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Jean-Sébastien Nolet
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1 Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Pondichéry EXERCICE 1 : 5 points Commun à tous les candidats Partie A On s intéresse à l évolution de la hauteur d un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : ( ) où et sont des constantes réelles positives, est la variable temps exprimée en jours, et ( ) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu initialement, pour, le plant mesure et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2m. 1. Déterminer les constantes et afin que la fonction corresponde à la croissance du plant de maïs étudié. Partie B On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction par ( ). définie sur 1. Déterminer ( ) en fonction de ( désignant la fonction dérivée de la fonction ). En déduire les variations de la fonction sur l intervalle. 2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5m. 3.a. Vérifier que pour tout réel appartenant à l intervalle on a ( ). Montrer que la fonction définie sur l intervalle par ( ) ( ) est une primitive de la fonction. 3.b. Déterminer la valeur moyenne de sur l intervalle. En donner une valeur approchée à près et interpréter ce résultat. 4. On s intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction. La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de. En utilisant le graphique donné ci-dessous, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

2 EXERCICE 2 : 4 points Commun à tous les candidats Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions, indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question. L espace est rapporté à un repère orthonormal. et équation :. désignent des paramètres réels. Le plan ( ) a pour Le plan ( ) a pour représentation paramétrique : { La droite ( ) a pour représentation paramétrique : { On donne les points de l espace ( ) et ( ). 1. Une représentation paramétrique du plan ( ) est :

3 a. { b. { c. { d. { A partir des représentations données, on injecte les expressions de, du plan ( ) afin de voir si elles la vérifient. et dans l expression de l équation a. ( ) ( ) b. ( ) ( ) c. ( ) ( ) d. ( ) ( ) Seules les coordonnées, et de la représentation b. conviennent et on en déduit que la représentation paramétrique du plan ( ) est donnée par {. La bonne réponse est donc la réponse b. 2.a. La droite ( ) et le plan ( ) sont sécants au point ( ). 2.b. La droite ( ) et le plan ( ) sont perpendiculaires. 2.c. La droite ( ) est une droite du plan ( ). 2.d. La droite ( ) et le plan ( ) sont strictement parallèles. 3.a. La droite ( 3.b. La droite ( 3.c. La droite ( 3.d. La droite ( ) et la droite ( ) sont orthogonales. ) et la droite ( ) sont parallèles. ) et la droite ( ) sont sécantes. ) et la droite ( ) sont confondues. 4.a. Les plans ( ) et ( ) sont parallèles. 4.b. La droite ( ) de représentation paramétrique { est la droite d intersection des plans ( ) et ( ). 4.c. Le point M appartient à l intersection des plans ( ) et ( ). 4.d. Les plans ( ) et ( ) sont perpendiculaires. EXERCICE 3 : 5 points Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct ( ). On note le nombre complexe tel que. On considère le point d affixe et le point d affixe.

4 A tout point d affixe, avec et deux réels tels que, on associe le point d affixe. On désigne par le milieu du segment. Le but de l exercice est de montrer que pour tout point n appartenant pas à ( ), la médiane ( ) du triangle est aussi une hauteur du triangle (propriété 1) et que (propriété 2). 1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend. 1.a. Déterminer la forme algébrique de. 1.b. Montrer que. Déterminer le module et un argument de. 1.c. Placer les points,,, et dans le repère ( ) en prenant 2cm pour unité graphique. Tracer la droite ( ) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l aide du graphique. 2. On revient au cas général en prenant avec. 2.a. Déterminer l affixe du point en fonction de et de. 2.b. Déterminer l affixe du point en fonction de et. 2.c. Ecrire les coordonnées des points, et.

5 2.d. Montrer que la droite ( ) est une hauteur du triangle. 2.e. Montrer que. EXERCICE 3 : 5 points Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité On étudie l évolution dans le temps du nombre de jeunes adultes dans une population d animaux. Pour tout entier naturel, on note le nombre d animaux jeunes après années d observation et le nombre d animaux adultes après années d observation. Il y a au début de la première année de l étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes. Ainsi et. On admet que pour tout entier naturel on a : { On introduit les matrices suivantes : ( ) et pour tout entier naturel, ( ) 1.a. Montrer que pour tout entier naturel, 1.b. Calculer le nombre d animaux jeunes et d animaux adultes après un an d observation puis après deux ans d observation (résultats arrondis à l unité près par défaut). 1.c. Pour tout entier naturel non nul, exprimer en fonction de et de. 2. On introduit les matrices suivantes : ( ) et ( ). 2.a. On admet que la matrice est inversible et que ( ). Montrer que. 2.b. Montrer par récurrence sur que pour tout entier naturel non nul :. 2.c. Pour tout entier naturel non nul, déterminer en fonction de. 3. On admet que pour tout entier naturel non nul : ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) 3.a. En déduire les expressions de et en fonction de et déterminer les limites de ces deux suites. 3.b. Que peut-on en conclure pour la population d animaux étudiée?

6 EXERCICE 4 : 6 points Commun à tous les candidats Dans une entreprise, on s intéresse à la probabilité qu un salarié soit absent durant une période d épidémie de grippe. Un salarié malade est absent La première semaine de travail, le salarié n est pas malade Si la semaine le salarié n est pas malade, il tombe malade la semaine avec une probabilité Si la semaine le salarié est malade, il reste malade la semaine avec une probabilité égale à On désigne, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, par l événement «le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine». On note la probabilité de l événement. On a ainsi et pour tout entier supérieur ou égal à 1 :. 1.a. Déterminer la valeur de à l aide d un arbre de probabilité. 1.b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. 2.a. Recopier sur la copie et compléter l arbre de probabilité donné ci-dessous : 2.b. Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1,. 2.c. Montrer que la suite ( ) définie par est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. En déduire l expression de puis de en fonction de et de. 2.d. En déduire la limite de la suite ( ). 2.e. On admet dans cette question que la suite ( ) est croissante. On considère l algorithme suivant : 3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité qu un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d épidémie est égale à On suppose que l état de santé d un salarié ne dépend pas de l état de santé de ses collègues. On désigne par la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

7 3.a. Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer l espérance mathématique et l écart-type de la variable aléatoire. 3.b. On admet que l on peut approcher la loi de la variable aléatoire c'est-à-dire de paramètres 0 et 1. par la loi normale centrée réduite, On note une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Le tableau suivant donne les probabilités de l événement pour quelques valeurs du nombre réel. Calculer, au moyen de l approximation proposée en question b. une valeur approchée à près de la probabilité de l événement : «le nombre de salariés absents dans l entreprise au cours d une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15».

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