Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation

Transcription

1 Mathématiques 3 e Livret de corrigés Rédaction : Nicole Cantelou Hélène Lecoq Fabienne Meille Jean-Denis Poignet Coordination : Jean-Denis Poignet, responsable de formation Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces éléments font l objet d une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu à des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d un cours ou d une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits. Cned-2009

2 2 Séquence 1 Ce que tu devais faire JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e SÉQUENCE 1 PROBABILITÉS Séance 1 Les commentaires du professeur Il y a trois modèles disponibles en deux couleurs chacun soit au total 3 2 donc 6 jouets différents. Si on note M1, M2, et M3 les trois modèles et C1, C2 les deux couleurs, les possibilités sont : (M1,C pour modèle 1 en couleur 1, (M1,C, (M2,C, (M2,C, (M3,C, (M3,C. Il y a donc bien 6 possibilités. 20 % 25 % 5 % 0,2 % 730 0,46 46 % 2,13 4) 0,1 0,3 0,7 0, En effet, = = soit 20% On peut aussi écrire que : = 0, 2 et 0,2 c est 20 % 5 (il suffit de multiplier 0,2 par 100 pour obtenir le pourcentage) On peut encore écrire que : 100 = = Le pourcentage cherché est donc 20 %. Pour obtenir la fréquence, on divise le nombre de «pile» par le nombre total de lancers (revois éventuellement ton programme de statistiques de 5 e ou de 4 e ). 230 = 0, 46 La fréquence est 0, Cette fréquence s exprime en pourcentage 46 % (il suffit de multiplier 0,46 par 100 pour obtenir le pourcentage). Si la pièce n est pas truquée, on s attend au bout d un très grand nombre de lancers à obtenir à peu près autant de «pile» que de «face». Le nombre de «pile» est alors à peu près la moitié du nombre total de lancers. La fréquence est donc environ de 1 2 soit 0,5. La probabilité d obtenir pile est le nombre vers lequel la fréquence va se rapprocher si on fait de plus en plus de lancers. La probabilité d obtenir «pile» est donc 0,5. 2 Cned, Mathématiques 3 e

3 3 Séquence 1 EXERCICE 1 Jeu de Pauline : La probabilité de tirer la boule verte est 1 3. Dans ce jeu, il y a trois «possibilités» (en probabilité, on dira trois issues) : tirer la boule verte tirer la boule bleue tirer la boule rouge On a autant de chances de tirer chacune de ces trois boules. La probabilité de tirer la boule verte est donc d une chance sur 3, c est-à-dire 1 divisé par 3 donc 1 3. La probabilité de tirer la boule bleue est aussi 1 3. La probabilité de tirer la boule rouge est également 1 3. Jeu de Nadia : La probabilité d obtenir un «deux» en lançant un dé à six faces est 1 6. EXERCICE 2 Dans ce jeu, il y a six issues : obtenir le 1 obtenir le 2 obtenir le 3 obtenir le 4 obtenir le 5 obtenir le 6 On a autant de chance (si le dé n est pas truqué!) d obtenir le 1, le 2, le 3, le 4, le 5 ou le 6. La probabilité d obtenir le 2 est donc d une chance sur six soit 1 6. Pour savoir qui d Aurélie et d Andry a le plus de chances de gagner, on calcule la probabilité qu a chacun de gagner puis on compare les probabilités (car une probabilité est un nombre!). Jeu d Aurélie : Aurélie tire une boule dans une boîte qui en contient 5. La boîte contient exactement 2 boules jaunes. Aurélie a donc 2 chances sur 5 de tirer une boule jaune, soit une probabilité de gagner de 2 5. Le jeu d Aurélie comporte cinq issues (il y a 5 boules au total). 2 des ces 5 issues correspondent au tirage d une boule jaune. On a en fait divisé le nombre d issues correspondant aux boules jaunes par le nombre total d issues. Jeu d Andry : Andry tire une boule dans une boîte qui en contient 8. La boîte contient exactement 3 boules vertes. Andry a donc 3 chances sur 8 de tirer une boule verte, soit une probabilité de gagner de 3 8. Le jeu d Andry comporte 8 issues (il y a 8 boules au total). 3 des ces 8 issues correspondent au tirage d une boule verte. On a en fait divisé le nombre d issues correspondant aux boules vertes par le nombre total d issues. On compare 2 5 et 3 8 : = = = = < donc < La probabilité de gagner d Aurélie est plus grande que celle d Andry, c est donc Aurélie qui a le plus de chances de gagner. Pour comparer les deux fractions, on peut soit les mettre au même dénominateur, soit utiliser la calculatrice. Cned, Mathématiques 3 e 3

4 4 Séquence 1 EXERCICE 3 La partie coloriée en rouge représente un quart de la roue. La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est donc d une chance sur quatre soit = = La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est de 25 %. La partie coloriée en rouge représente trois huitièmes de la roue. La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est donc de trois chances sur 8 soit ,5 37,5 = = ,5 100 La probabilité pour que l aiguille s arrête dans la partie coloriée en rouge est de 37,5 %. EXERCICE 4 La zone rouge occupe le quart de la zone totale, la probabilité cherchée est le quotient de l aire de la surface rouge par l aire de la surface totale, soit 1 4. En effet, si on faisait tourner un très très grand nombre de fois la roue, la fréquence de l arrêt de l aiguille dans la zone rouge finirait par être égale au quotient de l aire de la zone rouge par l aire totale. On peut exprimer une probabilité (comme tout autre nombre) sous la forme d un pourcentage. Pour cela, on peut écrire la fraction avec le dénominateur 100, ou bien par exemple écrire : = = ou encore : 1 = 0, 25 0, = 25 4 On s intéresse à la probabilité de tirer une carte bien précise parmi 52 cartes. La probabilité de tirer le trois de cœur est donc d une chance sur 52 soit On s intéresse à la probabilité de tirer un trèfle. On sait qu il y a 13 cartes de trèfles (as, 2, 3,, roi) et que le nombre total de cartes dans le jeu est 52. Il y a donc 13 chances sur 52 de tirer un trèfle, soit une probabilité de 13 de tirer un trèfle = = La probabilité de tirer un trèfle est 1 4. On s intéresse à la probabilité de l événement «tirer un roi». Il y a quatre rois dans le jeu de 52 cartes. Il y a donc quatre chances sur 52, soit une probabilité de 4 de tirer un roi = = La probabilité de tirer un roi est La probabilité de tirer par exemple le 7 de pique (ou en fait n importe quelle carte) d un jeu de 52 cartes est Si on essaie de définir comment on calcule une probabilité, on se rend compte sur cet exemple que l on divise le nombre d issues correspondant à l événement (ici : tirer un trèfle) par le nombre total d issues. Remarque : on pouvait procéder différemment. Comme il y a autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux, l événement «tirer un trèfle» revient à tirer une couleur parmi 4. Il y a donc une chance sur quatre d obtenir un trèfle. La probabilité cherchée est donc de 1 4. On divise le nombre d issues correspondant à l événement (ici : tirer un roi) par le nombre total d issues. On n oublie pas de simplifier au maximum le résultat. 4 Cned, Mathématiques 3 e

5 5 Séquence 1 EXERCICE 5 Séance 2 Dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 cœurs et 13 trèfles. Il y a donc 26 chances sur 52 de tirer un cœur ou un trèfle. La probabilité de tirer un cœur ou un trèfle est donc soit 1 2. On peut aussi procéder de la façon suivante : Comme il y a autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux, l événement «tirer un cœur ou un trèfle» revient à tirer deux couleurs parmi 4. Il y a donc deux chances sur quatre d obtenir un cœur ou un trèfle, soit une probabilité de 2 4 soit 1 2 ou un trèfle. Remarque : On sait que la probabilité de tirer un cœur est 1 4. de tirer un cœur On sait que la probabilité de tirer un trèfle est aussi = probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir un coeur ou un trèfle un coeur un trèfle Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 valets et 4 dames. Il y a donc 8 chances sur 52 de tirer un valet ou une dame. La probabilité de tirer un valet ou une dame est donc : = soit c) Dans les deux cas et, il suffit d additionner les probabilités «d obtenir ceci» et «d obtenir cela» pour obtenir la probabilité «d obtenir ceci ou cela». Il semble donc que ce que dit Andry est vrai. Cependant, nous n avons pas démontré ce résultat, donc on ne peut pas affirmer que ce que dit Andry est toujours vrai. Remarque : 4 On sait que la probabilité de tirer un valet est On sait que la probabilité de tirer une dame est aussi = probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir un valet ou une dame un valet un dame c) Cned, Mathématiques 3 e 5

6 6 Séquence 1 La probabilité de tirer un valet est 4 52 soit La probabilité de tirer un cœur est soit 1 4. Je cherche à calculer la probabilité de tirer un valet ou un cœur : Il y a 4 valets dans le jeu de cartes. Il y a 13 cœurs dans le jeu de cartes. Les cartes qui sont soit un valet, soit un cœur sont au nombre de 16 (attention : il ne faut pas compter deux fois le valet de cœur!). La probabilité de tirer un valet ou un cœur est donc = soit Le contre-exemple auquel pense Aurélie est sans doute celui donné par la question précédente : La probabilité de tirer un valet est 4 52, la probabilité de tirer un cœur est 13 52, la probabilité de tirer un valet ou un cœur est Cette dernière probabilité n est pas la somme des deux précédentes car : + = Les cartes qui sont soit un valet, soit un cœur sont : le valet de pique, le valet de trèfle, le valet de carreaux, le valet de cœur, puis les cartes de cœur suivantes : l as, le 2, le 3, le 4, le 5, le 6, le 7, le 8, le 9, le 10 (on ne recompte pas le valet de cœur, car on l a déjà compté), la dame et le roi soit au total 16 cartes (et non 17!). Il faut faire attention à ne pas compter deux fois le valet de cœur! Si on ajoute les deux probabilités, on ne trouve pas mais C est dû au fait que la probabilité d avoir un valet de cœur est comptée deux fois. Il n y a donc pas égalité car les événements «tirer un valet» et «tirer un cœur» peuvent se produire en même temps : c est le cas si on tire le valet de cœur. Conclusion : La probabilité d obtenir un événement A ou B n est pas toujours égale à la probabilité d obtenir A plus celle d obtenir B. Il y a égalité (comme dans les questions a et b du lorsque les événements «obtenir A» ou «obtenir B» ne peuvent pas se produire en même temps (on dit alors qu ils sont incompatibles). EXERCICE 6 Il y a 4 gommettes bleues. Il y a au total 15 gommettes. La probabilité d obtenir une gommette bleue est Il y a 5 gommettes vertes. La probabilité d obtenir une gommette verte est 5 15 soit 1 3. On peut bien entendu, et c est même plus simple, calculer directement la probabilité cherchée en divisant le nombre d issues favorables par le nombre total d issues. Le nombre de cas favorables est le nombre de gommettes bleues ou vertes. On les compte. On en trouve 9. On compte le nombre total de gommettes. On en trouve 15. La probabilité cherchée est donc 9 15 soit Cned, Mathématiques 3 e

7 7 Séquence 1 Les événements «prendre une gommette bleue» et «prendre une gommette verte» sont incompatibles. La probabilité de l événement : «la gommette est bleue ou verte» est donc soit donc gommettes sont carrées. La probabilité pour qu une gommette soit un carré est 6 15 soit gommettes sont des triangles. La probabilité pour qu une gommette soit un triangle est 6 15 soit 2 5. On peut aussi calculer la probabilité cherchée en divisant le nombre d issues correspondant à l événement par le nombre total d issues. Le nombre d issues correspondant à l événement est le nombre de gommettes carrées ou triangulaires. Il y en a 12. La probabilité cherchée est donc soit 4 5. Les événements «prendre une gommette carrée» et «prendre une gommette triangulaire» sont incompatibles. La probabilité de l événement : «la gommette est un carré ou un triangle» est donc : soit c est-à-dire 4 5. Il y a 8 gommettes qui sont soit un disque, soit jaunes. La probabilité de l événement : «la gommette est un disque ou la gommette est jaune» est donc EXERCICE 7 Il y a au total 5 boîtes. Il y a une chance sur 5 pour que la boule soit dans la boîte 1, soit une probabilité de 1 pour que la boule 5 soit dans la boîte 1. Comme la boule se cache dans une des 5 boîtes, l événement va obligatoirement se produire! Le nombre d issues correspondant à l événement est 5. Le nombre total d issues est 5. La probabilité que la boule se trouve dans une des 5 boîtes est donc de 5 soit 1. 5 Il ne fallait pas ajouter la probabilité d avoir un disque et la probabilité d avoir une gommette jaune. En effet, les deux événements ne sont pas incompatibles (c est-à-dire qu ils peuvent se produire en même temps) : c est le cas lorsqu on prend la gommette qui est un disque jaune! Il y a une issue qui correspond à l événement et un nombre total de 5 issues. On dit alors que l événement est certain. On peut aussi répondre à cette question de la façon suivante : Les événements : «la boule se trouve dans la boîte 1», ou «dans la boîte 2», ou «dans la boîte 3», ou «dans la boîte 4», ou «dans la boîte 5» sont incompatibles les uns avec les autres donc, d après la propriété précédente, la probabilité cherchée est la somme des probabilités de chacun des événements. La probabilité de chacun des événements est La probabilité est donc : = 5 = La probabilité est donc 1. Cned, Mathématiques 3 e 7

8 8 Séquence 1 Cet événement est impossible puisque il y a forcément une boule dans une des cinq boîtes! Les cinq issues sont : la boule se trouve dans la boîte 1 la boule se trouve dans la boîte 2 la boule se trouve dans la boîte 3 la boule se trouve dans la boîte 4 la boule se trouve dans la boîte 5. Aucune issue ne correspond à l événement «la boule ne se trouve dans aucune des 5 boîtes». La probabilité de cet événement est donc 0 5 EXERCICE 8 Une seule face porte le numéro 12. Le dé possède 12 faces «équitables». La probabilité d obtenir 12 est donc soit 0. Conclusion générale : Un événement est impossible quand aucun cas ne correspond à cet événement. Sa probabilité est donc 0 divisé par le nombre total de cas : elle est donc égale à 0. Un événement est certain quand tous les cas correspondent à cet événement. Sa probabilité est donc le nombre total de cas divisé par lui-même. Elle est donc égale à 1. L événement contraire à «obtenir 12» est l événement «obtenir moins de 12». L événement «obtenir moins de 12» peut aussi se traduire par l événement «obtenir 1, ou 2, ou 3,, ou 11». Le nombre d issues correspondant à cet événement est 11. Le nombre total d issues est 12. La probabilité de cet événement est donc La somme de la probabilité de l événement «obtenir 12» et de la probabilité de l événement contraire est : + = soit Remarque : La somme de la probabilité d un événement et de celle de son contraire est toujours égale à 1. En effet, un événement et son événement contraire sont toujours incompatibles. La probabilité de E «plus» la probabilité du contraire de E est donc égale à la probabilité de «E ou son contraire». L événement «E ou son contraire» correspond à toutes les issues, il est donc certain : sa probabilité est donc de 1. 8 Cned, Mathématiques 3 e

9 9 Séquence 1 EXERCICE 9 Le nombre total de pièces d Ali est : soit 25 pièces. Ali a 5 pièces de 1 centime, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est 5 25 soit 1 5. Ali a 4 pièces de 2 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 7 pièces de 5 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 2 pièces de 10 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 4 pièces de 50 centimes, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Ali a 3 pièces de 1, donc la probabilité pour qu il prenne une de ces pièces est Les commentaires du professeur : On commence par calculer le nombre total de pièces d Ali. Ali a soit 16 pièces de 1, 2 ou 5 centimes. La probabilité de tirer une pièce de 1, 2 ou 5 centimes est L événement «tirer une pièce de plus de 5 centimes» est le contraire de l événement «tirer une pièce de 5 centimes ou moins». La probabilité de tirer une pièce de 1, 2 ou 5 centimes est La probabilité de l événement contraire est donc : = soit Il y a 16 pièces de 1, 2 ou 5 centimes parmi les 25 pièces au total. La somme de la probabilité de «prendre une pièce de plus de 5 centimes» et de la probabilité de l événement contraire est égale à 1. La probabilité de «tirer une pièce de plus de 5 centimes» est donc : 1 moins la probabilité de «tirer une pièce de moins de 5 centimes» EXERCICE 10 Il y a au total 12 boules dans la boîte. Il y a 4 boules vertes. La probabilité de tirer une boule verte est donc 4 12 soit 1 3. On divise le nombre d issues correspondant à l événement «tirer une boule verte» par le nombre total d issues. On fait de même pour les questions, c) et d). Cned, Mathématiques 3 e 9

10 10 Séquence 1 Il y a 2 boules bleues. La probabilité de tirer une boule bleue est donc 2 12 soit 1 6. c) Il y a 3 boules jaunes. La probabilité de tirer une boule jaune est donc 3 12 soit 1 4. c) d) Il y a 2 boules roses. La probabilité de tirer une boule rose est donc 2 12 soit 1 6. e) 1 ère méthode : L événement contraire à «tirer une boule verte, ou bleue, ou jaune, ou rose» est «tirer une boule rouge». Il y a une boule rouge. La probabilité de tirer la boule rouge est donc La probabilité de «tirer une boule verte, ou bleue, ou jaune, ou rose» est donc : 1 = soit ème méthode : Les évènements «tirer une boule verte», «tirer une boule bleue», «tirer une boule jaune» et «tirer une boule rose» sont incompatibles les uns les autres donc pour calculer la probabilité cherchée, on additionne les probabilités de tirer une boule verte, une boule bleue, une boule jaune, une boule rose. d) e) 1 ère méthode : Comme la probabilité de tirer une boule verte, ou une boule bleue, ou une boule jaune, ou une boule rose plus la probabilité de son événement contraire est égale à 1, la probabilité de tirer une boule verte, ou une boule bleue, ou une boule jaune, ou une boule rose est : 1 moins la probabilité de l événement contraire 2 ème méthode : soit Comme les événements sont incompatibles les uns les autres, il suffit d ajouter les probabilités = La probabilité cherchée est bien Il y avait également une 3 ème méthode. On pouvait calculer la probabilité cherchée en divisant le nombre d issus correspondant à l événement par le nombre total d issues. Le nombre de boules vertes, bleus, jaunes ou roses est 11. La probabilité cherchée est donc Cned, Mathématiques 3 e

11 11 Séquence 1 EXERCICE 11 Séance 3 Le petit carré bleu foncé a pour côté 4 cm. Son aire est donc 16 cm 2. La grande cible est un carré de côté 2 ( soit 16 cm. Son aire est donc 256 cm 2. Comme l archer tire parfaitement au hasard, la probabilité qu il tire dans le petit carré bleu foncé est : = soit On ne peut pas dans ce cas compter le nombre d issues. Par contre, on peut calculer le quotient de l aire du petit carré bleu foncé par l aire du grand carré (qui représente la grande cible) : comme l archer tire au hasard et toujours dans la cible, ce quotient est la probabilité pour que la flèche soit dans le petit carré bleu foncé. Le carré «du milieu» a pour côté 2 (2 + soit 10 cm. Son aire est 100 cm 2. L aire de la zone qui vaut 5 points est l aire du carré «du milieu» moins l aire du petit carré, soit : donc 84 cm 2. La probabilité cherchée est le quotient de l aire de la zone qui rapporte 5 points par l aire de la grande cible. La difficulté est donc ici de ne pas se tromper dans le calcul de l aire de la zone qui vaut 5 points (ce n est pas un carré!). La probabilité pour que l archer tire dans la zone à points est : = soit c) L aire de la zone qui vaut 1 point est celle du très grand carré moins celle du «carré du milieu», soit donc 156 cm 2. La probabilité pour que l archer tire dans le zone à point est : = soit EXERCICE 12 L aire du disque bleu est : r r r π =π =π c) On peut aussi utiliser l événement contraire de l événement «rapporter 1 point». C est l événement «rapporter 5 points ou 10 points». Comme les événements «rapporter 5 points» ou «rapporter 10 points» sont incompatibles, la probabilité de «rapporter 1 point» est : = = = = On ne peut pas non plus dans ce cas de figure compter le nombre d issues favorables. L aire du grand disque est : π r Comme le point se promène au hasard sur l écran, la probabilité pour que ce point soit dans le disque bleu est le quotient de l aire du disque bleu par l aire du grand disque, soit : 2 2 r r π r 1 r 1 = = = = π r r 4 r 4 r 4 2 On peut par contre calculer le quotient de l aire du disque bleu par l aire du grand disque. La probabilité cherchée est 1 4. Cned, Mathématiques 3 e 11

12 12 Séquence 1 EXERCICE 13 Je n arrive pas à résoudre ce problème, il me semble très compliqué! nombre de fois où le centre du disque est dans le carré et où le disque ne touche pas le bord du carré On peut dire que 13 c est-à-dire 0,65 est une 20 approximation de la probabilité cherchée. J ai effectué une simulation d environ 500 lancers et j ai obtenu 319 lancers pour lesquels la pièce ne touche pas le bord. La nouvelle approximation de la probabilité obtenue est donc 319 soit 0, nombre de fois où le centre du disque est dans le carré 20 Cet exercice semble effectivement complexe! On commence par chercher une approximation de la probabilité cherchée par l expérience. En fait, cette probabilité correspond à la fréquence avec laquelle la pièce ne touche pas le bord du carré si on faisait un nombre infini de lancers. On ne peut pas la déterminer de façon exacte par l expérience, mais on peut tenter de s en approcher. De façon générale, plus on fait d essais, plus on va se rapprocher de la probabilité cherchée. Bien entendu, tu n as pas forcément trouvé les mêmes valeurs que les nôtres dans le tableau de la colonne de gauche. Tu n as pas obtenu la même approximation que celle donnée cicontre. Ce qui est important, c est de voir que plus on fait d essais, plus la fréquence a l air de s approcher d une fréquence «limite» qui est la probabilité recherchée et qui semble être environ 0,64. 4) Dire que le disque ne touche pas le bord du carré revient à dire que le centre du disque se trouve dans un carré de même centre que le grand carré, mais de 8 cm de côté. 4) On voit dans cette question que l on peut prouver le résultat à l aide d un raisonnement sur les aires. Comme la pièce est lancée au hasard, la probabilité pour que la pièce ne touche pas le bord est donc le quotient de l aire du carré hachuré par celle du grand carré soit : 2 10 = 100 = 0,64. On mène ici le même type de raisonnement que celui mené dans l exercice Cned, Mathématiques 3 e

13 13 Séquence 1 EXERCICE 14 Séance 4 La probabilité d obtenir chacune des faces est 1 6. Remarque : les issues étant des événements incompatibles les uns avec les autres, la somme des probabilités des issues est la probabilité d avoir toutes les issues possibles, c est-à-dire 1. La somme des probabilités notées sur les branches d un tel arbre est donc toujours égale à 1. La probabilité d obtenir chacune des lettres est 1 4. On vérifie bien que la somme des probabilités notées au-dessus des branches est égale à 1. EXERCICE 15 Conclusion : On a compris à la fin de cet exercice comment représenter un arbre de probabilités. Ceci étant, on ne voit pas pour l instant quel est son intérêt! Avant de représenter l arbre des probabilités, je calcule la probabilité de chacune des issues : tirer une boule portant le numéro 1 : Il y a quatre boules portant le numéro 1 et il y a 10 boules au total. La probabilité de tirer une boule portant le numéro 1 est donc 4 soit 0,4. 10 Quand une probabilité peut s écrire sous forme décimale, on l écrit sous cette forme (ici 0,4) plutôt que sous la forme d une fraction 4 (ici 10 ). tirer une boule portant le numéro 2 : Il y a une boule portant le numéro 2. La probabilité cherchée est donc 1 soit 0,1. 10 Cned, Mathématiques 3 e 13

14 14 Séquence 1 tirer une boule pourtant le numéro 3 : Il y a 2 boules portant le numéro 3. La probabilité cherchée est donc 2 soit 0,2. 10 tirer une boule pourtant le numéro 4 : Il y a 3 boules portant le numéro 4. La probabilité cherchée est donc 3 soit 0,3. 10 La somme des quatre probabilités est 0,4 + 0,1 + 0,2 + 0,3 = 1. On trouve bien 1. La probabilité de tirer une boule portant le numéro 1, 2, ou 3 est 0,4 + 0,1 + 0,2 soit 0,7. Une fois l arbre représenté, on peut répondre facilement aux questions posées. Les issues étant des événements incompatibles les uns avec les autres, la probabilité de tirer une boule portant le numéro 1, ou le numéro 2, ou le numéro 3 est la somme des probabilités d obtenir la boule 1, la boule 2 et la boule 3. Il suffit donc d ajouter les probabilités des trois branches correspondant à l événement. On peut également utiliser l événement contraire à l événement «tirer une boule portant le numéro 1, 2 ou 3». C est «tirer une boule portant le numéro 4». La probabilité cherchée est donc 1 0,3 soit 0,7. La probabilité de tirer une boule portant un numéro pair est 0,1 (probabilité de tirer + 0,3 (probabilité de tirer 4) soit 0,4. «tirer une boule portant un nombre impair» est l événement contraire à l événement «tirer un boule portant un nombre pair». La probabilité cherchée est donc 1 0,4 soit 0,6. On additionne les probabilités de la branche de la boule 2 et de la boule 4. On peut aussi directement utiliser l arbre de probabilités. La probabilité cherchée est 0,4 + 0,2 soit 0,6. 14 Cned, Mathématiques 3 e

15 15 Séquence 1 EXERCICE 16 Il y a 6 lettres au total et il y a deux «e». La probabilité d obtenir un «e» est donc 2 6 soit 1 3. La probabilité de chacune des autres lettres est 1 6. Il faut faire bien attention : on a par exemple deux fois plus de chances d obtenir un «e» que d obtenir un «a». On n oublie pas de vérifier que la somme des probabilités notées au-dessus de chacune des branches est égale à = = La probabilité d obtenir une voyelle est la somme de la probabilité d obtenir «a», d obtenir «e» et d obtenir «u» soit : + + = = La probabilité d obtenir une voyelle est donc 2 3. Il suffit ensuit de bien lire l arbre de probabilités pour répondre à la question. La probabilité d obtenir une consonne est la probabilité de l événement contraire, soit : = c est-à-dire Cned, Mathématiques 3 e 15

16 16 Séquence 1 EXERCICE 17 Séance 5 Les 30 nombres trouvés sont tous compris entre 0 et 1. J appuie sur la touche F9. Les nombres changent, mais ils sont toujours compris entre 0 et 1. Pour «étendre» la formule calculée pour la case A1 aux cases A2 à A30, il suffit de cliquer une fois sur la case A1. La case est alors entourée d un cadre noir et un petit carré noir apparaît dans le coin inférieur droit de la case. Il faut alors cliquer sur ce petit carré et, sans relâcher le bouton gauche de la souris, placer le pointeur de la souris dans la case A30. On relâche ensuite le bouton gauche de la souris. 30 nombres apparaissent alors dans les cases A1 jusqu à A30. Si tu regardes bien les 30 nombres affichés par le tableur, ils semblent être tirés au hasard. Conclusion générale : La fonction ALEA() du tableur permet d afficher un nombre pris au hasard entre 0 et 1. EXERCICE 18 Ce nombre semble être tiré au hasard entre 1 et 2. Ce n est pas étonnant car on a vu dans l exercice précédent que : 0 < ALEA() < 1 On en déduit que : < ALEA() + 1 < soit : 1 < ALEA() + 1 < 2 Le nombre ALEA() + 1 est donc compris entre 1 et 2. Ce nombre semble être tiré au hasard entre 0 et 10. Je peux prouver que 10 ALEA() est compris entre 0 et 10. On sait que : 0 < ALEA() < 1 D où : 10 0 < 10 ALEA() < < 10 ALEA() < 10 Le nombre 10 ALEA() est donc compris entre 0 et 10. ALEA() est un nombre. Cette écriture doit te paraître étrange. En fait, c est le résultat que renvoie la fonction ALEA. On utilise une propriété des inégalités vue en 4 e : Si a < x < b alors a + c < x + c < b + c Comme le nombre ALEA() est tiré au hasard entre 0 et 1, le nombre ALEA() + 1 est lui aussi un nombre tiré au hasard, mais lui est compris entre 1 et 2. On utilise une propriété des inégalités vue en 4 e : c est désignant un nombre strictement positif, si a < x < b alors a c < x c < b c Comme le nombre ALEA() est tiré au hasard entre 0 et 1, le nombre 10 ALEA() est lui aussi un nombre tiré au hasard, mais il est compris entre 0 et Cned, Mathématiques 3 e

17 17 Séquence ALEA() est un nombre tiré au hasard compris entre 0 et ALEA() + 2 est un nombre tiré au hasard compris entre 2 et 102. En effet : 0< ALEA() < < 100 ALEA() < < 100 ALEA() < < 100 ALEA() + 2< < 100 ALEA() + 2< 102 «=100 ALEA() + 2» est la formule permettant au tableur d afficher un nombre tiré au hasard entre 2 et 102. Essaie sur ton tableur afin de contrôler que la formule donne bien le résultat escompté. Attention! La formule «=(ALEA()+ 100» ne donne pas la même chose : 0< ALEA() < 1 2< ALEA() + 2< 3 ( () ) ( () ) 2 100< ALEA < < ALEA < 300 EXERCICE 19 Les 30 nombres affichés sont des entiers compris entre 1 et 6. De plus, ces nombres semblent être tirés au hasard. Le tableur permet ici de simuler le lancer d un dé à 6 faces. Au 1 er tirage, on a obtenu 6. La fréquence de 1 obtenue au bout de 1 tirage est donc de 0 % ALEA() est un nombre tiré au hasard compris entre 1 et 7. ENT(1 + 6 ALEA()) est la partie entière du nombre : ALEA(). Ainsi : ENT(1,634 = 1 ; ENT(6,5555) = 6 Le résultat de ENT(1 + 6 ALEA()) est un entier tiré au hasard entre 1 et 6 (1 et 6 compris). A quoi sert de simuler à l aide d un ordinateur ce que l on peut faire avec un dé? A faire des centaines voire des milliers de tirages en un simple clic! La fréquence de 1 en pourcentage est le nombre de 1 obtenus divisé par le nombre de tirages multiplié par Au bout de 1 tirage, la fréquence de 1 en % est de 100 soit 0%. 1 Au 2 ème tirage, on a obtenu 3. La fréquence de 1 obtenue au bout de 2 tirages est donc de 0 %. 0 Au bout de 2 tirages, la fréquence de 1 en % est de 100 soit 2 toujours 0%. Au 3 ème tirage, on a obtenu 1. La fréquence de 1 obtenue au bout de 3 tirages est donc d environ 33,33 %. 1 Au bout de 3 tirages, la fréquence de 1 en % est de 100 soit 3 environ 33,33%. Cned, Mathématiques 3 e 17

18 18 Séquence 1 Je remarque que plus le nombre de simulations est grand, plus la fréquence de l événement «obtenir 1 avec le dé» se stabilise autour de 16 % environ % est une valeur approchée de la probabilité d obtenir 1 en lançant un dé à 6 faces. Je sais calculer cette probabilité : il y a une chance sur 6 d obtenir 1, la probabilité est donc ,66 %. soit environ Les commentaires du professeur : On voit que l on peut chercher une probabilité en utilisant un tableur. Ici, la probabilité est très simple à calculer, donc l exercice n a pas beaucoup d intérêt, sauf de bien t expliquer les manipulations avec le tableur. Remarque : n hésite pas à appuyer souvent sur la touche F9 pour «rafraîchir» les données, ce qui revient à faire de nouveaux tirages. Tu peux voir, si tu as déjà fait tracer le graphique, qu il se retracera alors pour afficher les nouvelles données. EXERCICE 20 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12. La somme des deux résultats ne peut pas être égale à 1 car les plus petits résultats que peuvent afficher les dés verts et bleus sont 1 et 1. La plus petite somme est donc Cned, Mathématiques 3 e

19 19 Séquence 1 Les commentaires du professeur : Voici le type de tableau que l on peut obtenir. Bien entendu, comme les nombres sont tirés au hasard, tu n obtiens pas le même sur ton écran. Dans la case A1, on a écrit «= ENT(1 + 6* ALEA())». Dans la case B1, on a écrit «= ENT(1 + 6* ALEA())». Dans la case D1, on a écrit «= A1 + B1». Dans notre exemple, pour les dix premiers lancers, on a obtenu 4 lors des lancers 4, 5 et 6. 3 Au bout de 10 lancers, on a donc une fréquence en % de 100 soit 30 %. 10 J ai effectué une simulation de lancers. J obtiens 8,5 % comme valeur approchée de la probabilité cherchée. Les résultats semblent se stabiliser aux alentours de la valeur 8,5 % (environ) résultats du dé vert résultats du dé bleu Cned, Mathématiques 3 e 19

20 20 Séquence 1 Le nombre total de cas est le nombre de cases du tableau, soit 6 6 donc 36. Il y a 3 cas correspondant à l événement «obtenir une somme de 4 en lançant les deux dés». La probabilité d obtenir 4 est donc 3 36 soit 1 12, c est-àdire environ 8,33 %. Attention! le raisonnement suivant est faux : On peut obtenir 2,3, 4, 12 il y a donc 11 cas possibles. Il y a donc une chance sur 11 d obtenir 4, soit une probabilité de Pourquoi est-il faux? car les résultats 2, 3, 12 n ont pas tous la même probabilité d être tirés. En effet, pour obtenir 2 comme somme, on n a qu une possibilité : obtenir 1 avec chacun des deux dés. Par contre, pour obtenir une somme de 4, il y a 3 possibilités : obtenir 1 sur le dé vert et 3 sur le dé bleu, obtenir 3 sur le dé vert et 1 sur le dé bleu, obtenir 2 sur le dé vert et 2 sur le dé bleu. Les commentaires du professeur : Pour calculer chacune des probabilités, il suffit de compter le nombre de fois où intervient chaque nombre puis de diviser par le nombre total de possibilités, c est-à-dire 36. On contrôle que la somme des probabilités est égale à 1. Une fois cet arbre constitué, on pourrait facilement répondre à des questions du type «Quelle est la probabilité pour qu en lançant deux dés à 6 faces, et en ajoutant les deux résultats obtenus, on obtienne un nombre plus grand que 5?». 20 Cned, Mathématiques 3 e

21 21 Séquence 1 EXERCICE 21 Séance 6 Les différents paris Si on parie sur un numéro, il y a une chance sur 37 de On suppose bien sûr que la roulette est non truquée, c est-à-dire que chaque numéro a la même probabilité de sortir. gagner soit une probabilité de Les événements «gagner» et «perdre» sont contraires, donc la probabilité de perdre est : = soit Si on parie sur 2 numéros, il y a donc 2 chances sur 37 de gagner soit une probabilité de La probabilité de perdre est : = soit c) Si on parie sur 3 numéros, il y a donc 3 chances sur 37 de gagner soit une probabilité de La probabilité de perdre est : = soit Exemples de gains et de pertes Si le numéro 5 sort, le joueur gagne 35 fois sa mise, soit donc 350. Si le 5 ne sort pas, le joueur perd sa mise, soit 10. Si l un des 2 numéros sort, le joueur gagne 17 fois sa mise, soit 17 8 donc 136. Si aucun des 2 numéros ne sort, le joueur perd sa mise, soit 8. c) Si l un des 3 numéros sort, le joueur gagne 11 fois sa mise, soit 11 5 donc 55. Si aucun des 3 numéros ne sort, le joueur perd sa mise, soit 5. c) Si le joueur gagne, il gagne 350 et récupère sa mise. Il gagne beaucoup plus qu il ne perd, c est vrai, mais attention, car on a beaucoup plus de chances de perdre que de gagner! Si le joueur gagne, il gagne 136 et récupère sa mise. c) Si le joueur gagne, il gagne 55 et récupère sa mise. Cned, Mathématiques 3 e 21

22 22 Séquence 1 La mise sur un numéro est-elle rentable? La probabilité de gagner en pariant sur un numéro est Le joueur va le plus probablement gagner 27 fois sur ses paris. En effet, pour chaque pari, la probabilité de gagner est de 1 37, donc le joueur gagne en moyenne fois pour paris soit environ 27 fois. Un joueur qui gagne 27 paris sur un numéro perd fois soit 973 fois sur paris. Il aura gagné : mise mise = 28 mise Il aura donc perdu 28 fois sa mise. S il parie fois 1, il perd 28. S il parie fois 10, il perd 280. S il parie fois 100, il perd c) Un joueur qui parie fois sur un numéro gagne en moyenne soit environ 270 fois. 37 Il perd alors en moyenne fois. Il aura donc gagné en moyenne : mise mise = 280 mise Il aura donc perdu 280 fois sa mise! S il parie fois 1, il perd 280. S il parie fois 10, il perd S il parie fois 100, il perd d) Le jeu n est pas du tout rentable pour le joueur, mais il l est pour le casino. 4) Le calcul correspond au calcul qu on a fait dans les questions 3 et c), mais cette fois pour un pari au lieu de ou Pour un pari sur un numéro, un joueur gagne en moyenne 1 36 fois et il perd en moyenne fois. l avantage du casino est : = soit environ 2,7 % On a déterminé cette probabilité dans la question 1. Il faut bien comprendre ici le sens de ce qu est une probabilité : 1 pour un pari, la probabilité de gagner est, cela veut dire que 37 plus on joue et plus, en moyenne, la fréquence des parties gagnées 1 va se rapprocher de. Autrement dit, le nombre de parties 37 1 gagnées va se rapprocher de fois le nombre de parties jouées. 37 Première constatation : plus un joueur parie des mises importantes, plus (en moyenne) il perd! Deuxième constatation : Plus un joueur parie de nombreuses fois sur un numéro, plus il perd! 4) L avantage du casino correspond au gain en moyenne du casino sur un pari. On peut retrouver alors facilement les résultats pour paris de mise 10 par exemple! Le joueur perd environ 2,7 % de 10 par pari donc 0,27 par pari. S il parie fois, il perd donc en moyenne environ On ne trouve pas tout à fait ce que l on a trouvé dans le a à cause de l arrondi que l on a déterminé avant de faire les calculs. 22 Cned, Mathématiques 3 e

23 23 Séquence 1 Cela veut dire qu en moyenne, sur un pari sur un numéro, le casino gagne environ 2,7 % de la mise du joueur. Pari sur 2 numéros : = = Pari sur 3 numéros : = = Les paris sur 2 ou 3 numéros font perdre autant d argent au joueur que le pari sur un numéro. Les trois paris sont donc aussi peu rentables pour le joueur, qui perd en moyenne 2,7 % de sa mise. Il faut retenir deux choses. En moyenne : plus un joueur joue à la roulette, plus il perd, plus un joueur mise gros, plus il perd gros. La meilleure façon de ne pas perdre d argent est donc de ne pas jouer! Cned, Mathématiques 3 e 23

24 24 Séquence 1 EXERCICE 22 Les issues sont : (R,P), (R,F), (V,P) et (V,F) (avec «R» pour rouge, «V» pour vert, «P» pour pile et «F» pour face). Séance 7 Je sais qu il y a une chance sur 4 pour que l aiguille s arrête devant le rouge, soit un probabilité de 1 4. Je sais également que la probabilité d obtenir pile est 1 2. Je n arrive pas à comprendre comment calculer la probabilité d obtenir rouge puis pile, c est-à-dire la probabilité d obtenir (R,P). 4) Si on jouait fois, on obtiendrait environ fois rouge soit environ fois rouge. 4 4) La probabilité de faire pile est 1, donc sur les fois où l on a obtenu rouge, on obtient environ soit fois pile. 2 Pour calculer le nombre de fois où l on a obtenu rouge puis pile, on 1 1 a calculé soit Si on jouait fois, on obtiendrait environ fois rouge soit environ fois rouge. 4 La probabilité de faire pile est 1, donc sur les fois où l on a obtenu rouge, on obtient environ Pour calculer le nombre de fois où l on a obtenu rouge puis pile, on 1 1 a calculé soit Cned, Mathématiques 3 e

25 25 Séquence soit fois pile. 2 La probabilité d obtenir rouge puis pile est 1 1 soit ) 4 2 La probabilité d obtenir (R,F) est 1 1 soit La probabilité d obtenir (V,P) est 3 1 soit La probabilité d obtenir (V,F) est 3 1 soit Si on jouait N fois (N entier assez grand), le nombre moyen de fois 1 1 où l on ferait (R,P) serait N Cela revient à dire que la probabilité d obtenir (R,P) est 4 2. Il suffit donc de multiplier la probabilité d obtenir rouge et la probabilité d obtenir pile. 5) On contrôle que la somme des probabilités est égale à 1 : = = Cet arbre est l arbre des 4 issues du jeu à deux étapes. EXERCICE 23 Les quatre cas possibles sont (P,F), (P,P), (F,P) et (F,F). Les cas correspondant à l événement «faire au moins une fois pile» sont donc (P,F), (F,P) et (P,P). Il y en a donc 3 sur les quatre. La probabilité de faire au moins une fois pile est donc 3 4. Ce qui précède conduit à admettre que de manière générale, la probabilité «d un chemin» est égale au produit des probabilités rencontrées «le long du chemin». On peut aussi représenter un arbre de probabilités : 1 1 D où la probabilité de (P,P), de (P,F), de (F,P) et (F,F) est 2 2 soit 1 4. Pauline se trompe et Clément a raison. Pauline se trompe car elle considère que l événement obtenir d abord pile puis obtenir n importe quoi ensuite est aussi probable que d obtenir «face puis pile» ou «face puis face». Ce n est pas vrai puisque on peut obtenir «pile puis face» ou «pile puis pile». La probabilité n est pas 2 3. Comme les événements (P,P), (P,F) et (F,P) sont incompatibles les uns les autres, la probabilité d obtenir au moins une fois pile est la somme des probabilités de faire (P,P), de faire (P,F) et de faire (F,P) soit soit 3 4. Cned, Mathématiques 3 e 25

26 26 Séquence 1 EXERCICE 24 J écris T pour Trio de poisson aux petits légumes, S pour Steak grillé et son gratin de pommes de terre et M pour Mijoté de sanglier avec des frites, C pour Crème brûlée et P pour Profiteroles. Je représente l arbre de probabilités : On peut aussi répondre plus simplement et rapidement à cette question en disant qu il y a au total 3 2 soit 6 menus possibles : (T,C), (T,P), (S,C), (S,P), (M,C), (M,P), Il y a donc une chance sur 6 d avoir (S,C) soit une probabilité de 1 6. La probabilité de choisir steak puis crème brulée est 1 1 soit Cned, Mathématiques 3 e

27 27 Séquence 1 EXERCICE 25 Je représente le trajet de la coccinelle à l aide d un arbre. Séance 8 On peut aussi procéder de la façon suivante : Si on note (A,B) le parcours correspondant au cas où : elle parcourt un premier côté, s arrête en A, puis parcourt un deuxième côté et s arrête en B, les différentes possibilités de parcours sont : (A,C) (A,B) (B,A) (B,C) Il y en a quatre. (A,B) correspond à l événement «la coccinelle arrive en B». La probabilité pour que la coccinelle arrive en B est donc 1 4. (B,A) correspond à l événement «la coccinelle arrive en A». La probabilité pour que la coccinelle arrive en A est donc 1 4. (A,C) et (B,C) correspondent à l événement «la coccinelle arrive en C». Après avoir parcouru deux côtés : la probabilité pour que la coccinelle soit en B est 1 1 soit , La probabilité pour que la coccinelle arrive en C est donc 2 4 soit 1 2. la probabilité pour que la coccinelle soit en A est 1 1 soit La probabilité pour que la coccinelle soit en C est = + = soit La coccinelle sera le plus probablement en C. Remarque : si on utilise la représentation à l aide d un arbre, il suffit de regarder les «chemins» qui mènent à C. Il y en a 2. La probabilité que la coccinelle 1 1 aille en A puis en C est 2 2 soit 1 4. La probabilité que la coccinelle 1 1 aille en B puis en C est 2 2 soit 1 4. Cned, Mathématiques 3 e 27

28 28 Séquence 1 EXERCICE 26 Je représente la situation à l aide d un arbre : «V» représente les gens qui ont voté. «A» représente les gens qui se sont abstenus. Pourquoi les données qui sont des fréquences dans l énoncé sont présentées ici comme des probabilités? Comme 25 % des gens qui votent sont dans la catégorie ans, si on prend une personne au hasard, la probabilité pour qu elle soit dans cette catégorie est de 25 chances sur 100, soit 0,25. On peut écrire dans l arbre les probabilités exprimées en pourcentage ou sous forme décimale : 25 % correspond à 0,25, etc. La probabilité qu un électeur de ans ait voté est 0,25 0,68 soit 0,17. La probabilité qu un électeur de ans ait voté est 0,35 0,82 soit 0,287. On applique ensuite un raisonnement similaire à celui utilisé dans l exercice précédent. Ce qui change cette fois, c est qu il y a trois catégories, la somme comporte donc 3 termes : 0,25 0,68 ; 0,35 0,82 ; 0,4 0,75 La probabilité qu un électeur de 50 ans et plus ait voté est : 0,4 0,75 soit 0,3. La probabilité pour qu un électeur ait voté est la somme de ces probabilités, soit 0,17 + 0, ,3 donc 0,757 ou encore 75,7 %. EXERCICE 27 Je représente la situation à l aide d un arbre : La probabilité d obtenir (P, B) est 1 2 soit La probabilité d obtenir (F, B) est 1 5 soit La probabilité de tirer la lettre B est la somme de ces deux probabilités soit = + = soit La valeur approchée au centième par excès de cette probabilité est 0, Cned, Mathématiques 3 e

29 29 Séquence 1 EXERCICE 28 Séance 9 Cet exercice paraît complexe! On est invité à étudier les périmètres de deux quadrilatères : le quadrilatère KBSR et le rectangle ABCD. Je prouve que KBSR est un rectangle : ABCD est un rectangle donc l angle KAM est droit. Le quadrilatère AKRM a donc trois angles droits, donc il en a quatre. De plus, comme les côtés opposés d un rectangle ont la même longueur, on a : KR = AM. L angle KRM est donc droit, donc l angle KRS aussi. Pour pouvoir déterminer le périmètre de KBSR, on détermine sa nature. On prouve dans un premier temps que KBSR est un rectangle. On se souvient de la propriété suivante : «Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c est un rectangle». On sait d après le codage que l angle BKR est droit. Comme ABCD est un rectangle, l angle KBS est droit. Le quadrilatère KBSR a donc trois angles droits, donc c est un rectangle. Je prouve que KBSR est un carré : Comme KR = AM et KB = AM, on a : KB = KR. Le rectangle KBSR a deux côtés consécutifs de même longueur, c est donc un carré. Je calcule le périmètre de KBSR : Le périmètre de KBSR est 4 AM. Je calcule le périmètre de ABCD : P ABCD = 2 (6 + 4) = 20 soit 20 cm. La probabilité pour que le périmètre du quadrilatère KBSR soit inférieur au quart du périmètre de ABCD est la probabilité que : 4 AM < 20 4 soit 4 AM < 5 c est-à-dire AM < 5 4. Si M 0 est le point de [AD] tel que AM 0 = 5 4, AM0 la probabilité cherchée est AD soit 4 = c est-à-dire 5 soit 0, On prouve dans un 2ème temps que c est un carré. On se souvient de la propriété suivante : «Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un carré». On exprime le périmètre de KBSR en fonction de AM. Le calcul du périmètre de ABCD est simple : ABCD est un rectangle dont on connaît la longueur et la largeur. Ensuite, on traduit la question posée. Comme M est placé au hasard sur le segment [AD] la probabilité cherchée est la probabilité que AM soit inférieure à 5 soit 1,25. 4 Comme AD = 4, la probabilité cherchée est 1, 25 soit Cned, Mathématiques 3 e 29

30 30 Séquence 1 EXERCICE 29 plus de chances d obtenir face que pile. autant de chances d obtenir face que pile. aucune chance d obtenir pile. plus de chance d obtenir pile que face. Même si on a fait 10 fois de suite pile, la probabilité de faire pile est encore 1 2. Une fois que les lancers sont faits, les résultats sont en fait «oubliés» : le joueur a deux possibilités qui sont pile ou face, et la probabilité de faire pile est encore 1 2. EXERCICE 30 La probabilité pour qu une peluche soit produite par l entreprise A et qu elle soit aux normes est : 0,75 0,95 soit 0, La probabilité pour qu une peluche soit produite par l entreprise B et qu elle soit aux normes est : 0,25 0,93 soit 0,232 5 La probabilité pour qu une peluche soit aux normes est : 0, ,232 5 soit 0,945 soit 94,5 %. 30 Cned, Mathématiques 3 e

31 31 Séquence 1 JE M ÉVALUE Il y a 3 issues qui correspondent à l événement «obtenir 3 ou moins» sur un total de 8 issues. La probabilité cherchée est donc , La probabilité de perdre, c est 1 moins la probabilité de gagner ,57 ne pas obtenir 2 ou ne pas obtenir 3 ne pas obtenir 2 et ne pas obtenir 3 ne pas obtenir 1, 4, 5 ou 6 obtenir 1, 4, 5 ou 6. 4) oui non 5) 0, ) Ces deux événements ne sont pas incompatibles. En effet, on peut très bien tirer un valet de trèfle! 5) Les quatre issues sont (P,P), (P,F), (F,P) et (F,F). Deux de ces issues correspondent à l événement : «obtenir une fois pile et une fois face» ) ) La probabilité d obtenir 6 ne dépend pas des résultats des 100 lancers précédents. 7) ) C est la probabilité d obtenir pile! ) 0,7 0,25 0,35 0,5 8) Cette probabilité est 0,5 0,7 soit 0,35. 9) 10) 0,1 0,8 0,2 0,4 0,12 0,45 0,5 0,55 9) Cette probabilité est 0,5 0,2 soit 0,1. 10) Cette probabilité est la somme des probabilités calculées dans les questions 8 et 9, soit 0,35 + 0,1 donc 0,45. Cned, Mathématiques 3 e 31