Les vecteurs. 1er cas : C (AB) 2ème cas : C (AB) Vocabulaire : A est l'origine et B est l'extrémité du vecteur. Représentants d'un vecteur

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1 Les vecteurs I. Translation de vecteur AB a) Définitions Définition : A et B désignent deux points du plan La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan, l'unique point D tel que les segments [AD] et [BC] ont le même milieu 1er cas : C (AB) 2ème cas : C (AB) D est le point tel que ABDC est un parallélogramme On dit que ABDC est un parallélogramme aplati Définition : La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur AB notée t AB A B La flèche indique le sens de A vers B Vocabulaire : A est l'origine et B est l'extrémité du vecteur b) Vecteurs égaux Définition : Dire que deux vecteurs AB et CD sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B associe au point C le point D. On note : AB = CD Propriété : Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati Représentants d'un vecteur Sur la figure ci-contre, la translation de vecteur AB transforme aussi C en D et E en F. On a donc : AB = CD = EF On dit que les vecteurs AB, CD, EF sont des représentants d'un même vecteur que l'on peut également noter u Remarque : Lorsque les points A et B sont confondus, le vecteur AB est le vecteur nul. On le note 0. M. Philippe 26/09/17 Page 1 / 5

2 II. Sommes de vecteurs a) Relation de Chasles Propriété : Effectuer une translation de vecteur AB suivie d'une translation de vecteur BC revient à effectuer une translation de vecteur AC. On note cela : AB + B C = AC. Cette relation s'appelle la relation de Chasles b) Règle du parallélogramme la règle du parallélogramme : Soit ABDC un parallélogramme. On a l'égalité : A B + AC = AD c) Addition de deux vecteurs Soient u et v deux vecteurs quelconques du plan. On cherche à construire le vecteur somme u + v. Pour cela, soit A,B,C et D quatre points du plan tels que AB = u et CD = v. Construire le vecteur somme u + v revient donc à construire. On construit alors le point E tel que BE = CD On a alors : AB + CD = AB + =. D où u + v = M. Philippe 26/09/17 Page 2 / 5

3 d) Opposé d un vecteur La relation de Chasles permet d écrire : AB + BA = AA. Or AA = donc AB + BA = d où AB =. On dira que les vecteurs AB et BA sont. De manière générale, u désigne l opposé de u Construire l'opposé de u sur la figure ci-dessous e) Soustraction de deux vecteurs Soient u et v deux vecteurs. Soustraire le vecteur v au vecteur u, c est additionner son opposé v à u : u v = u + ( v ) Pour cela, on applique la méthode vue au Iic) III- Coordonnées d un vecteur a) Lecture des coordonnées d un vecteur Exemples : Sur la figure ci-contre : La direction de u est parallèle à l axe des abscisses La direction de v est parallèle à l axe des ordonnées Le point B est le transformé de A par la translation de vecteur u suivie de la translation de vecteur v La longueur du vecteur u étant 2 dans le sens des abscisses positives et celle de v étant 3 dans le sens des ordonnées négatives, on dit que les coordonnées du vecteur AB sont 2 et 3 et on note : AB ( 2 ; 3 ) u v b) Une propriété intéressante Propriété : deux vecteurs ont les mêmes coordonnées si et seulement si ils sont égaux C'est une conséquence de la lecture graphique. Si AB= CD, le déplacement horizontal et vertical pour aller de A vers B ou de C vers D est le même d'où l'égalité des coordonnées M. Philippe 26/09/17 Page 3 / 5

4 c) Calcul des coordonnées Propriété : Dans un repère (O,I,J) du plan, soient A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) deux points Les coordonnées du vecteur AB sont : AB ( x B x A ; y B y A ) Exemple : On donne A(2 ; 1) et B( 5 ; 4 ). Calculer les coordonnées du vecteur AB d) Règles de calculs Propriété : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x;y) et (x';y') le vecteur u + v a pour coordonnées u v ( x+x ' ; y+y' ) Application: Soit A(1;1), B(3;2) et C(5;-4). Déterminer les coordonnées du point D définie par AD= AB+ CB a revoir IV- Multiplication d'un vecteur par un nombre a) Définition Définition : Le point C défini par : AC = k AB est tel que les points A, B et C sont alignés et : C [AB) avec AC = k AB si k est positif C [AB) avec AC = k AB si k est négatif Exemple : Ici, on a AC = 3 AB Ici, on a : AC = 3 AB Conséquence sur les coordonnées Soit u un vecteur de coordonnées (x;y). Le vecteur k u, où k est un réel, a pour coordonnées (kx ;ky) M. Philippe 26/09/17 Page 4 / 5

5 b) Colinéarité de vecteurs Définition : Dire que deux vecteurs u et v sont colinéaires signifie qu il existe un réel k tel que u = k v Remarque : Le vecteur 0 est colinéaire à tout vecteur u car 0 = 0 u Le trapèze ABDC ci-contre est tel que AB = 5 et CD = 2 Le vecteur CD n'est pas un représentant du vecteur AB car les longueurs AB et CD ne sont pas égales. On peut cependant écrire la relation vectorielle suivante : CD = 2 5 AB A noter que dans un repère, on vérifie facilement que deux vecteurs sont colinéaires à partir de leur coordonnées. Il suffit de trouver le reel k tle que l'un égal k fois l'autre Conséquence 1: Points alignés Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires A, B, C alignés AC = k AB Conséquence 2 : Droites parallèles Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et MN sont colinéaires (AB) // (MN) AB = k MN M. Philippe 26/09/17 Page 5 / 5