TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 2009

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1 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 Exercice 3 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Le barème sera établi comme suit : pour une réponse exacte, 0, 5 point ; pour une réponse fausse ou l absence de réponse, 0 point.. Un véhicule coûte 5000 e en 008. Il se déprécie de 0 % par an (c est-à-dire que son prix de revente baisse de 0 % par an). Sa valeur à la vente au bout de cinq ans sera de : 7500 e 8857,35 e 5000 e Diminuer le prix de 0% revient à appliquer le coefficient multiplicateur 0 00 = 0, 9 Au bout de cinq ans, le prix aura donc été multiplié par 0, 9 5 et donc sera de , , 35 euros.. Voici la loi de probabilité d une variable aléatoire X : x i p i 0, 0,3 0,5 l espérance mathématique de cette variable est 3 l espérance mathématique de cette variable est 3 l espérance mathématique de cette variable est 0 E(X) = 0, ( 0) + 0 0, , 5 = 3 3. Pour tout a > 0, ln 3a ln a est égale à : ln 3 ln(a) ln a 4. ln(3a) lna = ln ( ) 3a = ln3 a Remarque : Avec la calculatrice, on peut calculer la valeur de chacune des expressions proposées pour a = 5 par exemple puis comparer les valeurs approchées obtenues pour répondre. 0 e x+ dx est égale à : e 3 e 3 e e3 e (e x+ ) = e x+ donc ( ex+ ) = e x+ 0 ex+ dx = [ ex+ ] 0 = e3 e = e3 e /7

2 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov Pour tout réel x, e 4+x est égale à : (e ) x (e x+ ) e 4 + e x e 4+x = e (+x) = e (+x) Exercice 5 points Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 0 3 près. Une étude sur le taux d équipement en téléphonie des ménages d une ville a permis d établir les résultats suivants : 90 % des ménages possèdent un téléphone fixe ; parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87 % ont un téléphone portable ; 80 % des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable. Notations : Si A et B sont des évènements, A désigne l évènement contraire de A et P B (A) la probabilité que l évènement A soit réalisé sachant que l évènement B l est. On choisit un ménage au hasard et on note : F l évènement : le ménage possède un téléphone fixe ; T l évènement : le ménage possède un téléphone portable..a) Grâce aux données de l énoncé, donner P(F T), P(F) et P F (T). 90 % des ménages possèdent un téléphone fixe donc p(f ) = 0, 9 80 % des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable donc p (F T ) = 0, 8 parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87 % ont un téléphone portable donc p F (T ) = 0, 87 On peut donc construire l arbre pondéré suivant : b) Calculer P F (T). p F (T ) = p (F T ) p(f ) = 0, 8 0, 9 = 8 9 = 0, 889 p F (T ) = 0, 889 /7

3 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov Démontrer que la probabilité de l évènement T est 0, 887. F et F forment une partition de l ensemble des ménages donc d après la formule des probabilités totales : p(t ) = p (F T ) + p ( F T ) = 0, 8 + ( 0, 9) 0, 87 = 0, 887 p(t ) = 0, Sachant que le ménage choisi n a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe? Sachant que le ménage choisi n a pas de téléphone portable, la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe se note p T (F ). p T (F ) = p ( T F ) = p(f )p ( ) F T 0, 9 ( 0, 889) = 0, 884 p(t ) p(t 0, 887 p T (F ) 0, On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages. Quelle est la probabilité qu il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable? On considère l expérience aléatoire On choisit un ménage au hasard ayant les issues possibles T et T (épreuve de Bernouilli) avec p(t ) = 0, 887 et p(t ) = 0, 887 = 0, 3. On répète successivement trois fois et de manière indépendante cette épreuve de Bernouilli donc la variable aléatoire donnant le nombre de ménages possédant un téléphone portable parmi les trois suit la la loi Binomiale de paramètres n = 3 et p = 0, 887 notée B(3; 0, 887) ( ) 3 On veut X p(x ) = p(x > ) = p(x = 3) = p(t ) 3 3 p(t ) 0 = 0, , 30 La probabilité qu il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable est 0,30 environ Exercice 4 7 points Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur l intervalle ]0 ; + [ telles que pour tout réel x de cet intervalle : f(x) = (x e)(ln x ) et g(x) = ln x e x La courbe représentative de la fonction g dans un repère du plan est donnée ci-dessous et l unité graphique est cm. 3/7

4 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 Partie. Démontrer que la fonction g est strictement croissante sur l intervalle ]0 ; + [. g est continue et dérivable sur ]0; + [ g (x) = x e x = x + e x Or x ]0; + [ donc x > 0 et on a e x > 0 donc g (x) > 0 et donc g est strictement croissante sur ]0; + [. Calculer g(e) et, grâce à la question, donner le signe de g(x) pour tout x strictement positif. g(e) = ln(e) e e = = 0 g est continue et strictement croissante sur ]0; + [ et g(e) = 0 donc g(x) < 0 sur ]0; e[ et g(x) > 0 sur ]e; + [ 4/7

5 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 Partie. On note f la dérivée de f Démontrer que f (x) = g(x) pour tout nombre réel x strictement positif. On pose u(x) = x e et v(x) = lnx et on a u (x) = et v (x) = x donc f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = ln(x) + (x e) x = lnx e x = g(x) f (x) = g(x). Établir le tableau des variations de la fonction f. ¼ ܵ ܵ Ü ¼ ¼ f (x) = g(x) donc d après la question partie.., on a f (x) < 0 sur ]0; e[ et f (x) > 0 sur ]e; + [ ܵ ½ µ ½ avec f(e) = (e e)(ln(e) ) = 0 3. Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique. 5/7

6 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 Partie 3 Soit F la fonction définie et dérivable sur l intervalle ]0 ; + [ telle que pour tout réel x de cet intervalle : ( ) x F (x) = ex ln x + ex 3 4 x. Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l intervalle ]0 ; + [. On pose u(x) = x ex et v(x) = lnx et on a u (x) = x e et v (x) = x (attention : (ex) = e(x) = e) donc F (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) + e 3 4 x = (x e)lnx + ( x ex) x + e 3 x = xlnx elnx + x e + e 3x = xlnx elnx + e x et f(x) = (x e)(lnx ) = xlnx elnx x + e = F (x) donc F est une primitive de f sur ]0; + [. On considère le domaine délimité par la courbe C f l axe des abscisses, les droites d équations x = et x = e. a) Hachurer ce domaine sur le dessin. Voir figure b) Calculer la valeur exacte de f(x) dx. f(x) dx = F (e) F () ( ) e avec F (e) = e lne + e 3 4 e = 3e 4 ( ) et F () = e ln + e 3 4 = e 3 4 donc f(x) dx = F (e) F () = 3e 4 e f(x) dx = 3e 4 e /7

7 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 c) En déduire une valeur approchée arrondie au centième de l aire du domaine exprimée en cm. Sur ]0; + [, f est continue et positive puisque le minimum de f est f(e) = 0 donc l aire du A domaine délimité par la courbe C f l axe des abscisses, les droites d équations x = et x = e est égale à A= f(x)dx. L unité du repère orthonormé est cm donc u.a.= = 4cm ( 3e et donc A= 4 4 e + 3 ) = 3e 8e + 3 3, 4cm 4 A 3, 4cm 7/7