I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons

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1 Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Septième TD - Corrigé 5 avril 16 I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons 1. La masse volumique moyenne de l étoile à neutrons est donnée par ρ = 3M 4πR (1 4 ) kg.m 3 On rappelle les valeurs pour le Soleil ρ kg.m 3 et pour la naine blanche du TD correspondant ρ NB kg.m 3. L étoile à neutrons est près d un milliard de fois plus dense. Pour se faire une idée, on obtient une densité comparable si l on prend la population humaine entière M = kg et qu on la fait tenir dans un morceau de sucre V 1 cm 3 = 1 6 m 3.. L impulsion de Fermi pour un système de fermions à température nulle est ( ) 6π N p F = s+1 V En introduisant la masse volumique moyenne de l étoile assimilée à un gaz de neutrons N V = M m n V = ρ m n et le paramètre x n = p F /(m n c), on a, puisque s = 1/, Numériquement, on a ( ) 3π p F = ρ et x n = p F m n m n c = ( ) 3π c m 4 ρ n ] x n ( ) ( ] 3 ( ) ) Les neutrons sont donc relativistes (sans être ultrarelativistes). La température de Fermi correspondante est p T F = F c +m n c4 m n c = m nc ( ) 1+x k B k n 1 B

2 Numériquement T F (3 1 8 ) ( ) 1+(.5) (5/3) K 7/5 L approximation de température nulle est donc justifiée puisque T T F. 3. L énergie gravitationnelle et l énergie de masse sont respectivement de l ordre de et E g GM R (/3) 1 1 (3 1 3 ) J E M Mc (3 1 8 ) J En faisant le rapport, on obtient le paramètre de relativité Ξ = E g E M = GM Rc. Le fait que Ξ ne soit pas très petit devant 1 montre que les effets de relativité générale ne peuvent être ignorés, du fait du champ gravitationnel très intense. En comparaison, on a pour le Soleil et la naine blanche du TD correspondant (R NB = 5 km) Ξ (3 1 8 ) 1 6 et Ξ NB = Ξ R R NB II - Pulsars 1. Si l astre tournait trop vite sur lui-même les forces centrifuges à l équateur deviendraient plus importantes que la gravité. L étoile perdrait alors de la matière. On doit donc avoir, pour une particule de masse µ située à la surface de l étoile et à l équateur, µω R GµM R Ω = π P GM R 3 P π R 3 Inversement, si l on observe un signal périodique de période P qu on attribue à la rotation, on en déduit une limite inférieure à la densité moyenne de l étoile Numériquement, pour le pulsar du Crabe, ρ ρ = M V = 3M 4πR 3 3 Ω 4π G = 3π GP (/3) 1 1 (3.3 1 ) = kg.m 3 Cette densité est trop grande pour qu on puisse penser à une naine blanche. L hypothèse d une étoile à neutrons en rotation est bien plus plausible. Il faut voir que cette limite GM

3 inférieure est très conservatrice car une étoile en rotation rapide est nettement aplatie aux pôles et élargie à l équateur, de sorte que la force centrifuge y est plus élevée et la gravitation plus faible. Autrement dit, avec une densité moyenne donnée, l étoile doit tourner plus lentement que prévu par ce calcul simpliste pour rester stable, et inversement, si elle tourne aussi vite, c est qu elle doit être plus dense.. L évolution du moment magnétique dipolaire avec le temps est donnée par dm = Ω M = Ω M dm = et dm = Ω M d où l équation d évolution d M La puissance rayonnée est alors P rad = µ 6πc 3 soit finalement d M = µ Ω 4 = Ω dm = Ω (Ω M ) = Ω M 6πc 3 M = µ Ω 4 6πc 3 (Msinα) = µ 6πc 3 P rad = (π)5 (BR 3 sinα) 3µ c 3 P 4 3. L énergie cinétique de rotation est donnée par ( π µ BR 3 sinα ) ( π P E r = 1 IΩ = 1 ( ) π 5 MR car I = P 5 MR pour une sphère homogène. Numériquement E r 1 ( ) (1 4 ) J Cette énergie diminue et sa dérivée par rapport au temps est de r = d ( 4π MR ) = 4π MR 5P 5 ( ) d 1 P = 8π MR P 5P 3 On observe effectivement des dérives P >, ce qu on traduit par le fait que le rayonnement dipolaire extrait de l énergie cinétique de rotation du système ) 4 Numériquement de r = P rad P rad = 8π MR P 5P 3 P rad = 8 ( ) (1 4 ) (3.3 1 ) W L

4 Cette puissance est de l ordre de la luminosité globale de la Galaxie dans le domaine radio. Il s agit donc d une énergie colossale qui est émise à très basse fréquence (3 Hz) et absorbée par l environnement immédiat du pulsar. Il ne faut pas confondre cette puissance avec celle reçue dans les pulses radio, qui sont observés à beaucoup plus haute fréquence(la découverte des pulsars a eu lieu au cours d un relevé à 81 MHz) et dont la puissance moyenne est près de 1 9 fois plus faible. La mesure de P et de P permet alors d obtenir une limite inférieure au champ magnétique à la surface de l étoile. En effet P rad = (π)5 3µ c 3 (BR 3 sinα) P 4 B = 3µ c 3 P rad P 4 (π) 5 (R 3 sinα) en fonction de la dérive P cela devient B 3µ c 3 P 4 = (π) 5 R 6 sin α 8π MR P 5P 3 = 6µ c 3 P PM 5(π) 3 R 4 sin α On a donc une limite inférieure pour B (correspondant à sinα = 1) 6µ c B 3 PPM 5(π) 3 R 4 = B min Numériquement 4. On a ( (3 1 8 ) ) 1/ B min = 5 ( ) 3 (1 4 ) T. On peut donc intégrer directement P P = 5(π)3 R 4 6µ c 3 M (Bsinα) = a = C te P P = a(t t ) Si l on suppose que la période initiale est P P, on a alors P = a(t t ) et l âge du pulsar est simplement donné par Numériquement, pour le pulsar du Crabe τ c τ c = t t = P a = P P s 13 ans C est le bon ordre de grandeur de l âge réel (96 ans). 5. On a les relations suivantes : τ c P P P rad P P 3 B min P P

5 donc dansun diagramme(logp,log P), les courbes d égal âge caractéristique sont des droites de pente 1, les courbes d égale puissance radiative sont des droites de pente 3 et les courbes d égal champ minimal sont des droites de pente -1. III - Propagation de l émission des pulsars 1. On a k = 1 ( ω c ωp ) donc la vitesse de phase est v φ = ω k = c 1 ω p ω

6 et la vitesse de groupe se calcule en remarquant que c kdk = ωdω v g = dω dk = c = c 1 ω p v φ ω. La fréquence plasma est ν p = ω p π = 1 n e e π ǫ m e et on trouve numériquement (n e =.3cm 3 = 31 4 m 3 ) (1.61 ν p = 19 ) khz Seules les fréquences supérieures à la fréquence plasma peuvent se propager. Dans le cas contraire, l indice du milieu est imaginaire et on a des ondes évanescentes. 3. La vitesse de propagation de l énergie du paquet d onde qu est le pulse radio est la vitesse de groupe. On a donc l écart par rapport au temps de parcours classique d/c ( ) d ds δt(ν) = d v g c avec s la coordonnée le long de la ligne de visée. On en déduit δt(ν) = Or on a ω p ( khz) ω ( GHz) donc δt(ν) ω p 1 c 1 e 1 cωds = cǫ m e On a donc bien la forme demandée, avec A = ω 1 1 ω p ω n e ds = e 8π cǫ m e et DM = 1 ds e 8π cǫ m e 1 ν n e ds n e ds On peut obtenir la mesure de dispersion en comparant les temps d arrivée des pulses à différentes fréquences. 4. Pour une onde polarisée linéairement dans la direction Ox et se propageant dans la direction Oz, on peut écrire le champ électrique en z = (position du pulsar) sous la forme complexe suivante E = E e iωt e x

7 De plus, les vecteurs unitaires portant les polarisations circulaires droite et gauche sont donnés par e ± = e x ie y donc en z =, le champ électrique est donné par E = E e iωt e + +e ] Si la relation de dispersion k(ω) était indépendante de la polarisation, on aurait alors, pour toute position z, la forme ] E = E e ik(ω)z ωt] e + +e ] = E e ik(ω)z ωt] e + +e ik(ω)z ωt] e Dans le cas présent, où le nombre d onde dépend de la polarisation circulaire droite ou gauche, on généralise cette expression directement : ] E = E e ik+(ω)z ωt] e + +e ik (ω)z ωt] e qu on peut réécrire en fonction des vecteurs unitaires e x et e y ( ) ( )] E = E e ik+(ω)z ωt] ex ie y +e ik (ω)z ωt] ex +ie y et donc E = E e ik+(ω)z ωt] +e ik (ω)z ωt]] e x + ie e ik+(ω)z ωt] +e ik (ω)z ωt]] e y d où l on peut extraire la dépendance en temps pour obtenir les amplitudes complexes sur Ox et Oy { E E = e ik+(ω)z +e ik (ω)z] e x + ie e ik+(ω)z +e ik (ω)z] } e y e iωt 5. Les nombres d onde des composantes droite et gauche, k + et k, sont solutions de leurs relations de dispersion respectives, soit k± = 1 ω (ω p/ω) ] c 1±(ω c /ω) Dans la limite ω ω p et ω ω c, on a k + = ω 1 (ω p/ω) ] 1/ ω 1 ω ( p c 1+(ω c /ω) c ω 1 ω ) ] 1/ c ω soit k + ω c ( 1 ω p ω + ω cωp ω 3 ) = k + k

8 avec k = ω c ( 1 ω p ω ) et k = ω cω p cω De la même manière, on obtient k k k (il suffit de noter que le passage de k + à k se fait formellement en changeant le signe de ω c ). Les amplitudes complexes des composantes du champ électrique sur e x et e y sont alors et E x = E E y = i E Le vecteur champ électrique est alors e i(k+ k)z +e i(k k)z] = E e ikz cos( kz) e i(k+ k)z +e i(k k)z] = E e ikz sin( kz) E = E e ikz e iωt cos( kz)e x +sin( kz)e y ] ce qui montre que la polarisation est linéaire, mais avec un angle de polarisation qui n est plus nul mais vaut ψ(z) = kz = 1 1 eb z n e e cω z = 1 e 3 m e ǫ m e ω cǫ m n e b z z e Ce calcul fait l hypothèse que le plasma est homogène. Lorsque le rayonnement radio polarisé issu du pulsar traverse un milieu ionisé de densité électronique n e a priori variable, sur une distance d, l angle de polarisation tourne de ψ = e 3 8π cǫ m e 1 ν n e b z ds L intégrale de n e b z le long de la ligne de visée est appelée mesure de rotation (RM). 6. On voit donc que l angle de rotation de la polarisation dépend de la fréquence, en ν. L angle de polarisation intrinsèque est inconnu, mais on peut obtenir la mesure de rotation en comparant les angles de polarisation observés à différentes fréquences. En faisant la même chosepourlestemps d arrivéesdes pulses,onobtient lamesurededispersion,et onen déduit une estimation du champ magnétique moyen le long de la ligne de visée comme b z = RM DM.