STATISTIQUE APPLIQUEE

STATISTIQUE APPLIQUEE Par Jean-Paul TSASA Vangu Sous la coordination du Professeur MUKOKO Samba Centre Congolais-Allemand de Microfinance Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 0

Ce recueil de travaux pratiques est rédigé sous la coordination du Professeur MUKOKO Samba. Il servira d un recueil de référence et d applications lors des travaux pratiques prévus à la fin du cours de Statistique appliquée aux finances. *Centre Congolais-Allemand de Microfinance, Mai 2010. Tout passe d abord par le «fictif», c est-à-dire l imaginaire des savants. Robert Emerson Lucas Avertissements Il n existe pas d ouvrage d introduction aux séries temporelles qui évite un discours trop technique et qui présente des exemples concrets de procédure d estimation-modélisation. Ainsi, ce recueil d applications, résultat d un effort consistant à présenter dans un langage plus ou moins simplifié et rigoureux les concepts appartenant aux sciences dures, est rédigé en fonction d un étudiant attentif. Il a pour objet l explication de différentes techniques permettant d estimer et de prévoir les chroniques financières et la présentation de techniques statistiques d évaluation de portefeuille. Et comme objectif, ce recueil se propose d initier l étudiant { l utilisation de la statistique en tant qu outil permettant la structuration, l analyse, l interprétation des données (chiffrées) financières et économiques. Pour y aboutir, nous éclatons le cours (partie théorie) et le regroupons en deux grands points. Le recueil débute par un rappel des fondamentaux du cours, avant de s intéresser aux études des cas. Ces dernières permettront de mettre en évidence les modèles appropriés pour les analyses utilisant des chroniques financières ; puisqu { ce jour, la finance, en tant que sous-discipline de l économie, ne se limite plus à une gestion et à un recueil de pratiques. Mais elle va au-delà en empruntant { l économie, ses raisonnements formalisés et ses mécanismes d'optimisation. Par ailleurs, notez que les applications retenues dans ce recueil aideront l étudiant à se préparer { l examen final. Le logiciel Eviews 7 a été utilisé pour confectionner les applications. Enfin, l étudiant est invité { bien appréhender les concepts théoriques énoncés pendant le cours et aussi de ne pas hésiter de consulter les ouvrages de références suivants disponibles sur internet : Charpentier (2006) ; Droesbeke, Fichet, Tassi (1994) ; Hurlin (2006-2007) ; Raggad et Trabelsiy (2003). Je dédie ce recueil aux étudiants de la première promotion du CCAM de master Microfinance (2009-2010). Leurs multiples questions et interventions m ont permis, via le mécanisme du learning by spillover, d améliorer cet exposé. Jean-Paul Tsasa V. Plan de travail 1 /. Rappel des concepts techniques Chronique Processus stochastique Stationnarité, Bruit blanc et Marche aléatoire Modèles dynamiques Méthodologie de Box et Jenkins Analogie des modèles AR/ ARMA et ARCH/ GARCH Méthode de maximum de vraisemblance Modélisation AR(I)MA ou Modélisation (G)ARCH 2/. De modèles AR/ MA/ ARMA aux modèles ARCH/ GARCH : une étude du cas de 3/. Estimations des paramètres des modèles ARCH /GARCH par la méthode maximum de vraisemblance 4/. Optimisation de portefeuille selon le critère de la Value at Risk (VaR) et Backtesting 5/. Credit scoring Assistant au Centre Congolais-Allemand de Microfinance/ Université Protestante au Congo. Je remercie le Professeur Mukoko Samba pour son orientation lors de la préparation de ce recueil et aussi pour la collection d ouvrages, mise { notre disposition. In fine, je suis le seul { blâmer en cas d éventuelles erreurs ou omissions. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 1

Rappels des concepts techniques Ce manuel se propose de familiariser l étudiant aux différentes applications liées { l économétrie des séries temporelles, orientée, bien sûr, vers l économie et la finance. La démarche adoptée, à cet effet, commence par un rappel de concepts-clé jugés importants pour une meilleure appréhension des applications qui suivront 1. CHRONIQUE Synonyme : série chronologique, série temporelle. Une chronique est une suite finie de valeurs numériques représentant l évolution d une variable aléatoire indexé par le temps. C est une suite d observation des variables { des intervalles de temps réguliers. Autrement, pour une chronique, les observations doivent être consécutives et d une fréquence identique. L objet des séries temporelles est donc l étude des processus temporels. A titre illustratif, l évolution des indices boursiers ou des prix d actifs financiers, des données économiques ou financières des entreprises, des agrégats macroéconomiques, des ventes et achats de biens ou celle des productions agricoles ou industrielles sont, parmi tant d autres, des chroniques qui intéressent particulièrement les économistes et les financiers. Donc, une chronique n est que la réalisation d un processus aléatoire. NOTE 1 : les séries financières et certaines séries économiques sont caractérisées par de volatilité ; où l on retrouve des valeurs qui semblent être aberrantes. La spécification de telles séries exige de modèles non linéaires. Contrairement aux modèles structurels, notamment d inspiration keynésienne, où la prévision d une variable se fait en fonction des autres variables [Yt = f(xt)], les séries temporelles se propose de prédire la variable Yt en exploitant ses propriétés statistiques (moyenne, variance) et en utilisant généralement les valeurs retardées de Yt et de chocs aléatoires (bruit blanc). A cet effet, un modèle très populaire en économétrie des séries temporelles a été développé en 1970 : modèle ARMA (Auto Regressive with Moving Average). Ce modèle n est qu un mélange des modèles AR et MA développés séparément et respectivement par Yule et Slutsky en 1927. 2. PROCESSUS STOCHASTIQUE, VARIABLES ALEATOIRES Synonyme : processus aléatoire, fonction aléatoire. Un processus stochastique correspond { l évolution d une variable aléatoire Yt dans le temps. Une variable aléatoire est la valeur prise par Yt à chaque instant du temps. 3. STATIONNARITE, BRUIT BLANC ET MARCHE ALEATOIRE *Processus stationnaire La stationnarité est un concept clé pour la validité d une régression sur séries temporelles. D un point de vue statistique, la stationnarité suppose que le passé est comparable au présent et au futur. Ainsi, une série chronologique est stationnaire, au sens strict, si sa distribution de probabilité ne change pas au cours du temps : cette définition forte de la stationnarité implique que la distribution jointe (Yr+1, Yr+2,..., Yr+n ) ne dépende pas de r ; si c est le cas, on conclut que Yt est non stationnaire. ARMA ; Auto Regressive (autorégressif) : puisque la spécification de ces modèles utilisent des valeurs «lagées» de Yt et Moving Average (Moyenne Mobile) : parce que la variable représentant les chocs aléatoires (bruit blanc) dans ce modèle est retardée. Rappelons que la moyenne mobile est une moyenne statistique qui supprime les fluctuations transitoires dans une chronique en vue de ressortir les tendances à plus long terme. Elle est dite mobile puisqu elle est recalculée de façon continue, en utilisant à chaque calcul un sous-ensemble de valeurs dans lequel une nouvelle valeur remplace la plus ancienne. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 2

Par ailleurs (définition faible de la stationnarité), un processus temporel Yt est stationnaire si : E[Yt] = μ, pour tout t : c est-à-dire la série stationnaire en moyenne. Var[Yt] E(Y 2 t ) = σ 2, pour tout t : c est-à-dire la série est stationnaire en variance. Cov[Y t, Y t+k ] E[(Y t μ) (Y t+k μ)] = γ k : l autocovariance ou la covariance entre deux périodes t et t+k ** est uniquement fonction de la différence des temps k. Un processus est stationnaire si celui-ci n a ni trend, ni saisonnalité et de ce fait, fluctue autour d une moyenne constante. Il apparait donc sue la stationnarité est une exigence qui assure l utilisation du modèle en dehors de la période sur laquelle il a été estimé. NOTE 2 : Un processus stationnaire possède de volatile lorsqu il possède certaines réalisations qui s écartent sensiblement de la moyenne constante. *Processus non-stationnaire Une chronique qui ne vérifie pas les hypothèses ci-dessus est dite non stationnaire. Donc, il faudra la stationnariser avant l estimation. La méthode de stationnarisation dépend de la source de la non stationnarité. Pour identifier cette source, le modèle suivant doit être testé : Y t = α 0 + α i Y t-i + α j t + ε t *Critère de sélection : - Statistique de t de Student (t) ; - Probabilité critique (Prob). *Test de signification du trend : H0 : α i est non significatif H0 : α i est significatif *Test de signification de l intercept : H0 : α 0 est non significatif H0 : α 0 est significatif Le paramètre sera significatif si et seulement si : Prob < 0.05 et t > 1.96. Dans le cas contraire, il est non significatif. En estimant le modèle Y t = α 0 + α i Y t-i + α j t + ε t : Décision Type de modèle Processus Méthode de stationnarisation α i est significatif Trend and Intercept Trend Stationnary (TS) Ecart à la tendance α i est non significatif et α 0 est significatif α i est non significatif et α 0 est non significatif Intercept None (ni Trend, ni Intercept) Differency Stationnary (DS) Procédure : 1/ Estimer le modèle Y t = α 0 + α j t + ε t Si le modèle est un TS : 2/ Générer les résidus 3/ Tester si est stationnaire Filtre aux différences Si le modèle est un DS : il faut différencier ou intégrer Y t «d» fois pour obtenir une chronique stationnaire, soit Y t I(d). ** La fonction d autocovariance γ k = Cov[Yt, Yt+k] = E[Yt E(Yt)][Yt+k E(Yt+k)] d un processus stationnaire Y t vérifie les propriétés : 1 ) γ k =Cov(Yt, Yt) = Var[Yt] = E(Y t 2 ) = σ 2 0, avec Var[Yt] = E[Yt E(Yt) 2 ] ; 2 ) γ k γ 0 ; 3 ) γ k = γ -k, la fonction d autocovariance est une fonction paire, Cov(Yt, Yt+k) = Cov(Yt, Yt-k). Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 3

Un processus DS non-stationnaire Y t est intégré d ordre d, noté I(d), si en le différenciant «d» fois, on obtient un processus stationnaire. A titre illustratif, Y t, non stationnaire, sera intégré d ordre 1 si le processus Z t défini : Z t Y t Y t-1 = (1 L)Y t est stationnaire. Le terme «L» est un opérateur de retard ou de décalage (lag) Donc, par extension, Yt sera d ordre d, si Yt est non-stationnaire, V t = (1 L)Y t est non stationnaire,, W t = (1 L) d-1 Y t est non stationnaire et Z t = (1 L) d Y t est stationnaire. Quelques transformations. * Première différence : ΔY t = Y t Y t-1 * Opérateur première différence : (1 L)Y t = ΔY t * Première différence en logarithme : ΔLn(Y t ) = Ln(Y t ) - Ln(Y t-1 ) * Taux de croissance : (Y t - Y t-1 )/Y t-1 = ΔLn(Y t ) NOTE 3 : les modèles intégrés sont très présents dans les séries économiques et financières, notamment les séries d indices boursiers, d indice de production, d indice de prix. *Bruit blanc Un processus εt est un bruit blanc lorsque : E(ε t ) = 0 ; pour tout t (hypothèse de centralité). E(ε t 2 ) = σ 2 ; pour tout t = t k (hypothèse d homoscédasticité). E(ε t ε t-k ) = 0 ; pour tout t t-k (absence d autocorrélation des erreurs). Donc, par définition, un bruit blanc est un processus stationnaire. Par ailleurs, un processus ε t est un bruit blanc indépendant si E(ε t ) = 0 ; E(ε t 2 ) = σ 2 ; ε t et ε t-k sont indépendants pour tout k 1. Et le bruit blanc est dit gaussien si le processus ε t est un bruit blanc indépendant tel que εt ~ N(0, σ 2 ). 4. MODELES DYNAMIQUES EN ECONOMETRIE DES SERIES TEMPORELLES Un modèle dynamique est un modèle pour lequel l on trouve parmi les variables explicatives des variables endogènes décalées et/ou des variables exogènes décalées. Les modèles ayant parmi ses variables explicatives que de variables endogènes décalées sont dits autorégressifs. Parallèlement, ceux ayant parmi les variables explicatives des variables exogènes décalées sont dits échelonnés (modèles à retards échelonnés). En un premier temps, les modèles dynamiques qui retiennent notre attention est ceux proposés par YULE et SLUTSKY. Les modèles proposés par Yule et Slutsky se présentent, respectivement comme suit : AR : Yt = Φ1Yt-1 + Φ2Yt-2 + εt (1) MA : Yt = εt θ1εt-1 θ2εt-2 (2) En généralisant les modèles (1) et (2), on obtient les processus AR(p) et MA(q). Dans les séries temporelles, le terme de l erreur est souvent appelé innovation. Comme on le verra, le terme de l erreur sera la seule information nouvelle qui interviendra dans le processus à la date t. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 4

* Processus autorégressif d ordre p, noté AR(p) ; c est un processus stationnaire Yt vérifiant la relation du type : Yt Φ1Yt-1 ΦpYt-p = εt ; où Φi (i=1,, p) sont des réels et εt un bruit blanc gaussien. En introduisant un opérateur retard [tel que L i Yt = Yt-i] et un polynôme retard de degré h [tel que Φ(L) = 1 Φ1L Φ2L 2 ΦpL p ], le processus AR(p) peut donc s écrire comme suit : (1 Φ1L ΦpL p )Yt = εt Soit : Φ(L)Yt = εt * Processus moyenne mobile d ordre q, noté MA(q) ; c est un processus Yt stationnaire vérifiant une relation du type : Yt = εt θ1εt-1 + θqεt-q ; où θi (i=1,, p) sont des réels et εt un bruit blanc gaussien. En introduisant un opérateur retard et un polynôme retard de degré h, le processus MA(q) s écrit donc : Yt = (1 θ 1L θ pl p ) εt Soit : Yt = Θ(L) εt * Processus autorégressifs de moyenne mobile, noté ARMA(p, q) ; c est une extension naturelle des processus AR(p) et MA(q), c est donc un processus mixte qui vérifie la relation suivante : Yt Φ1Yt-1 ΦpYt-p = εt θ1εt-1 + θqεt-q En se servant de distributeur retard, la relation ci-dessus s écrit : Φ(L)Yt = Θ(L) εt * Processus autorégressifs de moyenne mobile intégrés, noté ARIMA(p, d, q) ; c est un processus Yt, non stationnaire à niveau, pouvant se mettre sous la forme : π(l)yt = Φ(L)(1-L) d Yt = Θ(L)εt Où εt un bruit blanc gaussien et d : l ordre d intégration. 5. METHODOLOGIE DE BOX ET JENKINS La méthodologie de Box et Jenkins permet de déterminer le processus ARMA adéquat pour la modélisation d une chronique. La méthodologie BJ suggère quatre étapes, à noter : l identification, l estimation, la validation et la prévision. *L identification : cette première étape consiste à trouver les valeurs p et q des processus ARMA en se basant sur l étude des fonctions d autocorrélation simple et d autocorrélation partielle. *L estimation *La validation : après avoir identifié les valeurs p et q d un ou plusieurs processus ARMA, il sera question d estimer les coefficients aux termes autorégressifs et moyenne mobile. : après avoir estimé les différents processus ARMA, il convient à présent de valider ces modèles, en servant d une part, des tests de significativité des paramètres (test de student) pour les coefficients et d autre part, les tests d hypothèse nulle d homoscédasticité (tests ARCH, White, Breusch-Pagan) et d hypothèse nulle d autocorrélation pour les résidus (tests de Box-Pierce, Ljung-Box, Breusch-Godfrey) Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 5

Autrement, l étape de validation du modèle consiste à tester si les résidus sont de bruits blancs. Au cas où les résidus sont de bruits blancs ; il faudra que la série de résidus soit stationnaire (fluctuant autour d une moyenne constante nulle) et par ailleurs, après application des tests Box-Pierce et ARCH, que l on rejette les hypothèses alternatives. NOTE 4 : Si, { l issue de l application de ces différents tests diagnostics, plusieurs modèles sont validés, l étape de validation doit se poursuivre par une comparaison des qualités de ces modèles. Les critères de choix du modèle à retenir peuvent être standards ou d information. Les critères les plus utilisés sont repris dans le tableau ci-dessous. CRITERES STANDARDS Erreur Absolue Moyenne ou : Mean Absolute Error Racine de l Erreur Quadratique Moyenne ou : Root Mean Squared Error Erreur Absolue Moyenne en Pourcentage ou : Mean Absolute Percent Error Critère d Akaike (1969) Critère de Schwarz (1978) CRITERES D INFORMATION T : nombre d observation de la série Yt étudiée et e t sont les résidus estimés. Le modèle à retenir parmi les divers processus ARMA validés est celui qui se rapproche le plus des observations c est-àdire celui pour lequel la valeur prise par les critères ci-dessus est plus faible (minimum). NOTE 5 : contrairement aux critères ci-dessus, les critères tels que R 2 ou log-likelihood sont à maximiser. : : *La prévision : c est la dernière étape de la méthodologie de Box et Jenkins. Connaissant l horizon de prévision (h), la prévision faite en T pour la date T+h est donnée par : Cette expression représente la meilleure prévision de la série Y conditionnellement { l ensemble d information disponible { la date t. Ou encore : Le terme signifie que la valeur de Yt est prévue sur base des observations passées Yt-1, Yt-2, en utilisant la valeur estimée des coefficients. Notez que la prévision et l estimation des effets causaux sont des objectifs très différents. Pour un modèle de prévision, par exemple : - Le coefficient de détermination corrigé a beaucoup d importance, alors que le biais d omission n est pas vraiment un problème ; - On ne cherche pas { interpréter les coefficients d un modèle de prévision (c est ce que l on qualifie également d économétrie sans théorie), ce qui importe c est la validité externe du modèle ; - Le modèle estimé sur des données du passé (prédiction) doit être valable dans le futur (prévision). Il existe une nette différence entre prédiction et prévision ; une valeur prédite ou valeur ajustée (prédiction) fait référence { la valeur calculée par la régression pour une date { l intérieur de l échantillon d estimation, (en anglais predicted value), alors qu une valeur prévue fait référence à la valeur calculée pour une date postérieure { l échantillon d estimation, (en anglais forecasted value). Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 6

Pour les calculs de l erreur de prévision et de l intervalle de prévision, le tableau suivant est si éloquent, { cet effet. Calcul de l erreur de prévision Calcul de l intervalle de prévision La différence entre erreur de prévision et résidu est de même nature que celle entre valeur prévue et valeur prédite (à l intérieur ou à l extérieur de l échantillon d estimation). 6. ANALOGIE DES MODELES AR/ MA/ ARMA ET ARCH/ GARCH R. F. ENGLE Professeur de finance américain, Robert F. Engle a partagé le prix Nobel d'économie 2003 avec le Britannique Clive W. Granger, avec qui il avait publié nombre d'articles sur les séries chronologiques tout au long des années 1980 et 1990. Il obtient avec la plus haute distinction une licence de physique au Williams College de New York en 1964, une maîtrise de physique deux ans plus tard, puis un doctorat de sciences économiques en 1969. Ses travaux ont ouvert les recherches sur de nouvelles méthodes d'analyse des séries chronologiques et accéléré le renouvellement des techniques économétriques dans l analyse économique. L incapacité des modèles de type ARMA, { saisir les phénomènes non linéaires, a poussé les économètres à développer les modèles non linéaires. En vue de prendre en compte la volatilité conditionnelle caractérisant certaines chroniques, telles que financières, et leur non linéarité, Robert F. Engle a introduit en 1982 la classe des modèles ARCH ***, puis Tim P. Bollerslev l a généralisé en 1986. Lorsque la variance conditionnelle d une série Yt sachant Yt-1 est est constante, soit : Var(Yt/ Yt-1) = σ 2 où V(εt) = σ 2, on parle dans ce cas de variance homoscédastique. R.F. Engle a construit un modèle dans lequel la variance conditionnelle de Yt sachant Yt-1 dépendrait de Yt-1 et plus particulièrement : Var(Yt/ Yt-1) = [α + βy 2 t-1] σ 2 Pour cela, il a considéré les modèles de la forme où h t = α 0 + αy 2 t-1 Cette classe de modèle, appelée ARCH(1) a été généralisée sous la forme ARCH(p) : Où h t = α 0 + α 1 Y 2 t-1 + + α p Y 2 t-p Cette forme pour h t a permis l analogie entre les modèles AR et les modèles ARCH. Ainsi, de la même façon que les ARMA généralisent les AR, la classe de modèle ARCH a été généralisée en considérant la fonction h t de la forme : Où En résumé : *AR ARMA *ARCH GARCH Note 5 : les modèles ARCH ou GARCH sont énormément utilisés dans les modèles financières parce qu ils sont caractérisés par de longues périodes de forte volatilité, appelée volatility clustering. "Autoregressive Conditional Heteroskedasticity With Estimates of the Variance of U.K. Inflation", Econometrica 50 (1982): 987-1008. *** Modèle ARCH : Modèle Autorégressif conditionnellement hétéroscédastique. Le modèle GARCH(1,1) a été présenté indépendamment par Taylor (1986). Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 7

7. METHODE DE MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE Fonction de Vraisemblance Soit y = (y1, yn), la réalisation de taille n d un vecteur Y. On appelle fonction de vraisemblance ou tout simplement la vraisemblance, la fonction de y et de θ : V(y, θ) = V(y1,, yn, θ) Ainsi, dans le cas particulier où : On note par la log-vraisemblance, la fonction : Estimateurs du maximum de vraisemblance L estimateur du maximum de vraisemblance, noté maximisation :, n est qu une solution au problème de Sachant qu une transformation strictement croissante ne changeant pas un maximum, on considère souvent le problème de maximisation du logarithme népérien de la vraisemblance, d où : 8. MODELISATION AR(I)MA OU MODELISATION (G)ARCH A l issue de ces tests diagnostics, s il se dégage que la série des résidus est stationnaire en moyenne ; reste à déterminer si les erreurs sont autocorrélées ou non et/ou leurs variances sont hétéroscédastiques ou non. Ces deux derniers tests permettent de préciser le modèle à utiliser pour la prévision. Test de validation Absence d autocorrélation Présence d autocorrélation Si Si Homoscédastique : Hétéroscédastique : Homoscédastique : Hétéroscédastique : Modélisation ARMA Modélisation (G)ARCH Ecarter le modèle Ecarter le modèle Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 8

RAPPEL Avant de passer aux exercices d entrainement, notez que les applications retenues se feront en deux temps. Le schéma suivant s avère assez éloquent pour illustrer la démarche à suivre. APPLICATIONS Construction de modèles de prévision Optimisation du portefeuille AR/ MA/ AR(I)MA : Méthodologie de Box-Jenkins (G)ARCH : Méthode de Maximum de Vraisemblance Le portefeuille étant une collection d actifs financiers détenus par un établissement ou un individu, on cherchera à limiter les risques courus en se basant essentiellement sur le critère de la VaR. De modèles AR/ MA/ ARMA aux modèles ARCH/ GARCH : une étude du cas de l indice boursier Dow Jones Construisons un modèle AR(I)MA { partir de la série de l indice Dow Jones, notée DJI (Dow Jones Index). Les données considérées { cet effet sont mensuelles et la période retenue pour l étude va de juin 1997 { Juillet 2008, 134 observations. Pour construire le modèle de prévision, nous allons emprunter la méthodologie de Box-Jenkins, telle que décrite précédemment ; mais avant tout, nous commençons par l analyse exploratoire (plot) de la dite chronique puis l analyse de la stationnarité (test de la racine unitaire). Les données saisies sur Eviews se présentent comme suit : La chronique de la DJI a été tirée auprès de la source Euronext Paris. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 9

A. ANALYSE EXPLORATOIRE DES DONNEES Plot de la série DJI PLOT DJI 150 140 130 120 DJI 110 100 90 80 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 On peut également travailler avec de données logarithmiques. Dans ce cas, le plot de la série linéarisée se présente comme suit : GENR LDJI = LOG(DJI) 5.1 5.0 4.9 4.8 4.7 LDJI 4.6 4.5 4.4 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 10

B. ETUDE DE LA STATIONNARITE B.1. TEST INFORMEL : Analyse des Corrélogrammes de la série DJI IDENT DJI ; cliquer sur level puis valider B.2.EST FORMEL : TEST DE LA RACINE UNITAIRE ADF DJI /UROOT DJI Modèle avec tendance et constante Null Hypothesis: DJI has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.546403 0.3057 Test critical values: 1% level -4.028496 5% level -3.443961 10% level -3.146755 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DJI) Method: Least Squares Date: 05/28/10 Time: 01:32 Sample (adjusted): 1997M07 2008M07 Included observations: 133 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DJI(-1) -0.101732 0.039951-2.546403 0.0121 C 10.92612 4.162216 2.625073 0.0097 @TREND(1997M06) 0.016493 0.012938 1.274799 0.2047 R-squared 0.049707 Mean dependent var 0.135338 Adjusted R-squared 0.035087 S.D. dependent var 4.353302 S.E. of regression 4.276247 Akaike info criterion 5.766327 Sum squared resid 2377.218 Schwarz criterion 5.831523 Log likelihood -380.4607 F-statistic 3.399982 Durbin-Watson stat 1.856615 Prob(F-statistic) 0.036369 Série non stationnaire et trend non significatif et trend non significatif. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 11

Modèle sans tendance et avec constante Null Hypothesis: D(DJI) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -11.13513 0.0000 Test critical values: 1% level -3.480425 5% level -2.883408 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DJI,2) Method: Least Squares Date: 05/28/10 Time: 01:49 Sample (adjusted): 1997M08 2008M07 Included observations: 132 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(DJI(-1)) -0.979538 0.087968-11.13513 0.0000 C 0.140529 0.381913 0.367961 0.7135 R-squared 0.488171 Mean dependent var -0.022727 Adjusted R-squared 0.484234 S.D. dependent var 6.105267 S.E. of regression 4.384610 Akaike info criterion 5.809114 Sum squared resid 2499.225 Schwarz criterion 5.852793 Log likelihood -381.4015 F-statistic 123.9912 Durbin-Watson stat 1.970918 Prob(F-statistic) 0.000000 Série non stationnaire avec intercept significatif B.3. STATIONARISATION DE LA SERIE DJI Il faut appliquer le filtre de différence pour stationnariser la série DJI : GENR DDJI = D(DJI) Test de la racine sur DIDJ On applique le test de ADF en cliquant sur 1st difference de Unit Root Test puis successivement sur «Intercept and trand» et on tape 2 pour le nombre de retard Sur «intercept» et on tape 2 pour le nombre de retard Sur «none» et on tape 2 pour le nombre de retard Modèle avec tendance et constante Null Hypothesis: D(DDJI) has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -17.02519 0.0000 Test critical values: 1% level -4.029595 5% level -3.444487 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DDJI,2) Method: Least Squares Date: 05/28/10 Time: 01:49 Sample (adjusted): 1997M09 2008M07 Included observations: 131 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(DDJI(-1)) -1.385233 0.081364-17.02519 0.0000 C -0.070517 1.020420-0.069106 0.9450 @TREND(1997M06) 6.99E-05 0.013115 0.005332 0.9958 R-squared 0.693677 Mean dependent var -0.076336 Adjusted R-squared 0.688891 S.D. dependent var 10.17661 S.E. of regression 5.676221 Akaike info criterion 6.333083 Sum squared resid 4124.093 Schwarz criterion 6.398927 Log likelihood -411.8169 F-statistic 144.9301 Durbin-Watson stat 2.340458 Prob(F-statistic) 0.000000 Il se dégage que la tendance n est pas significativement différente de zéro car la probabilité critique associée au trend est supérieure à 5 pour cent. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 12

Modèle sans tendance et avec constante Null Hypothesis: D(DDJI) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -17.09165 0.0000 Test critical values: 1% level -3.480818 5% level -2.883579 10% level -2.578601 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DDJI,2) Method: Least Squares Date: 05/28/10 Time: 01:52 Sample (adjusted): 1997M09 2008M07 Included observations: 131 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(DDJI(-1)) -1.385234 0.081047-17.09165 0.0000 C -0.065762 0.494008-0.133118 0.8943 R-squared 0.693677 Mean dependent var -0.076336 Adjusted R-squared 0.691303 S.D. dependent var 10.17661 S.E. of regression 5.654177 Akaike info criterion 6.317816 Sum squared resid 4124.094 Schwarz criterion 6.361712 Log likelihood -411.8169 F-statistic 292.1246 Durbin-Watson stat 2.340455 Prob(F-statistic) 0.000000 Il se dégage que la constante n est pas significativement différent de zéro. Modèle sans tendance et sans constante Null Hypothesis: D(DDJI) has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=0) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -17.15677 0.0000 Test critical values: 1% level -2.582734 5% level -1.943285 10% level -1.615099 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DDJI,2) Method: Least Squares Date: 05/28/10 Time: 01:54 Sample (adjusted): 1997M09 2008M07 Included observations: 131 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(DDJI(-1)) -1.385248 0.080741-17.15677 0.0000 R-squared 0.693635 Mean dependent var -0.076336 Adjusted R-squared 0.693635 S.D. dependent var 10.17661 S.E. of regression 5.632775 Akaike info criterion 6.302686 Sum squared resid 4124.661 Schwarz criterion 6.324634 Log likelihood -411.8259 Durbin-Watson stat 2.340119 On accepte donc l hypothèse alternative selon laquelle la série DDJI est stationnaire et donc : DDJI I(0) : la série DDJI suit un processus ARMA OU DJI I(1) : la série DJI suit un processus ARIMA. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 13

Graphique de la série stationnaire 15 10 5 0-5 DDJI -10-15 -20 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 Il ressort de ce graphique (après différence première) que la série fluctue autour d une moyenne constante. C. MODELISATION ARMA PAR LA METHODE DE BOX-JENKINS C.1. Identification des ordres p et q du modèle ARMA La série DIDJ est stationnaire. On va lui chercher un modèle ARMA (p, q) Pour connaître les ordres du modèle ARMA (p, q), nous allons nous servir de corrélogrammes de la série stationnaire DIDJ. En effet, le corrélogramme simple permet d identifier un modèle MA(q), alors que le corrélogramme partiel permet d identifier un modèle AR(q). Corrélogramme de la série stationnaire Il ressort de ces corrélogrammes que la deuxième autocorrélation (simple et partielle) de la série DDJI est significativement différente de zéro. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 14

C.2. Estimation de processus AR/ MA/ ARMA Comme il s agit de processus ARIMA(2,1,2), les schéma ci-dessus nous servira de guide pour les estimations. AR(2) MA(1) MA(2) MA(2) AR(1) MA(1) MA(2) MA(2) Rappelons qu il existe quatre types de régression, { noter : la régression standard, la régression hiérarchique, la régression statistique ou régression pas-à-pas et la régression set wise. Pour estimer les processus ARIMA(2, 1, 2), nous optons pour la régression set wise. *Modèle AR(1) *Modèle AR(2) *Modèle AR(1) AR(2) *Modèle AR(2) MA(1) *Modèle AR(1) AR(2) MA(1) *Modèle AR(2) MA(1) MA(2) *Modèle AR(1) AR(2) MA(2) *Modèle AR(2) MA(2) *Modèle AR(1) MA(1) *Modèle MA(1) *Modèle AR(1) MA(1) MA(2) *Modèle MA(1) MA(2) *Modèle AR(1) MA(2) *Modèle MA(2) *Modèle AR(1) AR(2) MA(1) MA(2) Comment estimer? COMMANDE EVIEWS : LS DDJI AR(p) MA(q) Par exemple pour un modèle AR(1), la commande à passer est : LS DDJI AR(1) Alors que pour un modèle ARMA(1, 2), la commande est dans ce cas : LS DDJI AR(1) MA(1) MA(2) C.3. Validation du modèle Après estimation des différents modèles, l analyse de la significativité des coefficients nous conduits { conserver les six modèles ci-après. Ces six modèles seront soumis à un test de diagnostic. Seuls les modèles dont les résidus sont de bruits blancs seront validés. * AR(2) : DDJI t = 0.200963DDJI t-2 * MA(2) : DDJI t = 0.252652ε t-2 * AR(1) MA(1) : DDJI t = 0.815359DDJI t-1 + 0.933094ε t-1 * AR(2) MA(2) : DDJI t = 0.453573DDJI t-2 0.701201ε t-2 * AR(1) MA(1) MA(2) : DDJI t = 0.504959DDJI t-1 + 0.546070ε t-1 0.181535 ε t-2 * AR(1) AR(2) MA(1) : DDJI t = 0.619501DDJI t-1 0.153935DDJI t-2 0.642420ε t-1 Lire Tsasa, 2009, Vers l économétrie approfondie : une présentation en schémas, CRES. Des auteurs, comme Kintambu M. (2008) préfère la régression statistique. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 15

Analyse de résidus Test d hypothèse nulle de centralité : cette hypothèse veut qu en moyenne les résidus soient égaux à une constante nulle. En appliquant le test de racine unitaire, il ressort que le processus résiduel est stationnaire : Null Hypothesis: DDJI_RESIDUALS has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -11.09590 0.0000 Test critical values: 1% level -2.582599 5% level -1.943266 10% level -1.615111 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DDJI_RESIDUALS) Method: Least Squares Date: 06/16/10 Time: 04:55 Sample (adjusted): 1997M08 2008M07 Included observations: 132 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DDJI_RESIDUALS(-1) -0.972381 0.087634-11.09590 0.0000 R-squared 0.484485 Mean dependent var -0.023432 Adjusted R-squared 0.484485 S.D. dependent var 5.821264 S.E. of regression 4.179631 Akaike info criterion 5.705870 Sum squared resid 2288.480 Schwarz criterion 5.727709 Log likelihood -375.5874 Durbin-Watson stat 1.979203 Cependant, le plot indique que le processus résiduel semble être stationnaire en moyenne et non en variance, pour se faire, il faut passer au test d hypothèse nulle d homoscédasticité pour s en assurer. 10 5 0 DDJI_RESIDUALS -5-10 -15-20 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 En effet, si le processus n est pas stationnaire en variance, il est conseiller d utiliser, non plus un processus ARIMA, mais plutôt un processus (G)ARCH afin de prendre compte la volatilité et le caractère non linéaire du modèle. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 16

Test d hypothèse nulle d autocorrélation des erreurs (test de Box-Pierce) Au regard de probabilités affectées aux autocorrélations pour les différents modèles respectifs, on est conduit { rejeter l hypothèse de soutient. En conséquence, on décide H0 : il y a absence d autocorrélation des erreurs. Test d hypothèse nulle d homoscédasticité (test ARCH) Pour réaliser ce test, il faut préalablement déterminer le nombre de retards à retenir. Au regard du corrélogramme des résidus au carré **** du modèle AR(2), on choisit, compte tenu du critère de parcimonie, un nombre de retards égal à trois. Il se dégage que les probabilités affectées aux résidus au carré pour les différents modèles respectifs, on est conduit { rejeter l hypothèse de soutient. En conséquence, on décide H0 : il y a absence d autocorrélation des erreurs. Etant donné que les hypothèses alternatives pour les différents tests respectifs ont été rejetées, La modélisation retenue pour la prévision sera donc du type ARIMA. NOTE : les différents tests sont repris dans l annexe 2. Les résidus de ces différents modèles sont de bruits blancs et donc, tous les modèles ci-dessous doivent être validés. * AR(2) : DDJI t = 0.200963DDJI t-2 * MA(2) : DDJI t = 0.252652ε t-2 * AR(1) MA(1) : DDJI t = 0.815359DDJI t-1 + 0.933094ε t-1 * AR(2) MA(2) : DDJI t = 0.453573DDJI t-2 0.701201ε t-2 * AR(1) MA(1) MA(2) : DDJI t = 0.504959DDJI t-1 + 0.546070ε t-1 0.181535 ε t-2 * AR(1) AR(2) MA(1) : DDJI t = 0.619501DDJI t-1 0.153935DDJI t-2 0.642420ε t-1 Cependant, pour choisir le modèle à retenir pour la prévision, nous allons recourir aux critères d information et au coefficient de détermination. Ces critères permettent d évaluer la qualité d une modèle. MODELE AIC SIC R² AR(2) 5.751928 5.773876 0.039808 MA(2) 5.738369 5.760101 0.047693 AR(1) MA(1) 5.764665 5.808344 0.043874 AR(2) MA(2) 5.720381 5.764278 0.083722 AR(1) MA(1) MA(2) 5.770850 5.836368 0.052408 AR(1) AR(2) MA(1) 5.761109 5.826954 0.060094 D après ces critères, il ressort que le modèle AR(2) MA(2) dispose d une qualité supérieure. Le fait de retenir ce modèle ne signifie pas que les autres modèles ne peuvent pas être utilisés pour la prévision. Ces critères n accordent au modèle retenu qu une certaine prééminence sur les autres. **** View (dans la fenêtre d estimation du modèle sous analyse) Residual Tests Correlogram Squared Residuals. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 17

C.4. Prévision La prédiction a été obtenue { l étape 3. A présent, nous allons prévoir l évolution du processus AR(2) MA(2) à la période t+h. Soit : DDJI t = 0.453573DDJI t-2 0.701201ε t-2 16 12 8 4 0-4 -8 Forecast: DDJIF Actual: DDJI Forecast sample: 1997M06 2008M07 Adjusted sample: 1997M09 2008M07 Included observations: 131 Root Mean Squared Error 4.161955 Mean Absolute Error 3.103631 Mean Abs. Percent Error 95.26647 Theil Inequality Coefficient 0.752537 Bias Proportion 0.001366 Variance Proportion 0.579237 Covariance Proportion 0.419397-12 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 DDJIF Où DDJIF = DDJI fitted. Il ressort de cet output que le coefficient de Theil est assez élevé, ce qui n assure pas une bonne prédiction. La figure ci-dessous s avère assez éloquent { cet effet. 20 10 0 10 5 0-5 -10-15 -20 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08-10 -20 Residual Actual Fitted Après avoir générer les résidus (resid) et la variable prédite [= (DDJI) (Resid)], aller dans VIEW DATED DATA TABLE. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 18

Une lecture minutieuse de ce tableau (traduisant en chiffre le résultat de la figure précédente) prouve, par ailleurs, également que la prédiction n est pas très bonne. Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Year 1997 1997 DDJI -- -- -- -- -- -- -1.0 5.0 7.0 5.0-2.0 4.0 3.0 FITTED -- -- -- -- -- -- 0.77 0.89 1.21 3.69-0.89 1.35 1.17 RESIDUAL -- -- -- -- -- -- -1.77 4.11 5.79 1.31-1.11 2.65 1.83 1998 1998 DDJI -1.0-3.0-3.0 4.0 5.0 1.0-9.0 0.0 5.0-4.0 0.0 1.0-0.3 FITTED -0.13-0.05 0.16 0.71 0.85-0.49-0.64-0.59 1.78-0.42 0.01 0.70 0.16 RESIDUAL -0.87-2.95-3.16 3.29 4.15 1.49-8.36 0.59 3.22-3.58-0.01 0.30-0.49 1999 1999 DDJI 3.0 0.0-6.0 3.0 0.0 0.0 1.0-8.0 2.0 8.0-2.0-4.0-0.3 FITTED 0.01 0.24-0.74 0.17 0.97-0.62 0.68-0.44 0.23 1.67-0.33-0.81 0.09 RESIDUAL 2.99-0.24-5.26 2.83-0.97 0.62 0.32-7.56 1.77 6.33-1.67-3.19-0.34 2000 2000 DDJI -1.0-12.0 0.0 6.0 2.0 0.0-1.0 7.0-4.0-1.0-6.0 0.0-0.8 FITTED 0.26 0.42 0.43 3.27 0.30 0.81-0.28 0.57 0.05-1.34 1.02-0.69 0.40 RESIDUAL -1.26-12.42-0.43 2.73 1.70-0.81-0.72 6.43-4.05 0.34-7.02 0.69-1.24 2001 2001 DDJI 2.0 3.0 2.0 1.0-3.0-6.0 3.0 3.0-17.0 3.0 12.0-1.0 0.2 FITTED 2.20-0.48 1.05-1.08 0.24-1.01 0.91 0.78-0.10-0.20 4.14-0.88 0.46 RESIDUAL -0.20 3.48 0.95 2.08-3.24-4.99 2.09 2.22-16.90 3.20 7.86-0.12-0.30 2002 2002 DDJI 1.0-3.0 2.0 1.0 4.0 4.0 1.0-3.0 1.0-3.0 3.0-3.0 0.4 FITTED -0.07-0.37-0.30 0.48-0.70 0.09-1.48-0.93-1.29 0.09-1.15 0.81-0.40 RESIDUAL 1.07-2.63 2.30 0.52 4.70 3.91 2.48-2.07 2.29-3.09 4.15-3.81 0.82 2003 2003 DDJI -1.0 2.0-2.0 4.0 3.0-2.0 2.0 0.0-4.0 1.0 1.0 0.0 0.3 FITTED -1.55 1.31-0.84 0.42-0.09-0.69-0.81 0.01-1.06 0.01 0.25-0.24-0.27 RESIDUAL 0.55 0.69-1.16 3.58 3.09-1.31 2.81-0.01-2.94 0.99 0.75 0.24 0.61 2004 2004 DDJI 1.0-1.0-2.0 4.0 1.0 1.0 1.0 2.0 1.0 1.0-4.0 1.0 0.5 FITTED -0.08-0.17-0.30 0.13 0.28-0.90-0.05-0.88-0.28-1.11-0.44-1.03-0.40 RESIDUAL 1.08-0.83-1.70 3.87 0.72 1.90 1.05 2.88 1.28 2.11-3.56 2.03 0.90 2005 2005 DDJI 2.0 3.0 5.0 2.0 2.0 1.0 2.0-4.0 5.0 7.0 1.0 2.0 2.3 FITTED 0.68-0.97-0.02-1.42-1.25-1.49-1.37-1.29-1.46 0.08-2.26-1.68-1.04 RESIDUAL 1.32 3.97 5.02 3.42 3.25 2.49 3.37-2.71 6.46 6.92 3.26 3.68 3.37 2006 2006 DDJI -5.0 4.0 3.0-7.0 2.0-9.0-2.0-2.0 5.0 2.0-8.0-8.0-2.1 FITTED -1.83-1.67-0.05-2.16-0.78 0.22-1.04 2.38-0.23 2.17-1.40 1.02-0.28 RESIDUAL -3.17 5.67 3.05-4.84 2.78-9.22-0.96-4.38 5.23-0.17-6.60-9.02-1.80 2007 2007 DDJI 2.0-4.0 1.0-1.0 4.0 7.0-3.0-1.0 1.0 6.0 0.0 3.0 1.3 FITTED 1.00 2.70 0.20 2.88-0.10 2.27-1.06-0.14-0.00 0.15-0.25-1.38 0.52 RESIDUAL 1.00-6.70 0.80-3.88 4.10 4.73-1.94-0.86 1.00 5.85 0.25 4.38 0.73 2008 2008 DDJI 6.0 1.0-2.0-17.0-2.0 0.0-4.0 -- -- -- -- -- -2.6 FITTED -0.18-1.71-1.61-1.45-0.63 3.19 0.05 -- -- -- -- -- -0.33 RESIDUAL 6.18 2.71-0.39-15.55-1.37-3.19-4.05 -- -- -- -- -- -2.24 *DDJI : variable observée *FIITED : variable prédite Il est possible de réaliser la prévision (c est-à-dire DDJI t après juillet 2008) avec le modèle suivant : DDJI t+h = 0.453573DDJI t-2+h 0.701201ε t-2+h (avec ε t-2+h = 0 pour tout h > 2). Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 19

Le coefficient d inégalité de Theil étant élevé, soit 75.25 pour cent ; Il est possible de réduire sa valeur en transformant le modèle ARIMA(p, d, q) à un modèle ARIMA(p+1, 0, q). Dans ce cas, comme il s agit d un ARIMA (2, 1, 2), ainsi, nous aurons après transformation : ARIMA(3, 0, 2) En effectuant successivement une régression statistique, on obtient (voir l output en annexe 2) : Estimation Command: ===================== LS DJI C AR(1) AR(2) AR(3) MA(2) Estimation Equation: ===================== DJI = C(1) + [AR(1)=C(2),AR(2)=C(3),AR(3)=C(4),MA(2)=C(5),BACKCAST=1997M09] Substituted Coefficients: ===================== DJI t = 118.9092118 + 0.9340609646DJI t-1 0.8875797139DJI t-2 + 0.8404905899DJI t-3 + 0.8400971652ε t-2 (19.57424) (19.04214) (-8.731020) (9.030868) (6.992286) (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0000) (0.0000) R²= 0.885822 AIC = 5.760724 SIC =5.870464 Prob(F-Statistic) = 0.000000 Graphiquement, les valeurs prédites se présentent comme suit. 160 150 140 130 120 110 100 90 Forecast: DJIF Actual: DJI Forecast sample: 1997M06 2008M07 Adjusted sample: 1997M09 2008M07 Included observations: 131 Root Mean Squared Error 4.150611 Mean Absolute Error 3.035962 Mean Abs. Percent Error 2.615235 Theil Inequality Coefficient 0.017600 Bias Proportion 0.000002 Variance Proportion 0.031708 Covariance Proportion 0.968290 80 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 DJIF Au regard de ce résultat, il se dégage que le coefficient d inégalité de THEIL a sensiblement diminué (0.017600) et que par ailleurs, l erreur quadratique moyenne est inférieure (4.150611) { celle du modèle précédent (4.161955). Donc, la prévision réalisée sur base de ce modèle est meilleure à celle du premier modèle. Il existe quatre types de régressions, parmi celles, la régression statistique, appelée également régression pas-à-pas. Cette dernière repose sur le test de Student ; c est-à-dire, elle se refère à la règle de pousse pour décider sur la prédictibilité d un modèle. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 20

Les valeurs actuelles et prédites sont reprises dans la figure suivante : 160 140 120 10 100 80 0-10 -20 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 Residual Actual Fitted Pour prévoir l évolution de la valeur actuelle de l indice Dow Jones, nous allons nous référer au résultat de l équation estimée : DJI t+h = 118.9092118 + 0.9340609646DJI t-1+h + 0.8875797139DJI t-2+h + 0.8404905899DJI t-3+h + 0.8400971652ε t-2+h Pour ce faire, nous avons besoin de données suivantes (VIEW Actual, Fitted, Residual Table) : OBS ACTUAL FITTED RESIDUAL RESIDUAL PLOT 2008M01 142.000 135.513 6.48678..* 2008M02 143.000 141.054 1.94598. *. 2008M03 141.000 140.731 0.26927. *. 2008M04 124.000 139.203-15.2033 *.. 2008M05 122.000 124.531-2.53127.*. 2008M06 122.000 123.073-1.07260. *. 2008M07 118.000 121.205-3.20512.*. En août, septembre, octobre, novembre et décembre 2008, nous aurons : Horizon de prévision Modèle de prévision : Août 2008 h = 1 DJI août = 118.909 + 0.934DJI juillet 0.888DJI juin + 0.841DJI mai + 0.840ε juin Septembre 2008 h = 2 DJI septembre = 118.909 + 0.934DJI août 0.888DJI juillet + 0.841DJI juin + 0.840ε juillet Octobre 2008 h = 3 DJI octobre = 118.909 + 0.934DJI septembre 0.888DJI août + 0.841DJI juillet Novembre 2008 h = 4 DJI novembre = 118.909 + 0.934DJI octobre 0.888DJI septembre + 0.841DJI août Décembre 2008 h = 5 DJI décembre = 118.909 + 0.934DJI novembre 0.888DJI octobre + 0.841DJI septembre Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 21

Estimations des paramètres des modèles ARCH /GARCH par la méthode maximum de vraisemblance RAPPEL SUR LES PROPRIETES DE SERIES FINANCIERES Propriété 1 (Stationnarité) : Les processus stochastiques Xt associés aux prix d actif sont généralement non stationnaires au sens de la stationnarité du second ordre, tandis que les processus associés aux rendements sont compatibles avec la propriété de stationnarité au second ordre. C est la propriété centrale des processus ARCH : le processus Xt possède les propriétés d un bruit blanc homoscédastique, mais sa variance conditionnelle dépend du temps. Propriété 2 (Autocorrélations des carrés des variations de prix) : La série r 2 t associée aux carrés des rendements présente généralement de fortes autocorrélations, tandis que les autocorrélations de la série r t sont souvent très faibles (hypothèse de bruit blanc). NOTE : Lorsqu un processus Xt vérifie les propriétés 1 et 2, on dit qu il vérifie la définition d une différence de martingale homoscédastique et d un bruit blanc. Propriété 3 (Queues de distribution épaisses) : L hypothèse de normalité des rendements est généralement rejetée. Les queues des distributions empiriques des rendements sont généralement plus épaisses que celles d une loi gaussienne. On parle alors de distribution leptokurtique. Propriété 4 (Clusters de Volatilité) : On observe empiriquement que de fortes variations des rendements sont généralement suivies de faibles variations. On assiste ainsi à un regroupement des extrêmes en cluster ou paquets de volatilités. Dans ces conditions, le processus Xt est conditionnellement hétéroscédastique. C Propriété 5 (Queues épaisses conditionnelles) : Même une fois corrigée de la volatilité clustering (par exemple avec des modèles ARCH), la distribution des résidus demeure leptokurtique même si la kurtosis est plus faible que dans le cas non conditionnel. Propriété 6 (Effet de levier) : Il existe une asymétrie entre l effet des valeurs passées négatives et l effet des valeurs passées positives sur la volatilité des cours ou de rendements. Les baisses de cours tendent à engendrer une augmentation de la volatilité supérieure à celle induite par une hausse des cours de même ampleur. Cette propriété n est pas à confondre avec celle d asymétrie de la distribution des cours ou des rendements (propriété 8). Il s agit ici d une asymétrie de la relation liant les valeurs passés des cours ou rendements à la volatilité de ces derniers. Propriété 7 (Saisonnalité) : Les returns présentent de nombreux phénomènes de saisonnalité (effets weekend, effet janvier, etc..). Propriété 8 (Asymétrie perte/gain) : La distribution des cours est généralement asymétrique : il y a plus de mouvements forts { la baisse qu { la hausse. Un processus X test une différence de martingale homoscédastique si et seulement si : E(Xt/Xt-1) = 0 et V(Xt) = σ² x pout tout t. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 22

Construisons, { présent, un modèle (G)ARCH { partir de la série de l action General Electric Co, notée VAGE. Les données considérées { cet effet sont hebdomadaires et la période retenue pour l étude va du 3 janvier 1972 au 25 Janvier 2010, 1987 observations. Les données sur Eviews se présentent comme suit : A. ANALYSE EXPLORATOIRE DES DONNEES Plot de la série VAGE Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 23

On peut également travailler avec de données logarithmiques dans ce cas, le plot de la série linéarisée (noté, LVAGE) se présente comme suit : B. ETUDE DE LA STATIONNARITE B.1. Corrélogramme En examinant le corrélogramme (figure ci-contre), nous constatons qu il y a une décroissance lente des coefficients d autocorrélation avec 36 coefficients d autocorrélation simple non nuls et 8 coefficients d autocorrélation partielle significatifs (non nuls). Cela correspond donc à un modèle ARMA(8, 36) non stationnaire. En vertu du principe de parcimonie, nous admettons un processus ARMA(2, 2). Rappel : d après le principe de parcimonie, les valeurs décalées d une variable dépendante dans un modèle ont tendance à exercer une influence chaque fois moindre sur la variable dépendante au fur et à mesure qu on s éloigne dans le temps. Au regard de ce corrélogramme, il y a lieu de soupçonner que la série n est pas stationnaire à niveau. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 24

B.2. Test de la racine unitaire Cependant, en passant le test de Phillips-Perron, il ressort que la série est stationnarité à niveau, avec trend et constante significatifs. Le résultat ne change pas de nature même si l on recourt au test ADF. En effet, la statistique PP (qui normalement doit être négative) en valeur absolue est supérieure aux valeurs critiques de MacKinnon à tous les seuils. En se référant à la règle de pousse et aux probabilités critiques, il ressort que le trend et la dérive sont tous significatifs. Faudra-t-il appliquer la modélisation ARMA avec la méthodologie BJ ou la modélisation ARCH avec la méthode de maximum de vraisemblance? Pour se décider sur la méthodologie à suivre, nous nous basons sur deux tests. Analyse du plot de la série résiduelle Ce graphique indique la présence de volatilité, il y a donc lieu de suspecter la présence d une série non stationnaire en variance. Pour s en convaincre, formellement, nous effectuons aussitôt le test d hypothèse nulle d homoscédasticité. Il existe plusieurs tests, à cet effet. Dans le cadre de ce cours, on recourt au test ARCH. Test de Harvey, Test de Glejser, Test de White ou Custom test wizard. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 25

Test ARCH Le résultat repris dans le tableau ci-dessous nous pousse à rejeter l hypothèse nulle. Donc, on admet que la variance résiduelle est non homoscédastique. Donc, la prévision de l évolution de la variable VAGE sera faite sur base d un modèle (G)ARCH estimé par la méthode de maximum de vraisemblance. C. CHOIX DU MODELE (G)ARCH(p,q) L ordre approprié au modèle (G)ARCH(p,q) est obtenu { partir du corrélogramme des résidus au carré du modèle ARMA(2,2). L autocorrélation partielle permet de déterminer l ordre q de ARCH, alors que l autocorrélation simple permet de définir l ordre p du GARCH(p,q). Comme l indique le résultat ci-après, le corrélogramme des résidus au carré présente 36 autocorrélations simples et 8 autocorrélations partielles significativement différentes de zéro. Par principe de parcimonie, on retient les deux premières autocorrélations (simples et partielles). Ainsi, on estimera les modèles suivants : ARCH(2), GARCH(2,2), GARCH(1,2), GARCH(2,1), GARCH(1,1). La comparaison des modèles estimés se fera ensuite { l aide des critères suivants : AIC, SIC, R², log-likehood. On choisira le modèle qui vérifiera un maximum de ces critères. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 26

ESTIMATION Pour estimer les modèles (G)ARCH, on va dans Quick puis dans Estimate Equation. Ensuite, cliquer la pointe de la flèche là où on a Least Squares pour sélectionner ARCH. Dans la partie intitulé Mean Equation Specification : on tape VAGE C T AR(1) AR(2) MA(1) MA(2). Pour l estimation d un modèle : o o o o o ARCH(2), on tape 2 dans la case ARCH et 0 dans la case GARCH GARCH (1,1), on tape 1 dans la case ARCH et 1 dans la case GARCH GARCH (2,1), on tape 2 dans la case ARCH et 1 dans la case GARCH GARCH (1,2), on tape 1 dans la case ARCH et 2 dans la case GARCH GARCH (2,2), on tape 2 dans la case ARCH et 2 dans la case GARCH NOTE : les coefficients estimés par la modélisation ARCH doivent être toujours être positif (contrainte de positivité ***** ). ARCH(2) ***** L optimisation de la fonction de vraisemblance est réalisée sous certaintes conraintes, notamment celle de non négativité. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 27

Le coefficient du modèle ARCH(2) n étant pas significatif ; estimons, à présent, un modèle ARCH(1). ARCH(1) Le coefficient ARCH(1) est positif et significativement différent de zéro. On garde donc ce modèle. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 28

GARCH(1,1) Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 29

GARCH(2,2) Au bout de ces estimations, il ressort donc que le seul modèle retenu pour la prévision de la volatilité est le modèle ARCH(1). Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 32

CONCLUSION Il y avait en plus un grand nombre de «profanes» c est-à-dire d auteurs qui soutenaient des systèmes théoriques de leur cru, et condamnaient la théorie professionnelle sans se soucier de la maîtriser. Il y avait enfin autre chose. Comme toujours, la majorité des économistes était absorbée par l étude des faits et des problèmes pratiques des divers départements de la politique publique. La théorie ne servait pas à grand chose pour cette majorité. Schumpeter, J., 1983, Histoire de l analyse économique, Tome 3, Gallimard, Paris, p. 273. Le seul moyen d accès { une position telle que notre science puisse donner un avis positif pour de nombreux politiciens et hommes d affaires repose sur des travaux quantitatifs. Aussi longtemps que nous ne serons pas capables de traduire nos arguments en chiffres, la voix de notre science, bien qu elle puisse occasionnellement aider à éviter des erreurs grossières, ne sera jamais entendue par les praticiens. Ils sont tous, par instinct, économètres, du fait de leur incrédulité pour toute chose dont il n existe pas une preuve exacte. Schumpeter, J.A., 1933, The common sense of econometrics, vol. 1, Econometrica, p. 12. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 33

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ANNEXE 1 : Estimation de processus ARIMA(2, 1, 2) *Modèle AR(1) : DDJI = AR(1) Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:21 Sample (adjusted): 1997M08 2008M07 Included observations: 132 after adjustments Convergence achieved after 2 iterations Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(1) 0.021704 0.087613 0.247728 0.8047 R-squared -0.000625 Mean dependent var 0.143939 Adjusted R-squared -0.000625 S.D. dependent var 4.368752 S.E. of regression 4.370117 Akaike info criterion 5.795004 Sum squared resid 2501.828 Schwarz criterion 5.816843 Log likelihood -381.4702 Durbin-Watson stat 1.970832 Inverted AR Roots.02 Modèle non significatif. Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:16 Sample (adjusted): 1997M09 2008M07 Included observations: 131 after adjustments Convergence achieved after 3 iterations *Modèle AR(2) : DDJI = AR(1) AR(2) Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(2) -0.200563 0.085744-2.339098 0.0209 R-squared 0.039808 Mean dependent var 0.106870 Adjusted R-squared 0.039808 S.D. dependent var 4.364634 S.E. of regression 4.276878 Akaike info criterion 5.751928 Sum squared resid 2377.919 Schwarz criterion 5.773876 Log likelihood -375.7513 Durbin-Watson stat 1.938085 En estimant le modèle AR(2), il ressort que AR(1) est non significatif, on l écarte dès lors du modèle et on obtient : DDJI = AR(2) Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 35

*Modèle MA(1) : DDJI = MA(1) Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:22 Sample (adjusted): 1997M07 2008M07 Included observations: 133 after adjustments Convergence achieved after 12 iterations Backcast: 1997M06 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. MA(1) 0.036413 0.087261 0.417289 0.6771 R-squared -0.000188 Mean dependent var 0.135338 Adjusted R-squared -0.000188 S.D. dependent var 4.353302 S.E. of regression 4.353712 Akaike info criterion 5.787425 Sum squared resid 2502.035 Schwarz criterion 5.809157 Log likelihood -383.8638 Durbin-Watson stat 2.007848 Inverted MA Roots -.04 Modèle non significatif. Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:18 Sample (adjusted): 1997M07 2008M07 Included observations: 133 after adjustments Convergence achieved after 9 iterations Backcast: 1997M05 1997M06 *Modèle MA(2) : DDJI = MA(1) MA(2) Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. MA(2) -0.252652 0.085593-2.951775 0.0037 R-squared 0.047693 Mean dependent var 0.135338 Adjusted R-squared 0.047693 S.D. dependent var 4.353302 S.E. of regression 4.248223 Akaike info criterion 5.738369 Sum squared resid 2382.257 Schwarz criterion 5.760101 Log likelihood -380.6015 Durbin-Watson stat 1.926493 Inverted MA Roots.50 -.50 En estimant le modèle MA(2), il ressort que MA(1) est non significatif, on l écarte dès lors du modèle et on obtient : DDJI = MA(2) Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 36

*Modèle ARMA (1, 1) : DDJI = AR(1) MA(1) Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:20 Sample (adjusted): 1997M08 2008M07 Included observations: 132 after adjustments Convergence achieved after 14 iterations Backcast: 1997M07 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(1) -0.815355 0.106831-7.632190 0.0000 MA(1) 0.933094 0.073167 12.75288 0.0000 R-squared 0.043874 Mean dependent var 0.143939 Adjusted R-squared 0.036519 S.D. dependent var 4.368752 S.E. of regression 4.288239 Akaike info criterion 5.764665 Sum squared resid 2390.569 Schwarz criterion 5.808344 Log likelihood -378.4679 Durbin-Watson stat 2.097860 Inverted AR Roots -.82 Inverted MA Roots -.93 *Modèle ARMA (1, 2) : DDJI = AR(1) MA(1) MA(2) Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:43 Sample (adjusted): 1997M08 2008M07 Included observations: 132 after adjustments Convergence achieved after 20 iterations Backcast: 1997M06 1997M07 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(1) -0.504959 0.235592-2.143368 0.0340 MA(1) 0.546070 0.236989 2.304195 0.0228 MA(2)* -0.181535 0.102377-1.773200 0.0786 R-squared 0.052408 Mean dependent var 0.143939 Adjusted R-squared 0.037717 S.D. dependent var 4.368752 S.E. of regression 4.285572 Akaike info criterion 5.770850 Sum squared resid 2369.230 Schwarz criterion 5.836368 Log likelihood -377.8761 Durbin-Watson stat 1.980523 Inverted AR Roots -.50 Inverted MA Roots.23 -.78 *MA(2) est significatif au seuil de 10%. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 37

*Modèle ARMA (2, 1) : DDJI = AR(1) AR(2) MA(1) Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:42 Sample (adjusted): 1997M09 2008M07 Included observations: 131 after adjustments Convergence achieved after 8 iterations Backcast: 1997M08 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(1) 0.619501 0.210899 2.937434 0.0039 AR(2)* -0.153935 0.089664-1.716807 0.0884 MA(1) -0.642420 0.207155-3.101161 0.0024 R-squared 0.060094 Mean dependent var 0.106870 Adjusted R-squared 0.045407 S.D. dependent var 4.364634 S.E. of regression 4.264389 Akaike info criterion 5.761109 Sum squared resid 2327.682 Schwarz criterion 5.826954 Log likelihood -374.3527 Durbin-Watson stat 1.963489 Inverted AR Roots.31+.24i.31-.24i Inverted MA Roots.64 *AR(2) est significatif au seuil de 10%. Dependent Variable: DDJI Method: Least Squares Date: 06/08/10 Time: 17:44 Sample (adjusted): 1997M09 2008M07 Included observations: 131 after adjustments Convergence achieved after 8 iterations Backcast: 1997M07 1997M08 *Modèle ARMA (2, 2) : DDJI = AR(1) AR(2) MA(1) MA(2) Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(2) 0.453573 0.194064 2.337233 0.0210 MA(2) -0.701201 0.158860-4.413952 0.0000 R-squared 0.083722 Mean dependent var 0.106870 Adjusted R-squared 0.076619 S.D. dependent var 4.364634 S.E. of regression 4.194094 Akaike info criterion 5.720381 Sum squared resid 2269.165 Schwarz criterion 5.764278 Log likelihood -372.6850 Durbin-Watson stat 1.942155 Inverted AR Roots.67 -.67 Inverted MA Roots.84 -.84 En estimant le modèle ARMA(2, 2), il ressort que AR(1) et MA(1) sont non significatifs, on les écarte dès lors du modèle et on obtient un modèle : DDJI = AR(2) MA(2) Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 38

ANNEXE 2 : Tests de validité TEST D HYPOTHESE NULLE D ABSENCE D AUTOCORRELATION DES ERREURS VIEW RESIDUAL TESTS CORRELOGRAM-Q-STATISTICS TEST D HETEROSCEDASTICITE *Détermination du nombre de retards à retenir : l identification du nombre de décalages se fait { partir du corrélogramme des résidus au carré du modèle estimé, par exemple AR(2). VIEW RESIDUAL TESTS CORRELOGRAM SQUAREDE RESIDUALS Après avoir identifié le nombre de retards, on dès lors effectue le test ARCH : VIEW RESIDUAL TESTS ARCH LM Test Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 39

Modèle AR(2) Test d autocorrélation Les probabilités affectées aux autocorrélations sont toutes supérieures à 5 pour cent. On décide donc qu il y a absence d autocorrélation des erreurs ; soit on rejette l hypothèse alternative de présence d autocorrélation des erreurs. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 40

Test d hypothèse nulle d homoscédasticité ARCH Test: F-statistic 0.489736 Probability 0.690038 Obs*R-squared 1.498843 Probability 0.682537 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 19:55 Sample (adjusted): 1997M12 2008M07 Included observations: 128 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 18.15252 4.558358 3.982249 0.0001 RESID^2(-1) -0.091697 0.089684-1.022446 0.3086 RESID^2(-2) 0.043795 0.089912 0.487087 0.6271 RESID^2(-3) 0.034063 0.089452 0.380790 0.7040 R-squared 0.011710 Mean dependent var 17.93201 Adjusted R-squared -0.012201 S.D. dependent var 39.27809 S.E. of regression 39.51697 Akaike info criterion 10.22209 Sum squared resid 193637.3 Schwarz criterion 10.31121 Log likelihood -650.2137 F-statistic 0.489736 Durbin-Watson stat 1.998437 Prob(F-statistic) 0.690038 Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 41

Modèle MA(2) Test d autocorrélation Les probabilités affectées aux autocorrélations sont toutes supérieures { 5 pour cent. On décide donc qu il y a absence d autocorrélation des erreurs ; soit on rejette l hypothèse alternative de présence d autocorrélation des erreurs. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 42

Modèle AR(1) MA(1) Test d autocorrélation Les probabilités affectées aux autocorrélations sont toutes supérieures à 5 pour cent. On décide donc qu il y a absence d autocorrélation des erreurs ; soit on rejette l hypothèse alternative de présence d autocorrélation des erreurs. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 44

Modèle AR(2) MA(2) Test d autocorrélation Les probabilités affectées aux autocorrélations sont toutes supérieures { 5 pour cent. On décide donc qu il y a absence d autocorrélation des erreurs ; soit on rejette l hypothèse alternative de présence d autocorrélation des erreurs. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 46

Modèle AR(1) AR(2) MA(2) Test d autocorrélation Les probabilités affectées aux autocorrélations sont toutes supérieures { 5 pour cent. On décide donc qu il y a absence d autocorrélation des erreurs ; soit on rejette l hypothèse alternative de présence d autocorrélation des erreurs. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 48

Modèle AR(1) AR(2) MA(1) Test d autocorrélation Les probabilités affectées aux autocorrélations sont toutes supérieures { 5 pour cent. On décide donc qu il y a absence d autocorrélation des erreurs ; soit on rejette l hypothèse alternative de présence d autocorrélation des erreurs. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 50

Dependent Variable: DJI Method: Least Squares Date: 06/28/10 Time: 16:08 Sample (adjusted): 1997M09 2008M07 Included observations: 131 after adjustments Convergence achieved after 13 iterations Backcast: 1997M07 1997M08 ANNEXE 3 : Estimation du processus ARIMA(3, 0,2) ARMA(3, 2) Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 118.9092 6.074779 19.57424 0.0000 AR(1) 0.934061 0.049052 19.04214 0.0000 AR(2) -0.887580 0.101658-8.731020 0.0000 AR(3) 0.840491 0.093069 9.030868 0.0000 MA(2) 0.840097 0.120146 6.992286 0.0000 R-squared 0.885822 Mean dependent var 117.3053 Adjusted R-squared 0.882198 S.D. dependent var 12.33063 S.E. of regression 4.232163 Akaike info criterion 5.760724 Sum squared resid 2256.812 Schwarz criterion 5.870464 Log likelihood -372.3274 F-statistic 244.3858 Durbin-Watson stat 1.893536 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots.94 -.00+.95i -.00-.95i Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 52

ANNEXE 4 : Liste des ouvrages de la B.U.C Jean-Paul TSASA V. Université Protestante au Congo Centre Congolais-Allemand de Microfinance Alors que je fus sur le banc de l école, je me posais toujours la question de savoir d où vient l incompréhension? Qu estce qui fait que certaines personnes maîtrisent mieux certains concepts que certaines autres? Après beaucoup de temps de réflexion, j ai trouvé une réponse satisfaisante, que j estime être plus ou moins parfaite. L incompréhension vient de trois éléments essentiels, à savoir : le manque de pré-requis, la non maîtrise du jargon et la limite imposée par le quotient intellectuel. Le dernier argument pose une contrainte de disponibilité. Cependant, pour résoudre les problèmes liés au pré-requis et au jargon, il faut beaucoup lire. Et cette lecture doit intégrer certaines exigences, notamment : la concentration, le raisonnement, l attention, la conscience et le sérieux ; donc, une lecture intelligente. Pour ce faire, je propose aux étudiants ou intéressés ayant l accès { la Bibliothèque Universitaire Centrale (B.U.C), une panoplie d ouvrage que j ai eu { lire tout au long de mon parcours universitaire. Donc, voici la liste de quelques ouvrages de statistique/économétrie répertoriés au sein de la B.U.C de l Université Protestante au Congo. Une collection d ouvrages, limitée, pour l étudiant qui désire s entraîner avec des applications classiques de statistique descriptive, de statistique mathématique ou d économétrie. Note : la liste des ouvrages, bien qu obéissant au principe d essentialité, apparait non exhaustive puisque la roue de la recherche scientifique demeure très dynamique dans le temps et dans l espace. N AUTEUR(S) OUVRAGE CODE 1 ANDREFF, M. Statistique : traitement des données d échantillon, PUG, Grenoble, 1994 : 1 er tome : Les méthodes, 158p. 2 ème tome : Les applications, 142p. 311 ARS 2 BLUMENTHORL, S. Statistique appliquée en 11 questions et 120 exemples et une annexe sur les probabilités pour Michèle Mallens, Ed. d organisation, Paris, 1985, 221p. 3 BOURBONNAIS, R. Econométrie : Manuel et exercices corrigés, 5è éd. Dunod, Paris, 2003, 329p 519.53 BLU 330.015 195 BOU 2003 4 BOURSIN, J.L. Comprendre la statistique descriptive. 310 BOU 5 BOY, Cl. Et NIZARD, A. Exercices corrigés de probabilités : option générale et économique 519.2 BOY 6 DUBUS, A., Méthodes et pratiques du traitement statistique en Sciences humaines : étide de cas avec le logiciel ADSO 3 005.4 DUB 7 CARON, N. et PH. TASSI Problèmes résolus de statistique mathématique. 310 CAR 8 CHAUVOT, G. et J.PH. REAU Statistiques descriptives. 310 CHA 9 COHEN, M. et PRUDEL, J. Econométrie : théorie et technique de base, méthode d utilisation et exercices, Litec, Paris, 1993 10 DAUNHA-CASTELLE, D. et M. DUFLS Probabilités et statistiques : Problèmes à temps fixe, tome 1, 220p. 310.02 DAC 11 DAGNIELIE, P. Statistique théorique et appliquée ; De Boeck Université, Bruxelles, 1998 : 1 er tome : Statistique descriptive et bases de l inférence statistique, 508p. 2 ème tome : Inférence statistique à une et à deux dimensions, 659p. 12 DHRYMES, P.J. Econometrics : Statistical foundations and applications 339.5 DHR 13 DREPREZ, M. et DUVANT, M. Méthodes quantitatives de gestion : l analyse comptable etles mathémathématiques appliquées 658.15 DEP 14 DUTHIL, G. et D. VANHAECKE Les statiques descriptives appliquées à l économie de l entreprise, Ed. Harmattan, Paris, 1990, 258p. 310 DUT 1990 310 DAG 1998 Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 53

Suite... N AUTEUR(S) OUVRAGE CODE 15 DUGHOUE, L.T. Manuel de statistique, 5 ème éd. Ottawa, éd. De l Université d Ottawa, 1979, 586p. 310.2 DAY 16 FOURASTIE, J. et S. Levy Statistiques appliquées à l économie. 310 FOU 17 GHORBANZADEH, D. Probabilités : exercices corrigés, Ed. Technip, Paris, 1998, 270p. 519.2 GHO 1998 18 GIARD, V. Statistique appliquée à la gestion : avec 70 exercices d application corrigés, Economica, 6 ème Ed. Paris, 1992, 512p. 310.02 GIA 19 GIARD, V. Statistique descriptive pour les gestionnaires, Economica, Paris, 1995, 112p. 658.403 3 GIA 1995 20 GIRAUD, R. et CHOIX, N. Econométrie, PUF, Paris, 1989, 354p. 330.015.195 GIR 21 GRAIS, B. Méthodes statistiques : techniques statistiques 310 DRA 22 HOWELL, D.C. Méthodes statistiques en sciences humaines, trad. De M. Rogier, Revue scientifique de V. Yvebyt et Y. Bestgzn., Paris, DE Boeck, Université, ITP, 1998, 821 p. 23 INADES-FORMATION Calcul économique : quelques éléments de mathématiques et statistiques économiques, Kinshasa, 76p. 24 JOHNSTON, J. Méthodes économétriques, trad. Par Bernard Guerrien, 3 ème éd. Paris, Economica, 1995, 359p. 310 HOW 331.028 INA 330.015.195 JOH 1995 25 JOHNSTON, J. Méthodes économétriques, trad. Par Bernard Guerrien, 3 ème éd. Paris, 330.015.195 Economica, 1988, 648p., tome 2. JOH 1988 26 JOHNSTON, J. & Dinardo, J. Méthodes économétriques, trad. Préf. de Bernard Guerrien, 4 ème éd. 330.015.195 Paris, Economica, 1999, 383p. JOH 27 JUSTENS, D. Statistique pour décideurs. 519.5 JUS 28 KAUFFMANN, P. Statistiques : information, estimation, tests. 310.02 KAU 29 KAZMIER, L.J. Statistiques de la gestion : théorie et problèmes, MC Graw-Hill, Série Schaum, Montréal, 1982, 374p. 310.02 KAZ 30 HAMBURG, M. Statistical analysis for decisions making, Brace and World Inc. Cop., New-York, 817p. 519.5 MOR 31 LARSEN, R.J. Statistics, Prentice-hall, 1990. 310 LAR 32 LAVIEVILLE, M. Statistique et probabilités : précis de cours accompagné d exercices corrigés, d un formulaire d analyse combinatoire et des tables 310.02 LAV numériques. 33 LECOUTRE, J.P. Probabilités : Exercices corrigés avec rappels de cours. 519.2 LEC 34 LECOUTRE, J.P., P. TOSSI et S. LEGRITMAILLE Statistique : Exercices corrigés avec rappels de cours, 2 ème Ed. complétée, Paris, A990, 278p. 519.5 LEC 35 MAILLET, P. Econom2trie, 2 ème éd., PUF, Paris, 1971, 127p. 658.403 3 36 MARTEL, J.M. et R. NADEAU Statistique en gestion et en économie. 310.02 MAR 37 MASIERI, W. Statistique et calcul des probabilités. 310 MAS 38 MASIERI, W. Statistique et calcul des probabilités, Ed. Dalloz, 2001. 519.2 MAS 2001 Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 54

Suite... N AUTEUR(S) OUVRAGE CODE 39 MONIERS, J-L. et J-L. SOL Statistique et probabilités : accès à l université, Dunod, Paris, 1994, 179p. 310.02 MON 40 RAFFIN, C. Statistique et probabilités : dogmes scientifiques, Armand Colin, Paris, 1993, 267p. 310.02 RAF 41 REAU, J.PH. et G. CHAUVOT Probabilité et statistiques : résumé des cours, exercices et problèmes corrigés. 519.2 REA 42 SANDERS, D.H. Statistiques : une approche nouvelle. 310 SAN 43 SINCICH, T. Statistics example, Dellen Mac millan, 4 ème Ed. New-York, 1993. 519.5 SIN 44 SMITH, L. Statistical Reasoning, Allyn and Bacon, 3d Ed. Boston, 1991. 519.2 SMI 45 SNEDECOR, L. et W. COCHRAN Statistical methods, 6 ème Ed. Anes : The Iowa State University Press, 1967, 593p. 310 SNE 46 SCHWARTZ, D. Méthodes statistiques à l usage des médecins et des biologistes, 4 ème éd. Paris : Flammarion, 1993, 314p. 311 SCH 47 TRIGNAN, J. Probabilités statistiques et leurs applications. 519.2 TRI 48 VERLAUT, B. G. SAINT-PIERRE Statistique et Probabilités : corrigé des exercices, Ed. Foucher, Paris, tome 2, 63p. 519.2 VER 1998 49 VESSEREAU, A. Méthodes statistiques en biologie et en agronomie, Paris : Technique et Documentation, 538p., 1998. 50 VESSEREAU, A. La statistique, PUF, 18 ème Ed. Paris, 1992, 127p. 311 VES 51 WEIMER, R.C. Statistics, 2 ème Ed., WCB, 1993. 310 WEI 310 VES 1988 Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 55

ANNEXE 5 Cellule de Réflexions Economiques et Sociales Ten Pager Avril 2010 Numéro. Copyright tsasajp cres 2010 Avertissement L analyse économétrique : Par où commencer? Jean-Paul TSASA Vangu Ce papier est le fruit d un effort consistant { rapprocher l analyse théorique et celle de phénomènes réels en économie. Noter déj{ { ce niveau que c est par un processus continu de défis et de réponses que la Science économique évolue. S inscrivant dans la logique de la préférence pour la simplicité dans la rigueur, nous nous sommes proposé d élaborer un papier qui montrerait l intérêt de l outil économétrique dans l analyse économique. Objectif : encourager les intéressés { se servir de l économétrie comme outil de travail et de ne pas la considérer comme un instrument de torture scientifique. 0. Introduction Dans ce papier, nous nous proposons de montrer à l étudiant inscrit en économie le rôle de l outil économétrique dans l analyse économique. Tout au long de son parcours universitaire et même après l université, l étudiant est appelé { réaliser des études ou analyses (travail pratique, mémoire, séminaire, etc.) ; alors parmi les multiples outils d analyse disponibles, l économétrie occupe sans nul doute une place de choix. Prenons un cas simple où il est demandé { l étudiant de mener une analyse sur les interactions existant entre le Produit Intérieur Brut (PIB) et la variation de l indice général des prix, généralement qualifiée de taux d inflation (INFLA). Plusieurs approches sont { la portée de l étudiant pour mener cette étude. Dans le cas où il décide de recourir { l outil économétrique, il pourra procéder comme suit. Avant de chercher à explorer le monde économétrique, l intéressé doit être { même de définir l «économétrie», c est-à-dire de cerner ses contours. Après avoir appréhendé les contours de l économétrie, l intéressé peut ensuite s interroger sur la nature de relations qui lient les variables sous examen. Il ne suffirait pas de préciser uniquement la nature de relation caractérisant les variables, faudra-t-il encore déterminer l influence qu exerce une variable sur l autre tout en respectant les hypothèses sous-tendant la méthode utilisée pour l analyse. Enfin, d une part, pour plus de rigueur et de rapidité lors de l étude et d autre part, pour aboutir { de résultat fiable et généralement admissible, l intéressé sera obligé de maîtriser au moins l utilisation d un logiciel économétrique. Le tableau suivant résume les différentes étapes { suivre pour l initiation { l utilisation de l outil économétrique. Tableau 1. Analyse économétrique Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 Etape 5. Avoir une idée sur l économétrie avant de l utiliser Source : réalisé par l auteur. Préciser le degré de relation entre les variables (dans ce cas PIB et INFLA) avant d approfondir l analyse Construire un modèle d analyse permettant saisir les interactions entre variables. Etablir les différents tests permettant de diagnostiquer la validité du modèle. Recourir à un logiciel pour l estimation du modèle. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 56

En vue de faciliter la compréhension, nous proposons une schématisation de l analyse économétrique. Ainsi, étant une initiation { l utilisation de l outil économétrique, ce papier offre donc { l intéressé une vision globale de la démarche qu il suivra afin de réaliser son étude. 1. Schématisation de l analyse économétrique Schéma 1. Analyse économétrique ANALYSE ECONOMETRIQUE CONTOUR DE L ECONOMETRIE ETUDES DE CORRELATION CONSTRUCTION DU MODELE VALIDATION DU MODELE *Qu est-ce que l économétrie? *Ses objectifs? *Format de données utilisées? *Principaux éléments présents dans les modèles? *Qu est-ce que la corrélation? *Coefficient de corrélation? *Corrélation VS Régression. *Limites de la corrélation. Test de spécification du modèle *Modèle de régression linéaire (Simple & multiple). *Modèle de régression non linéaire. *Modèle à décalage temporel. *Modèle à équations simultanées ou multiéquationnel TESTS DE SIGNIFICATIVITE *Test de Student *Test de Fisher TESTS DE DIAGNOSTIC *Test d autocorrélation *Test d hétéroscédasticité *Test de multicolinéarité TESTS COMPLEMENTS *Test de normalité *Test de stabilité APPLICATION DU MODELE SUR UN LOGICIEL ECONOMETRIQUE o o o Source : réalisé par l auteur. 1.1. Contour de l économétrie 1.1.1. Qu est-ce que l économétrie? Littéralement, l économétrie se définit comme étant une mesure de l économie. Wassily LEONTIEF (économiste américain d origine russe, Prix Nobel 1973) définit l économétrie comme un type spécial d analyse économique dans lequel l approche théorique générale souvent formulée en termes explicitement mathématiques se combine fréquemment au moyen de procédures statistiques complexes à la mesure empirique des phénomènes économiques. Jan TINBERGEN (économiste et statisticien néerlandais, Prix Nobel 1969) propose la définition suivante : L économétrie est une observation statistique de concepts théoriquement fondés, ou économie mathématique travaillant sur données mesurées. L économétrie pourrait donc être comprise comme une utilisation des mathématiques et de la statistique pour évaluer les relations de la théorie économique. Lire R. Barre, 1975, Economie Politique, Presse universitaire de France, Paris, pp 58-64, pour avoir une idée sur la genèse de l économétrie. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 57

1.1.2. Ses principales fonctions? L économétrie se propose de : - Estimer les relations. - Tester les théories. - Evaluer les politiques économiques. - Prévoir l évolution des grandeurs économiques. 1.1.3. Types de données? Il existe 3 types de données généralement utilisées en Econométrie. Tableau 2. Types de données DONNEES EN SERIE TEMPORELLE Syn. : CHRONIQUE, SERIE CHRONOLOGIQUE Correspondent à une suite finie de données indexées par le temps. Exemple : Evolution du taux de croissance du PIB réel en RDC de 20O0 à 2005. T 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Y t : Taux de croissance -7.18-2.66 3.22 5.73 6.64 6.20 DONNEES TRANVERSALES Syn. : CROSS-SECTION DATA, DONNEES INDIVIDUELLES, DONNEES EN COUPE Correspondent aux données où l indice rattaché à la variable sous examen indique l individu. Exemple : Niveau du taux de croissance économique en RDC, Lybie et Gambie en 2005. RDC Lybie Gambie Y i 6.20 4.28 4.70 DONNEES DE PANEL Syn. : DONNEES CROISEES Correspondent à un ensemble de données indexées par des indices indiquant l individu concerné (i) et le temps correspondant (t). Exemple : Evolution du taux de croissance économique en RDC, Lybie et Gambie de 2000 à 2005. Y Taux de croissance en % RDC Lybie Gambie it 2000 2001 2002 2003 2004 2005-7.18-2.66 3.22 5.73 6.64 6.20 1.15 4.52 3.26 9.13 4.39 4.28 5.33 7.57-3.80 7.70 5.10 4.70 Indice : t=temps Indice : i=individu Indice : i (individu) et t (temps) Source : réalisé par l auteur sur base de statistiques de la BAD. 1.1.4. Eléments principaux d un modèle économétrique? Modèle : représentation simplifiée, mais complète, de l évolution économique d une société, pendant une période donnée, sous un aspect chiffré. Comme une carte résumant la réalité géographique, la technique des modèles correspond à la cartographie de l économie. Donc, tout modèle implique une simplification et non une déformation. Dans un modèle, il y a lieu de distinguer : les variables, les relations et les paramètres. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 58

Tableau 3. Bref aperçu des éléments principaux d un modèle VARIABLES RELATIONS PARAMETRES Elles correspondent à de symboles (X, Y, x ou M) qui peut prendre toutes les valeurs d un ensemble donné, appelé domaine de la variable. On distingue les variables quantitatives de variables qualitatives. Variable quantitative Continue : Lorsqu elle prend une infinité des valeurs dans un intervalle donné. Discrète Variable qualitative Nominale Ordinale Note : une variable qui ne prend qu une seule valeur est appelée constante. CLASSIFICATION DES VARIABLES Variable dépendante (endogène ou expliquée) Variable indépendante (exogène ou explicative) Variables de flux Variables de stock Variable ex ante Variable ex post Variable temps Terme aléatoire On distingue : - Relations comptables Exemple : Y M = C M + S M T - Relations de définition ou Relations d identité Exemple : RT = Q*P ou Y d = C + S - Relations d équilibre Exemple : Y = C + I + X M - Relations fonctionnelles : *Relations de comportement Exemple : C = a + by *Relations techniques ; Exemple : Q = AK a L b. - Relations institutionnelles. Les valeurs prises par les paramètres peuvent être fixées à priori, estimés par référence au passé ou inconnus. Il y a lieu de distinguer : - Les propensions moyennes et marginales ; - Les productivités moyennes et marginales ; - Les élasticités ; - Les coefficients techniques. Différence entre ECONOMISTE & ECONOMETRE (ou ECONOMETRICIEN) : si l on considère à titre illustratif l analyse de la fonction keynésienne de consommation. - Economiste : Y= Co + bct - Economètre : Y = Co + bct + ε Source : réalisé par l auteur. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 59

1.2. Etude de la corrélation L étude de la corrélation permet de déterminer l intensité ou la force de la relation existant entre variables sous examen. L étude de la corrélation peut être scindée en deux catégories : l analyse de la corrélation proprement dite et l analyse de l ajustement. Schéma 2. Etude de la corrélation ETUDE DE LA CORRELATION AJUSTEMENT CORRELATION proprement dite Outil d analyse : * Diagramme de dispersion * Droite d ajustement, Droite d estimation ou Droite de régression. Outil d analyse : Coefficient de corrélation Méthodes : * Méthode de 3 points ; * Méthode de moindres carrés METHODE QUALITATIVE METHODE QUANTITATIVE Source : par l auteur. * : covariance entre Y et X et : écart-type de i. Soit n variable intervenant dans l étude de corrélation : - Si n = 2 : la corrélation est dite simple ; - Si n > 2 : la corrélation est dite multiple et dans ce cas, elle alimente la matrice de corrélation. Le domaine du coefficient de corrélation «r» est [-1, +1]. Le coefficient de corrélation linéaire, appelé aussi coefficient de Bravais-Pearson a été préalablement étudié par Galton. Tableau 4. Coefficient de corrélation et limites La corrélation entre variables peut être positive, négative, nulle ou maximale. CORRELATION POSITIVE ou DIRECTE : NEGATIVE : Exemple : Prix et Exemple : Prix et Quantité demandée Quantité produite (loi de (loi de la l offre). demande). Limites de la corrélation linéaire : Linéarité : en réalité, la relation entre variables n est pas forcément linéaire. Symétrie : cette étude traite les variables de manière symétrique. Le carré du coefficient de corrélation (r) est le coefficient le coefficient de détermination (R²) NULLE : MAXIMALE: La corrélation est maximale lorsque tous les points se confondent à la droite d ajustement. Corrélation n est pas causalité (corrélation trompeuse ou fortuite): le coefficient r mesure l intensité de la relation entre variables mais n exprime pas la relation de cause à effet. Source : réalisé par l auteur. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 60

APPLICATION 1 Ci-après est reprise l évolution du taux de croissance économique et du taux d inflation (en moyenne annuelle) en R.D. Congo de 2000 à 2008. Tableau 5. Evolution du PIB et du taux d inflation en RDC T Yt Xt 2000-6.9 511.2 2001-2.1 135.1 2002 3.5 15.8 2003 5.8 4.4 2004 6.6 9.2 2005 7.2 18.2 2006 5.6 21.3 2007 6.3 9.9 2008 5.9 27.6 Source : Banque Centrale du Congo Travail demandé : Mesurez l intensité de la relation entre les variables Yt (taux de croissance) et Xt (taux d inflation) et dites comment varient-elles? RESOLUTION Connaissant la formule du coefficient de corrélation, on dégage le tableau suivant qui permet de mesurer l intensité de la relation existant entre le PIB et l inflation : Tableau 5. Evolution du PIB et du taux d inflation en RDC )( -6.9 511.2-10.4 427.6-4447.04 108.16 182841.76-2.1 135.1-5.6 51.5-288.4 31.36 2652.25 3.5 15.8 0-67.8 0 0 4596.84 5.8 4.4 2.3-79.2-182.16 5.29 6272.64 6.6 9.2 3.1-74.4-230.64 9.61 5535.36 7.2 18.2 3.7-65.4-241.98 13.69 4277.16 5.6 21.3 2.1-62.3-130.83 4.41 3881.29 6.3 9.9 2.8-73.7-206.36 7.84 5431.69 5.9 27.6 2.4-56.0-134.4 5.76 3136 =3.5 =83.6 =186.12 =218624.99 A savoir : La moyenne arithmétique de w est donnée par : (intensité de la relation entre Y et X). Comme, ce que le taux de croissance du PIB réel et l inflation en RDC sont négativement corrélés c est-à-dire varient dans le sens contraire (si Yt augmente, Xt diminue et vice-versa). Limite : le coefficient r ne permet pas de préciser s il faudra augmenter la croissance pour diminuer l inflation ou il faudra diminuer l inflation pour promouvoir la croissance. Pour y parvenir, on recourt à l analyse de causalité. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 61

Note : En général, plus le coefficient est proche de 1, meilleure est la corrélation. Cependant, c est le nombre d observations n, ou plutôt le nombre de degrés de liberté (n - 2 pour une régression simple), qui détermine plus précisément une valeur limite, pour un niveau de risque d erreur donné, et il existe pour cela des tables du r. Elles sont rarement reprises dans les manuels de statistiques. Le tableau 6 (extrait de la table du coefficient de Pearson) permet de tester si le coefficient «r» est significatif avec un risque de 5% : Tableau 6 : Table du coefficient de Pearson n-2 = Degré de liberté Seuil de signification: α = 0.05 1 1.00 2 0.95 3 0.88 4 0.81 5 0.75 6 0.71 7 0.67 8 0.63 9 0.60 10 0.58 11 0.55 12 0.53 13 0.51 14 0.50 15 0.48 16 0.47 17 0.46 18 0.44 19 0.43 20 0.42 Ce tableau indique que pour un niveau de confiance de 0.95, le coefficient de 0,919 est significatif puisqu il est supérieur { 0.67 (n-2 = 7 degrés de liberté). Par ailleurs, le test t-student permet également d évaluer la signification du coefficient de corrélation c est-à-dire de préciser si la relation entre Y et X n est pas le fait d un hasard. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 62

Test de signification du coefficient r H 0 : le coefficient r est significativement nul (absence de corrélation). H 1 : le coefficient r est significativement différent de zéro. Décision : Rejeter H 0 Si * : t calculé et α : à lire dans la table de Student. En considérant l exemple précédent, il se dégage que : est supérieure à la valeur du t de la table de Student. et que 1.895 Comme, on rejette l hypothèse nulle ; le coefficient de corrélation entre le taux de croissance économique et le taux d inflation est donc significatif. Etant donné que le coefficient de corrélation est une mesure qualitative, la relation entre X et Y serait : parfaite si r = 1 d'intensité moyenne si r se situe entre 0,2 et très forte si r > 0,8. 0,5. forte si r se situe entre 0,5 et faible si r se situe entre 0 et 0.2. 0,8. nulle si r = 0 Détermination du coefficient de corrélation de Pearson à partir de logiciels Excel, Eviews et SPSS. La détermination du coefficient sur les différents logiciels nécessite une installation de chacun d eux dans le PC. Détermination du coefficient de corrélation à partir du logiciel EXCEL 1 ère étape : cliquer sur le menu DEMARRER 2 ème étape : aller dans TOUS LES PROGRAMMES 3 ème étape : cliquer sur Microsoft office et puis sur EXCEL 4 ème étape : Saisir les données, telles que reprises dans les 2 premières colonnes du tableau 5 ème étape : enregistrer et nommer le fichier ; «PEARSON» par exemple. 6 ème étape : écrire la commande : «=COEFFICIENT.CORRELATION (sélectionner la 1 ère colonne ; sélectionner la 2 ème colonne)» En validant (appuyer sur enter ), aussitôt le résultat apparait. Détermination du coefficient de corrélation à partir du logiciel EVIEWS 1 ère étape : cliquer sur le menu DEMARRER 2 ème étape : aller dans TOUS LES PROGRAMMES 3 ème étape : cliquer sur Eviews et puis sur EVIEWS 4 ème étape : Importer les données à partir du fichier Excel PEARSON (créé précédemment), en cliquant sur File Open 5 ème étape : Aller dans Fichiers de type Choisir Excel file (*xls) et ensuite, cliquer sur le fichier Excel PEARSON et puis sur : Ouvrir Suivant Terminer 5 ème étape : pour tester la corrélation entre deux Variables ; aller dans : View Correlations Pairwise samples ; ainsi obtient-on la matrice de corrélation. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 63

Détermination du coefficient de corrélation à partir du logiciel SPSS 1 ère étape : lancer le logiciel SPPS 2 ème étape : Importer les données à partir du fichier Excel PEARSON en cliquant sur l option : «ouvrir une source de données existante» 3 ème étape : aller dans type de fichier et choisir «Excel (*.xls)» 4 ème étape : cliquer sur ouvrir et puis sur OK 5 ème étape : pour calculer le coefficient de corrélation, aller dans : Analyse Corrélation Bivariée 6 ème étape : sélectionner chaque variable puis la faire passer dans la case à droite 7 ème étape : cliquer sur OK ; aussitôt les résultats s affichent. Note : si SIG (correspondant de p-value) est inférieur à 0.05, ce que le r de Pearson est significatif. Application d entraînement : Effectuer la même étude sur les données suivantes : - Taux de change annuel moyen (cours indicatif) et - Taux de croissance de la masse monétaire (M1) Note : Considérer la période allant de 1990 à 2009, ce qui correspond à 18 observations. To be continued 1.3. Construction du modèle d analyse 1.4. Validation du modèle d analyse Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 64

Voici juste une brève incursion de ce que nous aurons à développer aux points 1.3 et 1.4 dans les prochaines éditions : I. ESTIMATION PAR LA METHODE DES MOINDRES CARRES ORDINAIRES Instruction Eviews : Cliquer sur Quick Estimate Equation écrire son modèle et après valider. Par exemple : après instigations on remarque que le taux de croissance à la période t (variable dépendante ou endogène) est fonction du taux de croissance au temps t-1, du taux d inflation au temps t (variable dépendant ou exogène) ; on pourrait donc écrire dans la fenêtre : TXCROIS C TXCROIS(-1) TXINFL. Commande Eviews : Ou encore, on peut directement passer la commande suivante : LS suivi du modèle. Donc, on écrira : LS TXCROIS C TXCROIS(-1) TXINFL. Où LS = Least Squares (Moindres carrés) C est ainsi qu on obtient l estimation du modèle linéaire simple. II. TEST DE SIGNIFICATIVITE DES VARIABLES EXPLICATIVES D après ce test, appelé aussi test de student, la variable explicative (ou variable exogène) a une influence significative sur la variable expliqué (ou variable endogène) si : Probability < 0.05 et t-statistic > 1.96 (règle de pousse) Note : Prob = Probability =Probabilité critique. III. TEST DE SIGNIFICATIVITE GLOBALE DU MODELE D après ce test, appelé aussi test de Fisher, le modèle est globalement significatif si : Prob(F-Statistic) < 0.05 ou encore si F-statistic > F-théorique. IV. TEST D HYPOTHESE NULLE D HOMOSCEDASTICITE : TEST DE WHITE Ce test permet d évaluer l hypothèse de la constance de la variance résiduelle dans le temps et dans l espace : H 0 : modèle homoscédastique H 1 : modèle hétéroscédastique Où H 0 : hypothèse nulle et H 1 : hypothèse alternative ou hypothèse de soutien. Instruction Eviews : Cliquer sur : VIEW RESIDUALS TESTS WHITE HETEROSKEDASTICITY (no cross terms). Rejeter H 1 : Si Probability > 0.05 Rejeter H 0 : Si Probability 0.05 Si l on décide de rejeter H 1, ce que les estimations obtenues par les MCO sont optimales. V. TESTS D AUTOCORRELATION DES ERREURS Une des hypothèses de moindre carré veut que les erreurs de la période précédente n influe n aient aucune relation avec celles de périodes à venir. i. TEST DE DURBIN-WATSON : ε t = ε t-1 + μ t Ce test n est utilisé que si les conditions suivantes sont respectées : a. Le modèle doit impérativement comporter un terme constant ; b. Le nombre d observation doit être 15 ; c. Le modèle doit être spécifié en série temporelle ; d. La variable à expliquer ne doit pas figurer parmi les variables explicatives en tant que variable retardée (si c est le cas, alors utiliser le test du h de Durbin) Exemple : Y t = C + αx t +βx t-1 + δy t-1 + u t ; dans ce cas, on ne doit pas utiliser le test de D-w car la variable explicative(y t ) apparaît encore dans le modèle comme variable retardée parmi les variables endogènes. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 65

Soit, H 0 : Erreurs non corrélées (ρ = 0) H 1 : Erreurs corrélées (ρ 0) La statistique de Durbin-Watson est obtenue après estimation du modèle par la méthode des moindres carrés ordinaires. Comment prendre la décision? Pour commenter le résultat, il faut maîtriser quelques notions indispensables liées à la lecture de la table de Durbin-Watson. La statistique de Durbin-Watson est définie comme suit : DW = e t e t 1 ) 2 / e t 2 ) :(1) Supposons que t ; on aura e t-1 2 ) = e t 2 ). Et par conséquent, en développant l expression (1), nous obtenons : DW = 2 2ê Si ê = -1 : DW = 4 (Autocorrélation négative) = 0 : DW = 2 (Absence d autocorrélation) = +1 : DW = 0 (Autocorrélation positive) TABLE DE DURBIN-WATSON 0 2 4 Autocorrélation positive DOUTE Absence d autocorrélation DOUTE Autocorrélation négative dl dv 4-dV 4-dL Comment déterminer les valeurs de dl et dv se trouvant sur la table de D-W? Il faut se référer au tableau de D-W ayant la forme ci-après : Observation K = 1 K = 2 K = m dl dv dl dv dl dv 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18... n Note : K : nombre de variables explicatives, constante exclue ; n : nombre d observations et α = 0.05. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 66

Lors d une application, si vous tombez dans la zone de doute, dites-vous qu il y a présomption d autocorrélation. Il n y a absence d autocorrélation que si cette condition est remplie : dv < D-W < 4 dv. En cas d autocorrélation, on peut utiliser d autres méthodes la corriger : - La méthode d estimation de COCHRANE ORCUTT ou - Celle de HILDRETH-LU. ii. TEST DU h DE DURBIN Soit le modèle ci-après : Y t = C +ay t-1 + bx t + u t La statistique du h de Durbin est définie comme suit : avec ê = 1 (DW :statistique Durbin-Watson calculée sur le modèle linéaire autorégressif -QUICK ESTIMATION-). n: nombre d observations (sur Eviews, voir «Included observations») Sur le logiciel Eviews, la variance estimée du coefficient «a» (où «a» est toujours le coefficient de la variable expliquée reprise dans les variables explicatives comme variable retardée), soit σ â 2, correspond au carré de «Std Error» car la variance correspond à l écart-type élevé à la deuxième puissance. Hypothèses : H 0 : Erreurs non corrélées H 1 : Erreurs corrélées - Si h < 1.96 : rejeter l hypothèse alternative (ce que les estimateurs sont BLUE) ; - Si h 1.96 : rejeter l hypothèse nulle. VI. METHODE DE COCHRANE ORCUTT La méthode de Cochrane Orcutt est une méthode d estimation des paramètres qui doit être utilisée en cas de correction des erreurs. Donc, on n applique cette méthode que si les erreurs du modèle Y t = C +ay t-1 + bx t + u t sont corrélées. Instruction Eviews : Cliquer sur : QUICK ESTIMATE EQUATION écrire le modèle (par exemple : Y t C AR(-1) X t ) Pour savoir si la convergence est assurée après combien d itérations, il faut voir la ligne : «convergence achieved after» Voir ensuite la statistique D-W, lire dv et dl et déterminer 4-dV et 4-dL. Si l on obtient : dv < D-W < 4 dv, ce qu il s agit d une non corrélation des erreurs ; et par conséquent, la procédure Cochrane Orcutt a corrigé l autocorrélation des erreurs. VII. TEST DE NORMALITE DE JARQUE BERA La statistique de Jarque-Bera est définie comme suit : JB = n[s 2 /6 + (K-3) 2 /24] Où S : Skewness (coefficient de dissymétrie) et K : Kurtosis (coefficient d aplatissement) Instruction Eviews : Sélectionner les séries que l on veut tester et Cliquer sur Quick Group Statistics Descriptive Statistics Common Sample Series List puis cliquer sur OK. - On décide l hypothèse de normalité au seuil de 5% :Si JB < 5.99 ou si Probability (probabilité critique) > 0.05 ; - On rejette l hypothèse de normalité au seuil de 5% : Si JB 5.99 ou si Probability (probabilité critique) 0.05 ; Note : une série est dite log-normale si son logarithme est normal. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 67

VIII. TESTS DE STABILITE DES COEFFICIENTS DU MODELE Ce test est important lorsqu on cherche { comprendre les mécanismes de l évolution d une économie et aussi, lorsqu on se propose de réaliser des projections. L économie est soumis { des chocs (chocs de demande ou chocs d offre), ainsi, au passage de temps l instabilité des coefficients dans le modèle traduit ces événements. i. TEST DE CHOW(1960) Le test de Chow, appelé aussi test de changement structurel examine si les coefficients d une régression sont stables par rapport aux observations utilisées. Comme tout médaille comporte un révère, le test de Chow présente un inconvénient majeur : le choix du point de rupture par le modélisateur. Soit, H 0 : modèle stable H 1 : modèle instable Instruction Eviews : Cliquer sur : VIEW STABILITY TESTS CHOW BREAKPOINT TESTS choisir une année (par exemple : 1973) Le point de rupture est 1973 (premier choc pétrolier) Si toutes les probabilités critiques (Probability) sont supérieure à 0.05, ce que l on rejette H 1 ; donc, on décide que le modèle est stable sur la période sous analyse. ii. TESTS DE CUSUM DE BROW, DURBIN ET EVANS CUSUM= Cumulative SUM (test fondé sur la somme cumulée des résidus récursifs). Résidu récursif : c est l écart entre la prévision cumulée en t-1 par t et la réalisation en t. Les tests CUSUM sont des tests graphiques permettant { d admettre ou non l hypothèse de stabilité. L avantage de ce type des tests, ce qu ils permettent { l analyste de mener une étude de la stabilité d une régression sans définir a priori la date de rupture sur les coefficients : CRITERE DE STABILITE - Si la courbe sort du corridor, ce que les coefficients du modèle sont instables - Par contre, si la courbe ne sort pas du corridor, ce que les coefficients du modèle sont stables. Note : Corridor = intervalles defines par les pointillés. Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 68

Instruction Eviews : Cliquer sur : VIEW STABILITY TESTS RECURSIVE ESTIMATES (OLS only) *Si Test CuSum : cliquer sur CUSUM Test; *Si Test CuSum carré : cliquer sur CUSUM of Squares Test. Jean-Paul TSASA Vangu ADMINISTRATION DES AFFAIRES ETSCIENCES ECONOMIQUES CENTRE CONGOLAIS-ALLEMAND DE MICROFINANCE/ DAAD UNIVERSITE PROTESTANTE AU CONGO [Année académique2009-2010] Assistant Jean-Paul Tsasa V. Centre Congolais-Allemand de Microfinance-UPC/2009-2010 69