naturelle est résolu numériquement grâce à un code de calcul basé sur la méthode des volumes finis en Fortran et en CFD Fluent. Le modèle élaboré permet de déterminer les lignes de courant, les vitesses selon l axe des x et des y, les profils de température et aussi le nombre de Nusselt dans tout le domaine étudié. Lors de cette étude entreprise nous avons étudié l influence de certains paramètres comme le nombre de yleigh, l inclinaison de la cavité en fonction du nombre de Nusselt et les profils de vitesse et de température sont présentés. Mots clés : Volume finis, écoulement laminaire, convection naturelle, dans une cavité, cavité inclinée I. INTRODUCTION Le transfert de chaleur par convection naturelle est un mode d'échange d'énergie calorifique qui entraîne le déplacement d'un fluide (liquide ou un gaz). Plusieurs efforts de recherche considérables ont été consacrés pour comprendre les transferts thermiques dans plusieurs applications industrielles, tel que les échangeurs thermiques, dans les systèmes géothermiques, le problème d'isolation thermique de bâtiments, le refroidissement des composantes électroniques l'infiltration de l'eau de la terre, la disposition souterraine de déchets nucléaires, la pollution de la terre eau. Lors de la convection, La transmission de la chaleur a lieu entre les parties du fluide chauffé inégalement ou bien entre le fluide et les corps solides. Dans cette optique, plusieurs travaux ont été entrepris par la recherche en étudiant la convection naturelle en régime laminaire dans une cavité : Les solutions numériques ont été validées avec les solutions de [2]. [3] Ont étudié la convection naturelle dans une cavité carrée où les parois latérales sont maintenues à des températures constantes respectivement et, les parois horizontales sont adiabatiques. Pour la résolution des 1 ème Séminaire International sur la Physique Energétique 1 th International Meeting on Energetical Physics équations régissantes, ils ont utilisé la méthode des éléments finis. Les solutions numériques ont été validées avec les solutions [4], la bonne concordance a été trouvée. Le présent modèle a été employé pour obtenir des résultats pour différentes valeurs du nombre de yleigh (1 3 à 1 6 ), et du rapport (L/H) variant (,1 à 1,). Les modèles ont permis de présenter les champs de température et de vitesse, aussi que les nombres de Nusselt moyens ont été présentés et discuté. [5] Ont étudié numériquement la convection naturelle en régime laminaire dans une cavité carrée inclinée, à paroi ondulé, la paroi inférieure et supérieure sont adiabatiques et les autres parois chauffées par deux côtés opposés. Les équations de ce problème sont résolues numériquement sont résolues en variables d HELMOTZ (ψ,ω) par la méthode des déférences finies. Les essais ont été réalisés pour différents angles d inclination, amplitudes de l ondulation, et de nombres de yleigh tandis que le nombre de Prandtl était maintenu constant. Deux configurations géométriques ont été employées la première géométrie est d une seule ondulation et la deuxième de trois ondulations. Ils ont constaté que l'ondulation de la paroi chaude affecte l'écoulement et le taux de transfert thermique dans la cavité. Le nombre de Nusselt moyen contribue à diminuer le transfert thermique par rapport à une cavité carrée. Il semble également qu'une augmentation du nombre d ondulation sur la paroi chaude réduit le taux de transfert thermique pour un angle plus grand que 75. II.MODELE PHYSIQUE ET FORMULATION MATHEMATIQUE Modèle physique: Notre but est d étudier la circulation d air dans une cavité carrée qui est causée par un gradient de la température. Cette différence de température provoque une variation de la masse volumique du fluide créant ainsi des mouvements de la convection naturelle. La résolution d un tel problème de convection naturelle consiste en la détermination des champs de vitesse et de température en chaque point du domaine occupé par le fluide dans la cavité. Voila pourquoi nous allons établir les équations de base régissant la convection naturelle dans une cavité carrée. Journal of Scientific Research N vol. 1 (21) 95

Dans notre étude le mouvement des particules fluides ainsi que la répartition de la température sont régis par les équations différentielles de conservation de masse, de quantité de mouvement et de conservation d énergie. Dans cette optique, on considère une cavité carrée différentiellement chauffée dont les parois verticales de gauche et de droite sont maintenues à des températures constantes respectivement ( et ) et les parois horizontales sont maintenues adiabatiques, le fluide est l air dont le nombre de Prandlt vaut.71, et les vitesse sont nulles sur les parois. Ce problème a fait l objet d une comparaison par des codes de calculs en FORTRAN et en CFD FLUENT avec la littérature du Bench Mark de (De Vahl Davis et Jones, avec l approximation de Boussinesq. Dans le cadre de cette étude De Vahl Davis a établi une série de solutions de référence pour différents nombre de yleigh (), compris entre 13 et 16. Notre objectif d étude est de pouvoir proposer des solutions de référence de la température (T), des vitesses (U,V),des lignes de courant ( )et de vorticité ( ) dont la précision a été quantifiée puis comparer sa validité et son efficacité avec le Bench Mark de (De Vahl Davis et Jones). y A. Mise en équation : Tc Figure (1).modèle physique. Les équations gouvernant, l écoulement du fluide sont écrites en forme adimensionnelle en tenant compte des hypothèses simplificatrices suivantes : 1-Fluide Newtonien 2-Fluide incompressible 3-Le flux de dissipation visqueuse est négligeable On a les grandeurs adimensionnelles Tf x Avec: III. et RESOLUTION NUMERIQUE Les équations de mouvement et de chaleur décrites sont des équations différentielles aux dérivées partielles non linéaires et couplées. En raison de leur complexité, ces équations sont résolues à l'aide des techniques numériques. Ces méthodes numériques sont utilisées pour la résolution des problèmes de dynamique des fluides, transfert de chaleur et de masse et d autres équations différentielles aux dérivées partielles. Ces équations décrivent un grand nombre de phénomènes dans notre environnement. Dans la plupart des cas, il n est pas possible d en trouver des solutions analytiques. C est dans le but de pouvoir calculer des solutions approchées que les méthodes numériques ont été développées. Aujourd hui, l impact de ces méthodes est d autant plus essentiel que la puissance des ordinateurs ne cesse d augmenter. Plusieurs méthodes de discrétisation sont décrites dans les publications spécialisées pour transformer les équations différentielles aux dérivées partielles en un système d équations algébriques facile à résoudre. Parmi les méthodes les plus utilisées, on trouve la méthode aux différences finies, méthode des volumes finis, méthode aux éléments finis, etc. Dans ce travail pour résoudre le système d'équations présenté précédemment, nous avons choisi la méthode des volumes finis développée [1], et qui a été utilisée avec succès par plusieurs auteurs. Le choix de cette méthode se justifie par le fait qu'elle est convergente, stable, flexible et la disposition d'un code de calcul basé sur la programmation en FORTRAN Nous avons élaboré un code de calcul écrit en FORTANT en variables et. Ce qui nous a permis de trouver les résultats suivants : Contour des lignes de courant IV.RESULTATS NUMERIQUES (a) Programme en Fortran (b) CFD Fluent = 1 4, = - 3 C = 1 6, = 6 C Nous aboutissons après discrétisation aux équations suivantes: (a) (b) Journal Identify of applicable Scientific sponsor/s Research here. N (sponsors) vol. 1 (21) 96

Nu moy Nu moy Nu moy Nu moy 2 15 1 5 15 Contour des isothermes = 1 4 = - 45 = 1 6 = 45 Nu moy en fct de (a) (b) Contour de vitesses axiales suivants l axe des x = 1 5 = -15 Nu paroi froide (a) Tita = Tita =15 Tita =45 Tita =6 Tita =75 Tita = - 45-5 -1-15 -5 (b) Nu paroi chaude Tita = Tita =15 Tita =45 Tita =6 Tita =75 Tita =- 45-2 Nu moy en fct de V. RESULTATS ET DISCUSSION Dans ce contexte ce travail a fait l objet d une étude de la convection naturelle en régime laminaire au sein d une cavité carrée. En premier lieu, nous avons validé nos calculs avec un code de Fortran et un CFD FLUENT puis les comparer avec la littérature de Bench Mark de VHALS DAVIS. Influence du nombre de yleigh : Pour =12 les isothermes sont quasiment parallèles dans toute la cavité. On constate donc un profil linéaire de température entre les parois verticales, le gradient vertical de température au centre étant nul. Le régime de transfert est conductif. Pour = 13 l allure des isothermes commencent à se déformer en faisant déclencher le phénomène de la convection naturelle. Pour = 15 les isothermes prennent la forme S et un écoulement convectif apparaît dans le sens ascendant à proximité de la paroi gauche et un autre descendant à côté de la paroi droite, la convection prend l ampleur et prédomine sur la conduction. 1- Les lignes de courant Pour =14, les lignes de courant gardent la même l allure que précédemment et sont symétriques surtout dans la zone fluide. Lorsque atteint la valeur 16, on observe une forte déformation du vortex de la cellule de la zone fluide et les lignes de courant changent d allure et perdent leurs symétries. 2- Les isothermes On remarque une première formation d une couche isotherme qui montre le début d une diffusion de la chaleur. Ces isothermes sont quasiment parallèles c'est-à-dire que le transfert thermique est purement conductif à = 12. Au fur et à mesure que le temps s écoule les isothermes commencent à se déformer permettant ainsi la naissance de la convection dans la zone fluide. A = 13 les isothermes s enfoncent vers la zone fluide et changent d allure, la convection prédomine sur la conduction. Pour un = 16,on atteint le régime permanent les isothermes prennent place dans tout le volume de la cavité donc les particules d air chauffées s élèvent puis les particules refroidies s écoulent le long de la paroi à droite, le mode convectif est dominant. 1.5 4.4 7.47 13.7 =-15 1 5 Tita = 45 Tita = - 45-1 Tita = 45 Tita = - 45 =+15 1.25 6.3 12.2 22.5-15 Influence de l angle d inclinaison 3- Les lignes de courant Pour un fixe à 15 et une variation de l angle respectivement pour les valeurs suivantes :-75,- 45,+45,+75.Nous avons constaté que pour un angle négatif Journal of Scientific Research N vol. 1 (21) 97

une forte déformation du vortex de la cellule de la zone fluide et les lignes de courant changent d allure et perdent leurs symétries. Mais pour un angle positif les lignes de courant gardent la même allure que précédemment et sont symétriques =-75.239.61.776 1.55 =+75.514 7.52 24.9 49.5 =-45 =+45.685 2.7 3.8 5.7 1.13 7.38 19.4 39.8 4- Les isothermes Pour un fixe à 15 et une variation de l angle respectivement pour les valeurs suivantes :-75,-45, +45, +75.Nous avons constaté que pour un angle négatif les isothermes gardent la même allure à des nombres de plus élevés car la paroi chaude est en haut et la paroi froide est en bas par contre si l angle est positif la convection est dominante contrairement à l étude de cas avec l influence du nombre de. 5- Le nombre de Nusselt Pour un nombre de fixe et une variation de l angle de l inclinaison de la cavité le nombre de Nusselt décroit avec des angles négatifs et croit avec ceux des angles positifs. Pour un variable de l ordre de 13 à 16 et un angle fixe. Pour cela nous avons testé cette variation du nombre de Nusselt avec trois angles -45,, +45, par conséquent nous avons constaté que ce nombre augmente au fur et à mesure de l augmentation de l angle. VI. CONCLUSION GENERALE Le travail que nous avons présenté dans cet article concerne l étude de la convection naturelle en régime laminaire dans une cavité carrée avec des parois horizontales adiabatiques et des verticales soumises à des températures constantes respectivement ( et ). Le modèle mathématique décrivant le présent problème a été développé en ce basant sur l équation de continuité, l équation de Navier-stokes et l équation de l énergie. Le système d équations qui régit le phénomène de la convection naturelle est résolu numériquement grâce à un code de calcul basé sur la méthode des volumes finis en Fortran et en CFD Fluent. Le modèle élaboré permet de déterminer les lignes de courant, les vitesses selon l axe des x et des y, les profils de température ainsi le nombre de Nusselt dans tout le domaine étudié. Lors de cette étude entreprise nous avons étudié l influence de certains paramètres comme le nombre de yleigh, l inclinaison de la cavité sur le nombre de Nusselt et les profils de vitesse et de température. D après l'ensemble des résultats numériques ont peut conclure que : le nombre de yleigh à une grande influence sur le mode de transfert de chaleur dominant dans la cavité surtout pour le nombre =14 où commence le mouvement convectif et pour =16 où la convection est dominante. Donc l échange de chaleur dans la cavité augmente avec l augmentation de. Pour l inclinaison si l angle est négatif de valeur -9 la paroi chaude est en haut, nous avons tendance à chauffer la cavité par le haut la convection ne se déclenche pas même à des plus élevés ce qui justifie l expérience faite par yleigh-bénard. BIBLIOGRAPHIE [1] Suhas V.Patankar Numerical heat transfer and fluid flow:editor,numerical Proprerties and Methodologies in heat transfer pp 79-111 [2] Bench Mark de (De Vahl Davis, INTRNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS, VOL 3,294-264 (1983) [3] [K.A.R. Ismail et V.L. Scalon] [4] De Vahl Davis et Jones [5] [L.Adjlout, O. Imine, A. Azzi, M. Belkadi] After the text edit has been completed, the paper is ready for the template. Duplicate the template file by using the Save As command, and use the naming convention prescribed by your conference for the name of your paper. In this newly created file, highlight all of the contents and import your prepared text file. You are now ready to style your paper; use the scroll down window on the left of the MS Word Formatting toolbar. A. Validation du code de calcul : Pour examiner la fiabilité de notre code de calcul effectué en langage Fortran, en utilisant la méthode des volumes finis avec l algorithme SIMPLER, nous avons comparé nos résultats avec ceux de G.DE Vahl Davis et I.P. Jones [3] et avec ceux d Abdelhalim Abdelbaki et Zaki Zrikem [4]. Nous avons d abord fait recours à un test classique du Benchmark de G.DE Vahl Davis et I.P. Jones, on a étudié l écoulement hydrodynamique dans une cavité carrée constituée de deux parois horizontales adiabatiques, et des parois verticales gauche et droite soumise a des températures constantes chaude et froide respectivement. Nous avons constaté une bonne concordance pour l ensemble des variables qui ont été présenté par G.DE Vahl Davis et I.P. Jones et Abdelhalim Abdelbaki et Zaki Zrikem pour un maillage 41 41, voir le tableau (V.2). Journal of Scientific Research N vol. 1 (21) 98

1) For author/s of only one affiliation (Heading 3): To change the default, adjust the template as follows. a) Selection (Heading 4): Highlight all author and affiliation lines. b) Change number of columns: Select the Columns icon from the MS Word Standard toolbar and then select 1 Column from the selection palette. c) Deletion: Delete the author and affiliation lines for the second affiliation. d) For author/s of more than two affiliations: To change the default, adjust the template as follows. e) Selection: Highlight all author and affiliation lines. f) Change number of columns: Select the Columns icon from the MS Word Standard toolbar and then select 1 Column from the selection palette. g) Highlight author and affiliation lines of affiliation 1 and copy this selection. h) Formatting: Insert one hard return immediately after the last character of the last affiliation line. Then paste down the copy of affiliation 1. Repeat as necessary for each additional affiliation. i) Reassign number of columns: Place your cursor to the right of the last character of the last affiliation line of an even numbered affiliation (e.g., if there are five affiliations, place your cursor at end of fourth affiliation). Drag the cursor up to highlight all of the above author and affiliation lines. Go to Column icon and select 2 Columns. If you have an odd number of affiliations, the final affiliation will be centered on the page; all previous will be in two columns. B. Identify the Headings Headings, or heads, are organizational devices that guide the reader through your paper. There are two types: component heads and text heads. Component heads identify the different components of your paper and are not topically subordinate to each other. Examples include Acknowledgments and References and, for these, the correct style to use is Heading 5. Use figure caption for your Figure captions, and table head for your table title. Runin heads, such as Abstract, will require you to apply a style (in this case, italic) in addition to the style provided by the drop down menu to differentiate the head from the text. Text heads organize the topics on a relational, hierarchical basis. For example, the paper title is the primary text head because all subsequent material relates and elaborates on this one topic. If there are two or more sub-topics, the next level head (uppercase Roman numerals) should be used and, conversely, if there are not at least two sub-topics, then no subheads should be introduced. Styles named Heading 1, Heading 2, Heading 3, and Heading 4 are prescribed. C. Figures and Tables 1) Positioning Figures and Tables: Place figures and tables at the top and bottom of columns. Avoid placing them in the middle of columns. Large figures and tables may span across both columns. Figure captions should be below the figures; table heads should appear above the tables. Insert figures and tables after they are cited in the text. Use the abbreviation Fig. 1, even at the beginning of a sentence. Table Head copy TABLE I. TABLE TYPE STYLES Table Column Head Table column subhead Subhead Subhead More table copy a a. Sample of a Table footnote. (Table footnote) We suggest that you use a text box to insert a graphic (which is ideally a 3 dpi TIFF or EPS file, with all fonts embedded) because, in an MSW document, this method is somewhat more stable than directly inserting a picture. To have non-visible rules on your frame, use the MSWord Format pull-down menu, select Text Box > Colors and Lines to choose No Fill and No Line. Figure 1. Example of a figure caption. (figure caption) Figure Labels: Use 8 point Times New Roman for Figure labels. Use words rather than symbols or abbreviations when writing Figure axis labels to avoid confusing the reader. As an example, write the quantity Magnetization, or Magnetization, M, not just M. If including units in the label, present them within parentheses. Do not label axes only with units. In the example, write Magnetization (A/m) or Magnetization {A[m(1)]}, not just A/m. Do not label axes with a ratio of quantities and units. For example, write Temperature (K), not Temperature/K. ACKNOWLEDGMENT (HEADING 5) The preferred spelling of the word acknowledgment in America is without an e after the g. Avoid the stilted expression, One of us (R. B. G.) thanks... Instead, try R. B. G. thanks. Put sponsor acknowledgments in the unnumbered footnote on the first page. REFERENCES The template will number citations consecutively within brackets [1]. The sentence punctuation follows the bracket [2]. Refer simply to the reference number, as in [3] do not use Ref. [3] or reference [3] except at the beginning of a sentence: Reference [3] was the first... Number footnotes separately in superscripts. Place the actual footnote at the bottom of the column in which it was cited. Do not put footnotes in the reference list. Use letters for table footnotes. Unless there are six authors or more give all authors' names; do not use et al.. Papers that have not been published, even if they have been submitted for publication, should be cited as unpublished [4]. Papers that have been accepted for publication should be cited as in press [5]. Capitalize only the first word in a paper title, except for proper nouns and element symbols. Journal of Scientific Research N vol. 1 (21) 99

For papers published in translation journals, please give the English citation first, followed by the original foreign-language citation [6]. [1] G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions, Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529 551, April 1955. (references) [2] J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68 73. [3] I. S. Jacobs and C. P. Bean, Fine particles, thin films and exchange anisotropy, in Magnetism, vol. III, G. T. do and H. Suhl, Eds. New York: Academic, 1963, pp. 271 35. [4] K. Elissa, Title of paper if known, unpublished. [5] R. Nicole, Title of paper with only first word capitalized, J. Name Stand. Abbrev., in press. [6] Y. Yorozu, M. Hirano, K. Oka, and Y. Tagawa, Electron spectroscopy studies on magneto-optical media and plastic substrate interface, IEEE Transl. J. Magn. Japan, vol. 2, pp. 74 741, August 1987 [Digests 9th Annual Conf. Magnetics Japan, p. 31, 1982]. [7] M. Young, The Technical Writer's Handbook. Mill Valley, CA: University Science, 1989. Journal of Scientific Research N vol. 1 (21) 1