Enseigner les mathématiques en école d ingénieurs

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1 62 P. STRUILLOU [9] Aline Robert, Outils d analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et à l université, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 18/2, [10] Aline Robert et Marc Rogalski, Comment peuvent varier les activités mathématiques d élèves sur des exercices? Le double travail de l enseignant sur les énoncés et sur la gestion en classe, Revue «petit» x, 60, p. 6-25, [11] Marc Rogalski, Les changements de cadre dans la pratique des mathématiques et le jeu de cadre de Régine Douady, dans les Actes de la journée en hommage à Régine Douady, Publication de l IREM de l université Paris-Diderot, [12] Marc Rogalski, avec la collaboration de Nicolas Pouyanne et Aline Robert, Carrefours entre analyse algèbre géométrie, Ellipses, [13] Janine Rogalski et Marc Rogalski, Contribution à l étude des modes de traitement de la validité de l implication par de futurs enseignants de mathématiques, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 9, Strasbourg, [14] Laurence Viennot, En physique pour comprendre, Grenoble Sciences (EDP Sciences), [15] Laurence Viennot, Raisonner en Physique, De Boeck, Bruxelles, Enseigner les mathématiques en école d ingénieurs Patrice Struillou Cet article témoigne d une expérience d enseignement des mathématiques dans une école d ingénieurs recrutant des étudiants de provenances diverses. Il définit les objectifs qu il est possible d atteindre dans le contexte particulier de ce type d écoles, tenant compte des contraintes de temps et de niveau, ainsi que des attentes des autres disciplines. Si l on exclut le cas des écoles les plus prestigieuses, qui continuent à recruter via un concours exigeant les meilleurs élèves, les écoles d ingénieurs françaises sont confrontées actuellement à une diversité de population qui fait que l on s est sensiblement éloigné du modèle classique «Classe Prépa - Grande École» qui continue pourtant d être véhiculé dans les médias. La réalité est toute autre puisqu actuellement un élève-ingénieur français sur deux n est pas passé par les CPGE. Par exemple, dans l école où enseigne l auteur de ces lignes 1, la majorité du recrutement provient bien des CPGE (six filières différentes, ce qui implique déjà une certaine diversité), mais on trouve aussi suivant les années 25 à 30% d élèves issus d IUT et quelques élèves issus des filières universitaires «académiques» (L3 ou M1). Les élèves de CPGE sont sélectionnés sur des épreuves relativement ambitieuses et tenant compte de leur parcours (banque de notes Mines-Ponts pour les MP/PC/PSI, banque PT pour les PT, banque Centrale-Supélec pour les TSI, concours ATS pour les ATS). Pourtant, on constate que parmi les intégrés, seuls les MP sont réellement à l aise avec les mathématiques. Les PSI, PC et PT s en 1 École Nationale Supérieure des Sciences Appliquées et de Technologie - Lannion - U. Rennes 1.

2 ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES EN ÉCOLE D INGÉNIEURS 63 sortent néanmoins très correctement (avec des exceptions) tant que le niveau d abstraction n est pas trop élevé. Tous les autres profils (notamment TSI, ATS, élèves d IUT) sont susceptibles d éprouver des difficultés avec notre discipline pouvant les conduire à redoubler une année, voire à compromettre l obtention de leur diplôme. Les ratio indiqués plus haut concernant la provenance des étudiants sont évidemment variables suivant les écoles : si certaines continuent de ne recruter que très peu d étudiants d IUT, pour beaucoup d entre elles c est devenu un recrutement primordial pouvant dépasser en nombre celui des élèves des CPGE. De plus les formations d ingénieurs en apprentissage se sont fortement développées ces dernières années. Or, les apprentis sont presque tous passés par un diplôme de technicien supérieur. Tout ceci n est pas sans conséquence sur l enseignement des mathématiques, dont un enjeu actuel majeur est de réussir à gérer l hétérogénéité des profils d élèves. Face à cette situation, divers témoignages de collègues montrent que dans certaines écoles, la tentation est grande de traiter le problème du risque d échec en opérant par «ablation» des mathématiques! Dans d autres écoles, le remède choisi est heureusement un peu moins radical mais tout de même problématique : les mathématiques y sont partiellement ou totalement enseignées par des nonmathématiciens, dans le but avoué de coller aux applications sans formalisme ni démonstrations jugées «inutiles». Cette «stratégie» peut se trouver renforcée en période de pénurie où chaque renouvellement de poste fait l objet de tractations entre les différents départements d une école. Il est clair qu en cas de litige, le risque est grand de voir «ce qui sert» prendre encore un peu plus la place de notre matière dans les écoles d ingénieurs. Pourquoi enseigner des mathématiques en école d ingénieurs? Certains collègues se posent vraiment la question (et certains élèves encore plus). Les non-mathématiciens qui soutiennent l enseignement des mathématiques (ils existent, évitons de tomber dans la paranoïa) donnent presque tous la même raison : parce qu on en a indéniablement besoin en physique, en traitement du signal, en mécanique, en informatique théorique... Mais c est justement au nom de ce principe d utilité que parfois ils se sentent plus qualifiés pour les enseigner que les mathématiciens eux-mêmes. Les mathématiques ont un statut particulier parmi les scientifiques : lors de leurs études, les mathématiques étaient incontournables. Pour peu que la réussite dans la matière ait été au rendez-vous, certains peuvent avoir l impression d en savoir assez pour les enseigner en marge de leur enseignement principal (c est souvent le cas de collègues utilisant des techniques mathématiques dans leur recherche ou leur enseignement). Pourtant, dans cette matière comme dans les autres, un minimum de recul est indispensable pour apporter aux étudiants autre chose que quelques «recettes» directement utilisables. Chacun reconnaît que pour enseigner en collège ou lycée, un CAPES ou une agrégation dans la discipline est indispensable, mais pour enseigner en école d ingénieurs, n importe quelles études scientifiques conviendraient? Les arguments les plus simples étant souvent les meilleurs, à chaque fois que l on rencontre un collègue argumentant sur les avantages qu il y aurait à confier les enseignements de mathématiques à des utilisateurs éclairés, il est amusant de voir sa réaction lorsqu on lui demande s il serait d accord pour confier à un mathématicien un

3 64 P. STRUILLOU cours de physique, ou de traitement du signal, ou de n importe quoi d appliqué s appuyant sur un modèle mathématique. J ai pour ma part la chance d enseigner dans une école où les directions successives ont soutenu notre discipline, ce qui a permis à notre petite équipe de quatre mathématiciens de développer un programme relativement ambitieux au vu de la diversité des profils. Malheureusement, dans de nombreuses écoles le volume horaire alloué aux mathématiques n autorise pas tous les choix que je vais maintenant décrire. Tout d abord, les élèves issus d IUT sont séparés des élèves issus des CPGE et des premiers cycles universitaires pendant un semestre complet. Le but est de tenter d homogénéiser les publics en donnant à ces élèves un complément de mathématiques générales, pendant que leurs camarades suivent des enseignements de base dans les spécialités de l école (électronique, informatique, optique). Ils complètent ainsi les connaissances de mathématiques acquises à l IUT en suivant 100 h d algèbre linéaire et d analyse (40 h de cours magistral et 60 h de TD). Il n est pas question d exiger de ces élèves de grandes prouesses calculatoires car ils n ont pas le temps de développer de technicité. Par contre, il est tout à fait envisageable de renforcer pendant ce semestre les concepts et les méthodes que nous jugeons essentiels pour la suite : applications linéaires et représentations matricielles, valeurs propres et vecteurs propres, réduction des endomorphismes dans le cas diagonalisable, principes de résolution des équations linéaires par recherche du noyau et d une solution particulière avec application aux équations différentielles linéaires, formules de Taylor locale et globale, développements limités, séries numériques et séries entières, intégrales généralisées. Ils sont évalués souvent (interrogations courtes, devoirs maison et examen final) afin de maintenir une certaine pression et de leur permettre de se situer par rapport aux objectifs. Comme ces élèves sont recrutés parmi les meilleurs de leur IUT, ceux d entre eux qui jouent le jeu accèdent à un niveau très acceptable qui leur permet de suivre les enseignements plus difficiles du second semestre et de la deuxième année. Néanmoins, certains sont en échec en mathématiques dès leur intégration de l école et vont traîner ce problème pendant toutes leurs études. Au début du second semestre, nous rentrons dans le vif du sujet : sur les trois années de la formation, tous les élèves de l ENSSAT (hors apprentissage) vont suivre entre 200 et 220 h de mathématiques dites «de l ingénieur» (110 h pour les apprentis), obligatoires et spécifiques à la spécialité choisie (électronique, informatique ou optronique). Deux raisons expliquent un démarrage si tardif pour une matière sur laquelle s appuient bien des fondamentaux technologiques : d une part, les élèves issus de prépa ne choisissent leur filière qu à l issue d un tronc commun d un semestre (le premier semestre est une période de détermination pour ces élèves) ; d autre part, ceux issus d IUT doivent terminer leur remise à niveau en algèbre et analyse avant d envisager l enseignement des mathématiques de l ingénieur. Décrivons le programme de première année (second semestre). Pour les électroniciens et les optroniciens : rudiments d intégration (convergence dominée, Fubini...), initiation aux distributions, convolution, transformation

4 ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES EN ÉCOLE D INGÉNIEURS 65 de Fourier dans L 1 et S, espaces préhilbertiens et développement sur une base de fonctions orthogonales (polynômes orthogonaux, séries de Fourier), fonctions différentiables, fonctions holomorphes (généralités, théorie de Cauchy, théorème des résidus). Les optroniciens étudient de plus les fonctions de Bessel (à cause de leur omniprésence dans les problèmes de propagation guidée) et les électroniciens la transformation en z (qui est un outil très proche des fonctions génératrices, remplaçant la transformation de Laplace dans l analyse des signaux discrets). Pour les optroniciens s ajoute un cours de méthodes numériques (interpolation, intégration numérique, équations différentielles, méthode de Newton, systèmes linéaires,...). Nous disposons d un peu plus de 80 h pour traiter ce programme (120 h en optronique). Pour les informaticiens : rudiments de mathématiques du signal (transformation de Fourier et convolution dans L 1 ), équations récurrentes, fonctions génératrices, application à des calculs de complexités d algorithmes, algorithme Transformée de Fourier Rapide (FFT), ainsi qu un cours de logique mathématique. Nous disposons pour tout cela d environ 70 h. Tous ces thèmes ont été choisis en concertation avec les collègues enseignant le traitement du signal, l optique et l algorithmique. Je parlerai du niveau attendu et des particularités de ces cours dans la suite. Décrivons d abord les programmes de deuxième et de troisième années afin d avoir une vue globale. Tous les élèves suivent un enseignement de probabilités générales avec des variantes suivant la filière, d une durée de 30 à 40 h : espaces probabilisés, conditionnement, variables aléatoires réelles discrètes et continues, variables aléatoires à valeurs dans R n, vecteurs gaussiens, convergences stochastiques, loi des grands nombres et théorème central limite. Tous les élèves suivent de plus un enseignement de 30 à 40 h de probabilités appliquées : estimation statistique pour tous, tests statistiques pour les électroniciens et les informaticiens, chaînes de Markov et files d attente pour les informaticiens, processus stochastiques plus généraux pour les électroniciens et les optroniciens. Les élèves d optronique ont un gros cours (60 h) sur les EDP : caractéristiques, classification, équations intégrales et problèmes de Sturm-Liouville, problèmes d évolution, problèmes de Dirichlet, résolution de problèmes de Cauchy linéaires par transformation de Fourier, de problèmes mixtes (conditions initiales et conditions frontières) par séparation des variables, solutions fondamentales, résolution numérique par différences finies, formulation variationnelle et introduction à la méthode des éléments finis. Les informaticiens ont un cours orienté vers les fondamentaux de l algorithmique (calculabilité, complexité des problèmes), ainsi qu un cours de théorie des langages (comme préliminaire au cours de compilation). Cet ensemble occupe environ 30 h. Les électroniciens et les informaticiens ont un cours de 20 h d optimisation (libre, sous contraintes d égalités, sous contraintes d inégalités, théorie et algorithmes), les objectifs et les enseignements étant différents dans les deux filières (méthode du simplexe, optimisation combinatoire pour les informaticiens). Les électroniciens ont de plus un cours de 20 h de méthodes numériques orienté vers le traitement du signal avancé.

5 66 P. STRUILLOU Enfin, les informaticiens ont un cours de 20 h d initiation à la cryptographie : arithmétique, cryptographie à clé privée (DES, AES), à clé publique (RSA, ElGamal, protocoles de signature et d identification), génération de nombres premiers, rudiments sur le chiffrement par courbes elliptiques. Parmi les évolutions envisagées très récemment, le cours d optimisation délivré aux informaticiens évoluerait vers de la recherche opérationnelle et les notions de probabilités appliquées seraient réorganisées dans la filière Informatique dans le but de proposer un cours complet de théorie de la décision. Les files d attente disparaitraient, leur utilisation en théorie des réseaux étant affaire de spécialistes, mais heureusement les modèles markoviens continueraient à être enseignés dans d autres contextes. On verrait apparaître un cours de mathématiques pour la synthèse d images dans la filière Informatique. Pour être complet, signalons que les apprentis de la filière Informatique, Multimedia et Réseaux suivent quant à eux 170 h de mathématiques sur les trois années de la formation : 80 h de remise à niveau en algèbre linéaire et analyse et 90 h de probabilités et statistiques, mathématiques du multimedia et cryptographie. Cet horaire est plus important que ce qui est généralement alloué aux mathématiques dans les formations d ingénieurs en apprentissage, mais il reste à notre avis trop faible pour atteindre des résultats corrects en terme d assimilation avec des élèves issus d IUT (voire de BTS), surtout dans une formation morcelée. Nous avons ainsi, je crois, un programme à la fois riche, relativement ambitieux et susceptible d applications nombreuses et variées. Il a été construit lors de réunions animées avec les collègues non-mathématiciens susceptibles de l exploiter dans leurs cours. Pour réussir à maintenir l exigence de rigueur inhérente à la discipline dans le temps alloué, il a fallu arbitrer entre les différents thèmes à traiter. Les objectifs sont donc sensiblement différents des cours analogues enseignés dans les deuxièmes cycles des universités et il faut tenir compte de tous les publics possibles. Le programme de mathématiques de l ENSSAT n est qu un exemple. Il convient évidemment d adapter les programmes aux spécialités des écoles. Cependant, les écoles attribuant moins de 200 h (sur les trois ans du cycle ingénieur) aux mathématiques de l ingénieur auront plus de mal, me semble-t-il, à satisfaire à certaines des recommandations de la CTI 2. Voici en effet ce que dit le document Analyse & Perspectives 3 (paragraphe E.1.1) au sujet des objectifs et des attentes de la CTI concernant la formation des ingénieurs en mathématiques : Par essence, les mathématiques, sont applicables à tous les champs disciplinaires, puisqu elles permettent d identifier les structures communes à toutes sortes de problèmes. Elles ont été créées pour systématiser la résolution de problèmes pratiques de construction, de commerce, etc. C est l abstraction de l essentiel qui permet la généralité des applications. Elles sont maintenant au cœur de toutes les sciences et technologies dans l analyse de toute situation qui requiert une modélisation. Dans la formation des ingénieurs aux mathématiques, il y a lieu de distinguer trois aspects : 2 Commission des Titres d Ingénieurs, organisme évaluant les écoles périodiquement. 3 L un des documents édité par la CTI permettant aux écoles de préparer l obtention de l habilitation à délivrer le diplôme d ingénieur.

6 ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES EN ÉCOLE D INGÉNIEURS 67 (1) Un aspect méthodologique : la formation à la rigueur, à l analyse et à la synthèse. (2) Un ensemble de notions de base, relevant de diverses parties de la discipline mathématique et formant la «grammaire des autres sciences». Elles sont requises dans toute activité à caractère scientifique, notamment dans le dialogue interdisciplinaire. (3) Des aspects plus spécialisés. Ils interviennent comme éléments d ouverture scientifique, en appui à d autres disciplines ou en tant que champs d applications autonomes. Dans toute formation d ingénieur, les deux premiers aspects sont incontournables. Les compétences minimales attendues au terme d une formation d ingénieur sont : (1) La capacité à représenter mathématiquement une situation concrète : formalisation ou modélisation. (2) La capacité à résoudre un problème : choix du mode de résolution, mise en œuvre de la méthode choisie. Ces capacités doivent être développées au moins dans les champs disciplinaires que sont : (1) Les probabilités et les statistiques. Par exemple, probabilités discrètes et continues. (2) Les processus stochastiques, tests et estimations, analyse de données. (3) L analyse. Par exemple, analyse fonctionnelle, analyse numérique, optimisation, équations différentielles et aux dérivées partielles. (4) Les mathématiques discrètes. Par exemple, théorie des graphes, optimisation discrète, recherche opérationnelle, combinatoire, algèbre et ses applications, logique et complexité. Nota bene Les programmes des CPGE étant en forte évolution ces dernières années, notamment dans le domaine des mathématiques, les écoles d ingénieurs devront rester à l écoute de ces évolutions et adapter en conséquence leurs programmes de formation pour que les éléments qui demeureraient indispensables soient acquis dans le cadre de l école. Malgré l appui de la CTI rappelé ici, il est illusoire d espérer faire perdurer notre matière dans les maquettes pédagogiques des écoles d ingénieurs sans interaction forte avec les collègues des autres disciplines. Le plus efficace est de repérer les plus réceptifs de ces collègues et de développer une étroite collaboration pédagogique avec eux. J ai signalé plus haut qu il n était guère possible dans le volume alloué «d aller au fond des choses», mais qu il était absolument nécessaire de rester rigoureux. Il faut refuser de céder à la facilité en dispensant des cours de «recettes» directement applicables mais dont les élèves ne connaissent pas les limites. Par contre, tout ce qui est enseigné doit l être de façon à «rester fonctionnel». Donnons quatre exemples qui vont illustrer la différence d approche dans l enseignement de notions classiques en licence et master de mathématiques lorsqu il s agit de les présenter en école d ingénieurs. (1) Il n est guère envisageable de manipuler efficacement les intégrales multiples en restant dans le cadre strict de l intégrale de Riemann enseignée en premier cycle.

7 68 P. STRUILLOU Il est également bien pratique de pouvoir négliger des ensembles de mesure nulle dans certains calculs du cours de probabilités. On rencontre enfin constamment des intégrales à paramètres qu il faut traiter avec le maximum de rigueur. Pour autant, est-il absolument nécessaire de définir la notion de fonction mesurable et de construire l intégrale de Lebesgue pour justifier l utilisation du théorème de Fubini ou la dérivation d une transformée de Fourier? On peut, il me semble, se contenter de définir la mesure de Lebesgue des intervalles et donner tout de même des énoncés de théorèmes d intégration complets. Ce qui compte, c est d y faire appel lorsqu on en a besoin. Avec des élèves ingénieurs, on peut par exemple dériver d abord formellement une intégrale à paramètre sous le signe, retrouver ainsi les hypothèses du théorème de dérivation (qui sont très naturelles), puis les vérifier proprement. Par contre, passer un temps précieux à leur faire comprendre ce qu est une fonction mesurable en sachant pertinemment qu elles le sont toutes en pratique est d intérêt discutable, sauf si l objectif est d aller assez loin en probabilités (cas de certaines formations d ingénieurs). (2) Enseigner les distributions comme en master de mathématiques n est pas souhaitable, les objectifs ne sont pas les mêmes. À l opposé, si l on confie les distributions à un enseignant de traitement du signal, il y a de fortes chances que les élèves n entendent même pas parler de fonctions tests : les distributions seront manipulées formellement, comme des fonctions. La notion de fonction test est difficile à saisir pour les élèves. Comme l horaire de mathématiques est limité, on peut être tenté d abandonner l enseignement des distributions et laisser les utilisateurs se débrouiller avec leurs «fonctions généralisées». En dehors des distributions proprement dites, on retrouve pourtant la notion de fonction test en probabilités (détermination de la loi d une v.a. X par calcul de l espérance de f (X )) et en EDP dans la formulation variationnelle. Une solution pédagogique acceptable est de montrer comment l action sur les fonctions tests permet de généraliser naturellement les opérations courantes sur les fonctions sans insister sur la continuité des formes linéaires. Notons d ailleurs qu en pratique, de même que les fonctions sont mesurables, les formes linéaires sur D ou S sont continues. Pour des élèves ingénieurs, il est tout à fait envisageable de faire une introduction des distributions utilisable pour les applications en évitant les questions topologiques difficiles. (3) Les notions d analyse de Fourier (au sens large) sont essentielles en ingénierie (par exemple : analyse et synthèse d un signal à l aide de signaux monofréquentiels ou d ondelettes, projection sur une base hilbertienne, détermination des modes de propagation en optique guidée, etc). Mais pour des élèves ingénieurs il vaut mieux insister sur le calcul effectif du projeté que sur des questions telles que la complétude de l espace de Hilbert de travail. Bien sûr, la complétude est sousjacente, mais cela dépasse un peu nos élèves, alors qu ils comprennent plutôt bien l intérêt d approcher un signal par une combinaison linéaire de «fonctions analysantes» (d autant plus que le cours est en général suivi d applications par nos collègues à l aide d algorithmes tels que FFT ou analyse en ondelettes). (4) Il est difficile d envisager de faire dans les écoles d ingénieurs caractérisées par un recrutement très diversifié un vrai cours d analyse fonctionnelle. Pour contourner les difficultés en restant rigoureux, on peut par exemple donner les résultats essentiels sur le spectre des opérateurs intégraux autoadjoints, appliquer cela au problème de Sturm-Liouville, qui lui même sera exploité dans la résolution

8 ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES EN ÉCOLE D INGÉNIEURS 69 de problèmes aux limites d EDP par «séparation des variables». Le cours correspondant en master de mathématiques parlerait d opérateur compact et de spectre du laplacien, et serait beaucoup plus satisfaisant mathématiquement parlant mais bien moins convaincant au niveau des applications possibles. Avec un bon groupe d étudiants, on peut d ailleurs tout à fait envisager de faire par exemple le lien entre la solution de l équation de la chaleur avec conditions aux limites de type Dirichlet calculée par séparation des variables et le spectre du laplacien-dirichlet. Il n en reste pas moins qu avec ce type d élèves, il faut absolument aller au bout du calcul dans des cas simples, donner une solution effective et ne pas se contenter d idées générales. Soyons honnête, malgré les aménagements que j ai décrits, l intérêt des élèves pour la discipline est variable et les résultats sont moyens, sauf pour les élèves issus de la filière MP. Ce serait bien pire dans le cadre d un enseignement plus classique. Avec un public aussi varié, le risque existe de mettre en péril la réussite de certains élèves, en particulier ceux issus d IUT ou de prépa ATS. Les notes qu obtiennent certains élèves nous montrent que les objectifs restent trop ambitieux pour, disons, un quart de la promotion. Nous avons pourtant tendance à considérer que d avoir réussi à sensibiliser les trois autres quarts aux fondements mathématiques de leurs spécialités est une petite réussite. De plus, pour limiter le nombre d élèves ingénieurs en échec à cause des mathématiques, nous les encadrons fortement et les évaluons fréquemment, sous forme d interrogations intermédiaires, de devoirs maisons, de C.R. de TP, de petits projets et bien sûr d un examen final. Pour résumer, les mathématiques peuvent et doivent trouver leur place dans cet environnement particulier qu est une école d ingénieurs à recrutement diversifié, mais il faut certainement pour cela consentir à des aménagements dans la pédagogie et les évaluations. Les collègues enseignant les applications doivent être intégrés à la réflexion sur les programmes. Cela peut même les intéresser fortement mais comme ce n est que rarement leur priorité, c est aux mathématiciens de faire le premier pas.