DENOMBREMENT. A Notion d ordre, de rangement à n!

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1 DENOMBREMENT A Notion d ordre, de rangement à n! Exemple : de combien de façons différentes peut-on ranger ces 3 lettres? u Nombre de lettre s : 3 Alors, on fait 3! = 3x2x1 = 6 façons de ranger ces lettres Solutions : ABC ou ACB ou BAC ou BCA ou CAB ou CBA Mémo : p à ce qu on nous demande dans l énoncé n à le nombre d éléments II. ARRANGEMENT - Sans répétition - Avec ordre III. COMBINAISON - Sans répétition - Sans ordre

2 Exercice 1 L équipe de France doit constituer son équipe de football. Elle a le choix entre 20 postulants. 1) En supposant que chaque joueur est polyvalent, combien peut-on constituer d'équipes différentes? 2) Parmi les 20 postulants, 17 sont joueurs de champ et 3 sont gardiens. Combien d'équipes distinctes peut-on alors constituer? Exercice 2 Une télévision privée décide d'opter pour le système de «programmes à péage» en utilisant des décodeurs commandés par des codes à huit chiffres. 1) Donner le nombre d'abonnés potentiels puis le nombre d'abonnés avec code composés de huit chiffres différents. 2) Calculer le nombre de codes à 2 chiffres différents, l'un étant utilisé 1 fois et l'autre 7 fois. 3) Même question avec 3 chiffres différents, dont 2 sont utilisés une fois et le troisième 6 fois. Exercice 3 Pierre possède un paquet de 32 cartes. On appelle "main" toute combinaison de 5 cartes. 1) Combien de mains contiennent 3 rois? 2) Combien de mains contiennent 3 piques? Exercice 4 Julie possède un jeu de 52 cartes. Une appelle une main, une composition de 5 cartes. 1) Combien de mains Julie peut elle disposer? 2) Julie peut avoir combien de mains comprenant un as? 3) Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet? Exercice 5 Sandra a dans son armoire 4 jupes, 5 chemisiers et 3 vestes. Elle choisit au hasard une jupe, un chemisier et une veste. De combien de façons différentes peut-elle s habiller? Exercice 6 Combien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres? 2

3 Combien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres ne comportant pas le chiffre 0? Exercice 7 A l occasion de la coupe du monde regroupant 18 athlètes, on attribue une médaille d or, une d argent, une de bronze. Combien y-a-t-il de distributions possibles (avant la compétition, bien sûr...)? Exercice 8 Le bureau des étudiants de la Prepa doit élire son bureau de direction. Ce bureau est composé d'un(e) président(e), d'un(e) secrétaire et d'un(e) trésorier(e) et la Prépa est composée de 24 étudiants, dont 18 garçons. 1) Combien y a-t-il de bureaux possibles? (il y a 24 élèves dans la classe). 2) Combien de bureaux possibles si le président est une femme? 3) Combien de bureaux possibles si le secrétaire et le trésorier sont de sexe différent? Exercice 9 Un clavier de 9 touches permet de composer le code d entrée d un immeuble, à l aide d une lettre suivie d un nombre de 3 chiffres distincts ou non. 1) Combien de codes différents peut-on former? 2) Combien y a-t-il de codes sans le chiffre 1? 3) Combien y a-t-il de codes comportant au moins une fois le chiffre 1? 4) Combien y a-t-il de codes comportant des chiffres distincts? 5) Combien y a-t-il de codes comportant au moins deux chiffres identiques? Exercice 10 Un groupe de 3 élèves de Terminale doit aller chercher des livres au CDI. De combien de manières peut-on former ce groupe? (s il y a 12 élèves dans la classe, et s il y en a 24). Exercice 11 De combien de façons peut-on choisir 3 femmes et 2 hommes parmi 10 femmes et 5 hommes? Exercice 12 Nicolas et François font partie d un club de 18 personnes. On doit former un groupe constitué de cinq d entre elles pour représenter le club à un spectacle. 1) Combien de groupes de 5 personnes peut-on constituer? 2) Dans combien de ces groupes peut figurer Nicolas? 3

4 3) Christian et Claude ne pouvant se supporter, combien de groupes de 5 personnes peut-on constituer de telle façon que, Nicolas et François ne se retrouvent pas ensemble? Exercice 13 Au service RH d une startup, on compte 12 célibataires parmi les 30 employés. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de quatre personnes dans ce service. 1) Quel est le nombre d échantillons différents possibles? 2) Quel est le nombre d échantillons ne contenant aucun célibataire? 3) Quel est le nombre d échantillons contenant au moins un célibataire? Exercice 14 On constitue un groupe de 6 personnes choisies parmi 25 femmes et 32 hommes 1) De combien de façons peut-on constituer ce groupe de 6 personnes? 2) Dans chacun des cas suivants, de combien de façons peut-on constituer ce groupe avec : a) uniquement des hommes b) des personnes de même sexe c) au moins une femme et au moins un homme Exercice 15 Un vestiaire comporte 5 cintres alignés. Combien a-t-on de dispositions distinctes (sans mettre deux manteaux l un sur l autre) : a) pour 3 manteaux sur ces 5 cintres? b) pour 5 manteaux? c) pour 6 manteaux? 4

5 EXAMEN Exercice 1 - Dénombrer les anagrammes des mots suivants : MATHS, RIRE, ANANAS (Rappel : anagramme est un mot ayant un sens ou non) Exercice 2 - On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de physique, et 3 de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement : 1. si les livres doivent être groupés par matières. 2. si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés. Exercice 3 - On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes. Combien de tirages différents peut-on obtenir : 1. sans imposer de contraintes sur les cartes. 2. contenant 5 carreaux ou 5 piques carreaux et 3 piques. 4. au moins un roi. 5. au plus un roi rois et 3 piques. Exercice 4 - Une course oppose 20 concurrents. 1. Combien y-a-t-il de podiums possibles? 2. On souhaite récompenser les 3 premiers en leur offrant un livre (le même pour les 3 premiers). Combien y-a-t-il de distributions de récompenses possibles? Exercice 5 - On lance trois fois de suite un dé. 1. Combien de résultats différents peut-on obtenir? 2. Parmi ces résultats combien y en a-t-il pour lesquels on n obtient pas le chiffre 4? 3. Combien y en a-t-il pour lesquels on obtient au moins une fois le chiffre 4? 5