Travaux Dirigés Traitement Numérique du Signal Digital Signal Processing

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1 1ère Année Informatique Travaux Dirigés Traitement Numérique du Signal Digital Signal Processing M. Frikel - J. Fadili GREYC, UMR 6072 CNRS, 6, Boulevard Maréchal Juin, Caen Cedex

2 Table des matières 1 TD no : 1 - Signaux discrets Exercice : Représentation d un signal discret Exercice : Expression analytique d un signal échantillonné Exercice : Périodes d échantillonnage Exercice : Echantillonnage Exercice : Transformée de Fourier de rect(t) Exercice : l échantillonnage des "électroniciens" Exercice : la série de Fourier revisitée TD no : 2 - Transformée de Fourier Discrète (TFD) Exercice : Transformée de Fourier du signal rect(t) Exercice : Zéro padding Exercice : TFD Exercice : TFD d un sinus cardinal Exercice : Fenêtres de pondération Exercice : Echantillonnage - théorème de Shannon Exercice : Transformée de Fourier discrète (TFD) TD no 3 - Les systèmes discrets Exercice : Quelques rappels sur la TZ monolatérale Exercice : Manipulation et inversion de la TZ monolatérale Exercice : Equation aux différences Exercice : Filtre discret Exercice : Réponse en fréquence d un système Exercice : Etude d un filtre discret Exercice : Equation de récurrence d un filtre discret Exercice : Réponse impulsionnelle et réponse en fréquences d un filtre discret Exercice : Etudes temporelle et fréquentielle d un filtre discret Exercice : Association des réponses fréquentielle et impulsionnelle de quelques exemples de systèmes discrets TD no : 4 - Filtres IIR - Transpositions Exercice : Transformation bilinéaire Exercice : Filtre réjecteur Exercice :

3 4.4 Exercice : Transposition d un filtre analogique à un filtre discret TD no 5 - Génération de signaux 36 6 TD no 6 - Filtres FIR Exercice : Etude de la fonction Sinus Intégral (SI) Exercice : Effet de la troncature sur un filtre à FIR Transformée de fourier au sens des fonctions propriétés élémentaires Cas des distributions Propriétés démontrées de δ(t) : Propriétés de la transformée de Fourier des distributions :

4 Chapitre 1 TD no : 1 - Signaux discrets 1.1 Exercice : Représentation d un signal discret La mesure d un signal aux instants t (en s) = 1 ; 2 ; 4.3 ; 7.6 ; 12 donne respectivement les valeurs : 0.85 ; 0.56 ; 4 ; 6.3 ; Représenter le signal discret physique correspondant à ces mesures. 2. Ecrire le modèle mathématique (ou expression analytique) associé à ce signal et le représenter. 1.2 Exercice : Expression analytique d un signal échantillonné Le signal continu ci-dessous est échantillonné avec la période d échantillonnage T s. Donner l expression analytique du signal échantillonné pour : T s = 0.8s ; T s = 1.5s ; T s = 0.5 s ; T s = 1s ; T s = 2s. 1.3 Exercice : Périodes d échantillonnage Un signal sinusoïdal continu de période 1 ms est représenté sur les trois figures suivantes (fig. 1.1,fig. 1.2,fig. 1.3). En trait gras, représenter sur chaque graphique le signal échan- 4

5 tillonné à la cadence indiquée. Dans chaque cas interpréter l allure du signal échantillonné obtenu. Fig. 1.1 Période d échantillonnage 0.22 ms Fig. 1.2 Période d échantillonnage 1 ms 1.4 Exercice : Echantillonnage Soit le signal continu où x c (t) = e αt e(t) est l échelon unité d Heaviside et α un réel strictement positif. Ce signal est échantillonné avec une période d échantillonnage T s. 1. Représenter sur la même figure le signal continu et le signal échantillonné. 2. Donner l expression analytique de l échantillon x k à l instant t = kt s et écrire la représentation mathématique du signal échantillonné. 5

6 Fig. 1.3 Période d échantillonnage 1.1 ms 3. Rappeler l expression de la transformée de Fourier du signal continu X c (f) et calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné X(f). 4. Dans les deux cas, quelles sont les parités des modules et des phases des transformées de Fourier. Quelle est l origine de ces propriétés? 5. Montrer que X(f) est périodique. Quelle est sa période? 6. A quelle condition y a-t-il une relation simple entre X c (f) et X(f)? Quelle est cette relation? 1.5 Exercice : Transformée de Fourier de rect(t) 1. Rappeler la TF de rect(t). En déduire la TF de 2. Un signal continu x c (t) = sin (πt) πt sin (πt). πt est échantillonné avec une période T s de 0.3s. 6

7 Représenter la TF du signal échantillonné obtenu. Reprendre la même question pour une période d échantillonnage T s = 1.5s et commenter les résultats obtenus. 3. On échantillonne le signal continu y c (t) = rect(t). Peut-on satisfaire la condition de Shannon? Comment s y prend-on pratiquement? 1.6 Exercice : l échantillonnage des "électroniciens" Pour échantillonner en pratique un signal, nous disposons d un composant dit échantillonneur bloqueur ou SHA (Sample and Hold Amplifier) qui travaille de la manière indiquée ci-dessous : Le circuit commence à fonctionner à l instant t = 0. Le signal d entrée du SHA est noté x(t) supposé nul pour t < 0 et le signal de sortie y(t). 1. Donner l expression analytique des deux signaux représentés ci-dessous 2. Le signal y(t) est-il de nature continue ou discrète? 3. En notant θ? la largeur des "impulsions" obtenues, donner une expression analytique du signal y(t). 7

8 4. Quel est le lien entre les spectres de Fourier X(f) du signal x(t) et Y (f) du signal y(t). 1.7 Exercice : la série de Fourier revisitée Un signal périodique x p (t) de période T 0 a pour fonction motif x m (t). 1. Exprimer x p (t) à partir de sa fonction motif x m (t) et d un peigne de Dirac. 2. A partir de l expression précédente, exprimer X p (f) (T F [x p (t)]) en fonction de X m (f) (T F [x m (t)]). 3. Rappeler la définition de la série de Fourier à termes complexes de coefficients C n. En déduire une nouvelle expression de X p (f). En comparant au résultat du 2., montrer que l on peut calculer le coefficient Cn à partir de X m (f). 4. Pour un signal de fonction motif ci-contre, calculer ses coefficients de décomposition en série de Fourier à termes complexes pour θ = T 0 2 et θ = T

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10 Chapitre 2 TD no : 2 - Transformée de Fourier Discrète (TFD) 2.1 Exercice : Transformée de Fourier du signal rect(t) Nous cherchons ( à évaluer la transformée de Fourier du signal x(t) = rect t 1 ) grâce à la TFD Rappeler l expression de X(f) = T F [x(t)]. 2. Le signal est échantillonné à la période T s pendant un temps d acquisition T a = N.T s ce qui permet de disposer de N échantillons {x k }, k = {0 ; 1 ;... ; N-1}. Rappeler l expression de la TFD permettant de calculer à partir de {x k } les valeurs {X n }. La TFD constitue une approximation X(f) du spectre X(f). Rappeler cette approximation. 3. (a) On choisit T s = 0.5s et T a = 4s. Préciser la séquence {x k } et calculer l expression de {X n }. Sur une même courbe, comparer X n et X(f). Etalonner l axe des fréquences et préciser la bande de Shannon. (b) Effectuer la même étude avec T s = 0.25s et T a = 4s puis avec T s = 0.5s et T a = 8s. Interpréter les résultats obtenus et discuter des causes de la qualité des différentes estimations. 2.2 Exercice : Zéro padding Soit N échantillons a k, k = 0, 1, 2 ;..., N-1}. On forme 2N échantillons {b q } en intercalant des zéros soit : {b 2k } = a k et {b 2k+1 } = 0 Avec la TFD : {a k } {A n } et {b q } {B m }. 10

11 Exprimer {B m } et {B m+n } en fonction des {A n } pour n = {0, 1, 2;..., N 1}. Généraliser ce résultat. 2.3 Exercice : TFD La figure ci-dessous (figure 2.1) représente différents signaux discrets ainsi que le module de leur TFD. (TFD du signal S i T F S i, les abscisses des différentes courbes représentent des numéros d échantillons ) 1. Le signal S 1 est obtenu avec un échantillonnage à la fréquence 1200Hz. Définir la transformée de Fourier discrète, calculer celle du signal S 1 et en déduire les valeurs présentées dans le cadre 4. Etalonner l axe des fréquences de ce cadre (On justifiera cet étalonnage). 2. Le signal S 2 est obtenu à partir du signal S 1, comment? Calculer sa TFD, quel est le lien entre la TFD de S 2 et celle de S 1? (le justifier). Etalonner l axe des fréquences du cadre 5. Quel est l intérêt pratique d une telle manipulation? 3. Le signal S 3 est obtenu à partir du signal S 1, comment? Calculer sa TFD, quel est le lien entre la TFD de S 3 et celle de S 1? (le justifier). Etalonner l axe des fréquences du cadre 6. Quel est l intérêt pratique d une telle manipulation? 11

12 Fig. 2.1 Différents signaux discrets et le module de leur TFD 2.4 Exercice : TFD d un sinus cardinal 1. Rappeler les TF des fonctions rect(t) et tri(t). En déduire la transformée de Fourier [ ] 2 sin (πt) de la fonction sinc 2 (t) = et la représenter. πt 2. On échantillonne la fonction sinc 2 (t). Quel est l effet de l échantillonnage sur le spectre de Fourier? A quelle condition doit satisfaire la période d échantillonnage? 3. On veut estimer le spectre de sinc 2 (t) à l aide de la TFD et, pour cela, on constitue les fichiers de données de la manière suivante : A la période d échantillonnage T s, on mesure le signal sur n échantillons allant de t = n ( ) n 2 T s à t = 2 1 T s. Ces échantillons sont complétés par des zéros pour obtenir N points. Avec ces N points, on réalise une TFD. Les six calculs suivants ont été réalisés : 12

13 Calcul 1 : T s = 0.2s n = 120 N = 512 Calcul 2 : T s = 0.5s n = 48 N = 512 Calcul 3 : T s = 0.6s n = 40 N = 512 Calcul 4 : T s = 0.2s n = 120 N = 128 Calcul 5 : T s = 0.2s n = 10 N = 512 Calcul 6 : T s = 0.2s n = 120 en intercalant deux zéros entre deux échantillons successifs du signal puis en complétant avec des zéros à N = 512. Les résultats obtenus sont portés sur les six figures jointes où les abscisses correspondent à la bande fréquences normalisée de Shannon. 4. (a) La figure A correspond au cas n 1. Justifier précisément son allure. (b) Pour les autre figures, justifier à quel calcul correspond chacune d entre elles. 13

14 2.5 Exercice : Fenêtres de pondération 1. Etude du signal continu : La limitation dans un intervalle de temps θ d un signal continu est représentée par l action d une fenêtre de pondération p(t) de telle que p(t) = 0 pour t n appartenant pas [0, θ]. Le signal ainsi constitué sera : y(t) = x(t).p(t). 2. (a) Donner l expression de p(t) lorsqu on effectue une troncature simple c est à dire une pondération unité quel que soit t dans l intervalle de la fenêtre. (b) Avec T F [x(t)] = X(f), T F [p(t)] = P (f) et T F [y(t)] = Y (f), exprimer Y (f) sin (2πt) en fonction de X(f) et P (f). Dans le cas du signal x(t) = exprimer T 0 Y (f) en fonction de P (f). Représenter l allure de Y (f) avec θ 12T 0 dans le cas de la fenêtre du Echantillonnage : Le signal non tronqué x(t) est échantillonné à la période T s. Avec t = n.t s et sin (2πn) T 0 = n 0.T s, on obtient les échantillons x n =. n 0 (a) Quel est l effet de l échantillonnage sur le spectre de Fourier du signal échantillonné x e (t) {x n }. (b) Rappeler la condition de Shannon. Dans notre cas n 0 = 8, peut-on la considérer comme satisfaite? (c) Est-ce la même chose pour l échantillonnage du signal y(t) soit y e (t) {y n } si on suppose T 0 = 8T s et θ 100T s? 4. Transformée de Fourier Discrète (TFD) : Pour estimer la transformée de Fourier de x(t) on utilise une TFD de N points soit : T F D[x(t)] = {X k }. 14

15 (a) Rappeler la définition de la transformée de Fourier discrète. (b) Quelle est la relation entre X k et Y (f)? (c) A l aide des courbes sinc fournies, interpréter la figure 1 pour laquelle n 0 = 8 et N = 96. De même, interpréter la figure 2 pour laquelle n 0 = 8 et N = Fenêtre de Hanning : La troncature du signal est effectuée par une fenêtre de Hanning : [ ( )] 2πt h(t) = cos θ Le signal ainsi tronqué peut se mettre sous la forme, z(t) = x(t).p(t).h(t) = y(t).h(t). (a) Quelle est la transformée de Fourier H(f) = T F [h(t)] de la fonction de fenêtre? (b) Montrer que l application de la fenêtre se ramène à une convolution fréquentielle et à une équation récurrente simple faisant intervenir 3 termes. (c) Interpréter la figure 3 pour laquelle n 0 = 8 et N = 96. (d) Interpréter la figure 4 pour laquelle n 0 = 8 et N = 100. (e) Quels sont les avantages et inconvénients de cette troncature? 15

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17 2.6 Exercice : Echantillonnage - théorème de Shannon ( ) 2πt On étudie le signal x(t) = cos θ 1. questions préliminaires : (a) Rappeler l allure du spectre d un signal sinusoïdal de période θ (b) Ce signal est tronqué à un temps d observation T 0 > θ à l aide d une fenêtre rectangulaire centrée en T 0. Représenter le spectre de Fourier de ce signal 2 tronqué. (c) On échantillonne le signal tronqué à la cadence d échantillonnage T s. A quelle condition doit satisfaire cette période d échantillonnage? Est-ce rigoureusement réalisable? 2. On veut estimer le spectre du signal sinusoïdal grâce à la transformée de Fourier discrète (DFT) calculée sur N points répartis sur M périodes du signal. Le choix de la période d échantillonnage est supposé correct. (a) Rappeler la définition de la transformée de Fourier discrète. (b) Représenter la TFD obtenue pour N = 20 et M = 5. (c) Représenter la TFD obtenue pour N = 20 et M = K + ɛ = 4.5 (K=4, ɛ = 0.5). 17

18 (d) Quel est l effet de M et de ɛ sur la qualité de l estimation du spectre. En déduire la précaution à prendre pour que cette estimation soit excellente. 2.7 Exercice : Transformée de Fourier discrète (TFD) Un signal périodique est échantillonné avec une période d échantillonnage T s = 200µs. 1. Avec les 30 premiers échantillons du signal on réalise une transformée de Fourier discrète (TFD) dont la valeur absolue du résultat est indiquée sur la figure (2.2). (a) Quel est le pas fréquentiel de cette TFD? (b) Analyser le résultat de la TFD et en déduire l expression du signal échantillonné. 2. Le calcul direct de la TFD est trop long et on cherche à utiliser l algorithme de transformée de Fourier rapide qui demande d utiliser 2 N échantillons. Le calcul est donc repris avec les 32 premiers échantillons du signal et la valeur absolue du résultat est fournie par la figure (2.3) (a) Quel est le nouveau pas fréquentiel? Expliquer clairement les raisons qui font les différences avec la figure (2.2). (b) Ce spectre est-il aisément interprétable? Quelle précaution aurait-on du prendre lors du traitement? 18

19 Fig. 2.2 Transformée de Fourier discrète (TFD) des 30 premiers échantillons d un signal. 19

20 Fig. 2.3 Transformée de Fourier discrète (TFD) des 32 premiers échantillons de ce signal. 20

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22 Chapitre 3 TD no 3 - Les systèmes discrets 3.1 Exercice : Quelques rappels sur la TZ monolatérale Un signal x(t) est le résultat d un échantillonnage du signal x c (t) à la période T s et les échantillons obtenus sont {x k }. 1. Sous quelle forme est modélisé mathématiquement ce signal? 2. Quelle sera par définition la transformée en Z monolatérale ( notée ensuite TZ ) du signal? 3. Soit x c (t) = α t/t s avec α C. (a) Que vaut l échantillon x k? En déduire l expression de la TZ du signal x(t). (b) Déduire du α la valeur de la TZ de l échelon d Heaviside e(t). (c) Déduire du α la valeur de la TZ de e jωt puis celle de sin (ωt) et cos (ωt). 3.2 Exercice : Manipulation et inversion de la TZ monolatérale Pour les deux TZ suivantes : R 2 (z) = R 1 (z) = z (z + 0.7) 2 (3.1) (z + 1) 2 (z + 0.5) (z + 0.7)(z 0.8) 2 (z ) 1. Quel est le premier échantillon non nul et quelle est sa valeur. (3.2) 2. Définir les modes associés et donner, sans calcul de coefficients, la forme générale de la solution temporelle attendue. 3. Calculer éventuellement la solution par la méthode des résidus. 22

23 3.3 Exercice : Equation aux différences Le comportement d un système linéaire invariant est caractérisé par l équation aux différences : y n 1.8y n y n 2 = x n x n 1 (3.3) 1. Calculer la fonction de transfert du système et la mettre sous forme pôles et zéros. 2. En l absence de conditions initiales, calculer la réponse indicielle du système. 3. Calculer la réponse permanente à une excitation sinusoïdale x(t) = sin (ωt) telle que ωt S = π Exercice : Filtre discret Un filtre discret à pour fonction de transfert : H(z) = Son signal d entrée est un échelon d Heaviside. 0.01(z + 1)2 (z 0.8) 2 (3.4) 1. Sans calculer le signal de sortie, déterminer les valeurs initiales et finales de celui-ci. 2. En absence de conditions initiales, calculer le signal de sortie (méthode des résidus). Quels sont les régimes transitoire? permanent? libre? forcé? Vérifier l accord avec les valeurs initiales et finales déterminées au Exercice : Réponse en fréquence d un système Un système linéaire invariant de signal d entrée x(t) et de signal de sortie y(t) a un comportement caractérisé par la fonction de transfert : H(z) = 0.8(z + 2) z 2 (z 0.2) 2 (3.5) 1. Avec 3 points astucieusement choisis, représenter le module de la réponse en fréquence du système. Justifier l allure avec la représentation des pôles et des zéros. 2. Quelle est l équation récurrente associée au système? 3. En l absence de conditions initiales on veut calculer la réponse indicielle du système. (a) Expliquer pourquoi y k = 0 pour k = 0, 1, 2 (b) Calculer y k pour k 3 23

24 4. L excitation x(t) est nulle mais le système a une condition initiale non nulle : y 1 = 1. A partir du 2 ), écrire la relation entre Y (z) et y 1. En déduire, dans ce cas, y k pour k Exercice : Etude d un filtre discret Un filtre discret de signal d entrée x(t) et de signal de sortie y(t) a pour fonction de transfert : (z + 1) H(z) = (3.6) (z 0.5) 2 1. Quels sont les pôles et zéros de ce filtre. Les placer dans le plan z. Avec ce diagramme indiquer le type de comportement fréquentiel de ce filtre. Toujours à l aide du diagramme des pôles et zéros, calculer le module de la transmittance du filtre pour les fréquences normalisées {0, 0.25, 0.5}. Tracer l allure du module de la réponse en fréquence. 2. A l aide de la transformée en z, calculer les coefficients {h k } de la réponse impulsionnelle h(t) du filtre. Quelles sont les valeurs numériques de h 0, h 1, h 2 et h 3? 3. Quelle est l équation récurrente liant y(t) et x(t)? Pour calculer les coefficients de la réponse impulsionnelle on impose que y n = 0 pour n < 0. Pourquoi? Retrouver les valeurs de h 0, h 1, h 2 et h Exercice : Equation de récurrence d un filtre discret Un système linéaire échantillonné a comme fonction de transfert : (z + 1) H(z) = (3.7) (z 0.5) 2 Ce système a comme signal d entrée x(t) dont la transformée en Z est : z X(z) = (3.8) (z + 0.5) 1. A l instant t = kt s, quelle est la valeur de l échantillon x k de x(t)? Représenter x(t). 2. En l absence de conditions initiales, quelle est l expression de Y (z) transformée en Z du signal de sortie y(t) du système? En déduire la valeur de l échantillon y k de y(t). 3. Quelle est l équation récurrente du système étudié? En l absence de signal d entrée (x(t) = 0) mais avec les valeurs initiales y 1 = 1 et y 2 = 0, calculer l expression de y k. 24

25 3.8 Exercice : Réponse impulsionnelle et réponse en fréquences d un filtre discret Un système discret a comme fonction de transfert : avec 0 < a < 1 et b R H(z) = (1 a)(z b) (1 b)z(z a) (3.9) 1. Quel est le gain statique? Quel(s) sont le(s) zéro(s) et le(s) pôle(s). 2. Réponse impulsionnelle : (a) Par la méthode des résidus, calculer l expression des échantillons de la réponse impulsionnelle y δ (t) de ce système. (b) Pour a et k constants, calculer dy δ (k)/db. Pour b < a, comment choisir b pour obtenir la réponse la plus rapide? 3. Pour a = 0.8 les modules des réponses en fréquence ont été relevées pour b = { } (courbes ci-dessous). En justifiant votre réponse grâce à la représentation pôles et zéros, attribuer à chaque réponse en fréquence la valeur de b correspondante. Comment l analyse fréquentielle justifie-t-elle le résultat du 2.) sur la rapidité de la réponse? 4. Pour a < b < 1, quel sera l allure du module de la réponse en fréquence? Le tracer pour b = 0.9. Quelle est la réponse impulsionnelle correspondante? 3.9 Exercice : Etudes temporelle et fréquentielle d un filtre discret Dans cet exercice on utilisera des temps et des fréquences normalisés par respectivement la période d échantillonnage et la fréquence d échantillonnage. Un filtre discret a comme fonction de transfert : (z 2 1) G(z) = (3.10) z z On mesure expérimentalement le gain pour les fréquences normalisées : 0.1, 0.2, 0.3 et on trouve respectivement environ : 1.43, 3.12, 1.9. (a) Calculer les pôles et les zéros de la fonction de transfert (Il est plus simple de les calculer sous la forme module/argument c est à dire : re jϕ ). Représenter leur position dans le plan z. 25

26 (b) A partir de la position des pôles et des zéros et des mesures expérimentales, tracer l allure du module de la réponse en fréquence du filtre. (Il est demandé d argumenter clairement les étapes de ce tracé). 2. La réponse indicielle du système est relevée expérimentalement et donne le résultat indiqué sur le graphique ci-dessous : (a) Justifier les valeurs initiales et finales. (b) En notant re (±jϕ) les deux pôles du système, grâce à la méthode des résidus, exprimer y k (échantillon de la sortie à t = kt s ) en fonction de r et de ϕ. Vérifier la valeur numérique des 6 premiers échantillons. (c) En notant x(t) le signal d entrée et y(t) le signal de sortie, écrire l équation récurrente permettant de calculer l échantillon y k. Avec celle-ci, calculer les 6 premiers échantillons et vérifier l accord avec la question

27 3.10 Exercice : Association des réponses fréquentielle et impulsionnelle de quelques exemples de systèmes discrets Sur les figures ci-dessous, sont représentées les positions des pôles et des zéros de la fonction de transfert de quatre systèmes différents (numérotés de 1 à 4, le coefficient de gain K n étant pas précisé). Puis, sont représentées respectivement (mais dans un ordre différent) les réponses fréquentielles et les réponses impulsionnelles des systèmes. En justifiant votre réponse, associer à chaque système sa réponse fréquentielle et sa réponse impulsionnelle. 27

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31 Chapitre 4 TD no : 4 - Filtres IIR - Transpositions 4.1 Exercice : Transformation bilinéaire Un système continu est caractérisé par sa fonction de transfert : G(p) = 1 p(p + a) (4.1) Nous recherchons un système discret travaillant à la période d échantillonnage T s ayant un comportement voisin. Pour cela nous choisissons de calculer une fonction de transfert équivalente H(z) grâce à la transformée bilinéaire. 1. Définir la transformation bilinéaire. 2. Calculer la fonction de transfert H(z) transposée par cette méthode. La mettre sous forme pôles et zéros en exprimant les paramètres en fonction de at s. Faire l application numérique pour a= et T s = 2s. 3. Quels sont le(s) pôle(s) obtenu(s). Comparer avec e p it s le(s) transposé(s) du(des) pôles du système continu. 4.2 Exercice : Filtre réjecteur Un filtre continu réjecteur de bande a comme fonction de transfert : G(p) = p2 + 1 (p + 1) 2 (4.2) Le module de sa réponse en fréquence est indiqué sur la figure 1. Ce filtre travaille en fréquences basses et sa réalisation est délicate. Nous allons rechercher un filtre discret réalisant la même fonction grâce à une méthode de transposition. 1. La période d échantillonnage du filtre discret est choisie T s = 1s. Discuter ce choix. 31

32 2. transposition bilinéaire : (a) En quoi consiste cette méthode? (b) Calculer la fonction de transfert discrète H 1 (z) du filtre discret. Quels sont ses pôles et ses zéros? Quels sont les points singuliers responsables de l effet recherché (effet réjecteur de bande). Les représenter dans le plan z. On calculera le module de la réponse en fréquence pour ω = 0, ω = ω max (maximum autorisé par le théorème de Shannon) et ω = ω R (pulsation rejetée). Comparer aux caractéristiques du filtre continu. Comment s interprètent ces résultats? (c) Le résultat n est pas complètement satisfaisant. Effectuer les opérations nécessaires pour qu il le devienne. 3. Nous aurions pu choisir une méthode réputée plus simple : la transformation par la méthode des rectangles dite "arrière". (a) Quelle est la fonction de transfert H 2 (z) obtenue par cette méthode? (b) Quels sont ses pôles et ses zéros? (c) Calculer le module de la réponse en fréquence pour ω = {0, ω max, ω rejet }. Comparer aux résultats précédents. Conclusions. 4.3 Exercice : Un filtre continu a comme fonction de transfert : 32

33 G(p) = p (p + 1) 2 (4.3) Le module de la réponse en fréquence de ce filtre est tracé sur la figure 1. Il a une pulsation de résonance ω r = 1 rd/s et il travaille à des fréquences trop faibles pour pouvoir envisager une réalisation à base de composants analogiques. Aussi, allons nous rechercher des filtres discrets ayant les caractéristiques fréquentielles les plus proches possibles. 1. Choix de la période d échantillonnage. On choisit une période d échantillonnage T s = 0.2s. Quelle est la pulsation maximale ω m atteignable en discret? Discuter la validité de ce choix. 2. discrétisation : On cherche un filtre discret de fonction de transfert H(z) calculée par la méthode de la transformation bilinéaire. 3. Rappeler le principe et le résultat de cette méthode. 4. Calculer H(z). 5. Son module est représenté sur la figure 1. Vérifier sa valeur pour ω = {0; ω r ; ω m }. 6. A quoi est dû le désaccord en hautes fréquences? 7. Quel est l inconvénient habituel de cette méthode? 8. Justifiez par un calcul pourquoi cet effet est ici négligeable pour ω = ω r. 33

34 4.4 Exercice : Transposition d un filtre analogique à un filtre discret Un filtre continu a comme fonction de transfert : G(p) = p (p ) (4.4) le module de sa réponse en fréquence est indiquée sur la figure ci-dessous et nous cherchons un filtre discret équivalent travaillant à la fréquence d échantillonnage f s = 8000 Hz. 34

35 1. Transformation bilinéaire. La première méthode utilisée est la transformée bilinéaire et le résultat obtenu est indiqué sur la figure précédente. (a) Etablir l expression de la transformation bilinéaire (b) Quelle est l expression de la fonction de transfert G 1 (z) obtenue? (Elle sera mise sous forme monic) (c) Les fréquences pour lesquelles l atténuation des filtres continus et discrets est de 0.9 ne sont pas identiques. Pourquoi? Etablir la relation théorique entre ces deux fréquences et faire l application numérique. (d) On veut que la fréquence d atténuation à 0.9 du filtre transposé soit la même que celle du filtre continu. Que faut-il faire? Calculer la nouvelle fonction de transfert G 2 (z). 2. Invariance impulsionnelle. En tentant de transposer le filtre continu par la méthode d invariance impulsionnelle, nous obtenons des absurdités. (a) Rappeler le principe de la méthode (b) Tenter la transposition et indiquer les raisons de son échec 35

36 Chapitre 5 TD no 5 - Génération de signaux La génération de signaux sinusoïdaux par simple programmation d une équation récurrente est ce qui est le plus utilisé dans la pratique. Il est cependant possible d utiliser la même méthode pour générer d autres signaux. 1. Nous souhaitons générer un signal en dent de scie de période T0 et d amplitude unité. (a) Quel est le filtre formeur qui permet de générer une rampe de pente unité? (b) Ecrire l équation récurrente qui permettra de générer cette rampe. Quelles sont les conditions initiales qu il faudra utiliser? Vérifier le fonctionnement en calculant les 5 premiers échantillons. (c) La dent de scie est un motif constitué d une rampe tronquée sur l intervalle [0,T 0 ] et reproduit périodiquement. Comment réaliser cela pratiquement à partir de la réalisation précédente? 2. Le même programme peut être utilisé pour générer d autres signaux. (a) Quelles sont les modifications à apporter pour générer périodiquement une sinusoïde amortie échantillonnée : x(t) = e αt s sin (2πF 1 t) (Remarque : Les valeurs de α et F 1 sont supposées correctement choisies par rapport à T 0 ). (b) Même question pour générer périodiquement une rampe amortie x(t) = te αts 36

37 Chapitre 6 TD no 6 - Filtres FIR 6.1 Exercice : Etude de la fonction Sinus Intégral (SI) a sin (u) Par définition : SI(a) = du cette fonction calcule donc la surface du sinus 0 u cardinal, aucune forme analytique n est calculable cette fonction ne peut qu être tabulée. Cet exercice a pour but d en établir quelques propriétés. Dans le traitement de signal, la fonction qui intervient le plus souvent est : πx sin (u) SI(πx) = du (6.1) 0 u qui avec un changement de variable u = πy peut se ramener à : x SI(πy) = π 0 sin (πy) dy (6.2) πy 1. Quelle est la parité de la fonction sinus cardinal? En déduire la parité de la fonction sinus intégral. sin (πy) 2. La fonction est représentée ci-dessous : πy Pour quelles valeurs de y est-elle nulle? Quelle est la propriété de SI(πx) pour ces valeurs? + sin (πy) 3. Quelle est la transformée de Fourier F (ν) = e j2πνy dy πy + sin (πy) En déduire la valeur de : SI(+ ) = π dy 0 πy 4. Avec les questions précédentes, justifier l allure de la courbe SI(πx) ci-dessous dont les valeurs intermédiaires ont été calculées numériquement. Quelle est la valeur relative du dépassement maximal par rapport à la valeur finale? 37

38 6.2 Exercice : Effet de la troncature sur un filtre à FIR 1. On choisit de réaliser un filtre de type I avec un retard de groupe nul. Qu est-ce que cela implique sur les caractéristiques du filtre. 2. Rappeler le gabarit idéal d un filtre passe-bas de fréquence de coupure f B = 0.1f S, f S étant la fréquence d échantillonnage à laquelle travaille le filtre numérique. 3. Quelle est sa réponse impulsionnelle h(t)? Pourquoi est-ce un filtre RIF irréalisable? 4. Pour le rendre réalisable on choisit de n utiliser que les échantillons compris entre θ 2 et θ 2 avec θ 2 = NT s N N + ; T s = 1 f s. 38

39 Exprimer la réponse impulsionnelle réelle h r (t) en fonction de h(t) calculée au 2.). En déduire la réponse en fréquence H r (e jωts ) du filtre RIF ainsi constitué en l exprimant avec la fonction sinus intégral. 5. Pour N grand (> 50), justifier l allure de cette réponse en fréquence indiquée sur la figure ci-dessous. Définir la bande passante (BP), la bande coupée (BC) et la bande de transition (BT). Quelle est la largeur f de la bande de transition? Quel est le plus grand écart δ 1 en bande passante entre la réponse idéale et la réponse 39

40 réelle? Quel est le plus grand écart δ 2 en bande coupée entre la réponse idéale et la réponse réelle? Quelle est l action de N ces trois paramètres? 40

41 Annexe Rappels sur la transformée de Fourier Le traitement du signal dans le cas des systèmes linéaires invariants (SLI) fait appel à l analyse fréquentielle dont l outil de base est la transformée de Fourier.1 Transformée de fourier au sens des fonctions Définition : T F [x(t)] = X(f) = + x(t)e j2πft dt (3) Condition d existence : x(t) doit appartenir à L 1 (R) qui est l ensemble des signaux stables ou absolument sommables tels que l intégrale + x(t) dt converge..1.1 propriétés élémentaires P1. linéarité : T F [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 T F [x 1 (t)] + a 2 T F [x 2 (t)] a 1 et a 2 C P2. symétrie : T F [x( t)] (f) = T F [x(t)] ( f) = X( f) P3. conjugaison complexe : T F [ x( t) ] (f) = T F [x(t)] ( f) = X( f). Une façon d associer les deux théorèmes précédents très utilisée pratiquement : T F [ x( t) ] (f) T F [x(t)] (f) = X( f) P4. Changement d échelle : T F [x(kt)] (f) = 1 k T F [x(t)] ( f k ) = 1 k X(f k ) P5. Translation temporelle-théorème du retard : T F [x(t t 0 )] (f) = e j2πft 0 T F [x(t)] (f) = e j2πft 0 X(f) P6. Modulation : T F [ e j2πft 0 x(t) ] = T F [x(t)] (f) (f f 0 ) = X(f f 0) [ ] [ dx d n ] x P7. Transformée de la dérivée : T F = j2πft F [x] = j2πfx(f). T F = dt dt n (j2πf) n T F [x] = (j2πf) n X(f) d P8. Théorème de la dérivation (de la transformée de Fourier) : df T F [x(t)] = j2πt F [tx(t)] d n df n T F [x(t)] = ( j2π)n T F [t n x(t)]. P9. Produit : T F [x(t)y(t)] = T F [x(t)] T F [y(t)] P10. Produit de convolution : T F [x(t) y(t)] = T F [x(t)].t F [y(t)] P11. Signaux réels : Pour un signal réel : 1.la partie réelle de sa TF est paire et la partie imaginaire est impaire. = 41

42 2.le module de sa transformée de Fourier est pair et son argument est impair..2 Cas des distributions Tout le traitement numérique du signal utilise la théorie des distributions et en particulier la distribution de Dirac δ(t). Il faut se rappeler les résultats suivants : 1. Les distributions sont définies par des fonctionnelles, dans le cas des distributions singulières (cas de δ(t)), nous ne pouvons pas écrire les intégrales de Rieman. 2. Les distributions ne sont pas des fonctions de L 1 et n ont donc pas de TF au sens des fonctions. Pour les distributions singulières dites tempérées (cas de δ(t)) nous savons définir une transformée de Fourier par les fonctionnelles.2.1 Propriétés démontrées de δ(t) : P1 Produit par une fonction (appelé aussi échantillonnage) : x(t)δ(t t 0 ) = x(t 0 )δ(t t 0 ) On ne sait pas définir le produit de deux distributions singulières : δ(t t 1 ).δ(t t 0 ) n existe pas. P2 Produit de convolution (appelé aussi translation) : x(t) δ(t t 0 ) = x(t t 0 ) Ce théorème est aussi valable entre distributions singulières : δ(t t 1 ) δ(t t 0 ) = δ(t t 1 t 0 ) P3 δ(t) et 1 possèdent une transformée de Fourier au sens des distributions : T F [δ(t)] = 1 T F [1] = δ(f).2.2 Propriétés de la transformée de Fourier des distributions : Il est démontré qu elles sont identiques à celles établies pour les fonctions. 42