Table des matières 1 Le générateur d'automates Introduction Réalisation

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1 Université de REIMS Champagne-Ardenne UFR de Sciences Exactes et Naturelles Générateur de séquences de test Générateur d'automates aléatoires et statistiques S. GRUSON, L. PIERRE et C. RABAT Responsable : H. FOUCHAL D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004

2 Table des matières 1 Le générateur d'automates Introduction Réalisation ère étape : création des états ème étape : création des transitions ème étape : connexité de l'automate ème étape : post-traitements Création des transitions Remarques La G.S.L. 3 3 Statistiques En fonction du nombre d'états Profondeur Profondeur Profondeur Profondeur Profondeur Résultats En fonction du nombre de transitions En fonction du nombre d'étiquettes En fonction du nombre d'horloges Remarques 8 i

3 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 1/8 1 Le générateur d'automates 1.1 Introduction Le but est de créer un programme capable de générer des automates aléatoires. Ceux-ci sont utilisés afin de pouvoir vérifier statistiquement la validité des différentes étapes de l'algorithme du G.S.T.. Ainsi, si on s'aperçoit qu'il y a plus d'états contrôlés lors de la troisième étape, c'est à dire l'étape systématique, c'est que les deux premières étapes ne sont pas efficaces. Les automates générés doivent être aléatoires mais respecter certaines conditions, les mêmes qu'il est nécessaire d'avoir pour lancer le G.S.T. : connexité des automates (sinon, risques de bouclages infinis dans l'étape systématique), les états doivent être soit des états de sortie, soit des états d'entrée (c'est à dire un état n'ayant que des transitions de sortie pour un état de sortie et que des transitions d'entrée pour un état d'entrée), déterministes. Le résultat final du programme est un système d'automates aléatoires. Ce système peut être alors passé au G.S.T. et on récupère ainsi les statistiques. Évidement, comme il est possible de choisir le nombre d'automates, plus ce nombre sera grand, plus on aura une estimation précise. 1.2 Réalisation Il est possible pour l'utilisateur de fixer un certain nombre de constantes : Le nombre d'états : si on génère 100 automates, par exemple, tous auront le même nombre d'états, Le nombre minimal et maximal de transitions par états, Le nombre d'étiquettes différentes, Le nombre d'horloges ère étape : création des états La première étape est de créer tous les états. Comme on l'a dit précédemment, le choix a été de fixer leur nombre. Il aurait été possible de choisir le nombre minimum et maximum d'états. Cependant, ceci n'aurait pas joué dans les statistiques ème étape : création des transitions Une fois que tous les états ont été créés, on peut ensuite les relier en créant les transitions. On part tout simplement du premier état et on crée n transitions partant de cet état vers d'autres états, choisis aléatoirement. n est compris entre les deux bornes fixées. C'est à cette étape qu'une des contraintes de la connexité peut être contrôlée. En effet, si on choisit n 1 alors on est sûr qu'il sera possible de repartir de tous les états sur lesquels on arrive ème étape : connexité de l'automate Cette étape est nécessaire afin de s'assurer que l'automate est connexe : aucun état ou groupe d'états ne doit être séparés des autres et, de chaque état, il est possible d'atteindre tous les autres. Pour cela, on utilise un algorithme de recouvrement de graphe, grâce à des drapeaux sur chaque état :

4 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 2/8 fonction recouvrement(état_départ) Variable I:entier ; Début état_départ ψ 1; Pour i=1 à nombre_voisins faire Si vois[i].flag 6= 1 alors Recouvrement(vois[i]) ; Fin si ; Fin Pour ; Fin. Grâce à cet algorithme, on contrôle tous les états que l'on peut atteindre à partir de l'état initial. On contrôle ensuite que tous les états sont accessibles : fonction Transformation Variable i:entier ; t : transition ; Début Pour i=1 à nombre_états faire état[i].flag = 0 ; Fin pour ; recouvrement(état_initial) ; Tant que tous les états ne sont pas visités faire i=0; Tant que état[i].flag 6= 0 faire i=i+1; Fin tant que; t = transition_aléatoire de état[i-1] à état[i] ; ajouter_transition(état[i],t) ; recouvrement(état[i]) ; Fin tant que ; Fin. On lance tout d'abord la fonction de recouvrement à partir de l'état initial. Cette fonction va ensuite tester si tous les états de l'automate sont reliés à la racine, ce qui revient à dire que tous les champs flag des états sont à 1. Si ce n'est pas le cas, on recherche le premier état non relié et on le relie avec l'état précédent (qui lui est relié forcement à la racine). On lance ensuite la fonction de recouvrement. On recommence l'opération jusqu'à ce que tous les états soient reliés à la racine. Ensuite, on recommence l'opération à partir du second état, et ainsi de suite ème étape : post-traitements Pour le moment, on ne vérifie pas la minimalité des automates crées. Cependant, on s'assure qu'aucun état n'est identique à un autre, c'est à dire que toutes ses transitions sont identiques à celles d'un autre état Création des transitions La création des transitions se fait en plusieurs étapes. On parcourt chaque état et on réalise les opérations suivantes : On sélectionne aléatoirement le type de l'état qui sera soit d'entrée, soit de sortie. Toutes les transitions seront alors de ce type. On sélectionne aléatoirement l'état d'arrivée de la transition. On choisit aléatoirement l'étiquette.

5 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 3/8 On crée aléatoirement l'inéquation de garde. Pour créer une inéquation, on choisit aléatoirement chaque coefficient. On s'assure ensuite qu'au moins l'un d'entre eux n'est pas nul. 1.3 Remarques Ce générateur peut être amélioré sur plusieurs points : Les inéquations : à chaque transition, il est possible d'associer plusieurs inéquations. Pour le moment, une seule est générée. Les assignements : ils ne sont pas gérés. Ils sont mis à reset }. La minimalité : les automates créés ne sont pas minimaux. Certains états ne seront pas contrôlés donc le générateur en déduira que l'automate n'est pas minimal. Le déterminisme : on s'assure que chaque état est bien déterministe, c'est à dire que tous les types des transitions sont bien les mêmes. Cependant, deux transitions ne sont pas forcement disjointes. Le G.S.T. le supporte grâce à une fonction récursive. 2 La G.S.L. Le générateur d'automates utilise la G.S.L. pour la génération de nombres aléatoires. La G.S.L., pour GNU Scientific Library, est un ensemble de routines pour le calcul numérique. Elle propose une A.P.I. pour les programmeurs C et le code source est distribué sous la licence GNU General Public. Elle recouvre de nombreux domaines : le calcul sur les nombres complexes, les matrices et les vecteurs, les transformations Fast Fourier, les nombres aléatoires et les distributions aléatoires, etc... On peut la télécharger à l'adresse suivante : http :// Les générateurs de nombres aléatoires fournis par la G.S.L. ont des très longues périodes et une sérialisation très faible. Pour la génération d'un automate, la quantité de nombres aléatoires générés est très importante, d'où l'intérêt d'utiliser la G.S.L. On utilise deux lois pour les automates aléatoires. On détermine le type d'un état par une loi de bernoulli de probabilité 0,5. Pour tous les autres nombres (les transitions, les coefficients des inéquations, etc...), on utilise une loi uniforme. 3 Statistiques 3.1 En fonction du nombre d'états Dans cette section, on fixe le nombre de transitions (de 1 à 3), le nombre d'horloges (3) et d'étiquettes différentes (5). Ensuite, on fait varier le nombre d'états (10, 20, 50 et 100) et la profondeur limitée de l'étape 1 (de 1 à 5). On obtient les résultats suivants Profondeur 1 Nombre d'états Étape 1 63,46 % 60,35 % 59,96 % 50,30 % Étape 2 5,66 % 8,60 % 12,58 % 14,87 % Étape 3 32,99 % 31,05 % 27,46 % 34,83 %

6 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 4/ Profondeur Profondeur Profondeur Profondeur Résultats Nombre d'états Étape 1 88,79 % 88,08 % 90,54 % 88,11 % Étape 2 4,58 % 5,89 % 5,14 % 6,73 % Étape 3 6,62 % 6,03 % 4,32 % 5,16 % Nombre d'états Étape 1 94,51 % 94,31 % 96,16 % 95,63 % Étape 2 4,12 % 4,27 % 3,15 % 3,58 % Étape 3 1,37 % 1,42 % 0,69 % 0,79 % Nombre d'états Étape 1 95,84 % 95,55 % 97,31 % 97,35 % Étape 2 3,76 % 3,92 % 1,48 % 2,46 % Étape 3 0,40 % 0,54 % 0,13 % 0,07 % Nombre d'états Étape 1 96,09 % 95,91 % 97,44 % 97,88 % Étape 2 3,66 % 3,77 % 1,39 % 1,98 % Étape 3 0,25 % 0,33 % 0,09 % 0,14 % On peut en tirer plusieurs informations. Tout d'abord, on peut voir l'importance de la profondeur : Etape 1 Etape 2 Etape 3 Répartition à chaque étape en fonction de la profondeur Taux d états contrôlés Profondeur

7 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 5/8 A la profondeur 3, on voit très nettement un pas. Presque plus d'états ne sont contrôlés à l'étape 3 (l'étape systématique). On s'aperçoit que l'augmentation de la profondeur devient inutile au-dessus de 3 (on n'observe qu'un faible gain aux profondeurs supérieures). La seconde information que l'on obtient, c'est l'importance du nombre d'états. On regarde cette fois-ci à la profondeur 3. On obtient le schéma suivant : Répartition à chaque étape en fonction du nombre d états Etape 1 Etape 2 Etape Taux d états contrôlés Nombre d états Fig. 1: L'importance du nombre d'états A priori, le nombre d'états ne joue pas sur la répartition entre les étapes. Il faudrait cependant faire des observations sur des nombres beaucoup plus grands (500, 1000, 10000), ce qui est impossible pour le moment au niveau du temps d'exécution. 3.2 En fonction du nombre de transitions Après avoir fait varier la profondeur et le nombre d'états des automates, on fixe ces deux paramètres. On reste à la profondeur 3 et on se contente de 10 états. Par contre, on va varier le nombre de transitions et on obtient ceci : Nombre de transitions Étape 1 94,51 % 95,48 % 96,47 % Étape 2 4,12 % 3,85 % 3,11 % Étape 3 1,37 % 0,68 % 0,41 % Plus le nombre de transitions est grand, plus le calcul est long. On rappelle que le générateur supporte le non-déterminisme. Donc plus il y aura de transitions, plus le test d'acceptation de

8 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 6/8 séquences va être long : cette fonction est récursive et elle est très gourmande en temps de calcul. On obtient le graphique suivant : Répartition à chaque étape en fonction du nombre maximal de transitions par état Etape 1 Etape 2 Etape Taux d états contrôlés Nombre maximal de transitions par état Fig. 2: L'importance du nombre de transitions 3.3 En fonction du nombre d'étiquettes Dans cette partie, on garde un nombre d'états constant, mais on fait varier le nombre d'étiquettes différentes dans les automates. On se place à la profondeur 3 qui paraît être la meilleure au niveau du temps de calcul. Voici les résultats : On obtient les résultats suivants : Nombre d'étiquettes Étape 1 90,49 % 94,51 % 96,19 % Étape 2 6,20 % 4,12 % 2,14 % Étape 3 3,31 % 1,37 % 1,67 %

9 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 7/ Répartition à chaque étape en fonction du nombre d étiquettes Etape 1 Etape 2 Etape Taux d états contrôlés Nombre d étiquettes Fig. 3: L'importance du nombre d'étiquettes On note nettement une amélioration des performances de l'étape 1 lorsque le nombre d'étiquettes augmente (on augmente l'alphabet). C'est évident, puisque les étiquettes des transitions sont calculées aléatoirement. Donc plus l'alphabet est grand, plus la probabilité que deux transitions soient disjointes est importante. 3.4 En fonction du nombre d'horloges On fixe la profondeur à 3 et on fait varier le nombre d'horloges. On obtient : On obtient les résultats suivants : Nombre d'horloges Étape 1 94,51 % 93,08 % 93,81 % Étape 2 4,12 % 5,65 % 5,34 % Étape 3 1,37 % 1,27 % 0,85 %

10 URCA D.E.S.S. R.S.I. 2003/2004 Générateur de séquences de test 8/ Répartition à chaque étape en fonction du nombre d horloges Etape 1 Etape 2 Etape Taux d états contrôlés Nombre d horloges Fig. 4: L'importance du nombre d'horloges A priori, le nombre d'horloges ne fait pas trop varier les performances des différentes étapes. 4 Remarques Le générateur d'automates aléatoires (M.K.A.) a été utile pour tester le G.S.T. En particulier, il a permis de corriger de nombreux bugs, notamment au niveau de la gestion mémoire. Il reste certaines modifications à apporter à ce logiciel : Les assignements et les reset ne sont pas gérés. Les inéquations de garde ne suivent aucune règle. En particulier, les horloges sont positives et cette contrainte n'est pas prise en compte. Le générateur de séquences de test supporte les variables (entiers et tableaux d'entiers), mais le M.K.A. ne génère aucune variable. La minimalité des automates n'est pas assurée. Le générateur supporte des automates non minimaux et les rejette 1. Cependant, dans le cas d'un rejet, ceci n'arrive qu'à la fin du calcul car le générateur tente de contrôler le plus d'états possible. 1 le rejet n'est pas automatique. Il est tout à fait possible d'arriver à différencier des états dans un automate non minimal. Mais deux états n'ayant qu'une transition pointant vers un même état, par exemple, ne seront pas contrôlables.