DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées

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1 DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Université de Caen Basse-Normandie 31 août 2015 UCBN MathStat 31 août / 29

2 Première partie I Mathématiques financières Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

3 Chapitre UCBN MathStat 31 août / 29

4 Comment arrondir des chiffres en e Calcul d arrondis cas général on arrondit les sommes en euros au centime le plus proche. cas exceptionnel si on a un se terminant exactement par 1/2 centime, on choisit d arrondir au centime inférieur. : e e e Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

5 Chapitre UCBN MathStat 31 août / 29

6 Conversion d une durée en années mois La conversion de m mois en année se fait au prorata du nombre de mois dans l année a = m 12. jours La conversion de j jours an année se fait au prorata d un nombre de jours conventionnel français de 360 jours : a = j 360. Le mois équivalent dure 30 jours. Cette durée doit être précisée sur le contrat. après 2015 Attention, les calculs de conversion de jours en années doivent être fait impérativement sur la base d une année civile de 365 jours non bissextile jours, sauf mention express et non plus sur une base de 360 jours dite année lombarde. Voir l article du Parisien. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

7 Conversion d une durée en années 2 mois a = jours a = jours a = > 1 année lombarde 365 jours a = = 1 année non bissextile après an 6 mois a = = 1, 5 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

8 Chapitre UCBN MathStat 31 août / 29

9 Paragraphe UCBN MathStat 31 août / 29

10 placement capital C taux d intérêts simples x% [0, 1] par an pendant une durée de t années Définition Les intérêts simples de ce capital à la fin de ce placement sont de I t = Cxt Définition La valeur acquise de ce capital à la fin du placement est définie comme la somme du capital et des intérêts. A t = C + I t = C(1 + xt) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

11 Remarques Les intérêts ne portent que sur le capital initial. les intérêts ne produisent pas d intérêts. Ce type d intérêts n est utilisé généralement que pour des durées de prêts courtes de moins de une année. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

12 Valeur actuelle Définition La valeur actuelle d un capital A(t) à verser dans t années est le capital C qu il faudrait placer aujourd hui pour avoir une valeur acquise au bout de t années de A(t) dans les même conditions. temps Capital Intérêt Total 0 C 0 C inconnu t C I (t) A(t) = C + I (t) connu Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

13 Valeur actuelle Quelle est la valeur actuelle d un capital C à verser dans t = 90 jours d une valeur de A(90j) = 1000 eplacé à un taux de x = 3% par an avec des intérêts simples. A(t) = C(1 + xt) C = A(t) 1 + xt 1000 C = e Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

14 Paragraphe UCBN MathStat 31 août / 29

15 Placement Exemple On place 100 e avec des intérêts simples de 10% par an pendant 55 jours. Quels seront les intérêts à la fin de ce placement. C La capital initial est de C = 100 e. x Le taux des intérêts simples est de x = t La durée de ce prêt est de 55 jours. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

16 Solution Conversion de la durée en jours en durée en année. La durée d une année est estimée à 30 jours x 12 mois soit 360 jours, t = Calcul des intérêts à la fin du placement. I = Cxt = e Les intérêts de ce placement sont de 1.53 e. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

17 Emprunt Exemple Afin d acheter une voiture Joackim emprunte à la somme de 5000 e avec des intérêts simples annuel de 8% par an pendant 11 mois. Quel est le coût de son emprunt? C La capital initial est de C = 5000 e. x Le taux des intérêts simples est de x = t La durée de ce prêt est de 11 mois. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

18 Solution La durée de ce prêt exprimée en année est de t = Les intérêts sont de I = Cxt = e Les intérêts de ce prêt sont donc de e. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

19 Exemple Représentation graphique Jonas place la somme de 1000 eavec des intérêts simples annuelde 5%. On veut évaluer le capital acquis au bout de t années de ce prêt. Le capital acquis au bout de t années se calcule par la formule A t = C(1 + 5 t) = t 100 t A Table : Valeurs acquises Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

20 Figure : Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29 MathStat On trace Représentation graphique la valeur acquise A t en ordonnées ou axe vertical en fonction de durée du prêt t en abscisses ou axe horizontal. A=valeur acquise A= t t=durée en années

21 Interprétation Droite Les points se trouvent sur une même droite, on dit que la fonction qui lie la valeur acquise à la durée du placement est affine A = t Pente L intérêt annuel de ce placement est constant chaque année et est de 50 e. Ce gain annuel est aussi appelé pente de la droite. C est le coefficient de t dans l expression t. Tracé Pour tracer la droite on calcule uniquement deux points particuliers par exemple pour t = 0 et t = 10, ensuite on relie les points par une ligne droite. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

22 Deux placements Félicia fait le même jour deux placements dans deux banques différentes banque A la somme de 1000e avec un taux d intérêts simples annuel de 5% banque B la somme de 900 e avec un taux d intérêts simples annuel de 6% Quand est ce que le capital acquis par le placement dans la banque B va être supérieur à celui de la banque A. On évalue les intérêts acquis pour une durée de t années. Les intérêts acquis pour la banque A sont de A banquea = 1000( t) B sont de A banqueb = 900( t) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

23 Représentation graphique A banque A banque B A= t A= t t Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

24 Résolution algébrique On cherche les temps t pour les quels la valeur acquise par le placement dans la banque B va être supérieur à celui de la banque A. A banquea A banqueb t t t t La valeur acquise dans la banque B sera supérieure à celui de la banque A après 5.72 années soit 6 années. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

25 Deux placements Félicia fait le même jour deux placements dans deux banques différentes banque A la somme de 1000e avec un taux d intérêts simples annuel de x A % banque B la somme de 900 e avec un taux d intérêts simples annuel de x B % Est ce que les valeurs acquises dans la banque A et la banque B peuvent être égales? On évalue les intérêts acquis pour une durée de t années. Les intérêts acquis pour la banque A sont de A banquea = 1000(1 + x A t) B sont de A banqueb = 900(1 + x B t) Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

26 Résolution algébrique On cherche un durée t > 0 pour la quelle la valeur acquise par le placement dans la banque B va être égal à celui de la banque A. A banquea = A banqueb x A t = x B t 100 = (900x B 1000x A )t. Premier cas si 900x B 1000x A 0 alors au temps 100 t = 900x B 1000x A les deux valeurs seront égales. Deuxième cas si 900x B 1000x A = 0, l équation s écrit 100 = 0 c est impossible, elle n a pas de solution. Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

27 Réponse Comme on recherche un temps t > 0 : Les deux valeurs acquises peuvent être égales après une durée t > positive si et seulement si 900x B 1000x A > 0 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29

28 Deuxième partie II Index UCBN MathStat 31 août / 29

29 Arrondis, 4 Conversion d une durée en années, 6 Index I, 10 Calcul d intérêts simples, 15 Coût d un emprunt, 17 Comparaison de deux placements, 22, 25 Représentation graphique, 19 Valeur acquise, 10 Valeur actuelle, 12 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat 31 août / 29