CQP 208. Chapitre 5 Optimisation. Olivier Godin. 20 novembre Université de Sherbrooke. Optimisation 1 / 50
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1 CQP 208 Chapitre 5 Optimisation Olivier Godin Université de Sherbrooke 20 novembre 2015 Optimisation 1 / 50
2 Plan du chapitre 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 2 / 50
3 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Test de la dérivée seconde 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 3 / 50
4 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Test de la dérivée seconde 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 4 / 50
5 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Dans certaines situations, il est essentiel de connaître les coordonnées des sommets (point le plus haut et point le plus bas) d une fonction. Ceux-ci correspondent à ses optimums. Entre les sommets, la courbe sera croissante ou décroissante. Cette étude sera faite à l aide du signe de la dérivée. Une fonction f (x) est croissante sur un intervalle I si f (x 1 ) < f (x 2 ) lorsque x 1 < x 2 pour x 1 et x 2 I. Une fonction f (x) est décroissante sur un intervalle I si f (x 1 ) > f (x 2 ) lorsque x 1 < x 2 pour x 1 et x 2 I. Optimisation 5 / 50
6 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Optimisation 6 / 50
7 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Au chapitre 2, nous avons relié la croissance et la décroissance d une fonction au signe de sa dérivée première. Énonçons cette relation sous la forme d un théorème. Optimisation 7 / 50
8 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Optimisation 8 / 50
9 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Selon la valeur de la variable indépendante, la dérivée d une fonction peut être positive, négative, nulle ou inexistante. Soit x Dom (f ). Nous dirons que x est une valeur critique de f si f (x) = 0 ou f (x) n existe pas. Optimisation 9 / 50
10 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Test de la dérivée seconde 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 10 / 50
11 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction Soit ue fonction f (x) et c Dom (f ). Le point (c, f (c)) est un point de maximum relatif si, pour tout x près de c, nous avons f (x) f (c). Le point (c, f (c)) est un point de minimum relatif si, pour tout x près de c, nous avons f (x) f (c). L énoncé pour tout x près de c signifie que l on considère toutes les valeurs de x sur un petit intervalle ouvert autour de c. Les minimums relatifs et maximums relatifs d une fonction f (x) sont appelés extremums relatifs de la fonction f (x). Le théorème suivant nous indique où trouver ces extremums relatifs. Optimisation 11 / 50
12 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction Le théorème précédent permet donc de repérer les endroits où la fonction est susceptible d admettre des extremums relatifs. Il reste donc à déterminer si la fonction y atteint bel et bien un extremum relatif. Optimisation 12 / 50
13 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction Optimisation 13 / 50
14 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Test de la dérivée première 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Test de la dérivée seconde 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 14 / 50
15 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Test de la dérivée première Énonçons maintenant un théorème appelé test de la dérivée première qui nous permettra de déterminer les points de maximum et de minimum relatif d une fonction. Optimisation 15 / 50
16 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Test de la dérivée première De ce théorème, on peut déduire une procédure pour déterminer les extremums relatifs d une fonction : 1 Calculer et factoriser f (x), si c est possible, car la factorisation aide à déterminer les valeurs critiques. 2 Déterminer les valeurs critiques de f. 3 Construire le tableau des signes de f (x). 4 Utiliser le test de la dérivée première pour déterminer les extremums relatifs de la fonction f (x). Optimisation 16 / 50
17 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Test de la dérivée première Optimisation 17 / 50
18 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Test de la dérivée première Optimisation 18 / 50
19 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Test de la dérivée seconde 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 19 / 50
20 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Le cas des fonctions définies sur un intervalle fermé de la forme [a, b] est un peu particulier. Le théorème précédent est toujours utile pour déterminer les extremums relatifs sur l intervalle ouvert ]a, b[, mais il faut aussi gérer les extrémités de l intervalle. C est ce que propose de faire le théorème suivant : Optimisation 20 / 50
![b] est un peu particulier.](/docs-images/45/14283279/images/page_20.jpg "Le théorème précédent est toujours utile pour déterminer les extremums relatifs sur l intervalle ouvert ]a, b[, mais il faut")
21 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Optimisation 21 / 50
22 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Optimisation 22 / 50
23 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée seconde Test de la dérivée seconde 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Intervalles de croissance et de décroissance d une fonction Extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée première Extremums relatifs d une fonction sur un intervalle fermé Test de la dérivée seconde 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 23 / 50
24 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée seconde Test de la dérivée seconde On s attarde dans cette section à définir le lien qui existe entre les extremums relatifs d une fonction et le signe de la dérivée seconde de cette même fonction. Optimisation 24 / 50
25 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée seconde Test de la dérivée seconde On peut bien entendu formaliser le résultat intuitif obtenu en observant la figure précédente : Optimisation 25 / 50
26 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction Test de la dérivée seconde Test de la dérivée seconde Optimisation 26 / 50
27 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction 2 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 27 / 50
28 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction 2 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 28 / 50
29 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé La recherche d une solution optimale à une fonction nous oblige à chercher plus loins que les extremums relatifs. Nous souhaitons trouver la valeur maximale ou minimale de cette fonction sur tout son domaine ou sur un intervalle. Cela nous amène donc à définir les notions de maximum absolu et de minimum absolu. Soit une fonction f (x) et c Dom (f ). Le point (c, f (c)) est un point de maximum absolu si pour tout x Dom (f ), nous avons f (x) f (c). Le point (c, f (c)) est un point de minimum absolu si pour tout x Dom (f ), nous avons f (x) f (c). Le minimum absolu et le maximum absolu d une fonction f (x) sont appelés extremums absolus (ou extremums globaux) de la fonction f (x). Optimisation 29 / 50
30 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Optimisation 30 / 50
31 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Optimisation 31 / 50
32 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Ainsi, si on trace une courbe continue sur un intervalle [a, b], c est-à-dire sans lever la pointe du crayon, alors cette dernière possède nécessairement un maximum absolu et un minimum absolu. Optimisation 32 / 50
33 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Optimisation 33 / 50
34 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Comme tout à l heure, il est possible d établir une procédure afin de localiser les extremums absolus d une fonction continue f (x) sur un intervalle fermé [a, b]. 1 Déterminer les candidats potentiels : x = a, x = b et toutes les valeurs critiques de f (x). 2 Évaluer la fonction f (x) à chacune de ces positions. 3 Le maximum absolu correspond à la plus grande valeur obtenue à l étape précédente, et réciproquement, le minimum absolu correspond à la plus petite valeur obtenue à l étape précédente. Optimisation 34 / 50
35 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Optimisation 35 / 50
36 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction 2 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 36 / 50
37 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé Nous savons gérer les extremums relatifs pour les intervalles ouverts et fermés, de même que les extremums absolus pour les intervalles fermés. Il ne reste qu à savoir comment trouver des extremums absolus sur un intervalle ouvert. Optimisation 37 / 50
38 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé Optimisation 38 / 50
39 Extremums absolus d une fonction Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé Extremums absolus d une fonction sur un intervalle non fermé Optimisation 39 / 50
40 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation 1 Croissance, décroissance et extremums relatifs d une fonction 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 40 / 50
41 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation Optimisation 41 / 50
42 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation Optimisation 42 / 50
43 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation Optimisation 43 / 50
44 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation Optimisation 44 / 50
45 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation Optimisation 45 / 50
46 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation Optimisation 46 / 50
47 Problèmes d optimisation Problèmes d optimisation Optimisation 47 / 50
48 Références Références 2 Extremums absolus d une fonction 3 Problèmes d optimisation 4 Références Optimisation 48 / 50
49 Références Réseau de concepts Optimisation 49 / 50
50 Références Références Éric Brunelle and Marc-André Désautels. Calcul différentiel. Les Éditions CEC inc., Gilles Charron and Pierre Parent. Calcul différentiel, 6e édition. Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, Josée Hamel and Luc Amyotte. Calcul différentiel, 2e édition. Éditions du renouveau pédagogique, Stéphane Beauregard and Chantal Trudel. Calcul différentiel. Groupe Modulo, Optimisation 50 / 50
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