Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé L2 d économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L énoncé doit impérativement être rendu avec la copie. Exercice 1 (6 points) On propose à King de jouer à un nouveau jeu de hasard. Dans ce jeu, il tire 3 jetons avec remise d une urne contenant 8 jetons. Chaque jeton peut être soit jaune, soit bleu. Il y a 2 jetons jaunes et 6 jetons bleus. Chaque jeton jaune rapporte 4e à King, alors que chaque jeton bleu lui fait perdre 2e. Soit X la variable aléatoire représentant les gains totaux de King (ses gains après les 3 tirages). Question 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire. On a Ω = {(j 1,j 2,j 3 ), avec j i {jaune, bleu}}. Le cardinal de Ω est 2 3. Question 2 Donner la loi de X. X peut prendre 4 valeurs : 6 si les 3 jetons sont bleus. 0 si 1 jeton est jaune et 2 jetons sont bleus. 6 si 2 jetons sont jaunes et 1 jeton est bleu. 12 si les 3 jetons sont jaunes. On a donc X(Ω) = { 6,0,6,12}. La loi des tirages est une loi uniforme, la probabilité d un événement est P(ω) = 1 2 3. La probabilité d obtenir : un jeton rouge P(j = jaune) = 2 8 = 1 4 Un jeton vert est P(j = bleu) = 6 8 = 3 4 La loi de X est : ( ) 3 3 P(X = 6) = = 27 4 ( ) 3 2 P(X = 0) = A 1 3 1 4 4 = 27 ( ) 3 2 P(X = 6) = A 2 3 1 4 4 = 9 ( ) 1 3 P(X = 12) = = 1 4 A 1 3 est A2 3 correspondent au nombre possible d ordre pour les jetons jaunes. Page 1 sur 5

Question 3 Donner l espérance de X. E(X) = 6 P(X = 6) + 0 P(X = 0) + 6 P(X = 6) + 12P(X = 12) = 6 27 + 0 27 + 6 9 + 12 1 27 ( 6) + 9 6 + 12 = = 3 2 L espérance de gain de King est de -1,5e dans ce jeu. Question 4 Donner la fonction de répartition de X, que l on notera F X. La fonction de répartition F X est donnée par F X (t) = P(X t), t R. On obtient donc : P(X t) = 0 si t < 63 P(X = 6) = 27 si 6 t < 0 F X (t) = P(X = 6) + P(X = 0) = 24+27 = 54 si 0 t < 6 P(X = 6) + P(X = 0) + P(X = 6) = 27+27+9 = 63 si 6 t < 12 P(X = 6) + P(X = 0) + P(X = 6) + P(X = 12) = 1 si t 12 Exercice 2 (10 points) Marie est garagiste, sa spécialité est le remplacement des pneus de voitures. Soit C la variable aléatoire représentant le nombre de pneus changés par voiture. On suppose que C(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5}. La loi de C est donnée par le tableau suivant : c 1 2 3 4 5 P(C = c) 0,1 a 0,1 b 0,1 Question 1 Que doivent vérifier les variables a et b pour que P soit une loi de probabilité? Pour que P soit une probabilité, il faut que la probabilité de l univers soit égale à 1, soit : 1 = P(C = 1) + P(C = 2) + P(C = 3) + P(C = 4) + P(C = 5) 1 = 0,1 + a + 0,1 + b + 0,1 0,7 = a + b (1) Par ailleurs, chaque probabilité doit être positive, on a donc a 0 et b 0. Question 2 Marie change en moyenne 2,7 pneus par voiture. Quelles sont les valeurs de a et b correspondantes? Si Marie change 2,7 pneus par semaine, cela nous donne une condition sur l espérance de la variable aléatoire C. On calcule donc cette espérance et on l égalise à 2,7 : 2,7 = E(C) 2,7 = 1 P(C = 1) + 2 P(C = 2) + 3 P(C = 3) + 4 P(C = 4) + 5 P(C = 5) 2,7 = 1 0,1 + 2 a + 3 0,1 + 4 b + 5 0,1 2,7 = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 2a + 4b 1,8 = 2a + 4b (2) Les conditions 1 et 2 nous donne un système que doivent vérifier a et b : 0,9 = a + 2b b = 0,2 0,7 = a + b a = 0,5 Page 2 sur 5

Question 3 Calculer la variance de cette variable aléatoire. On a V (C) = E(C 2 ) E(C) 2. On connaît déjà E(C) = 2,7, on peut donc calculer son carré : 7,29 (en utilisant des fractions). Il reste à calculer E(C 2 ) : E(C 2 ) = 1 2 P (C = 1) + 2 2 P(C = 2) + 3 2 P(C = 3) + 4 2 P(C = 4) + 5 2 P(C = 5) = 1 0,1 + 4 0,5 + 9 0,1 + 16 0,2 + 25 0,1 = 0,1 + 2 + 0,9 + 3,6 + 2,5 = 8,7 On obtient alors V (C) = 8,7 7,29 = 1,31. La variance de cette variable aléatoire est de 1,31. Marie facture le changement de roues de la manière suivante : changer une roue est facturé 100e, alors qu en changer 2 est facturé 150e. (en changer 3 revient à en changer 2+1, en changer 4, 2+2, etc). Question 4 Sachant que chaque roue coûte 50e à Marie, donner la variable aléatoire des gains de Marie, que l on notera G. Donner la loi de G. Les gains de Marie en fonction de nombre de roues changées sont les suivants : 1 roue : 100 50 = 50e 2 roues : 150 2 50 = 50e 3 roues : 150 + 100 3 50 = 250 150 = 100e 4 roues : 2 150 4 50 = 300 200 = 100e 5 roues : 2 150 + 100 5 50 = 400 250 = 150e On a donc G(Ω) = {50,100,150}. La loi des gains G est données par : P(G = 50) = P(C = 1) + P(C = 2) = 0,6 P(G = 100) = P(C = 3) + P(C = 4) = 0,3 P(G = 150) = P(C = 5) = 0,1 Question 5 Combien Marie gagne-t-elle par voiture en moyenne? On calcule l espérance des gains de Marie, soit l espérance de G : E(G) = 50 P(G = 50) + 100 P(G = 100) + 150 P(G = 150) = 50 0,6 + 100 0,3 + 150 0,1 = 30 + 30 + 15 = 75 Marie gagne en moyenne 75e par voiture qui effectue un changement de pneus. Marie a négocié avec son fournisseur des réductions pour les roues : elle peut maintenant avoir 4 roues identiques pour 150e en tout. Question 6 On suppose que toutes les voitures sont différentes (donc que leurs roues sont différentes), quels sont les nouveaux gains de Marie en moyenne par voiture? Notons H la variable aléatoires donnant les nouveaux gains de Marie dans ce cas. On a maintenant les gains de Marie quand elle change des roues : 1 roue : 100 50 = 50e 2 roues : 150 2 50 = 50e 3 roues : 150 + 100 3 50 = 250 150 = 100e 4 roues : 2 150 150 = 300 150 = 150e Page 3 sur 5

5 roues : 2 150 + 100 150 50 = 400 200 = 200e On a donc H(Ω) = {50,100,150,200}. La loi des gains H est données par : P(H = 50) = P(C = 1) + P(C = 2) = 0,6 P(H = 100) = P(C = 3) = 0,1 P(H = 150) = P(C = 4) = 0,3 P(H = 200) = P(C = 5) = 0,1 On calcule l espérance des gains de Marie, soit l espérance de G : E(H) = 50 P(H = 50) + 100 P(H = 100) + 150 P(H = 150) + 200 P(H = 200) = 50 0,6 + 100 0,1 + 150 0,3 + 200 0,1 = 30 + 10 + 45 + 20 = 105 La nouvelle moyenne des gains de Marie est 105e, soit 30e en moyenne en plus. Exercice 3 (14 points) Un magasin veut faire l état des lieux de sa gestion des stocks. Le magasin suppose que la probabilité de rupture de stock pour chaque jour ouvrable est de p. Il ne peut y avoir qu une rupture de stock journalière et une rupture de stock au jour k est indépendante d une rupture de stock k + 1. On note X la variable aléatoire «Nombre de jours où il y a rupture de stock sur les 10 jours de référence». Question 1 Quelle loi suit la variable aléatoire X? La rupture de stock suit une loi de Bernoulli de paramètre p. Les jours sont indépendants les uns des autres. Dans le cas présent, il s agit donc d une répétition sur 10 jours d une expérience de Bernoulli avec indépendance. Donc notre variable va suivre une loi Binomiale de paramètres p et n. Donc : X B(10, p) avec P(X = k) = C k n p k (1 p) n k, pour tout k N. Question 2 Donner la probabilité que le magasin subisse 1 rupture de stocks sur les 10 jours de référence. P(X = k) = C k n.p k.(1 p) n k où k = 1 : P(X = 10) = C 1 10 p 1 (1 p) 9 Question 3 Donner l espérance et la variance de X. E(X) = np = 10p = 10p(1 p) 9 V (X) = np(1 p) = 10p(1 p) Le stock pour une journée normale (sans pénurie) coûte 50 e. En cas de rupture de stock, le coût de la journée est majoré de 50 e pour le magasin qui doit, en urgence, racheter des produits. Le grossiste propose au magasin de payer une assurance 10 e par jour pour ne plus avoir de majoration en cas de rupture de stock. On note Y la variable aléatoire «Montant dépensé par l entreprise sur 30 jours sans assurance». Question 4 Donner Y (Ω) et la loi de Y (dans sa formulation générale, i.e, sans explicitation numérique). Y pourra être exprimé en fonction de X. Ici, Y = 10 50 + 50X ; donc Y (Ω) = {500 + 50i, avec i {0... 10}}. Page 4 sur 5

Avec P(Y = y) = P(X = x) avec x = y 500. Alors : 50 P(Y = y) = C y 500 50 10 p y 500 y 500 30 50 (1 p) 50 Question 5 A partir de quel niveau p sera t-il préférable de s assurer Avec une assurance, le coût de 10 jours sera de 60 10 = 600. Le coût moyen sans assurance est de E(Y ) = 500 + 50 E(X) = 3000 + 50p 10 (par linéarité de l espérance). Il sera préférable de s assurer si 600 500 + 500 p. Donc : 100 500p 1 5 p Le magasin gère un stock de 10 000 produits qui ont un taux de défaut de 1 sur 1000. En utilisant une approximation poissonnienne (en justifiant son utilisation) : Question 6 Déterminez la probabilité que le nombre de produits défectueux soit égal à 4. Dans cette situation, comme n = 10000 est grand et p = 1 1000 est petit, on peut approximer la variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(10000, 1/1000) par une loi de poisson de paramètre λ = n p = 10. Donc (cf table pour la valeur numérique) : P(X = 4) = e 10 104 4! = e 10 1000 24 0,019 La probabilité d avoir exactement 4 produits défectueux est d environ 2%. Question 7 Déterminez la probabilité que le nombre de produits défectueux soit au moins égal à 4. P(X 4) = 1 P(X < 4) = 1 P(X = 3) P(X = 2) P(X = 1) P(X = 0) ( = 1 exp( 10) 1 + 10 + 100 2 + 1000 ) 6 ( = 1 61 + 500 ) exp( 10) 3 0,99 La probabilité d avoir quatre produits défectueux ou plus est de 99%. Question 8 Quelle est l espérance et la variance de cette variable? D après la formule pour une loi de Poisson : E(X) = V (X) = λ = 10 Page 5 sur 5