Lois de probabilité. a ; avec a < b, toute fonction f vérifiant

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1 Lois de probabilité A) Lois à densité Loi continue Approche : Jusqu ici, les variables aléatoires étudiées prenaient un nombre fini de valeurs Or les issues d un grand nombre d expériences aléatoires prennent pour valeur un nombre quelconque d un intervalle I de IR Exemples : temps d attente téléphonique, poids à la naissance, taux de glycémie, etc Densité sur un intervalle [a ; b ] Définition : Exemple : On appelle fonction de densité sur un intervalle [ b] les trois conditions suivantes : ) f est définie et continue sur [ b] ) f ( x) 0 sur [ a ; b] b dx 3) f ( x) = a a ; Soit f la fonction définie sur [ 0 ; ] par : f ( x) 0, 5x ) f est continue sur [ 0 ; ] ) f ( x) 0 sur [ 0 ; ] 3) Une primitive de f sur [ 0 ; ] est : F ( x) = 0,5x a ; avec a < b, toute fonction f vérifiant = f 0,5 Donc ( x) dx x dx = F( ) F( 0) = ,5 0 = 0 = 0 Cette fonction est une fonction de densité sur [ ; ] 0 Définition : Soit une variable aléatoire à valeurs dans l intervalle I à laquelle est associée une fonction de densité f On définit la loi de probabilité sur I de densité f en associant à tout intervalle J = [ c ; d] J = c ; d calculée par : inclus dans I la probabilité que appartienne à l intervalle [ ] ( [ c d] ) = ( c d ) = f ( x)dx ; d c Année M Evanno

2 ropriétés : our tout nombre réel c de [ a ; b], on a ({ c} ) = 0 our tout nombre réel c de [ a ; b], on a ( [ c ; b] ) = ( [ a ; c] ) Démonstration : b c + b En effet, = f ( x) dx = f ( x) dx f ( x)dx d où f ( x) dx f ( x)dx 3 Densité sur un intervalle [α ; β ] Définition : a a c b c c = On dit qu une variable aléatoire suit une loi uniforme sur [ a ; b] densité f est constante sur [ a ; b] a, lorsque sa fonction de ropriété : La fonction de densité f de la loi uniforme sur [ a ; b] est définie par : f ( x) Démonstration : ropriétés : En effet, pour tout réel x de [ a ; b] b = b = b a, la fonction de densité f est constante, ce qui signifie que : f ( x) = k et f ( x) dx = k dx = kb ka = k( b a) d où f ( x) a our tout intervalle [ α ; β ] de [ a ; b] on a : ( [ α β ]) L espérance de la loi uniforme sur [ a ; b] est définie par : E ( ) x f ( x) a b b x b a a + b = dx = dx = = b a b a a a Remarque : On peut retenir que pour la loi uniforme, on a : β = k = b a β α ; = dx = b a b a α Année M Evanno

3 Exercice n : Une enquête révèle que, pour tout le personnel d une grosse entreprise, la durée du trajet, exprimée en heure, entre leur domicile et leur lieu de travail est comprise en 0,5h et,5h Le nombre de salarié étant très important, toutes les durées de transport sont équitablement représentées On interroge au hasard les salariés sur leur temps de transport Soit la variable aléatoire égale à la durée du trajet d un salarié ) Quelle est la loi suivie par? Justifier votre réponse réciser la fonction densité de ) Quelle est la probabilité que la durée du trajet soit comprise entre trois quarts d heure et une heure et quart? 3) Lors de l enquête, on a interrogé un grand nombre de salariés de cette entreprise Calculer la durée moyenne du trajet domicile-entreprise Exercice n : Bac ES Liban 05 La courbe ci-dessous est la représentation de la fonction h définie sur [ ; e] par : h( x) = x La fonction h est-elle une fonction de densité de probabilité sur l intervalle [ ; e] Exercice n 3 : Bac ES olynésie 05 Une variable aléatoire suit la loi uniforme sur l intervalle [ ; 5] est représentée ci-dessous :? 0 dont la fonction de densité Année réciser si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausse en justifiant vos réponses : a) ( 3 ) = ( < 3) c) E ( ) =, 5 b) ( 4) = d) ( > ) = 3 5 Exercice n 4 : Suite à un problème sur son ordinateur portable, Gisèle décide d appeler le service après vente du fabriquant Le temps d attente exprimé en minutes, avant d être en communication avec un conseiller technique est un nombre aléatoire de [ 0 ; 0] Soit la variable aléatoire égale au temps d attente avant d être en communication avec un conseiller technique ) Quelle est la loi suivie par? Justifier votre réponse et préciser sa fonction densité ) Quelle est la probabilité que Gisèle attende moins de trois minutes? 3) Quelle est la probabilité que Gisèle attende plus de cinq minutes? 4) réciser le temps moyen d attente M Evanno

4 B) Loi normale N (0 ; ) Variable aléatoire centrée réduite Définition : ropriétés : Une variable aléatoire est dite centrée réduite si son espérance est nulle : ( ) = 0 alors centrée) et si son écart-type vaut : ( ) = (elle est alors réduite) Soit une variable aléatoire discrète d espérance E ( ) = m, de variance ( ) type ( Z ) = V ( ) non nul La variable aléatoire m La variable aléatoire Z m vérifie : E ( m) = 0 car ( ) m = m m = 0 E = vérifie : E ( Z ) = 0 et ( Z ) = V ( Z ) = E (elle est V et d écart ourquoi centrer et réduire? Lorsqu on passe de à Z, on obtient une variable aléatoire dont les paramètres (espérance et variance) ne dépendent plus de ceux de Approche d une densité par la loi binomiale Au VIII e siècle, Bernoulli chercha, sans y parvenir, à donner une évaluation numérique des probabilités d obtenir k fois ile, pour un grand nombre de lancers d'une pièce équilibrée Ce sont les travaux de Stirling, Moivre, puis plus tard de Laplace et Gauss, qui permirent de donner une approximation de ces valeurs n ; p avec 0 < p < On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B ( ) Son espérance est µ np et son d écart-type est = np( p) = Soit la variable aléatoire Z définie par Alors : ( a b) = ( c Z d ) où Z c µ = () a µ = et d b µ = Quand le nombre d épreuves n prend de grandes valeurs et que la probabilité de succès p est proche de 0,5 la transformation associée à l égalité () ci-dessus transforme d abord l aire bleue en aire rouge tout en la divisant par On obtient alors un diagramme ayant une forme de courbe en «cloche» et en multipliant la hauteur des rectangles par, la courbe est très proche de la courbe de la fonction de densité de Gauss ϕ La fonction de densité de Gauss ϕ est la fonction définie sur IR par : ϕ ( z) = e π Le théorème de Moivre Laplace permet de résoudre le problème de Bernoulli car, lorsque n est suffisamment grand, on pourra effectuer le calcul avec les intégrales et la fonction densité de Gauss Année M Evanno z

5 3 Loi normale N (0 ; ) Définition : 0 si elle admet pour fonction de densité la fonction ϕ définie sur Soit variable aléatoire d espérance E ( ) = 0 et d écart-type ( ) = suit la loi normale N ( ; ) z ϕ π IR par : ( z) = e Courbe représentative de ϕ : On remarque que la courbe de Gauss ϕ est symétrique par rapport à l axe des ordonnées ropriétés : Si d t c alors ( c d ) = e dt d c π ( = c) = 0 d où ( c) = ( < c) ( d d ) = ( d ) ( d ) ( d ) = ( d ) d où ( d d ) = ( d ) = ( d ) ( ) ( ) ( d d ) d = d = ropriétés : Intervalles particuliers Avec la calculatrice on obtient : ( [ ; ] ) 0, 68 ( [,96 ;,96] ) 0, 95 ( [ ; ] ) 0, ; 3 0, ( [ ]) 997 Année M Evanno

6 Exemple : Résumant la situation On tire une carte dans un jeu de 3 cartes, on regarde quelle est sa couleur (rouge ou noire) et on la remet dans le jeu On recommence cette expérience 00 fois et on s intéresse à la probabilité d obtenir entre 45 et 60 cartes rouges sur ces 00 tentatives artie A : Calcul avec qui suit la loi binomiale ) On désigne par la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de cartes rouges obtenues lors de ces 00 tentatives ) On répète 00 épreuves de Bernoulli (il n y a que deux résultats possibles), identiques et indépendantes (puisqu on remet la carte dans le jeu à chaque fois) donc suit une loi binomiale de paramètres 00 et 0,5 3) On peut donc établir la loi de probabilité de grâce à la formule : 00 k 00k ( = k) = 0,5 ( 0,5) = 0,5 pour k { 0 ; ; ; ; 00} k k 4) our les valeurs qui nous intéressent on obtient alors : Conclusion : on a donc: ( 45 60) 0, 845 artie B : Représentation avec Z centrée réduite ) Comme suit une loi binomiale de paramètres 00 et 0,5, on a : E ( ) = np = 00 0,5 = 50 ( ) = np( p) = 00 0,5 ( 0,5) = 5 = 5 E( ) 50 Soit Z = = ( ) 5 la variable aléatoire centrée réduite associée à k 50 ) On a la loi de probabilité de Z car Z = = ( = k) De plus si = 45 on a Z = = et si = 60 on a Z = = 5 5 D où ( 45 60) = ( Z ) 3) On décide de représenter la loi de probabilités de Z sous forme d histogramme k 50 A chaque valeur de k { 0 ; ; ; ; 00} on fait correspondre un rectangle dont 5 k 50 l aire est égale Z = 5 la base est un segment de longueur 5 (écart entre deux valeurs prises par Z ) donc 5 k 50 le centre de cette base est en (valeurs prises par Z ) 5 our calculer la probabilité ( Z ) il suffit donc d additionner les aires des rectangles associés à ces valeurs et on obtient alors : ( Z ) = ( 45 60) 0, ; on a aussi la hauteur est égale à ( = k ) Afin de pouvoir comparer cette valeur avec celle obtenue avec la loi N ( ) tracé la fonction de densité de Gauss ϕ définie sur IR par : ( ) z ϕ z = e π Année M Evanno

7 Conclusion : ces deux aires semblent très proches l une de l autre artie C : Calcul avec W qui suit la loi normale N (0 ; ) ) Comme W suit la loi normale N ( 0 ; ) on a : ( W ) = e dx x ) A l aide de la calculatrice on obtient : e dx 0, 88 π Conclusion : ( W ) 0, 88 artie D : Bilan de cette simulation On a vu que la probabilité ( 45 60) lorsque suit une loi binomiale de paramètres 00 et 0,5 est la même que ( Z ) puisque qu il ne s agit que d un changement d écriture ar la suite on a constaté que la probabilité ( Z ) est assez proche la probabilité ( W ) lorsque W suit la loi normale N ( 0 ; ) car les aires sont proches de la courbe de la fonction de densité de Gauss ϕ En fait ce que dit le théorème de Moivre Laplace, c est que lorsque le nombre n de tentatives est suffisamment grand on peut confondre la loi de probabilité de Z avec celle de W qui présente l avantage d être plus simple à calculer Dans les exercices, on aura une variable aléatoire suivant une loi binomiale et on 0 ; supposera n suffisamment grand pour pouvoir calculer Z avec la loi normale N ( ) Remarque importante : La courbe représentative de fonction densité de Gauss qui correspond à la loi normale centrée 0 ; passe par un sommet dont les coordonnées sont proches de (0 ; 0,4) réduite N ( ) π x Année M Evanno

8 C) Loi normale N (µ ; ²) Loi normale Définition : Une variable aléatoire suit une loi normale N ( ; ) µ = Z suit la loi normale N ( ; ) µ lorsque la variable aléatoire 0 Z est la variable aléatoire centrée réduite de Exemple : Soit la variable aléatoire dont la fonction densité est la fonction f définie sur IR par : ( x ) 4 f ( x) = e π unités à gauche, on obtient On remarque que, en faisant glisser la courbe C f de la variable de 4 C ϕ ropriétés : Z où Z suit la loi normale N ( ; ) On va donc utiliser la variable aléatoire = 4 courbe de sa fonction densité est la courbe de la fonction de densité de Gauss ϕ 4 µ Comme Z = = = 0 car la 4 on peut affirmer que suit une loi normale N ( ; ) Si la variable aléatoire suit une loi normale N ( ; ) espérance est E ( ) = µ écart-type est ( ) = Attention : on parle de la loi normale N ( ; ) µ alors son : µ d écart-type est!!! 4 Démonstration : µ Z = donc = Z + µ et d après les priorités de l espérance et de la variance on a : E = E Z + µ = E Z + µ = E Z + µ = 0 + µ = Remarque : ( ) ( ) ( ) ( ) µ V ( ) = V ( Z + µ ) = V ( Z ) = = donc ( ) = V ( ) = = Si suit une loi normale N ( ; ) µ alors la fonction F définie sur IR par : F µ = µ = 0, Comme on le F( x) = ( x) est strictement croissante sur IR et ( ) ( ) 5 voit ci-dessous si suit une loi normale N ( 4 ; ) alors ( 4 ) = ( 4) = 0, 5 F Année M Evanno

9 Année M Evanno Exemple : On a représenté ci-après les courbes des fonctions de densité de cinq lois normales On observe que chaque courbe semble symétrique par rapport à la droite d équation : µ = x Critère de normalité Définition : Si la variable aléatoire suit une loi normale N ( ) ; µ alors : ) ( ) ( ) 687 0, = = + Z µ µ µ ) ( ) ( ) , = = + Z µ µ µ 3) ( ) ( ) , = = + Z µ µ µ

10 Exercice n 5 : suit la loi normale N ( 0 ; ) A l'aide du graphique de la fonction de Gauss ci-contre, indiquer toutes les bonnes réponses ) ( = 0 ) = 0, 4 ) ( 0 ) = ( 0) = 0, 5 3) ( ) = ( ) 4) ( ) = ( ) = 0,5 Exercice n 6 : 5) ( ) ( ) 0 Compléter les étiquettes par les probabilités égales aux aires des domaines indiqués par la flèche suit la loi normale N ( ; ) Exercice n 7 : est une variable aléatoire qui suit une loi normale N ( 00 ; 4 ) dont la courbe représentative de la densité C est donnée par la figure ci-dessous : Déterminer, à l aide de votre calculatrice l aire du domaine vert Exercice n 8 : On lance 600 fois de suite un dé parfaitement équilibré La variable aléatoire comptabilise le nombre de 6 ou de apparus ) Donner la loi suivie par ainsi que ses paramètres ) Calculer l espérance µ et l écart-type de µ 3) On pose Z = Le nombre de lancers étant important (600), on décide d assimiler la loi de Z suit la loi normale N ( 0 ; ) a) Montrer que, sous cette hypothèse, on a : ( ) = ( Z ) b) En déduire que ( ) 0, 886 Année M Evanno

11 Exercice n 9 : On donne ci-après les représentations graphiques des fonctions densité de probabilité des lois normales N ( 7 ; ), N ( 7 ; ), N ( 5 ; ) et N ( 5 ; 0,5 ) ) Associer chaque courbe à la loi correspondante ) roposer une valeur pour la moyenne µ et pour l écart-type de la loi normale N ( ; ) µ dont la fonction densité de probabilité est représentée par la courbe C Exercice n 0 : Le schéma ci-dessous représente une pompe de direction assistée d automobile Le processus industriel étudié est une presse d emmanchement de la poulie sur l axe de la pompe Les performances de la presse sont variables, cette variabilité ayant de plusieurs causes possibles : main d œuvre, matériel, matière première Sur le schéma est spécifiée par le constructeur une cote de 39,9mm On a mesuré cette cote sur 40 ensembles poulie-pompe issus du processus de fabrication en série Les variations sont représentées sur le graphique suivant : Année Ce type de processus industriel induit la modélisation de la variable aléatoire «cote» par une variable C suivant une loi normale N ( µ ; ) ) ourquoi ne choisit-on pas, dans ce cas, une loi uniforme pour C? ) Donner par lecture graphique une valeur estimée de l espérance µ et de l écart-type à partir de la série des 40 valeurs 3) L intervalle de tolérance pour cette cote est de 39,9 ± 0,5 a) Donner, à l aide de votre calculatrice et sous les hypothèses émises à la question précédente, la probabilité que la variable cote soit dans cet intervalle b) Ce résultat était-il prévisible? M Evanno

12 Exercice n : est une variable aléatoire suit une loi normale N ( ; ) la densité C est donnée par la figure ci-dessous : µ dont la courbe représentative de Déterminer l écart-type et de l espérance µ de sachant que ces valeurs sont entières Exercice n : 3 La variable suit la loi normale N ( 80 ; 0,5 ) Les résultats seront arrondis à 0 près ) Déterminer les probabilités suivantes : a) ( 70 00) c) ( 60) b) ( 50) d) ( 90) ) Déterminer le réel a tel que ( < a) = 0, 875 3) Déterminer le réel b tel que ( b) = 0, 75 (on pourra remarquer que b = 0, ) ( ) 5 Exercice n 3 : Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples) our chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient ) Si une variable aléatoire suit la loi normale N ( ; 4), alors une valeur approchée au centième de ( 3) est : a) 0,5 c) 0,34 b) 0,09 d) 0,3 ) Soit une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d écart type Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité ( )? a) 0,6 c) 0,95 b) 0,68 d) 0,99 0 ;? 3) Quelle courbe représente la fonction de densité de la variable suivant la loi N ( ) Année M Evanno

13 Exercice n 4 : Bac ES Antilles Guyane 05 Les deux parties sont indépendantes Une machine permet le conditionnement d un jus de fruit dans des bouteilles La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne µ = 500 et d écart-type = On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage ) Déterminer ( 496) Donner le résultat arrondi à 0 près ) Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres Donner le résultat arrondi à 0 près 500 α α soit 3) Comment choisir la valeur de α afin que ( ) approximativement égale à 0,95 à 0 près Exercice n 5 : Bac ES Centres Etrangers 05 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième artie A : Une entreprise spécialisée dans la fabrication de confitures fait appel à des producteurs locaux À la livraison, l entreprise effectue un contrôle qualité à l issue duquel les fruits sont sélectionnés ou non pour la préparation des confitures Une étude statistique a établi que : % des fruits livrés sont issus de l agriculture biologique ; parmi les fruits issus de l agriculture biologique, 95% sont sélectionnés pour la préparation des confitures ; parmi les fruits non issus de l agriculture biologique, 90% sont sélectionnés pour la préparation des confitures On prélève au hasard un fruit et on note : B l évènement : «le fruit est issu de l agriculture biologique» ; S l évènement : «le fruit est sélectionné pour la préparation des confitures» E F E la probabilité de l évènement our tout évènement E, on note ( ) sa probabilité, ( ) E sachant que l évènement F est réalisé et E évènement contraire de E ) Représenter la situation par un arbre pondéré ) Déterminer la probabilité que le fruit soit sélectionné pour la préparation des confitures et qu il soit issu de l agriculture biologique 3) Montrer que ( S) = 0, 9 4) Sachant que le fruit a été sélectionné pour la préparation des confitures, déterminer la probabilité qu il ne soit pas issu de l agriculture biologique artie B : Cette entreprise conditionne la confiture en pots de 300 grammes On note la variable aléatoire qui, à chaque pot de confiture, associe sa masse en gramme On admet que suit la loi normale d espérance µ = 300 et d écart-type = L entreprise ne commercialise les pots de confiture que si l écart entre la masse affichée (c est-à-dire 300 g) et la masse réelle ne dépasse pas 4 grammes ) On prélève un pot au hasard Déterminer la probabilité que le pot soit commercialisé ) Déterminer le réel a tel que ( < a) = 0, 0 Année M Evanno

14 Exercice n 6 : Bac ES Liban 04 Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu en moyenne, 40% des clients sont des familles, 5%des clients sont des personnes seules et 35% des clients sont des couples Il note aussi que : 70% des familles laissent un pourboire ; 90% des personnes seules laissent un pourboire ; 40% des couples laissent un pourboire Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria On s intéresse aux évènements suivants : F : «la table est occupée par une famille» ; S : «la table est occupée par une personne seule» ; C : «la table est occupée par un couple» ; R : «le serveur reçoit un pourboire» B A la probabilité de A, sachant B On note A l évènement contraire de A et ( ) artie A : ) D après les données de l énoncé, préciser les probabilités ( F ) et ( R) ) Recopier et compléter l arbre pondéré suivant : S 3) Calculer ( F R) 4) Déterminer ( R) Année ) Sachant que le serveur a reçu un pourboire, calculer la probabilité que ce pourboire vienne 3 d un couple Le résultat sera arrondi à 0 artie B : On note la variable aléatoire qui, à un soir donné, associe le montant total en euro des pourboires obtenus par le serveur On admet que suit la loi normale d espérance µ = 5 et d écart-type = 4, 5 Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats arrondis à 0 ) Calculer : a) la probabilité que le montant total des pourboires reçus par le serveur soit compris entre 6 et 4 euros b) ( 0) ) Calculer la probabilité que le montant total des pourboires du serveur soit supérieur à 0 euros sachant que ce montant est compris entre 6 et 4 euros M Evanno

15 Exercice n 7 : Bac ES ondichéry 05 our chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse L entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables et des clés USB artie A : Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi : armi les ordinateurs vendus, 5% ont été retournés pour un défaut de batterie et parmi ceux-ci, % ont aussi un disque dur défectueux armi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5% ont un disque dur défectueux On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits Suite à l achat en ligne d un ordinateur : roposition : La probabilité que l ordinateur acheté n ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à 0,08 à 0,0 près roposition : La probabilité que l ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485 roposition 3 : Sachant que l ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à 0,0 artie B : L autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO, exprimée en heure, suit une loi normale d espérance µ = 8 et d écart type = roposition 4 : La probabilité que l ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 0h est inférieure à 0, Exercice n 8 : Bac ES Doha 03 Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis ) aul se connecte sur le site La durée D (en seconde) qu il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l intervalle [ 0 ; 0] a) Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes b) Calculer l espérance mathématique de D c) Interpréter ce dernier résultat ) L équipe est maintenant réunie et la partie peut commencer La durée J (en minute) d une partie est une variable aléatoire qui suit la loi normale N ( 0 ; 400) a) Déterminer l espérance et l écart-type de la variable aléatoire J J 0 b) Montrer l équivalence : 90 < J < 80,5 < < c) On définit la variable aléatoire par = J 0 Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire d) Déterminer la probabilité que la partie dure entre 90 et 80 minutes, à 0,00 près Année M Evanno

16 Exercice n 9 : Bac ES Antilles Guyane 03 Dans tout l exercice, les résultats seront arrondis à 0 près Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment Deux roues sont disposées sur le stand d un forain Elles sont toutes deux partagées en 0 secteurs identiques La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et verts La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu elle s arrête, un secteur our chacune des deux roues, on admet que les 0 secteurs sont équiprobables Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu elle s arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère Si c est le rouge, le joueur a perdu et la partie s arrête Si c est le bleu, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s il indique un secteur noir, le joueur a perdu Si c est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s il indique un secteur jaune, le joueur a perdu artie A : Le joueur fait une partie On note les évènements suivants : R : «Le repère de la première roue indique la couleur rouge» ; B : «Le repère de la première roue indique la couleur bleue» ; V : «Le repère de la première roue indique la couleur verte» ; N : «Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire» ; J : «Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune» ; G : «Le joueur gagne un lot» ) Construire un arbre pondéré décrivant la situation ) Calculer la probabilité ( B J ) de l événement B J 3) Démontrer que la probabilité ( G) que le joueur gagne un lot est égale à 0,3 4) Le joueur a gagné un lot Calculer la probabilité que le repère de la deuxième roue indique un secteur noir artie B : Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à 0,3 Déterminer la probabilité que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties artie C : Durant le week-end, un grand nombre de personnes ont tenté leur chance à ce jeu On note le nombre de parties gagnées durant cette période et on admet que suit la loi normale N ( 45 ;5) Déterminer : ) la probabilité : ( 40 < < 50) ; ) la probabilité qu au moins 50 parties soient gagnées durant le week-end 45 3) On note Z la variable aléatoire définie par : Z = 5 a) Quelle est la loi suivie par Z? 40 < < 50 = < Z < b) Montrer que : ( ) ( ) Année M Evanno

17 Exercice n 0 : Bac ES Métropole 03 Une usine de composants électriques dispose de deux unités de production : A et B La production journalière de l usine A est de 600 pièces, celle de l unité B est de 900 pièces On prélève au hasard un composant de la production d une journée La probabilité qu un composant présente un défaut de soudure sachant qu il est produit par l unité A est égale à 0,04 La probabilité qu un composant présente un défaut de soudure sachant qu il est produit par l unité B est égale à 0,04 On note : D l évènement : «le composant présente un défaut de soudure» A l évènement : «le composant est produit par l unité A» B l évènement :«le composant est produit par l unité B» On note : ( D) la probabilité de l évènement D et ( D) sachant que l évènement A est réalisé artie A : généralités ) D après les données de l énoncé, préciser A ( D) et ( D) ) Calculer ( A) et ( B) A la probabilité de l évènement D B 3) Recopier et compléter l arbre de probabilités ci-dessous : 5) On prélève dans la-production totale un composant présentant un défaut de soudure Quelle est la probabilité qu il provienne de l unité A? 4) Calculer ( A D) et ( B D) et en déduire ( D) artie B : contrôle de qualité On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 95 et 05 ohms On admet que la variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale de moyenne µ = 00, 5 et d écart-type = 3, 5 On prélève un composant dans la production Les résultats seront arrondis à 0,000 près ; ils pourront être obtenus à l aide de la calculatrice ou de la table donnée en annexe ) Calculer la probabilité de l évènement : «La résistance du composant est supérieure à ohms» ) Calculer la probabilité de l évènement : «La résistance du composant est comprise dans l intervalle de tolérance indiqué dans l énoncé» 3) On prélève au hasard dans la production trois composants On suppose que les prélèvements sont indépendants l un de l autre et que la probabilité qu un composant soit accepté est égale à 0,84 Déterminer la probabilité p qu exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés Année M Evanno

18 Exercice n : Bac ES ondichéry 03 La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B artie A : x On désigne par f la fonction définie sur l intervalle [ 0 ; 6] par : f ( x) = ( x + ) e x ) Montrer que f '( x) = xe où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f ) Démontrer que l équation f ( x) = 0, 5 admet une solution unique α sur l intervalle [ ; 6] Déterminer une valeur arrondie de α à 0,0 x 3) On admet que la fonction F définie sur [ 0 ; 6] par : F( x) x + ( x + ) e primitive de f sur [ ; 6] 6 = 0 ( x) I f dx 0 = est une 0 Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 3 0 de artie B : Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l aide de la fonction f définie dans la partie A pour x compris entre 0 et 6 x représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit f ( x) représente la production journalière de batteries en milliers ) Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités 3 ) Déterminer une valeur arrondie à 0 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois artie C : Il est prévu que l autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 00 km Sur un parcours joignant une ville située à 60 km, on suppose que l autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d espérance µ = 00 et d écart-type = 40 ) Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville? ) La probabilité de pouvoir faire l aller-retour jusqu à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,0? Justifier votre réponse Année M Evanno

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