Changement de bases. 2. Rôle de Reprenons l'exemple précédent. La matrice est inversible et l'on a :
|
|
- Pierre Delisle
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Changement de bases. Position du problème On considère un espace vectoriel de dimension, dont on connaît une base,,,. On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel,,,. ppelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs,, dans la base,,. Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille,, est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base,, à la base,,. 2. Rôle de Reprenons l'exemple précédent. La matrice est inversible et l'on a : Quelle est la signification de cette matrice? On peut formellement écrire : Autrement dit Et donc Ce qui donne On en tire
2 Ce résultat est tout à fait général. En dimension, si l 'on a : La matrice est égale à Ce qui donne Si la matrice est inversible on aura encore Et donc La matrice permet donc d'exprimer les composantes des vecteurs,, dans la nouvelle base,,.. Formule de changement de base. On considère un vecteur s'écrivant dans la base,,. Ce même vecteur s'écrit dans la base,,. Quel lien a-t-on entre les réels,, et les réels,,? Appelons la matrice de passage de,, à,,. Avec les notations de la section précédente, posons. dans la base,,
3 donc : Donc En pratique, nous connaissons les "anciennes composantes" :,, et nous voulons déterminer les nouvelles (celles que l'on a dans la nouvelle base :,, ). Et donc Synthétisons tout cela. Appelons et. Prenons un exemple. On considère l'espace vectoriel rapporté à la base canonique. On considère les vecteurs,, 2. Montrer que la famille,, est une base de. On considère alors le vecteur 2. Exprimer les composantes de dans la base,,. 2 0 Cette matrice est inversible et l'on a Posons 2.
4 Donc Changement de bases et endomorphisme On considère un espace vectoriel dont on connaît une base,,. Soit un endomorphisme de et sa matrice dans la base. Les colonnes de la matrice sont donc formées par les composantes des vecteurs,, dans la base. Si est un vecteur de dont l'image est le vecteur de, si l'on associe le vecteur colonne à et le vecteur colonne à, l'égalité se traduit par : Considérons une autre base de,,. Appelons la matrice de l'application dans cette nouvelle base. Les colonnes de la matrice sont formées par les composantes des vecteurs,, exprimées dans la base ', c'est-à-dire en fonction des vecteurs,,. Le même vecteur précédent et son image ont de nouvelles composantes dans la base '. Appelons et les deux vecteurs colonnes formés par les composantes de et de dans la base '. Soit enfin la matrice de passage de à ', c'est-à-dire la matrice dont les colonnes sont formées par les composantes des vecteurs,, dans la base. Nous avons vu que pour, on a De même pour, on aura L'égalité se traduit dans la base ' par : aussi donc pour tout vecteur dont est le vecteur colonne associé : Ce qui conduit à : En reprenant les données de l'exemple précédent, considérons l'endomorphisme de dont la matrice est : donc Calculons le produit
5 La matrice obtenue est la matrice de l'application dans la base,,. donc Cette matrice n'est pas vraiment plus simple que la matrice, l'intérêt du changement de base n'est pas vraiment évident. Considérons maintenant l'endomorphisme φ dont la matrice dans la base,, est : Calculons cette fois-ci une matrice bien plus simple. En particulier cette matrice est inversible, ce qui implique que l'application est bijective et comme cette propriété est propre à l'application, elle ne dépend pas de la base dans laquelle on la découvre. Et donc en particulier, cela signifie que la matrice est inversible. Examinons un troisième exemple. Considérons l'endomorphisme de dont la matrice dans la base,, est : Dans la base,,, sa matrice sera Pas vraiment plus simple que. Considérons maintenant les vecteurs, 2, 2. On peut vérifier que cette famille est libre et qu'elle forme donc une base de. La matrice de passage de,, à,, est : 2 2 Elle est inversible et
6 La matrice de dans cette base se calcule par : Elle est effectivement beaucoup plus simple. On remarque en particulier qu'elle n'est pas inversible et donc que n'est pas une application bijective, ce qui permet d'affirmer que ni, ni ne sont des matrices inversibles. 5. De l'intérêt du changement de bases Changer de bases est couteux en calculs et pas toujours très efficace. Mais si nous reprenons le dernier exemple, quand on aboutit à une matrice diagonale cela vaut le coup. Les matrices sont souvent associées à des graphes probabilistes. Dans une telle situation, la recherche de l'état du système après répétitions, ou plus encore de l'existence possible d'un état stable est d'une grande pertinence. Or ces recherches demandent de connaître la puissance ième de la matrice. Quand on prend On sent bien que ne sera pas simple à déterminer. par exemple , A Difficile de prévoir quelle sera la forme de. Mais l'on a vu que Avec 2. 2 donc par récurrence
7 Or Donc A la recherche de la "bonne base" La méthode indiquée ci-dessus est souvent la seule pour obtenir les puissances successives d'une matrice. Mais dans l'exemple proposé, elle a bien fonctionné parce que l'énoncé a fourni une "bonne base" : la base,,. Un certain nombre de questions se posent alors : Existe-t-il toujours une "bonne base" dans laquelle l'endomorphisme sera associé à une matrice diagonale? Existe-t-il plusieurs matrices diagonales possibles (ce qui changerait fortement les résultats obtenus pour? Comment trouver une telle base si elle existe? Pour essayer de répondre à ces questions, nous allons poser le problème à l'envers et essayer de remonter. Restons dans le cas d'un endomorphisme dans (tout ce que l'on dira se généralise sans difficulté à un endomorphisme dans. Il est associé à une certaine matrice exprimée dans la base canonique par exemple. Nous cherchons une autre base,, dans laquelle la matrice de cet endomorphisme sera diagonale. Elle s'écrira par exemple Que signifie cette matrice? Les colonnes de cette matrice sont formées des images des vecteurs,, dans la base,,. Ce qui revient à dire que Les trois vecteurs,, et ont une propriété commune : ils sont colinéaires à leurs images par. Cette propriété est visible quand on l'exprime directement dans la base formée par ces trois vecteurs. Mais dépend-elle de la base choisie pour faire les calculs? Etudions cela. Considérons un vecteur qui dans une certaine base remplit l'égalité. Autrement dit si, on aura. Si est la matrice de l'endomorphisme dans cette base et le vecteur colonne associé au vecteur, et le vecteur colonne associé au vecteur, on aura : Changeons de base.
8 Soit la matrice de dans cette nouvelle base, la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle, et les matrices colonnes associées à et dans la nouvelle base. donc : La propriété ne dépend pas de la base dans laquelle on l'exprime. Au départ on dispose d'une matrice associée à l'endomorphisme, mais on ne connaît ni,,, ni,,. Par contre on sait que si l'on est capable de trouver un vecteur et un nombre réel tels que cette égalité sera vérifiée dans n'importe quelle base. Nous avons une contrainte sur il faut que ce soit le vecteur d'une base. Il ne peut donc pas être égal au vecteur nul. Comme il est difficile de tout chercher à la fois, on va procéder par ordre. On va commencer par essayer de déterminer les valeurs possibles des réels,,. Pour cela, on cherche s'il existe des nombres réels λ pour lesquels il existerait un vecteur non nul remplissant l'égalité Cette égalité dans la base dans laquelle on travaille s'écrit avec les notations précédentes : Que l'on peut transformer en : Et donc Posons est une matrice que l'on peut associer à un endomorphisme. donc Or résoudre cette équation matricielle revient à chercher les vecteurs du noyau de. Et nous voulons que ce noyau contienne d'autres vecteurs que le vecteur nul (c'est la condition que nous avons imposée à λ). Ce ne sera possible que si la matrice n'est pas inversible. Donc l'espoir de trouver des valeurs de λ qui répondent à notre problème réside dans le fait de trouver des valeurs de λ telles que la matrice ne soit pas inversible. Supposons que nous ayons effectivement trouvé une telle valeur, alors nous savons que le noyau de l'endomorphisme de matrice contient des vecteurs non nuls. Nous pouvons déterminer une base de ce noyau. Et nous aurons ainsi un ou plusieurs vecteurs non nuls qui seront colinéaires à leurs images. 7. Un exemple Considérons l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est :
9 Cherchons les valeurs de (si elles existent) telles que ne soient pas inversibles. 5 λ 7 2 λ On procède par le pivot de Gauss avec toutes les précautions voulues et l'on trouve trois valeurs :,2,. On détermine alors les noyaux des endomorphismes,,. On obtient trois espaces de dimension et donc trois vecteurs,, tels que 2 Ces trois vecteurs sont libres. Ils forment donc une base de. 0 0 Dans cette base la matrice de est : Si est la matrice de passage de la base canonique à cette base, on a :
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailLE MODELE CONCEPTUEL DE DONNEES
LE MODELE CONCEPTUEL DE DONNEES Principe : A partir d'un cahier des charges, concevoir de manière visuelle les différents liens qui existent entre les différentes données. Les différentes étapes de réalisation.
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailModule 16 : Les fonctions de recherche et de référence
Module 16 : Les fonctions de recherche et de référence 16.0 Introduction L une des fonctions les plus importantes d Excel, c est la possibilité de chercher une valeur spécifique dans un grand nombre de
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailSauvegarde des bases SQL Express
Sauvegarde des bases SQL Express Sauvegarder les bases de données avec SQL Express Dans les différents articles concernant SQL Server 2005 Express Edition, une problématique revient régulièrement : Comment
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailÉtudier si une famille est une base
Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Méthodes et techniqes des exercices Étdier si ne famille est ne base Soit E n K-espace vectoriel. Comment décider si ne famille donnée de vecters de
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCréation d'un site dynamique en PHP avec Dreamweaver et MySQL
Création d'un site dynamique en PHP avec Dreamweaver et MySQL 1. Création et configuration du site 1.1. Configuration de Dreamweaver Avant de commencer, il est nécessaire de connaître l'emplacement du
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailCréation d'un site neutre et présentation des éléments de la page d'accueil
Création d'un site neutre et présentation des éléments de la page d'accueil Alkante Page 1/8 Table des matières Préambule... 3 Création d'un site neutre... 3 Rubriques de pages éditoriales...5 Contenu
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détail@telier d'initiation
@telier d'initiation LES PREMIERS PAS Arborescence d'un ordinateur Créer/Renommer/ Supprimer des dossiers 1 / 8 L'arborescence Un ordinateur est rangé d'une certaine façon, que l'on appelle l'arborescence.
Plus en détailCOPIER, COUPER, COLLER, SELECTIONNER, ENREGISTRER.
COPIER, COUPER, COLLER, SELECTIONNER, ENREGISTRER. 1. Comment déplacer ou copier un fichier sur Windows Vous aurez régulièrement besoin de déplacer ou dupliquer des fichiers sur votre ordinateur. Par exemple
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailProjet Matlab/Octave : segmentation d'un ballon de couleur dans une image couleur et insertion d'un logo
Projet Matlab/Octave : segmentation d'un ballon de couleur dans une image couleur et insertion d'un logo Dans ce projet, nous allons réaliser le code qui permet d'insérer sur une image, un logo sur un
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailBML Informatique Tableur OpenOffice.org Calc Mercredi 8 avril 2015
BML Informatique Tableur OpenOffice.org Calc Mercredi 8 avril 2015 Un tableur est un logiciel qui permet de créer et d'utiliser des feuilles de calcul électronique afin de réaliser des tableaux et des
Plus en détailMANUEL TBI - STARBOARD
MANUEL TBI - STARBOARD TBIH MOD2 TITRE Manuel STARBOARD (Module 2) Trucs et astuces INTITULE Manuel d'utilisation du logiciel STARBOARD accompagnant le tableau blanc interactif HITACHI F-Series et FX-Series
Plus en détailCHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques
CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailUTILISATION DE L'APPLICATION «PARTAGE DE FICHIERS EN LIGNE»
UTILISATION DE L'APPLICATION «PARTAGE DE FICHIERS EN LIGNE» url : http://colleges.ac-rouen.fr/cahingt/partages/ UN PRINCIPE : le stockage est privé, le partage est public > tant que l'on ne partage pas,
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailLeçon N 4 : Statistiques à deux variables
Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailAlgorithmes de recherche
Algorithmes de recherche 1 Résolution de problèmes par recherche On représente un problème par un espace d'états (arbre/graphe). Chaque état est une conguration possible du problème. Résoudre le problème
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailNombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89
Soit un escalier à n marches. On note u_n le nombre de façons de monter ces n marches. Par exemple d'après l'énoncé, u_3=3. Pour monter n marches, il faut d'abord monter la première. Soit on la monte seule,
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailRapidMiner. Data Mining. 1 Introduction. 2 Prise en main. Master Maths Finances 2010/2011. 1.1 Présentation. 1.2 Ressources
Master Maths Finances 2010/2011 Data Mining janvier 2011 RapidMiner 1 Introduction 1.1 Présentation RapidMiner est un logiciel open source et gratuit dédié au data mining. Il contient de nombreux outils
Plus en détailCRÉER UNE BASE DE DONNÉES AVEC OPEN OFFICE BASE
CRÉER UNE BASE DE DONNÉES AVEC OPEN OFFICE BASE 2 ème partie : REQUÊTES Sommaire 1. Les REQUÊTES...2 1.1 Créer une requête simple...2 1.1.1 Requête de création de listage ouvrages...2 1.1.2 Procédure de
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailPar combien de zéros se termine N!?
La recherche à l'école page 79 Par combien de zéros se termine N!? par d es co llèg es An dré Do ucet de Nanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand en seignants : Danielle Buteau, Martine Brunstein, Marie-Christine
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailLES DÉTERMINANTS DE MATRICES
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES Sommaire Utilité... 1 1 Rappel Définition et composantes d'une matrice... 1 2 Le déterminant d'une matrice... 2 3 Calcul du déterminant pour une matrice... 2 4 Exercice...
Plus en détailINTRODUCTION. A- Modélisation et paramétrage : CHAPITRE I : MODÉLISATION. I. Paramétrage de la position d un solide : (S1) O O1 X
INTRODUCTION La conception d'un mécanisme en vue de sa réalisation industrielle comporte plusieurs étapes. Avant d'aboutir à la maquette numérique du produit définitif, il est nécessaire d'effectuer une
Plus en détailOptimisation, traitement d image et éclipse de Soleil
Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement
Plus en détailPHPWEBSITE -Tutoriel image
PHPWEBSITE -Tutoriel image La capture des images depuis le web pour mon site. L optimisation d images pour le web, 1 Préparer des images pour le Web A. Généralités 1. Les trois formats d'images sur le
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailNOTRE PERE JESUS ME PARLE DE SON PERE. idees-cate
NOTRE PERE JESUS ME PARLE DE SON PERE idees-cate 16 1 L'EVANGILE DE SAINT LUC: LE FILS PRODIGUE. Luc 15,11-24 TU AS TERMINE LE LIVRET. PEUX-TU DIRE MAINTENANT, QUI EST LE PERE POUR TOI? Un Père partage
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailTable des matières. F. Saint-Germain / S. Carasco Document réalisé avec OpenOffice.org Page 1/13
Voici un petit tutoriel d'utilisation du tableau numérique de la marque promethean. Ce tutoriel est loin d'être complet, il permet juste une première approche simple des outils de base du logiciel ACTIVstudio.
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailResolution limit in community detection
Introduction Plan 2006 Introduction Plan Introduction Introduction Plan Introduction Point de départ : un graphe et des sous-graphes. But : quantifier le fait que les sous-graphes choisis sont des modules.
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailMODE D'EMPLOI DE LA CALCULATRICE POUR LES COURTS SÉJOURS DANS L'ESPACE SCHENGEN
MODE D'EMPLOI DE LA CALCULATRICE POUR LES COURTS SÉJOURS DANS L'ESPACE SCHENGEN 1. Introduction Le règlement (UE) n 610/2013 du 26 juin 2013 a modifié la convention d'application de l'accord de Schengen,
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailVOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE
Vos premiers pas avec TracenPoche page 1/16 VOS PREMIERS PAS AVEC TRACENPOCHE Un coup d'oeil sur l'interface de TracenPoche : La zone de travail comporte un script, une figure, un énoncé, une zone d analyse,
Plus en détailA.-M. Cubat PMB - Import de notices à partir d un tableur Page 1 Source : http://amcubat.be/docpmb/import-de-notices
A.-M. Cubat PMB - Import de notices à partir d un tableur Page 1 Comme beaucoup de personnes, j'ai voulu récupérer les notices de mon ancien logiciel de gestion de bibliothèque. Vu qu'il ne prévoyait pas
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailManipulateurs Pleinement Parallèles
Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique
Plus en détailBoutique e-commerce administrable à distance
Notice d'utilisation (VERSION 0.3 26.02.2009) Boutique e-commerce administrable à distance Index 1. Entrer dans l'espace d'administration 2. Modifier un produit 2.1. Modifier les informations générales
Plus en détailTraitement numérique de l'image. Raphaël Isdant - 2009
Traitement numérique de l'image 1/ L'IMAGE NUMÉRIQUE : COMPOSITION ET CARACTÉRISTIQUES 1.1 - Le pixel: Une image numérique est constituée d'un ensemble de points appelés pixels (abréviation de PICture
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailMaster IAD Module PS. Reconnaissance de la parole (suite) Alignement temporel et Programmation dynamique. Gaël RICHARD Février 2008
Master IAD Module PS Reconnaissance de la parole (suite) Alignement temporel et Programmation dynamique Gaël RICHARD Février 2008 1 Reconnaissance de la parole Introduction Approches pour la reconnaissance
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailLE VIDE ABSOLU EXISTE-T-IL?
Document professeur Niveau : Seconde LE VIDE ABSOLU EXISTE-T-IL? Compétences mises en œuvre : S approprier : extraire l information utile. Communiquer. Principe de l activité : La question posée à la classe
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCinétique et dynamique des systèmes de solides
Cinétique et dynamique des systèmes de solides Page 2/30 CINÉTIQUE des systèmes matériels... 3 1.) Notion de masse...3 2.) Centre de masse d'un ensemble matériel...4 3.) Torseurs cinétique et dynamique...6
Plus en détailFeature Team Primer. par Craig Larman et Bas Vodde. Version 1.2
ÉQUIPE FEATURE par Craig Larman et Bas Vodde Version 1.2 Les Équipes Feature 1 et les Domaines Fonctionnels 2 sont des éléments essentiels pour dimensionner le développement en mode agile et lean. Ces
Plus en détailQuantité de mouvement et moment cinétique
6 Quantité de mouvement et moment cinétique v7 p = mv L = r p 1 Impulsion et quantité de mouvement Une force F agit sur un corps de masse m, pendant un temps Δt. La vitesse du corps varie de Δv = v f -
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailINFO 2 : Traitement des images
INFO 2 : Traitement des images Objectifs : Comprendre la différence entre image vectorielle et bipmap. Comprendre les caractéristiques d'une image : résolution, définition, nombre de couleurs, poids Etre
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailLa vie des étoiles. La vie des étoiles. Mardi 7 août
La vie des étoiles La vie des étoiles Mardi 7 août A l échelle d une ou plusieurs vies humaines, les étoiles, que l on retrouve toujours à la même place dans le ciel, au fil des saisons ; nous paraissent
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail