Chapitre un : Les grandeurs physiques et leur mesure 1.1 Dimensions. Homogénéité 1.2 Analyse dimensionnelle 1.3 Unités et bref historique du S.I 1.4 Le système international d unités 1. 1 Dimensions. Homogénéité En physique, il existe des grandeurs fondamentales et des grandeurs dérivées. Les grandeurs fondamentales sont : Grandeurs fondamentales La Longueur La masse Le temps L intensité du courant La température thermodynamique La quantité de matière L intensité lumineuse Leurs dimensions (symbole) Exemple 1 : l intensité d un courant électrique est donnée par : i = dq/dt où dq représente une quantité de charges et dt un intervalle de temps. donc dq = i dt 2 grandeurs fondamentales i et t dq : est une grandeur dérivée Exemple 2 : la vitesse d un mobile est donnée par : v = dl/dt où dl représente la distance parcourue et dt un intervalle de temps. Donc dl = v dt 2 grandeurs fondamentales l et t v : est une grandeur dérivée 1. 2 Analyse dimensionnelle La forme d une loi physique peut être obtenue par des considérations d homogénéité. Les grandeurs physiques qui interviennent dans une étude expérimentale d un phénomène physique peuvent être groupées sous forme d un monôme, il suffit d écrire alors que les deux 1/12
membres de l égalité obtenue sont homogènes (même dimension), pour trouver la forme de la loi. L équation aux dimensions G = L M T qui relie une grandeur dérivée G aux grandeurs fondamentales L M T relie aussi l unité dérivée g aux unités fondamentales l m t. La dimension est représentée par ce symbole : [ ] Exemple 3 : F = ma [F] = [m][a] = M LT -2 = LMT -2 c est l équation aux dimensions de F = ma avec [m] = M et [a] = L/T² = LT -2 Exemple 4 : a = v²/r [a] = [v²]/[r] [a] = LT -2 [v²]= (LT -1 )² = L²T -2 [R] = L [v²/r] = [v²]/[r] = L²T -2 /L = LT -2 donc on a bien une accélération. A partir des grandeurs fondamentales qui sont L, M, T, I,, N et J on peut créer des grandeurs dérivées. Certaines grandeurs n ont pas de dimension comme certaines constantes, attention pas toutes les constantes. Les fonctions mathématiques comme par exemple sin, cos, tan, exp, log n ont pas de dimension : : [sin] = 1 ; [cos] = 1. ;. Leurs arguments x non plus : sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), log(x) etc donc : [x] = 1. Exemples 4 : [ ] = 1 avec = 3.14 Force de newton F : G ] = [F] [r 2 ] /( [m] [m ] ) = L 3 M -1 T -2 avec G constante universelle de la gravitation u(t) =U 0 exp(-t/rc) décharge d un condensateur ; u ] = [U 0 ] ; [t/rc] = 1 x = x 0 cos( t + ) oscillation d une masse ; x ] = [x 0 ] ; t + ] = [ t]= [ ]=1 Attention : un angle n a pas de dimension mais il a une unité dans le système international : le radian. 2/12
Grandeurs Equation aux dimensions Noms (S.I.) Symbole Dérivés Unités géométrique Superficie L² Mètre carré m² Volume L 3 Mètre cube m 3 Masse volumique L -3 M Kilogramme par mètre kg.m -3 cube Angle plan 1 Radians rad Angle solide 1 stéradian sr Sommet d un cône Unité de masse Volume massique L 3 M -1 mètre cube par kilogramme m 3.kg -2 Unités de temps Fréquence T -1 Hertz Hz Unités mécanique Vitesse LT -1 mètre par seconde m.s -1 Accélération LT -2 Mètre par seconde carré m.s -2 Force LMT -2 Newton N Quantité de mouvement LMT -1 Kilogramme mètre par kg.m.s -1 p = m v seconde Moment d une force L²MT -2 Newton mètre N.m (M = F.d) Moment d inertie L²M Kilogramme mètre carré kg.m² I = md² Energie (E C = 1/2mv²) L²MT -2 Joule J Puissance (P = E/t) L²MT -3 Watt W Pression (P = F/S) L -1 MT -2 Pascal Pa Unités calorifiques Quantité de chaleur Q = m c L²MT -2 joule J (c chaleur massique) Chaleur massique c = Q/(m ) L²T -2-1 Joule par kilogramme par kelvin J.kg -1 K -1 Un angle n a pas de dimension mais il a une unité : le radian. La longueur de l arc l d un cercle est donnée par la formule suivante où est exprimé en radian. Cette formule étant homogène, on voit bien que l angle n a pas de dimension. Son unité dans le SI est le radian. l R l = R L unité S.I. de la température T de dimension et le Kelvin. 3/12
Le moment d une force (ou couple) et l énergie ont la même dimension mais ils n ont pas la même unité : N.m et J ( joule ) respectivement; il s agit de deux grandeurs physiques qui représentent des phénomènes différents. Il existe des grandeurs dérivées dans le domaine de l électricité. Grandeur Formule de définition dimension Unités S.I. Charge Q Q = It TI Coulomb Densité superficielle de charge = Q/s L -2 TI Coulomb /m² (C/m²) Densité volumique de charge = Q/v L -3 TI Coulomb/m 3 (C/m 3 ) Densité linéique de charge = Q/l L -1 TI Coulomb/mètre (C/m) Champ électrique E F = qe E = F/q LMT -3 I -1 Volt/mètre (V.m -1 ) Potentiel V E = U/d U = Ed L²MT -3 I -1 V (Volt) Cf ligne précédente Résistance R U = RI L²MT -3 I -2 Ohm ( ) Conductance G G= 1/R L -2 M -1 T 3 I² Siemens (S) Résistivité R = l /s = R s /l L 3 MT -3 I -2 Ohm.m (.m) Capacité C Q = CU C = Q/U L -2 M -1 T 4 I 2 Farad (F) Coefficient d auto-induction L e = -Ldi L²MT -2 I -2 Henry (H) (inductance) dt f.e.m. (V) Les constants de temps : [RC] = L²MT -3 I -2 x L -2 M -1 T 4 I ² = T [L/R] = L²MT -2 I -2 / L²MT -3 I -2 = T [ LC] = (L²MT -2 I -2 x L -2 M -1 T 4 I 2 ) 1/2 = T RC est un temps 1. 3 Unités et bref historique du S.I Un système d unités est dit cohérent s il n intervient pas de coefficient numérique dans la formule de définition des unités dérivées. On utilisera ici le système international. La création du Système métrique décimal au moment de la Révolution française et le dépôt qui en a résulté, le 22 juin 1799, de deux étalons en platine représentant le mètre et le kilogramme aux Archives de la République à Paris peuvent être considérés comme la première étape ayant conduit au Système international d'unités actuel. En 1832, Gauss œuvra activement en faveur de l'application du Système métrique, associé à la seconde définie en astronomie, comme système cohérent d'unités pour les sciences physiques. Gauss fut le premier à faire des mesures absolues du champ magnétique terrestre en utilisant un système décimal fondé sur tes trois unités mécaniques millimètre, gramme et seconde pour, respectivement, les grandeurs longueur, masse et temps. Par la suite, Gauss et Weber ont aussi effectué des mesures de phénomènes électriques. 4/12
Maxwell et Thomson mirent en oeuvre de manière plus complète ces mesures dans ces domaines de l'électricité et du magnétisme au sein de la British Association for the Advancement of Science (BAAS) dans les années 1860. Ils exprimèrent la nécessité d'un système cohérent d'unités formé d'unités de base et d'unités dérivées. En 1874, la BAAS introduisit le système CGS, un système d'unités tri-dimensionnel cohérent fondé sur les trois unités mécaniques centimètre, gramme et seconde, et utilisant des préfixes allant du micro au méga pour exprimer les sous-multiples et multiples décimaux. C'est en grande partie à l'utilisation de ce système que l'on doit les progrès de la physique, en tant que science expérimentale, observés par la suite, Les unités CGS cohérentes choisies pour les domaines de l'électricité et du magnétisme s'étant avérées mal commodes, la BAAS et le Congrès international d'électricité, qui précéda la Commission électrotechnique internationale (CEI), approuvèrent, dans les années 1880, un système mutuellement cohérent d'unités pratiques. Parmi celles-ci figuraient l'ohm pour la résistance électrique, le volt pour la force électromotrice et l'ampère pour le courant électrique, Après la signature de la Convention du Mètre le 20 mai 1875, le Comité international se consacra à la construction de nouveaux prototypes, choisissant le mètre et le kilogramme comme unités de base de longueur et de masse. En 1889, la 1ère CGPM 1 sanctionna les Prototypes internationaux du mètre et du kilogramme. Avec la seconde des astronomes comme unité de temps, ces unités constituaient un système d'unités mécaniques tridimensionnel similaire au système CGS, mais dont les unités de base étaient le mètre, le kilogramme et la seconde. En 1901, Giorgi montra qu'il était possible d'associer les unités mécaniques de ce système mètre-kilogramme-seconde au système pratique d'unités électriques pour former un seul système cohérent quadri-dimensionnel, en ajoutant à ces trois unités de base une quatrième unité, de nature électrique, telle que l'ampère ou l'ohm, et en rationalisant les expressions utilisées en électromagnétisme. La proposition de Giorgi ouvrit la voie à d'autres extensions. Après la révision de la Convention du Mètre par la 6ème CGPM en 1921, qui étendit les attributions et les responsabilités du Bureau international à d'autres domaines de la physique, et la création du CCE (maintenant CCEM) par la 7ème CGPM qui en a résulté en 1927, la proposition de Giorgi fut discutée en détail par la CEI, l'uippa et d'autres organisations internationales. Ces discussions conduisirent le CCE à proposer, en 1939, l'adoption d'un système quadri-dimensionnel fondé sur le mètre, le kilogramme, la seconde et l'ampère, une proposition qui fut approuvée par le Comité international en 1946. À la suite d'une enquête internationale effectuée par le Bureau international à partir de 1948, la 10e CGPM, en 1954, approuva l'introduction de l'ampère, du kelvin et de la candela comme unités de base, respectivement pour l'intensité de courant électrique, la température thermodynamique et l'intensité lumineuse. La 11ème CGPM donna le nom Système international d'unités (SI) à ce système en 1960. Lors de la 14e CGPM, en 1971, la mole fut CGPM : Conférence Générale des Poids et Mesures BIPM : Bureau International des Poids et mesures BAAS : British association for the advancement of science 5/12
ajoutée au SI comme unité de base pour la quantité de matière, portant à sept au total le nombre d'unités de base du SI tel que nous le connaissons aujourd'hui. Giovanni Giorgi (1871-1950) 6/12
Le BIPM et l'évolution de la définition du mètre 1872 Décision de fabriquer des mètres prototypes en se servant comme référence du mètre original conservé aux Archives de France. Le mètre et le kilogramme originaux, appelés Mètre des Archives et Kilogramme des Archives avaient été construits en 1799 comme représentant respectivement la longueur de la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre et la masse du décimètre cube d'eau. 1875 Signature de la Convention du Mètre. 1876-78 Rénovation des bâtiments du Pavillon de Breteuil et construction d'un laboratoire ; embauche du personnel ; acquisition de l équipement spécialisé pour les comparaisons de longueur et de masse. 1878-89 Construction et mesure de trente mètres prototypes et de quarante kilogrammes prototypes. Cela exigeait de comparer, avec une précision encore jamais atteinte, les nouveaux étalons, à traits et à section en X, entre eux et avec le Mètre des Archives, qui est un étalon à bouts. Cela impliquait la mise au point d'un appareillage spécial de mesure et d'une échelle de température définie et reproductible. Choix d'un prototype du mètre et d'un prototype du kilogramme destinés à devenir les Prototypes internationaux. Distribution des prototypes nationaux. Les Prototypes internationaux sont déposées le 28 septembre 1889 au BIPM 2 où ils sont encore conservés aujourd'hui. 1887 Michelson propose d'utiliser des interféromètres optiques pour mesurer les longueurs. Par la suite, en 1907, il reçoit le Prix Nobel de physique, principalement pour ses travaux en métrologie. 1892-93 Utilisation de l'interféromètre de Michelson au BIPM (par Michelson et Benoît) pour déterminer la valeur du mètre en longueurs d'onde de la raie rouge du cadmium. 1906 La mesure ci-dessus est confirme par Benoît, Fabry et Pérot au moyen de l'interféromètre de Pérot et Fabry. 1920 Prix Nobel de physique attribué Ch.-Ed. Guillaume, alors directeur du BIPM, pour son invention des alliages spéciaux fer-nickel, en particulier de l'invar. 1921-36 Premières vérifications des prototypes nationaux par comparaison entre eux et avec le Prototype international. Nouvelles déterminations améliorées du coefficient de dilatation des prototypes. 2 BIPM Bureau International des Poids et Mesures 7/12
1927 Accord international définissant l'angstrom, fondé sur les déterminations de la longueur d'onde de la raie rouge du cadmium faites en 1893 et 1906 ; l'angstrom ainsi défini sera utilisé comme unité de longueur en spectroscopie et en physique atomique jusqu'à ce qu'il soit abandonné en 1960. 1952 Le CIPM décide d'étudier la possibilité de redéfinir le mètre en fonction d'une longueur d'onde lumineuse et crée cet effet le Comité consultatif pour la définition du mètre devenu aujourd'hui le Comité consultatif des longueurs. 1960 La CGPM adopte une définition du mètre fondé sur la longueur d'onde dans le vide de la radiation correspondant une transition entre des niveaux d'énergie spécifiés de l'atome de krypton 86. Au BIPM, la mesure des règles à trait en fonction de cette longueur d'onde remplace les comparaisons de règles à traits entre elles ; installation d'un nouvel équipement pour faire ces mesures par interférométrie optique. 1975 La CGPM recommande pour la vitesse de la lumière dans le vide une valeur résultant des mesures de longueur d'onde et de fréquence du rayonnement d'un même laser. 1983 La CGPM redéfinit le mètre comme tant la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une fraction précise de seconde. Elle invite le CIPM à établir des instructions pour la mise en pratique de cette nouvelle définition. Le CIPM, ayant anticipé cette invitation, indique des méthodes générales pour relier directement les longueurs au mètre tel qu'il vient d'être défini. Parmi ces méthodes figure l'emploi de la longueur d'onde d'une des cinq radiations recommandées émises par des lasers ou de celles émises par des lampes spectrales. Les valeurs des longueurs d'onde et des fréquences, ainsi que les incertitudes associées, de ces radiations sont spécifiées dans la mise en pratique de la définition du mètre. Au BIPM, la comparaison de fréquences de lasers par battements optiques complète la mesure d'étalons à traits en fonction des longueurs d'onde de ces mêmes lasers. 1987 Afin de vérifier l'exactitude des réalisations pratiques du mètre fondées sur la nouvelle définition, le BIPM entreprend une nouvelle série de comparaisons internationales de longueurs d'onde de radiations laser, par interférométrie optique, et de fréquences, par battements. Ces dernières comprennent des comparaisons des composants des lasers, en particulier des cellules d'absorption qui contiennent les atomes ou les molécules sur lesquels le laser est asservi, ainsi que des comparaisons de l'ensemble (optique, tube à décharge, cellule d'absorption et électronique.) 1992 Le CIPM décide, compte tenu des travaux effectués dans les laboratoires nationaux et au BIPM, de diminuer notablement les incertitudes sur les radiations recommandées mises par certains lasers figurant dans la mise en pratique et porte leur nombre de cinq à huit. 1997 Le CIPM modifie la mise en pratique de 1992, en ajoutant quatre nouvelles radiations mises par des lasers, ce qui porte leur nombre à douze, et en diminuant une nouvelle fois les incertitudes associées aux radiations de certains lasers. Les travaux se poursuivent au BIPM, comme ailleurs, pour identifier tes facteurs qui limitent actuellement la reproductibilité des lasers, étalons de longueur d'onde et de fréquence. 8/12
1.4 Le système international d unités Le système International d unités a pour objet une meilleure uniformité, donc une meilleure compréhension générale mutuelle. Le Système International d unités est un système cohérent d unités qui comporte des unités de base et des unités dérivées. Les 7 unités de base sont à considérer comme indépendante du point de vue dimensionnel. Le SI donne également des recommandations concernant les règles conventionnelles pour l écriture des unités et des symboles. Unité de longueur : le mètre (m) Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 de seconde. Définition de la 17 ème Conférence Générale des Poids et Mesures de 1983 Unité de masse : le kilogramme (kg) Le kilogramme est l unité de masse. Il est égal à la masse du prototype international du kilogramme. Définition de la 1 ère CGPM de 1889 et de la 3 ème CGPM de 1901 Unité de temps : la seconde (s) La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l état fondamental de l atome de césium 133. Définition de la 13 ème CGPM de 1967. Unité de courant électrique : l ampère (A) L ampère est l intensité d un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de un mètre l un de l autre dans le vide produirait entre ces conducteurs une force égale à 2.10-7 newton par mètre de longueur. Définition de CIPM en 1946 et approuvée par la 9ème CGPM de 1948. Unité de température thermodynamique : le Kelvin (K) Le Kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273.16 de la température thermodynamique du point triple de l eau. Définition de la 13 ème CGPM de 1967. Il est décidé également par la 13 ème CGPM que l unité Kelvin et son symbole K sont utilisés pour exprimer un intervalle ou une différence de température. Unité de quantité de matière : la mole (mol) 9/12
La mole est la quantité de matière d un système contenant autant d entités élémentaires qu il y a d atomes dans 0.012 kilogramme de carbone 12. Lorsque l on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules, des ions, d autres particules ou des groupements spécifiés de telles particules. Définition de la 14 ème CGPM de 1971. Unité d intensité lumineuse : la candela La candela est l intensité lumineuse, dans une direction donnée, d une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.10-12 hertz et dont l intensité énergétique dans cette direction est de 1/683 watt par stéradian. Définition de la 16 ème CGPM de 1979. Grandeurs fondamentales Unité Symbole Longueur ( L ) mètre m Masse ( M ) kilogramme kg Temps ( T ) seconde s Intensité de courant électrique ( I ) ampère A Température thermodynamique ( ) kelvin K Quantité de matière ( N ) mole mol Intensité lumineuse ( J ) candela cd 10/12
Unités dérivées Grandeur Unité Symbole Fréquence hertz Hz Heinrich Hertz, Allemagne ( 1857-1894) Force newton N Issac Newton, Angleterre (1642-1727) Pression, contrainte pascal Pa Blaise Pascal, France (1623-1662) Energie, travail joule J James Joule, Angleterre (1818-1889 ) Puissance watt W James Watt, Ecosse (1736-1819 ) Quantité d électricité, charge électrique coulomb C Charles de Coulomb, France (1736-1806 ) Potentiel électrique, tension électrique, force électromotrice volt V Alexandro Volta, Italie (1745-1827 ) Capacité électrique farad F Michael Faraday, Angleterre ( 1791-1867 ) Résistance électrique ohm Georges Ohm, Allemagne ( 1789-1854 ) Conductance électrique siemens S Werner Von Siemens Allemagne (1816-1892) Flux d induction magnétique weber Wb Wilhelm Weber, Allemagne ( 1816-1892 ) Induction ( champ ) magnétique tesla T Nicola Tesla, Yougoslavie ( 1857-1943) Inductance henry H Joseph Henry, Etats Unis ( 1797-1878 ) Flux lumineux lumen lm Eclairement lumineux lux lx Activité d un radionucleide becquerel Bq Henry Becquerel, France ( 1852-1908 ) Dose absorbée, énergie communiquée massique, kerma, indice de dose absorbée gray Gy L.A Gray, Angleterre (1905-1965 ) Equivalent de dose sievert Sv Rolf Sievert, Suède (1896-1966 ) Température ( échelle Celsius ) Degré Celsius C Andres Celsius, suède (1701-1744 ) 11/12
SI MULTIPLES FACTEURS PREFIXES SYMBOLES 10 24 yotta Y 1000000000000000000000000 10 21 zetta Z 1000000000000000000000 10 18 exa E 1000000000000000000 10 15 peta P 1000000000000000 10 12 téra T 1000000000000 10 9 giga G 1000000000 10 6 méga M 1000000 10 3 kilo k 1000 10 2 hecto h 100 10 1 10 déca da SI SOUS- MULTIPLES FACTEURS PREFIXES SYMBOLES 10-24 yocto y 0.000000000000000000000001 10-21 zepto z 0.000000000000000000001 10-18 atto a 0.000000000000000001 10-15 femto f 0.000000000000001 10-12 pico p 0.000000000001 10-9 nano n 0.000000001 10-6 micro μ 0.000001 10-3 milli m 0.001 10-2 centi c 0.01 10-1 0.1 déci d 12/12