Plan de cours. PROFESSEUR : Larry Gingras BUREAU : E Courriel : lgingras@cegep-ste-foy.qc.ca Téléphone : # 5958

Transcription

1 Plan de cours Titre du cours : Calcul différentiel Préalable : Math 536 Numéro du cours : 201-NYA-PT Programme : Sciences de la nature (profil Pasc@l) Groupes: session : A-2006 PROFESSEUR : Larry Gingras BUREAU : E -230 Courriel : lgingras@cegep-ste-foy.qc.ca Téléphone : # 5958 Site Web : 1. THÉMATIQUE GÉNÉRALE DU COURS Le calcul différentiel constitue un élément de base très important du langage mathématique utilisé dans différents domaines de la connaissance, spécialement en sciences. Dans le profil Pasc@l, en plus d apprendre la base du calcul, l élève se familiarise plus spécifiquement avec le logiciel de calcul symbolique Maple. Tout au long de sa formation, il apprend les principales commandes de ce logiciel et les applique pour résoudre différents problèmes faisant intervenir des notions de calcul différentiel. Ces notions jumelées à l utilisation d un logiciel comme Maple donnent à l élève des outils de premier plan pour analyser et interpréter différents phénomènes. L utilisation d un logiciel permet à l élève de consacrer plus de temps à la compréhension et à l exploration des solutions plutôt qu aux calculs euxmêmes. Le cours Calcul différentiel est le premier cours de mathématiques du programme de Sciences de la nature. Ce cours permet à l élève de bien saisir la notion de dérivée et d avoir une bonne vision de son champ d application, plus particulièrement en physique. Il est un également un préalable absolu aux cours NYB de calcul intégral et de physique électrique.

2 2 De façon plus générale, ce cours visera à : - développer les capacités d analyse et de synthèse; - apprendre à intégrer les nouveaux savoirs aux précédents; - développer la capacité de produire des solutions claires et rigoureuses, notamment en utilisant correctement le langage mathématique ainsi qu en soignant la présentation et le français; - développer la capacité d abstraction en faisant ressortir qu une même structure mathématique peut se retrouver dans différentes situations concrètes; - développer l aptitude à résoudre des problèmes concrets, c est-à-dire s attarder à lire un énoncé, à l analyser, à le comprendre, à le transcrire mathématiquement, à trouver la solution et à l interpréter; - apprendre à utiliser un logiciel de calcul symbolique, en l occurrence Maple, de façon efficace. 2. COMPÉTENCE ET ÉLÉMENTS DE LA COMPÉTENCE Compétence : Appliquer les méthodes du calcul différentiel à l étude de fonctions et à la résolution de problèmes. Éléments de la compétence : 1) Reconnaître et décrire les caractéristiques d une fonction représentée sous forme d expression symbolique ou sous forme graphique. 2) Déterminer si une fonction a une limite, est continue, est dérivable, en un point et sur un intervalle. 3) Appliquer les règles et les techniques de dérivation. 4) Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d une fonction et tracer son graphique. 5) Résoudre des problèmes d optimisation et de taux de variation. 3. CONTENU - ÉCHÉANCIER - HABILETÉS À ATTEINDRE Habiletés à atteindre - Caractériser et représenter graphiquement les fonctions. - Identifier le domaine, les zéros, le signe et l ordonnée à l origine d une fonction graphiquement et algébriquement. - Déterminer si une limite existe. - Estimer une limite graphiquement et numériquement. - Utiliser les propriétés des limites.

3 - Évaluer une limite algébriquement. - Évaluer des limites de formes indéterminées simples. - Définir la continuité d une fonction en un point. - Identifier les lieux possibles de discontinuité et vérifier graphiquement et algébriquement s il y a discontinuité en ces lieux. - Déterminer si une fonction est continue sur un intervalle. - Énoncer et interpréter graphiquement la définition de la dérivée en un point. - Utiliser la notion de limite pour calculer la dérivée. - Faire la distinction entre la dérivée en un point et la fonction dérivée. - Démontrer des formules de dérivation. - Utiliser judicieusement les règles de dérivation. - Dériver les fonctions algébriques et transcendantes. - Dériver des fonctions composées et des fonctions inverses. - Dériver implicitement. - Utiliser la dérivation logarithmique. - Calculer des dérivées secondes et d ordre supérieur. - Identifier graphiquement et algébriquement les lieux où une fonction est non dérivable. - Illustrer des liens entre la continuité et la dérivabilité. - Analyser la croissance, la décroissance et la concavité d une fonction à partir de la notion de dérivée. - Déterminer les extremums relatifs et absolus ainsi que les points d inflexion d une fonction. - Utiliser le test de la dérivée seconde pour trouver les extremums relatifs. - Trouver les asymptotes horizontales, verticales et obliques d une fonction. - Faire l étude complète d une fonction et tracer son graphique - Déterminer l équation d une tangente à une courbe. - Résoudre des problèmes d optimisation faisant intervenir des fonctions algébriques. - Résoudre des problèmes de taux de variation. - Relier les notions de vitesse et d accélération aux taux de variation. - Résoudre des problèmes d optimisation et de taux liés. - Calculer une différentielle et expliquer à quoi elle correspond graphiquement. Avec Maple : - Maîtriser les opérations de base et les principales commandes de calcul algébrique - Différencier variable, expression et fonction - Résoudre une équation ou une inéquation (solve, fsolve) - Évaluer numériquement une solution (subs, evalf) - Factoriser un polynôme (factor) - Simplifier une expression (simplify, normal, expand, collect) - Tracer une ou plusieurs courbes sur un même graphique (plot, display, implicitplot) - Représenter des fonctions définies par morceaux (piecewise) - Maîtriser les commandes de calculs répétitifs (seq, evalm, convert) - Évaluer une limite (limit) - Calculer une dérivée (diff, implicitdiff, D) - Résoudre des problèmes d optimisation, de taux liés et autres applications du calcul - Rédiger des solutions complètes et commentées 3

4 4 Contenu et Échéancier Les fonctions (5 heures) Éléments d algèbre Les fonctions Des fonctions élémentaires et leurs graphes Limites et continuité (20 heures) Taux de variations et limites Notion intuitive de limite Calcul de limites Limites et infini La continuité De la sécante à la tangente La dérivée (30 heures) Définition de la dérivée La dérivée en tant que fonction Techniques et formules de dérivation Dérivation en chaîne Dérivation implicite Taux liés Dérivation de fonctions transcendantes Applications de la dérivée (20 heures) Croissance, décroissance et concavité Extremums d une fonction Allure d un graphe Analyse d un graphe Modélisation et optimisation Linéarisation et différentielles 4. MÉTHODOLOGIE Les professeurs du département de mathématique considèrent que la présence de leurs élèves à toutes les heures de cours est essentielle. L étudiant a la responsabilité d assister aux cours. S il arrive qu il manque ou qu il soit en retard à un cours, la responsabilité lui incombe de se renseigner auprès des autres étudiants de toute information donnée durant ce ou cette partie de cours.

5 5 Forme générale du cours En classe, le professeur exposera d abord un résumé de la théorie à étudier pour la semaine sous forme de présentation PowerPoint. Par la suite, il proposera des lectures et des exercices à faire seul ou par équipe de deux afin d approfondir ces notions. Régulièrement, une période sera réservée pour des ateliers Maple où le logiciel servira à mettre en pratique les notions étudiées. Il y aura également périodiquement des évaluations formatives sur papier ou avec Maple. Le professeur utilisera certaines fonctionnalités de la classe virtuelle Léa ainsi qu un site Web. Par cet intermédiaire, l élève pourra utiliser la messagerie pour communiquer avec son professeur ou avec les autres élèves, connaître l échéancier hebdomadaire du travail à réaliser et les dates d évaluations particulières, remettre ou récupérer des documents (notes de cours présentées en classe, ateliers Maple ), accéder à des évaluations formatives en ligne, utiliser des liens internet de référence... Travail des élèves Le format de ce cours suppose une grande autonomie de la part de l élève, le professeur jouant plutôt le rôle de personne ressource. L élève aura à gérer ses ressources (notes de cours, séries d exercices, ateliers Maple, documents divers) de façon structurée sur son ordinateur portable de façon à graduellement composer, conjointement avec les autres disciplines, un portfolio électronique complet de ses ressources et de ses réalisations. Il est souhaitable que l élève fasse tous les exercices proposés en vue de bien assimiler les notions vues en classe. Ces exercices lui feront développer l habileté à utiliser les concepts vus et à écrire correctement une solution. C est à partir de ce travail que le professeur pourra guider l élève dans son apprentissage. Les exercices suggérés par le professeur ne seront pas contrôlés systématiquement, mais on suppose toujours qu ils ont été faits. Un cahier d exercices de bonne épaisseur sera obligatoire. L élève y cumulera toutes ses ébauches et solutions d exercices bien numérotés. Ces exercices pourront ainsi servir de référence pour la suite du cours. 5. ÉVALUATION A) ÉVALUATION FORMATIVE Des évaluations formatives auront lieu en cours de session. Elles consisteront en des exercices à résoudre, des problèmes à faire avec Maple ou des mises en contexte nécessitant de modéliser une situation. Ces évaluations permettront à l étudiant de mesurer sa compréhension des concepts et d évaluer la progression de son apprentissage. B) ÉVALUATION SOMMATIVE L atteinte des éléments de compétence sera mesurée par les évaluations sommatives suivantes :

6 Type Forme Moment Poids Évaluation sommative Examen théorique 1 (papier + Maple) 5 ième semaine 19+6% Évaluation sommative Examen théorique 2 (papier + Maple) 11 ième semaine 29+5% Évaluation sommative Examen théorique 3 (papier + Maple) 15 ième semaine 21+6% Évaluations formatives Exercices papier ou Maple (environ 4) En cours de session % Travail de session Document Maple, recherche, travail conjoint avec d autres disciplines En cours de session (à préciser) 6% Particularités : chaque examen se fera en deux parties sur une période de 3 heures (le premier bloc sur papier et le second bloc avec Maple) pour la partie papier de l examen, seule une calculatrice non programmable est permise. pour la partie pratique sur Maple, l élève a droit à son portable (sans communications) et tout son contenu. le moment prévu des examens sommatifs est approximatif et pourrait changer légèrement selon les circonstances Corrections et notes : Après chacun des deux premiers examens, le professeur remettra à l étudiant son cahier corrigé et noté, dans les meilleurs délais. À partir du moment où le professeur remet les cahiers d examen à la classe, l étudiant a jusqu à la fin de cette rencontre pour relever toute erreur de correction. Ce laps de temps écoulé, la note accordée est définitive. L étudiant devra remettre son cahier au professeur. Après le dernier examen, le professeur informe l élève de la note accordée par le biais d Omnivox et identifie un moment où les élèves pourront consulter leurs copies. C) CRITÈRES DE PERFORMANCE Une attention particulière sera apportée aux solutions complètes et rigoureuses dans la correction des examens. Une réponse seule, c est-à-dire sans élément permettant de suivre la démarche pourra ne pas être considérée. L'évaluation sera faite à partir des critères suivants : Utilisation appropriée des concepts Représentation d une situation sous forme de fonction Représentation graphique exacte d une fonction Choix et application correcte des techniques de dérivation Manipulations algébriques conformes aux règles. Exactitude des calculs. 6

7 7 Interprétation juste des résultats. Justification des étapes de la résolution de problèmes Utilisation d une terminologie appropriée 6. DISPONIBILITÉ Pour les élèves ayant besoin d explications supplémentaires, rien ne vaut une rencontre avec son professeur. Des heures de disponibilité seront indiquées dès la première rencontre. Si ces heures ne conviennent pas, on peut prendre rendez-vous à un autre moment. Il n est pas nécessaire de prendre rendez-vous pour rencontrer le professeur. On peut se présenter à son bureau en tout temps en dehors des périodes de cours, mais on court le risque qu il soit absent ou dans l impossibilité de vous recevoir. Vous pouvez également utiliser le site Web pour obtenir de l information et des documents ou contacter le professeur par courriel (les adresses figurent à la première page). 7. MÉDIAGRAPHIE Volumes facultatifs pour référence : Calcul Différentiel (volume principal) Thomas, Finney, Weir, Giordano (adaptation de Vincent Godbout) Groupe Beauchemin, éditeur ltée. Dixième édition revue et corrigée ISBN Calcul Différentiel CHARRON, Gilles et PARENT, Pierre., Éditions Études Vivantes, 2002, 5 e édition. Calcul 1 Gilles Ouellet, Les Éditions du Griffon d Argile, 1999, 4 e édition. 8. RÉFÉRENCES À LA POLITIQUE D ÉVALUATIONS DES APPRENTISSAGES Il est à noter que la procédure de révision de note, l évaluation du français, la présentation des travaux, la présence aux cours, la remise des travaux et le plagiat ou la fraude sont régis par la PEA (Politique d Évaluation des Apprentissages) du Cégep, articles 6.1.5, 6.1.9, , , et Date : 14 août 2006 Larry Gingras, professeur Camil Pagé, coordonnateur

8 8 ANNEXE I POLITIQUE D ÉVALUATION DES APPRENTISSAGES DU DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES 0. Objectifs 0.1 La présente politique a pour but d évaluer objectivement et équitablement les élèves du cégep inscrits à des cours de mathématiques. 0.2 Cette évaluation est basée sur la politique d évaluation des apprentissages du Cégep. 1. Évaluations 1.1 Pour chacun des cours de mathématiques, le ou les professeurs concernés établiront le mode d évaluation prévu pour ce cours et ceci sera consigné dans le plan de cours remis au département au début de la session (ou de l année scolaire). 1.2 À moins d une situation exceptionnelle, le professeur s en tiendra au mode d évaluation prévu. 1.3 L élève devra faire tous les travaux et examens prévus dans le mode d évaluation. En aucun cas, un élève sera exempté d un travail ou d un examen. Un élève qui ne fait pas un travail ou ne se présente pas à un examen se verra attribuer la note «0» pour cette partie de l évaluation. Il n y a pas de reprise pour un travail ou un examen. Un élève qui, pour une raison sérieuse ne se présente pas à un examen à la date prévue, peut se voir accorder un examen compensateur. À la demande du professeur, il devra fournir une pièce justificative à son professeur. Ce dernier avisera l élève de sa décision. Un examen compensateur n est pas une reprise mais un simple déplacement dans le temps. 1.4 Il n y a pas d examen final facultatif. 1.5 Le professeur expliquera aux élèves, dès le début de la session, le mode d évaluation prévu pour le cours. 2. Notes 2.1 La note finale attribuée à un élève provient de l ensemble des résultats cumulés pour chacun des travaux et examens selon les pondérations prévues au plan de cours. 2.2 Dans le calcul de la note finale, tous les résultats partiels de travaux et d examens doivent être inclus, c est-à-dire qu une note moyenne ou une proportionnalité

9 quelconque ne pourra remplacer un «0» attribué pour un travail ou un examen qui n a pas été fait. Exemple: si un élève a fait trois des quatre examens prévus au mode d évaluation avec les résultats suivants: 60, 70 et 70, sa note finale sera: = 50 et non pas = Si un élève est pris à tricher pendant un examen, il est alors averti et se voit attribuer la note «0» pour cet examen. Si lors de la correction d un examen, il est manifeste qu il y a eu copiage entre deux élèves, on mettra alors «0» pour cet examen aux deux élèves. De plus, s il est possible de déterminer que l élève A a copié sur l élève B, alors A est averti et obtient «0» pour cet examen. Un élève pourra en appeler de la décision du professeur auprès du comité des cas spéciaux. 2.4 C est la responsabilité de l élève de faire le nécessaire auprès de la Direction des études s il désire annuler un cours. 2.5 Le professeur calcule donc la note de chaque élève selon les modalités prévues en Si l élève désire faire réviser sa note, il doit s adresser à la Direction des études et suivre la procédure prévue dans ce cas. 2.6 Une fois la note finale déposée à la Direction des études, seul le comité de révision de notes peut faire une modification à cette note. 2.7 Les professeurs doivent conserver les copies du dernier examen jusqu à la fin de la session suivante. 2.8 La présente politique est distribuée aux élèves en même temps que le plan de cours. 3. Français écrit 3.1 Tout travail doit être présenté soigneusement (ordre, propreté, clarté). 3.2 Dans tous les travaux et les examens, des solutions complètes et bien présentées sont exigées. 3.3 Dans les évaluations sommatives, le professeur soustrait 0,5% pour chaque faute de français, jusqu à concurrence de 10% de la note.

10 10 ANNEXE II Utilisation des équipements informatiques dans le profil Le programme Sciences de la nature, dans son profil technologique intègre des approches pédagogiques qui, jumelées à l utilisation des technologies de l information et de la communication (TIC), sont susceptibles de développer de nouvelles attitudes et habiletés chez l étudiant. Parmi ces attitudes et habiletés, l accent est mis sur la responsabilité individuelle et collective ainsi que sur l autonomie de chaque étudiant. L utilisation d un portable pour toutes les activités pédagogiques, y compris les périodes de cours, repose, entre autres, sur ces attitudes. Donc : Considérant le règlement n o 5, relatif à certaines conditions de vie au cégep; Considérant que le but premier visé par le profil Pasc@l réside dans l utilisation de l ordinateur à des fins pédagogiques ; Considérant que l usage inapproprié de l ordinateur constitue un manque de respect vis-àvis de son environnement immédiat ; Considérant que l enregistrement de fichiers divers (à des fins non pédagogiques) à partir du réseau informatique réduit considérablement les capacités de ce dernier et, dans certains cas, peut violer la Loi sur les Droits d auteur ; Considérant que l usage inapproprié de l ordinateur constitue un manque de respect vis-àvis des professeurs; L étudiant doit, à l intérieur des cours, utiliser son portable uniquement à des fins pédagogiques. Il est donc interdit de télécharger et de télé décharger des fichiers personnels, de jouer durant les périodes de cours, ainsi que d utiliser son ordinateur de façon nuisible à son environnement immédiat. (Référence : Règlement n o 18) L étudiant doit contribuer au bon déroulement des activités pédagogiques prévues dans les cours en respectant ces règles (Référence : Règlements n o 5 et n o 18). Les sanctions peuvent être appliquées si l étudiant y contrevient. Leur gestion relève de la responsabilité de chaque professeur.