TRAITEMENT DU SIGNAL

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1 Spé ψ Devoir n 3 TAITMNT DU SIGNAL Le sujet, étude du principe de fonctionnement d un voltmètre numérique, comporte trois parties assez largement indépendantes. La réponse à chaque question devra être accompagnée d une justification précise pour être prise en compte. Les figures sont données en fin d énoncé. Partie I LIMITS AU FONTIONNMNT LINAI D L AO IDAL. On considère le montage figure 1, où l ampli opérationnel est décrit par le modèle idéal. I-1) Montrer que l on a, en général, u ( t) = Gu ( t). S I-2) Le constructeur indique un courant maximum en sortie de 20 ma. On applique à l entrée du montage la tension u ( t) = UM cos( ω t) avec U M = 1,0 V, 2 = 100 kω, 1 = 10 kω, U SAT = U SAT = 14,0 V. omment choisir la valeur d une résistance U placée en sortie pour garder un fonctionnement linéaire? dus I-3) La sortie ne reste linéaire que si < σ, où σ est appelé vitesse de balayage de l AO dt (slew rate). Le constructeur indique pour l AO précédent σ = 1,0 V µs 1. On applique à l entrée la même tension qu à la question I-1) et l on augmente ω. Jusqu à quelle valeur ω 1 de ω, u S (t) restet-elle théoriquement sinusoïdale? Décrire la déformation de u S (t) pour des valeurs ω > ω 1. On peut se servir de l apparition de cette déformation pour estimer σ. Proposer une autre méthode de mesure expérimentale de σ utilisant un autre type de signal u (t). Partie II PINIP D FONTIONNMNT D UN VOLTMÈT NUMÉIQU. La figure 2 donne le schéma de principe d un voltmètre numérique à double rampe. La tension à mesurer U (supposée constante) et la tension de référence U F sont positives. Les AO sont idéaux, de tensions de saturation telles que U SAT = U SAT = 14,0 V. On notera V A, V B,V D les potentiels des points A, B, D par rapport à la masse. II-1) L SHÉMA. a) Quelle est la fonction de (I), K 2 étant ouvert? Que vaut alors V A? b) K 2 et K 3 étant ouverts et K 1 fermé, montrer que (II) est un intégrateur. c) Quelle est la fonction de (III)? xprimer V D en fonction de V B. est la valeur de V D qui détermine l action de la logique de commande sur les interrupteurs et le compteur. Lorsque cette commande le permet, le compteur reçoit des impulsions de période T 0 délivrées par l horloge. Le résultat du comptage est transmis à l afficheur. II-2) FONTIONNMNT. Pour t < 0, K 3 est fermé, K 1 et K 2 ouverts. À partir de t = 0, K 1 est fermé, K 2 et K 3 ouverts. À partir de t = t 1 = N 1 T 0, K 2 est fermé, K 1 et K 3 ouverts, N 1 est fixé indépendamment de U. a) xprimer et représenter graphiquement V B (t) entre t = 0 et t 1, puis pour t > t 1 (on rappelle que U est positif). Spé ψ page 1/6 Devoir n 2

2 On note t 2 l instant où V D bascule, entraînant la commande : K 3 fermé, K 1 et K 2 ouverts. Qu est-ce qui provoque le basculement: de V D? b) xprimer (t 2 t 1 ) en fonction de U, U F, N 1 et T 0. c) omment choisir U F par rapport à U pour que le cycle de mesure, déclenché par la logique de commande, puisse reprendre à 2t 1 = 2N 1 T 0? d) Peut-on choisir N 1 aussi grand que l on veut? II-3) MSU. Le compteur enregistre les impulsions fournies par l horloge uniquement entre t 1 et t 2, soit pendant (t 2 t 1 ), une impulsion est comptée pour chaque période T 0 écoulée. On note ( ) N = t t / T a) xprimer N 2 en fonction N 1, U F et U. b) Quelle est la relation entre l indication N du compteur et N 2 (on considérera que le nombre d impulsions comptées est égal au nombre de périodes entières T 0 contenues dans (t 2 t 1 )? c) La précision de mesure dépend-elle de la précision avec laquelle T 0 est connue? Quelle qualité de l horloge intervient essentiellement dans la fiabilité de la mesure? Quelle modification de caractéristique de l horloge augmenterait la précision de la mesure? II-4) UTILISATION DU VOLTMÈT N ÉGIM VAIABL. La mesure des valeurs efficaces (fonction MS des voltmètres numériques, ou root mean square : racine carrée de la moyenne du carré) peut se ramener à la mesure d une tension continue. composante alternative. a) Soit v( t) = v v ( t), avec v v( t) 0 a 0 =, v 0 est la valeur moyenne de v(t) et v a (t) la α) Établir la relation entre V FF, v 0 et V aff ; V aff est la valeur efficace de la composante alternative. n fonctionnement MS-AD l appareil donne V FF. n fonctionnement MS-A l appareil donne V aff. β) alculer les valeurs efficaces, en fonction de, des tensions v 1 (t) et v 2 (t) représentées figure 3. b) La figure 4 donne le schéma de traitement de la tension variable v(t) avant application au voltmètre numérique. sortie z( t) A' 0 x( t) y( t) 0 α) Le multiplieur analogique auquel on appliquerait x(t) et y(t) fournirait en =.On considère v(t) sinusoïdale pure : v( t) U 2 cos( t) = ω. Montrer que V, (V A. potentiel du point A est défini sur la figure 4). eprésenter et comparer les spectres de fréquence de v(t) et V A. β) Le filtre passe-bas est un filtre représenté figure 5. xprimer la fonction de transfert de ce filtre et la pulsation de coupure en fonction de 0 et 0. omment choisir 0 0 pour que V = V? B A' γ) On peut aussi utiliser le filtre représenté figure 6. xprimer la fonction de transfert de ce filtre et sa pulsation de coupure. Quelle condition doit être réalisée pour que cette pulsation de coupure sot la même que celle du filtre précédent? Quel(s) avantage(s) et inconvénient(s) se filtre présente-t-il par rapport au précédent? dont la fonction de transfert est ( ) δ) L extracteur de racine carrée est représenté figure 7. Q est un quadripôle s ' = f e', l AO est idéal et fonctionne en régime linéaire. Montrer Spé ψ page 2/6 Devoir n 2 FF

3 que le choix d un multiplieur pour Q permet d obtenir s proportionnel à e (soit s = 0e )? eprésenter le schéma correspondant. ε) On utilise l extracteur de racine carrée avec e = V B et s = U. Soit v(t) une v t = V 2 cos ω t. n supposant 0 et 0 choisis convenablement, tension sinusoïdale pure ( ) ( ) FF montrer que U est proportionnel à V FF. Si v(t) est une fonction périodique quelconque, indiquer comment choisir 0 0 pour que U soit proportionnel à V FF. II-5) MSU DS FAIBLS TNSIONS. Avec le voltmètre de principe, figure 2, aucune rampe de charge n est obtenue quand U = 0. Pour pouvoir mesurer des tensions faibles, on modifie la partie intégrateur de la façon indiquée figure 8. U et U FF sont prises positives. Le fonctionnement est le suivant : Pour t < 0, K 3 est fermé, K 1 et K 2 ouverts. À partir de t = 0, K 1 est fermé, K 2 et K 3 ouverts: phase 1. À partir de t = t 1 = N 1 T 0, K 2 est fermé, K 1 et K 3 ouverts, N 1 est fixé indépendamment de U : phase 2. a) xprimer pour chaque phase V B (t) en fonction de t,,, U F, U et t 1. eprésenter graphiquement V B (t), en indiquant les durées proportionnelles aux nombres d impulsions N 1 et N 2 (à une unité près) comptées pendant les phases 1 et 2. b) Sur le même graphe faire apparaître V B (t) lors d une mesure de U = 0. On note N 02 le nombre d impulsions correspondant à la phase 2 dans ce cas. c) Montrer que U s exprime en fonction de U F, N 2 et N 1 seulement. Si l on souhaite un nombre indiqué par le compteur proportionnel à U, quand doit-on commencer l enregistrement des impulsions? Partie III ÉTUD DUN DISPOSITIF POUVANT SVI D HOLOG. On désire obtenir en sortie d un oscillateur, qui servira d horloge, la tension représentée figure 10. On appelle rapport cyclique : α = θ /T0. III-1) L MONTAG D BAS : e montage (figure 9) utilise un AO idéal fonctionnant dans sa zone non linéaire (comparateur à hystérésis). Les tensions de saturation de l AO sont U SAT et U SAT. On note 1 V1 = USAT. 1 2 a) À t = 0, v = 0 et u S = U SAT. xprimer v (t) pour t 0 en fonction de t,, et U SAT. b) Montrer qu il existe un instant t 1 tel que u S bascule en U SAT. xprimer t 1 en fonction de,, V 1 et U SAT. c) xprimer v (t) pour t t 1 et montrer qu il existe un instant t 2 tel que u S bascule en U SAT. xprimer t 2 t 1 en fonction de,, V 1 et U SAT. d) eprésenter v (t), u S (t) et u S (V ). e) alculer la période T 0 de v (t) et u S (t) en fonction de,, V 1 et U SAT puis,, 1 et 2. alculer α. AN : 1 = 20 kω, 2 = 80 kω, = 5,0 kω et l on veut T 0 = 20 µs. alculer. f) Qualitativement, comment le slew rate σ limité de l AO modifie-t-il la forme de u S (t)? On donnera l allure du graphe u S (t). Pour U SAT = 14,0 V, quelle condition numérique devrait respecter σ pour que les commutations soient acceptables (durée de commutation inférieure à T 0 /2)? Spé ψ page 3/6 Devoir n 2

4 On envisage maintenant des modifications du montage de base permettant des réglages indépendants de la période, du rapport cyclique et de l amplitude de la tension de sortie III-2) MODIFIATION D LA PÉIOD. On réalise le montage figure 11 où P est un potentiomètre de 25 kω avec k variant de 0 à 1. Les autres composants ont les valeurs indiquées à la question 1 avec = 4,9 nf. a) xprimer T 0 en fonction de,, 1, 2, P et k. b) Quelles sont les valeurs numériques extrêmes de f 0 = 1/T 0? c) Que vaut, dans ce cas, le rapport cyclique? III-3) MODIFIATION DU APPOT YLIQU. On réalise le montage figure 12 où P est un potentiomètre de 4,7 kω, k variant de 0 à 1, = " = 100 Ω. Les diodes sont idéales et les autres composants ont les valeurs indiquées à la question III-1. a) alculer la période T 0. Dépend-elle de k? b) alculer le rapport cyclique α en fonction de, ", P et k. Quelles sont ses valeurs numériques extrêmes pour k variant de 0 à 1? III-4) MODIFIATION D L AMPLITUD. On réalise le montage figure 13a où D 1 et D 2 sont des diodes Zener de tensions Zener respectives V Z1 = 9,0 V et V Z2 = 3,0 V et de tension seuil V SUIL = 0,6 V, conformément à la caractéristique tracée figure 13b. Les autres composants ont les valeurs indiquées à la question III-1. Déterminer et représenter le graphe de u S (t). Si les diodes supportent un courant d intensité maximale I MAX = 10 ma, comment faut-il choisir Z? Spé ψ page 4/6 Devoir n 2

5 Annexe (figures) 2 u us 1 figure 1 INT (I) L (II) (III) U K 3 A B K 1 D U F K 2 AFFIHU NUMIQU OMPTU HOLOG LOGIQU D OMMAND figure 2 v 1 t 2 v 2 figure 3 t v(t) MULTIPLIU A FILT XTATU B S D PASS-BAS AIN A v A v B u(t) figure 4 0 v A v B 0 2 Q s e figure v A v B e s figure 7 Spé ψ figure 6 page 5/6 Devoir n 2

6 INT L K 3 U UF K 1 K 2 U F /2 B figure 8 v 2 u S u S θ t v 1 T 0 figure 9 (1 k) P 2 u S k P figure 10 k P 2 D (1 k) P D u S 1 1 figure 11 figure 12 i 2 Z i u 1 D 1 D 2 u S V Z V SUIL u figure 13a figure 13b Spé ψ page 6/6 Devoir n 2