1 Calcul littéral : calculer avec des lettres...

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1 Partie A : Outils de raisonnement et de rédaction 1 1 Calcul littéral : calculer avec des lettres Pourquoi calculer avec des lettres? Méthode MA1. Nommer ce que l'on cherche facilite les recherches et la rédaction. Exemple : le périmètre d'un cercle mesure 12cm. Combien mesure son diamètre? On nomme D le diamètre. On sait que π D=12 (formule du périmètre) donc D= 12 π 3,82 cm Méthode MA2. Pour évaluer une expression, on remplace la valeur de chaque lettre puis on effectue la séquence de calcul en respectant les priorités. Exemple : A=3 x+7. Evaluer A pour x=10 puis pour x=20. Pour x=10, A=3 10+7=37 Pour x=20, A=3 20+7=67 Méthode MA3. Calculer en littéral permet de réaliser une infinité de calculs en une seule démarche (ce qu'aucun ordinateur ne pourrait faire). (exemples à lier aux activités) Méthode MA4. Calculer en littéral permet souvent de simplifier des calculs répétitifs. (exemples à lier aux activités) Méthode MA5. Calculer en littéral permet de trouver le nombre inconnu dans une équation. (exemples à lier aux activités) v.dujardin - v1.1 1

2 2 Reconnaître une somme et un produit 2.1 Sommes et produits Définition 1 On dit qu'une expression est : une somme lorsque la dernière opération réalisée pour l'évaluer est un + ou un - un produit lorsque la dernière opération réalisée pour l'évaluer est un Explication : puisque soustraire c'est ajouter l'opposé et que tous les nombres ont un opposé, les mathématiciens parlent de somme même pour une soustraction. Exemples : 2+3 x est une somme (multiplication puis addition) 2 (a+1) est un produit (parenthèse puis multiplication) 4 x 7 a est une somme (deux multiplications puis une soustraction) Attention : il faut bien respecter les règles de priorité de calcul pour déterminer si une expression est un produit ou une somme. 2.2 Vocabulaire Dans une somme, les nombres (en chiffre ou littéral) séparés par des+ ou des sont appelés les termes de la somme. Exemple : 3 x+2 7 a+b est une somme contenant quatre termes : 3x, 2, -7a et b. Dans un produit, les nombres (en chiffre ou en littéral) séparés par des sont appelés les facteurs du produit. Exemple : 3( x+1)(3 y ) est un produit contenant trois facteurs : 3, x+1 et 3 y v.dujardin - v1.1 2

3 3 Transformer une expression mathématique 3.1 Rappel : distributivité simple Propriété A1: distributivité Quels que soient les nombres k, a et b, on a l'égalité : a k +b k =(a+b ) k Démonstration : faite en cinquième. Remarque : dans (a+b ) k, on dit que le facteur k est commun. Exemple : 3 x +2 x =(3+2) x (x est le facteur commun) Important : k, a, b peuvent être négatifs Exemple avec un b négatif (b= 4 ) : 3(a 4 )=3(a+( 4 ))=3 a+3 ( 4)=3a Factoriser, développer Définition 2 Factoriser, c'est transformer une somme en produit. Développer, c'est transformer un produit en somme. Exemple avec la simple distributivité : Ecrire 3(a+b) = 3 a+3b c'est développer 3(a+b). Ecrire ab+3b=(a +3)b c'est factoriser ab+3b (par b). 3.3 Généralisation de la distributivité simple : réduire une expression Lorsqu'une même partie littérale apparaît plusieurs fois dans une expression, on peut étendre la propriété de distributivité : Exemple : 3 x+4 x+5 x=(3+4+5)x, ce qui donne donc 12 x. En détail pour bien comprendre : 3 x+4 x+5 x=(3+4) x+5 x=7 x+5 x=(7+5) x=12 x Définition 3: réduire une expression. Réduire une expression c'est utiliser la distributivité simple autant de fois que nécessaire pour regrouper chaque partie littérale différente en un seul terme. Exemple : 3 a+4 a 2 a+10 b+20 b 5 b=(3+4 2) a+( )b=5 a+25b Expression de départ Factorisation de a et b Expression réduite Méthode MA6: pour réduire efficacement une expression, on peut 1. repérer les parties littérales différentes (a et b dans l'exemple) 2. effectuer pour chacune la somme de leurs coefficients directement (attention aux signes + et -). v.dujardin - v1.1 3

4 3.4 Règle du signe moins devant une parenthèse Règle : on peut enlever les parenthèses derrière un signe en remplaçant les nombres de la parenthèse par leurs opposés. Explication : -(...) est en fait l'opposé de ( ), qui est aussi -(1) (...). Pour enlever la parenthèse, on distribue le (-1) sur tous les nombres de la parenthèse, ce qui revient à prendre leurs opposés. Exemple : x+1 (a 2 x+b)=x+1 a +2 x b En enlevant la parenthèse, on a pris l'opposé de chacun des termes qu'elle contenait. 3.5 Double distributivité Propriété A2 Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a l'égalité : (a+b )(c +d )=ac +ad +bc +bd Démonstration : on utilise deux fois la distributivité simple. Soient a, b, c et d quatre nombres : (a+b )(c +d )=a (c +d )+b (c +d )=a c +ad +b c +b d Exemple : (a+3) (b+2)=ab+2a+3b+6 Détail pour bien comprendre : (a+3) (b+2)=a b+a 2+3 b+3 2=ab+2 a+3 b+6 Remarque : la double distributivité s'applique aussi avec des nombres négatifs et des soustractions. Exemple : (a 4) (5 d )=5 a ad 20+4 d Détail pour bien comprendre : (a 4)( 5 d )=( a+( 4)) (5+( d ))=a 5+a ( d)+( 4) 5+( 4) ( d )=5 a ad 20+4 d départ... soustraire ajouter l'opposé double distributivité réduction Méthode MA7. Pour développer efficacement avec la double distributivité, on peut : 1. Pour chacun des quatre termes : Etudier le signe Ecrire le produit des distances à zéro. Ne pas hésitez à simplifier l'écriture directement si vous devenez à l'aise. 2. Réduire et simplifier l'écriture finale. v.dujardin - v1.1 4

5 4 Règles du débat mathématique 4.1 Le débat d'idée N'importe qui peut proposer des affirmations : on les appelle des propositions. Exemples : «la terre est carrée», «les australiens ont la tête en bas», «tous les carrés sont des rectangles», etc. En mathématique (et ailleurs), on essaye ensemble de savoir si les propositions étudiées sont vraies ou fausses. On ne retient évidemment que celles qui sont vraies. Pour que ce débat soit clair, il est nécessaire de s'accorder sur quelques règles : Règle 1 : Une proposition est soit vraie, soit fausse. Explication : une proposition qui est parfois vraie, parfois fausse sera considérée comme fausse. Exemple de proposition : «Les triangles sont isocèles» C'est une proposition fausse, même si effectivement, il existe des triangles isocèles, car il existe aussi des triangles qui ne sont pas isocèles. Règle 2 : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une proposition est fausse. Explication : c'est une conséquence logique de la règle 1. Exemple de proposition : «Tous les chinois sont petits». Si on trouve un chinois qui est grand, alors la proposition «tous les chinois sont petits» est fausse. Il aura suffit d'un seul grand chinois pour cela. Règle 3 : Des exemples ne suffisent pas à prouver qu'une proposition est vraie. Explication : c'est aussi une conséquence logique de la règle 1. Exemple de proposition : «Tous les nombres sont plus grands que 2». C'est vrai pour 3 et 4 et 4,5 et π et On peut trouver autant d'exemples qui vérifient la proposition. Mais c'est faux pour 1. Donc la proposition est fausse, malgré les exemples qui marchent. Règle 4 : Des mesures se sont jamais assez précises pour prouver qu'une proposition est vraie ou fausse. Explication : la précision des outils de mesure, même informatiques, n'est pas suffisante pour affirmer des vérités. v.dujardin - v1.1 5

6 4.2 Justifier ce que l'on dit A propos d'une question, on peut répondre avec plus ou moins de rigueur : S'expliquer à soi Il s'agit de se comprendre et de trouver une réponse correcte Expliquer à son groupe de travail Prouver aux lecteurs Démontrer aux mathématiciens Il s'agit d'expliquer sa réponse par oral. Si ce n'est pas clair, le groupe peut poser des questions. Il s'agit d'expliquer sa réponse par écrit. Il faut être clair car le lecteur ne peut pas poser de question. En plus d'être clair, il faut expliquer sa réponse avec les outils, conventions et notations précises des mathématiciens. En quatrième, l'objectif principal est de savoir prouver ce que l'on affirme, en s'approchant le plus possible de la rigueur mathématique. v.dujardin - v1.1 6

7 5 Données, conjectures, propriétés et théorèmes 5.1 Données et conjectures Les questions mathématiques comportent des informations considérées comme vraies : ce sont les données de départ. Elles sont dans le texte ou codées sur les figures. Ce qui vous semble vrai mais n'est pas donné clairement dans l'énoncé est appelé conjecture. Exemple : On sait que ABC est rectangle en A. On ne connait pas les mesures des côtés. Mesurer n'apporterait rien de précis ni de sûr. On connait les mesures de DEF. On ne sait pas s'il est rectangle en E. On peut le penser : c'est une conjecture. Important : bien distinguer donnée (vraie) et conjecture (semble vraie) dans les situations est essentiel. 5.2 Notion de propriété et de théorème Votre «boîte à outil de mathématicien» comporte des propriétés/théorèmes dans le cours, qu'il faut connaître, et qui sont souvent exprimés comme suit : Propriété/théorème Si <condition> alors <conclusion> Lorsque les conditions d'application sont vraies (données), la conclusion le devient aussi. Les propriétés/théorèmes transforment donc des conjectures en données. Le but du jeu est d'obtenir grâce à ces outils la conclusion qui correspond à la question posée. Il faut parfois procéder en plusieurs étapes pour y arriver. 5.3 Appliquer une propriété Méthode MA8. pour rédiger une étape de démonstration, on doit procéder comme suit : 1. Lister les données qui correspondent aux <conditions> du théorème. «On sait que...» 2. Citer le théorème 3. Enoncer la <conclusion> qui devient une nouvelle donnée. «Donc...» Pour gagner du temps cette année dans vos copies et votre cahier d'exercice, on n'écrira pas les propriétés ni les théorèmes qui ont un nom : l'étape 2 n'est donc pas nécessaire pour ces deux cas. Il faut en revanche écrire tous les autres théorèmes en entier. v.dujardin - v1.1 7

8 5.4 Contraposée Définition 4 La contraposée d'une propriété se construit en permutant les <conditions> et la <conclusion> tout en prenant la négation de chacune. Propriété A3 La contraposée d'une propriété est toujours vraie Démonstration: Admise et intuitive. Exemple : Si <je suis en 4ème>, alors <je suis un collégien>. Cette proposition est vraie (évident et admis). La contraposée est : Si <je ne suis pas un collégien>, alors <je ne suis pas en 4ème> Elle est vraie aussi, car toutes les contraposées de propositions vraies sont vraies. A retenir : on utilise souvent les contraposées pour montrer qu'une proposition est fausse. Elle sont très pratiques! 5.5 Réciproque d'une propriété Définition 5 La réciproque d'une propriété se construit en permutant les <conditions> et la <conclusion>. Attention : les réciproques des propriétés ne sont pas toujours vraies. Cela dépend de la propriété. On ne peut donc utiliser que les réciproques qui sont dans le cours. Exemple : Si <je suis en 4ème>, alors <je suis un collégien>. La réciproque est : Si <je suis un collégien>, alors <je suis un 4ème>. Cette réciproque est fausse. Vous connaissez forcément un contre exemple : un collégien qui n'est pas en quatrième (en cinquième par exemple). v.dujardin - v1.1 8

9 6 Notion d'égalités équivalentes Définition 6 Deux égalités sont équivalentes si lorsque l'une est vraie, l'autre aussi (et donc lorsque l'une est fausse, l'autre aussi). Propriété A4 En ajoutant ou en soustrayant le même nombre aux deux côtés d'une égalité, on obtient une égalité équivalente. Démonstration: admise Exemple : a=5 et a+2=7 sont équivalentes (on ajoute 2 de chaque côté). Donc si a+2=7, alors a=5 et réciproquement, si a=5 alors a+2=7 Evident non? Propriété A5 En multipliant ou en divisant par le même nombre non nul les deux côtés d'une égalité, on obtient une égalité équivalente. Démonstration: admise Exemple : Bob a acheté 6 DVD pour 18,60 en tout. Chaque DVD a le même prix. En nommant n le nombre de DVD, on a donc 6 n=18,60. On peut diviser par 6 de chaque côté du égal pour obtenir n=3,10. Chaque DVD coûte donc 3,10. Pour bien comprendre : 6 n=18,6 et n=3,10 sont équivalentes. Donc la réponse n=3,1 est aussi la réponse à notre question de départ. Evident aussi? Propriété A6 En réduisant, en développant, en factorisant, ou en mettant au même dénominateur un seul ou les deux côtés d'une égalité, on obtient une égalité équivalente. Démonstration: on ne change pas un nombre en le factorisant, le développant, en mettant au même dénominateur. On change sa forme d'écriture, mais pas le nombre. L'égalité est inchangée, donc équivalente. Exemple : 3( x+2)=9 est équivalent à 3 x+6=9, donc les réponses de l'énigme 3( x+2)=9 et celles de l'énigme 3 x+6=9 sont exactement les mêmes (les deux énigmes sont vraies et fausse en même temps). v.dujardin - v1.1 9

10 7 Notion d'équation 7.1 C'est quoi une équation? Définition 7 Une équation est une égalité comportant un nombre inconnu (parfois plusieurs) Autrement dit : c'est une sorte d'énigme avec des nombres. Important : Il n'y a qu'un seul signe = dans une équation On appelle membre de gauche et membre de droite les expressions autour du = Vocabulaire : une solution d'une équation d'inconnue x est une valeur de x telle que l'égalité est vraie. Exemple d'équation : x x=4. x=2 est une solution car 2 2=4. x=3 n'est pas une solution car 3 3=9 4 x=( 2) est une autre solution car ( 2) ( 2)=4 aussi 7.2 Résoudre une équation. Vocabulaire : résoudre une équation d'inconnue x c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Autrement dit : il s'agit de résoudre l'énigme complètement. Méthode MA9. Pour résoudre une équation dont l'inconnue est x, on peut écrire une liste d'égalités équivalentes en utilisant les propriétés du cours jusqu'à ce que la dernière donne x=. Exemple : quels sont les nombres x tels que x+4 est égal à 3 x? L'équation est x+4=3 x, qui équivaut à x+4 x =3 x x (on soustrait x) et à 4=2 x (on réduit) et à 4 2=2 x 2 (on divise par 2) et à 2=x (on réduit) Conclusion : la seule solution de l'équation est 2. v.dujardin - v1.1 10

11 8 Ordre et inégalités 8.1 Ordre Un nombre a par rapport à un nombre b peut être : plus petit : on note a<b, et on dit aussi a strictement inférieur à b égal : on note a=b et on dit a égal b plus grand : on note a>b et on dit a strictement supérieur à b Exemples : 3>2 est vrai, 2<3 est vrai, 1,99<2 est vrai, 1,99=2 est faux Définition 8: inégalités au sens large a b signifie que a est inférieur ou égal à b a b signifie que a est supérieur ou égal à b Exemple : Si x=7, alors x>6,5 est vrai, x>7 est faux, x 7 est vrai, x<9 est vrai, x<7 est faux. 8.2 Comparaison Définition 9 Comparer des nombres c'est justifier leur ordre (du plus petit au plus grand, ou du plus grand au plus petit). Méthode MA10. Un nombre positif est toujours plus grand qu'un nombre négatif (par définition des nombres positifs et négatifs). 8.3 Encadrement Définition 10 Encadrer un nombre a c'est donner un nombre plus petit (borne inférieure) et un autre plus grand (borne supérieure) que a. La précision de l'encadrement est la différence des deux bornes. Exemples d'encadrements : 3,1< π <3,2 La précision est 3,2-3,1=0,1 (un dixième). 0,33< 1 3 <0,34 La précision est 0,34 0,33=0,01 (un centième) v.dujardin - v1.1 11