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1 Simulations de systèmes quantiques fortement corrélés: propriétés magnétiques, supraconductrices et influence du désordre Sylvain Capponi Laboratoire de Physique Théorique - IRSAMC Université Paul Sabatier

2 Méthologie du groupe Fermions Fortement Corrélés Systèmes d intérêt: Magnétisme quantique Oxydes supraconducteurs à haute température Gaz atomiques ultrafroids Techniques numériques: Diagonalisation Exacte Monte-Carlo quantique (systèmes bosoniques/fermioniques) Monte-Carlo variationnel Algorithme DMRG (Density Matrix Renormalization Group)

3 Méthologie du groupe Fermions Fortement Corrélés Systèmes d intérêt: Magnétisme quantique Oxydes supraconducteurs à haute température Gaz atomiques ultrafroids Techniques numériques: Diagonalisation Exacte Monte-Carlo quantique (systèmes bosoniques/fermioniques) Monte-Carlo variationnel Algorithme DMRG (Density Matrix Renormalization Group)

4 Quelques exemples en physique des solides modèles de dimères quantiques Dynamical dimer correlations at bipartite and non-bipartite Rokhsar Kivelson points réseaux d atomes avec interaction problème à N corps! M J. Stat. Mech. (2008) P01010 Figure 4. Cubic lattice. Left panel: low energy zoom ω [0, 0.3] of D x (Q, ω) along the same path in the Brillouin zone as in figure 3. Right panel: supplementary low energy data for D x (Q, ω) along the kagome path (π, π, 0) (π, π, π). The dashed white lines with the filled circles denotes the measured ω Dx fm (Q) for both panels, and is in good" agreement with the expected k 2 dispersion close to (π, π, π). Note that the maximum intensity of D x t>0 t<0 " (Q, ω) rapidly deviates from the expected k 2 -law and becomes linear, revealing the remnant of the linearly dispersing photon mode of x the 0.5U(1)-liquid Coulomb phase. x 0.5 point respectively. The equal time structure factor is smooth on the triangular lattice, due to the short ranged nature of the dimer correlations in real space. Looking more closely at the low energy part of the spectral functions in figure 6 one recognizes that the intensity carrying modes at the onset of the dimer spectrum are much less dispersive than the SMA prediction suggests. Furthermore the broadening can vary through the Brillouin zone. For instance, the spectrum is very broad at the X point, while it is much sharper close to the M point, see figure 7. These observations strongly suggest that the dimer waves excited by the operator (2) are not the true elementary excitations of this dimer model. Indeed the elementary excitations# are known to consist of so-called visons which # are non-local in terms of dimers and for which the dispersion has been computed [4]. Real dimer excitations can be understood as excitations of two or more visons. Here, the lowest energy dimer excitation (at the M point) is formed by a bound state of two visons [4]. On the basis of the single-vison -4-2dispersion 0 relation 2 4 [4], we 6 have-2plotted 0 in figure 6 the bottom of the two-vison continuum. By comparing to the spectral weight A(k,!) [a.u.]!/t!/ t

5

6 Complexité exponentielle Exemple du modèle d Ising: 2 états par site H = ij S z i S z j 2 N configurations Modèle de Heisenberg: version quantique H = ij Modèle classique du magnétisme, simulable par Monte-Carlo (échantillonage) Ŝ i Ŝj = ij (S zi S zj + 12 (S+i S j + S i S+j ) ) E. Ising ( ) même espace des états, mais dynamique quantique... Pas d algorithme efficace en général... W. Heisenberg ( )

7 Ingrédients Espace des configurations (espace de Hilbert) 1) Représentation binaire des états, techniques efficaces de lookup 2) Utilisation des symétries Matrice de l opérateur Hamiltonien 1) Représentation en matrice creuse (mémoire ou disque) 2) Calcul on the fly Algèbre linéaire: résolution du problème aux valeurs propres 1) Diagonalisation complète avec LAPACK par exemple 2) Algorithme itératif (Lanczos) nécessite seulement une multiplication matrice-vecteur Observables 1) Quantités statiques (corrélations de spin, charge...) 2) Observables dynamiques (fonctions spectrales, densité d états,...)

8 Notre projet: diagonalisation de 40 sites avec symétries Aimantation fixe [H, Ŝz ]=0 Nombre d états maximal: C = nécessite ~1To Groupe de symétries: 40 translations et groupe ponctuel C4 facteur de réduction mais nécessite une implémentation des symétries... Hamiltonien frustré: pas de Monte-Carlo possible (problème de signe) Véritable challenge!

9 Quelques informations sur le code Code personnel flexible de diagonalisation exacte en Fortran90 Fait partie du groupe des benchs Calmip depuis plusieurs années Implémentation OpenMP First-touch policy Gros besoin en mémoire RAM

10 Mesure du temps par itération (code OpenMP) 300 Nup=28 Nup= Nup=26 Nup=25 Nup= temps cpu (s) Nup=23 Nup=20 log(16)/log(p) efficacité nb de coeurs (p) nb de coeurs (p) 0

11 Mesure du temps par itération (code OpenMP) temps cpu (s) Nup=28 Nup=27 Nup=26 Nup=25 Nup=24 Nup=23 Nup= configurations ~ 100 Gb efficacité log(16)/log(p) comportement normal pour les simulations dont la taille mémoire correspond à une 0.2 blade (16 cœurs et 128 Gb de RAM) nb de coeurs (p) nb de coeurs (p) 0

12 Mesure du temps par itération (code OpenMP) temps cpu (s) Nup=28 Nup=27 Nup=26 Nup=25 Nup=24 Nup=23 Nup= efficacité Scaling intéressant! et performances même pour les cas les plus demandeurs (1.3 Tb de RAM) 0.4 log(16)/log(p) nb de coeurs (p) nb de coeurs (p) 0

13 Mesure du temps par itération (code OpenMP) 300 Efficacité = temps cpu (s) p min temps(p min ) p temps(p) Nup=28 Nup=27 Nup=26 Nup=25 Nup=24 Nup=23 Nup=20 Comportement de weak-scaling log(16)/log(p) efficacité nb de coeurs (p) nb de coeurs (p) 0

14 Conclusions Implémentation des symétries pour des modèles de magnétisme quantique Simulation OpenMP efficace possible en optimisant les opérations matricevecteur (on the fly) et en veillant à la first-touch policy. Code latency-bound et weak-scaling Perspectives: organisation en mémoire? next-touch policy sur machine NUMA? Implémentation MPI (problème non trivial à cause des symétries) etc. afin de pouvoir résoudre 50 sites

15 Solution: Vers un ordinateur quantique... Richard Feynman a dit: Nature isn't classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you'd better make it quantum mechanical, and by golly it's a wonderful problem, because it doesn't look so easy. Premier ordinateur quantique (en fait quantum annealer, capable de résoudre un problème de verre de spin NP complet, i.e. aussi un problème de voyageur de commerces)

16 Solution: Vers un ordinateur quantique... Richard Feynman a dit: Nature isn't classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you'd better make it quantum mechanical, and by golly it's a wonderful problem, because it doesn't look so easy. Premier ordinateur quantique (en fait quantum annealer, capable de résoudre un problème de verre de spin NP complet, i.e. aussi un problème de voyageur de commerces)

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